Ensemble des parties

[Médiat]

Bonjour,

La formule est bien connue, il n'est d'ailleurs utile de calculer que la moitié (à peu près) de ces nombres, puisque le premier est égal au dernier, le second au pénultième, etc, formule bien établie :

Si on regarde ce qui se passe pour , c'est la même chose : le nombre de sous ensembles est égal au nombre de sous ensembles de cardinal 0 + nombre de sous ensembles de cardinal 1 + nombre de sous ensembles de cardinal 2 + …, tous ces nombres étant dénombrables, et bien sûr le nombre de sous-ensemble des cardinal k est égal au nombre de sous-ensembles dont le complémentaire est de cardinal k (etc.), on obtient donc une somme dénombrable de fois la puissance du dénombrable, le résultat est donc dénombrable, ce qui démontre que contrairement à ce que pense ces prétentieux de logiciens

Et c'est ainsi que Cantor est grand

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[invite452d5a24]

Bonjour,

Tu as oublié de considérer les sous ensembles de cardinal infini.
Mais en remarquant que l'ensemble des sous ensembles définis formellement (de manière non ambigu) par un être intelligent de notre univers, est au plus dénombrable, même en admettant que notre univers est éternel, alors on a bien l'équation que tu voulais montrer, et qui contredit Cantor.

Pour prouver que j'ai tord il suffit d’exhiber un sous ensemble de N, qui ne soit pas défini formellement par un être intelligent de notre univers : bon courage...

PS : pour la définition d'un être intelligent, on prendra un être capable de définir formellement un sous ensemble de N...

Bonne journée.

[invite23cdddab]

Alerte !

Médiat est devenu fou

Alerte !

[Médiat]

Tu as oublié de considérer les sous ensembles de cardinal infini.

Faux, comme d'habitude.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Alerte !

Médiat est devenu fou

Alerte !

Damned, I am discovered

[invite452d5a24]

Si on regarde ce qui se passe pour , c'est la même chose : le nombre de sous ensembles est égal au nombre de sous ensembles de cardinal 0 + nombre de sous ensembles de cardinal 1 + [/COLOR][COLOR=#222222][COLOR=#222222]nombre de sous ensembles de cardinal 2 + …, tous ces nombres étant dénombrables, et bien sûr le nombre de sous-ensemble des cardinal k est égal au nombre de sous-ensembles dont le complémentaire est de cardinal k (etc.)

Désolé, mais je ne vois ici que des ensembles de cardinal fini, ou cofini.

Or il existe des ensembles de cardinal infini, et dont le complémentaire est infini aussi, prendre par exemple les entiers pairs, dont le complémentaire est les entiers impairs.

PS : tant que tu ne justifieras pas tes réponses (comme je le fais avec toi) je ne peux pas développer plus mes réponses, car je ne sais pas ce que tu veux dire exactement.

[Médiat]

cofini.

Donc infini ! qed !

je ne sais pas ce que tu veux dire exactement.

Cela ne vous empêche pas de répondre en général.

[invite452d5a24]

Maintenant que l'on est d'accord : ton argumentaire ne suffit pour montrer que card(N)=card(P(N)).

Je reviens à mon argumentaire qui lui le montre vraiment (sauf réfutation que j'attends encore... )

Mais en remarquant que l'ensemble des sous ensembles définis formellement (de manière non ambigu) par un être intelligent de notre univers, est au plus dénombrable, même en admettant que notre univers est éternel, alors on a bien l'équation que tu voulais montrer, et qui contredit Cantor.

Pour prouver que j'ai tord il suffit d’exhiber un sous ensemble de N, qui ne soit pas défini formellement par un être intelligent de notre univers : bon courage...

PS : pour la définition d'un être intelligent, on prendra un être capable de définir formellement un sous ensemble de N...

[Médiat]

Maintenant que l'on est d'accord : ton argumentaire ne suffit pour montrer que card(N)=card(P(N)).

C'est évident pour tout le monde puisque le contraire est démontré depuis plus d'un siècle

Je reviens à mon argumentaire qui lui le montre vraiment (sauf réfutation que j'attends encore... )

Rien de plus facile à réfuter : vous ne savez pas la différence entre objet mathématique et objet mathématique définissable.

Désolé de vous l'apprendre, mais il y a plus de cent ans, Cantor en savait plus que vous sur le sujet et faisait des démonstrations formelles.

[invite452d5a24]

comme je te l'ai déjà dit :

tant que tu ne justifieras pas tes réponses (comme je le fais avec toi) je ne peux pas développer plus mes réponses, car je ne sais pas ce que tu veux dire exactement.

Par exemple tu parles d'une différence entre objet mathématique et objet mathématique définissable : quelle définition formelle donnes-tu à ces 2 notions ?

Merci de clarifier tes propos, sauf si tu estimes que ces notions sont censés être connus de tous et alors je serais le seul à ne pas les connaître.

[Médiat]

sauf si tu estimes que ces notions sont censés être connus de tous et alors je serais le seul à ne pas les connaître.

C'est bien cela, au pire, dans tous les bons bouquins de logique.

[invite51d17075]

bjr,
il me semble que le "piège" dans le vrai-faux raisonnement initial ( science ludique ) tient dans le mot : donc
( l'extrapolation du raisonnement initial ).
reste à exprimer formellement pourquoi ce donc est abusif.
je vais essayer une proposition dans ce sens dans la journée, bien que cela ne soit pas dans mon champ de compétence.

[Deedee81]

Salut,

Jolie fausse démonstration. Excellente même.

Il y a des sous-ensembles infinis dont le complémentaire n'est pas fini. D'où le soucis. Non ? (exemple archi connu : les nombres pairs)

C'est amusant d'ailleurs car cela implique que le cardinal de ces sous-ensemble là uniquement est non dénombrable.
Doit y avoir moyen de faire encore mieux.

P.S. Dattier : le soucis n'est pas de connaitre ou non certaines choses, que ce soit en logique ou dans d'autres domaines. Personne n'a la connaissance absolue de tout.
Le soucis est de faire des raisonnements en utilisant des choses qu'on ne connait pas ou qu'on ne maîtrise pas. Ce que tu fais tout le temps. Dans presque tous tes messages.
L'important est donc de connaitre ses propres limites : tu ne connais pas les tiennes ou tu refuses de les reconnaitre (ce qui est dommage car ça t'empêche d'étudier ce sujet qui semble te passionner).
Tu sais, j'ai 55 ans et pourtant j'étudie toujours : livres, cours, articles,.... sur les sujets qui me passionnent (et la vulgarisation n'est qu'une toute petite partie).
Pourquoi est-ce que tu n'ouvres pas des cours de logique formelle ?

[Deedee81]

J'aurais tendance à dire que l'ensemble des choses que tu es le seul à ne pas connaitre a au moins la puissance du continu

C'est la limite de 2^2^2......2^aleph0. Si si.

[Médiat]

Bonjour,

il me semble que le "piège" dans le vrai-faux raisonnement initial ( science ludique ) tient dans le mot : donc

Oui (le premier) mais le "vrai" piège est ailleurs

[Médiat]

Bonjour,

D'où le soucis. Non ?

Cf. ma réponse à ansset

[invite51d17075]

Bonjour,
Oui (le premier) mais le "vrai" piège est ailleurs

merci de nous faire travailler un peu les neurones.
Dattier devrait être content, car perso, celle là je la trouve "belle" et amusante
cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

celle là je la trouve "belle" et amusante

J'en suis ravi, c'était le but

[Deedee81]

car perso, celle là je la trouve "belle" et amusante

En effet. Récemment, sur un forum de math (pas Futura ) on a ouvert un fil pour présenter toutes sortes de fausses démonstration. Celle-ci peut entrer franchement dans le peloton de tête.
(avec l'autre grande catégorie d'erreur que j'aime bien, si si, on peut aimer des erreurs : les erreurs de raisonnement par récurrence)

[Médiat]

les erreurs de raisonnement par récurrence)

Il y en a effectivement de très belles (accessibles au niveau collège, pour certaines)

[invite51d17075]

je propose ( en toute humilité ) une piste :
de fait tu manipules une somme cardinale comme on le ferait avec une somme d'ordinaux.
or, il me semble que la "somme cardinale" suppose que l'intersection soit vide entre les ensembles.

[invite452d5a24]

Dattier devrait être content...

Je le suis tellement, que j'y participe moi aussi, à ceci prés, que j'ai donné (Didier après moi) une réfutation de ce raisonnement : il ne traite que des cas d'ensemble de N, fini ou cofini, ce qui ne représente pas tout les ensembles de N possible.

Et sauf si les règles, ici sont changées, une réfutation suffit pour réfuter un raisonnement.

Tchuss.

[Médiat]

C'est bien cas, aucun sous-ensemble de IN n'est à la fois de cardinal k1 et de co-cardinal k2 (des entiers).

Dans le pire des cas je trouverais un résultat trop grand, alors que là j'en trouve un trop petit.

[Deedee81]

Je le suis tellement, que j'y participe moi aussi, à ceci prés, que j'ai donné (Didier après moi) une réfutation de ce raisonnement : il ne traite que des cas d'ensemble de N, fini ou cofini, ce qui ne représente pas tout les ensembles de N possible.

Et sauf si les règles, ici sont changées, une réfutation suffit pour réfuter un raisonnement.

En effet, mais tu avais manqué de clarté car ton premier message était tout simplement faux.

[invite51d17075]

@médiat:
donc ,en fait tout le monde avait plus ou moins raison ?
même dit de manière maladroite ou différente ?

[Médiat]

Que le calcul ne prenne pas en compte les ensembles ni finis ni cofinis est bien la raison de l'erreur, mais ce qui est intéressant c'est de détricoter le raisonnement et de voir comment le mettre sur ces rails, et surtout en retirer tout ce qui est, à la fois "vrai" et inutile (voire stupide) et qui n'est donc qu'un piège.

[Deedee81]

Que le calcul ne prenne pas en compte les ensembles ni finis ni cofinis est bien la raison de l'erreur, mais ce qui est intéressant c'est de détricoter le raisonnement et de voir comment le mettre sur ces rails, et surtout en retirer tout ce qui est, à la fois "vrai" et inutile (voire stupide) et qui n'est donc qu'un piège.

C'est en effet tout l'intérêt, je suis d'accord.

Un autre exemple instructif que j'avais évoqué sur le raisonnement par récurrence :

n points quelconques du plan sont toujours alignés
- Cela est vrai pour n=1 et n=2
- Supposons maintenant le propriété vrai pour n et montrons qu'elle est vrai pour n+1 points.

Soient A1,A2,.. .An,An+1 points du plan.
D'après l'hypothèse de récurrence, les n points 1,. .,An sont alignés sur une droite que l'on appellera D
Toujours d'après l'hypothèse de récurrence les n points A2,. .,An+1 sont alignés sur une droite que l'on appellera D'
Or D et D' contiennent toutes les deux les points A2 et An, elles sont donc confondues et donc les n+1 points Al, An,An+l sont alignés!

Les erreurs géométriques aussi sont instructives. Exemple fort sympathique :
Tous les triangles sont équilatéraux
https://sciencetonnante.wordpress.co...-equilateraux/

Tout cela montre bien qu'il faut faire attention à la rigueur et la clarté dans les raisonnements. Sinon, dans des cas moins triviaux, ça peut conduire à de vilaines fautes.

[invite452d5a24]

Un autre exemple instructif que j'avais évoqué sur le raisonnement par récurrence :

n points quelconques du plan sont toujours alignés
- Cela est vrai pour n=1 et n=2
- Supposons maintenant le propriété vrai pour n et montrons qu'elle est vrai pour n+1 points.

Soient A1,A2,.. .An,An+1 points du plan.
D'après l'hypothèse de récurrence, les n points 1,. .,An sont alignés sur une droite que l'on appellera D
Toujours d'après l'hypothèse de récurrence les n points A2,. .,An+1 sont alignés sur une droite que l'on appellera D'
Or D et D' contiennent toutes les deux les points A2 et An, elles sont donc confondues et donc les n+1 points Al, An,An+l sont alignés!

Jolie, et surtout très didactique.

[Médiat]

:

n points quelconques du plan sont toujours alignés

J'utilisais le même (presque) sous la forme "tous les paquets de crayons sont monochromes"

[Deedee81]

J'utilisais le même (presque) sous la forme "tous les paquets de crayons sont monochromes"

Quand tu veux dire "utilisais", tu veux dire en cours ?

Ca me rappelle mon prof de math à la fac. En topologie. Il cite un théorème (qui est bel et bien démontré). Met une longue démonstration. Demande si on a compris. Puis dit "et bien non, cette démonstration est fausse" Mais c'était en fait très pédagogique, ça permet effectivement de mieux faire attention à la validité d'un raisonnement mais aussi, en l'occurrence ici, de mieux comprendre le sens profond de certains concepts topologiques pas nécessairement évidents (de mémoire cela avait rapport avec la connexité et les ensembles bien enchaînés).