Ensemble des parties

[CM63]

Bonjour,

C'est peut-être hors sujet mais la parité de m'inspire une intuition : n'est-il pas divisible par n’importe quel nombre (premier ou pas) ? Il semble bien que oui, je viens de rechercher rapidement sur le web.
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[Médiat]

Bonjour,

C'est peut-être hors sujet mais la parité de m'inspire une intuition : n'est-il pas divisible par n’importe quel nombre (premier ou pas) ? Il semble bien que oui, je viens de rechercher rapidement sur le web.

Bien sûr ! Et même plus que cela, est congru à n'importe quel entier modulo n'importe quel autre (avec la définition usuelle), puisqu'à l'évidence

Cette affirmation que est pair fait donc partie de ces choses "vraies" mais totalement inutiles voire pouvant engendrer des idées fausses, comme on en a eu l'exemple sur ce même fil.

L'idée (excellente) de Archi3 de dire que si est pair, alors est impair, fait partie de cette liste, surtout si on a en tête qu'être pair ou impair sont des propriétés exclusives l'une de l'autre.

C'est d'autant plus idiot que, trivialement,


(Il reste de telles "âneries vraies" dans le texte initial)

[invite51d17075]

cela rejoint ma toute première remarque sur le fait de l'addition des cardinaux et des ordinaux.
remarque que vous avez envoyée balader en première intention.
je vous remercie néanmoins de toutes vos paroles aimables par la suite.

[invite51d17075]

anyway, j'ai compris, même sans votre aide .

[Médiat]

cela rejoint ma toute première remarque sur le fait de l'addition des cardinaux et des ordinaux.
remarque que vous avez envoyée balader en première intention.

Avec juste raison, relisez mon message !

[invite51d17075]

no way ! discussion terminée pour ma part.

[Verdurin]

Sinon l'addition des ordinaux est plus amusante.

En effet, sauf erreur de ma part,



avec le plus petit ordinal non fini.

[invite452d5a24]

Sinon l'addition des ordinaux est plus amusante.

Pourquoi, appelé cela une addition alors qu'on n'a pas la commutativité ?

[Médiat]

Bonsoir,

C'est même vrai pour tous les ordinaux infinis.

[invite452d5a24]

Quelle différence y-a-t-il entre oméga zéro et aleph zéro (il me semblait que c'était un même objet) ?

[Verdurin]

En effet.

[Deedee81]

Salut,

Pourquoi, appelé cela une addition alors qu'on n'a pas la commutativité ?

Et pourquoi pas. La multiplication entre réels ou entiers est commutative, la multiplication entre matrice est généralement non commutative. Pourquoi l'addition devrait-elle être forcément commutative ? Ce n'est pas gravé dans le marbre. Ainsi, dans les groupes, la commutativité n'est pas toujours présente (comme le dit médiat c'est indécidable ), et on note l'opérartion du groupe par divers symboles se lon l'humeur : o, x, ., et même + (même si on a tendance souvent à utiliser le + dans le cas commutatif, ce n'est pas toujours le cas).

Quelle différence y-a-t-il entre oméga zéro et aleph zéro (il me semblait que c'était un même objet) ?

aleph0 est un cardinal. Il ne dépend que de des éléments d'un ensemble (leur "nombre" en quelque sorte).
oméga zéro n'est pas un cardinal mais un ordinal, donc il dépend des éléments et (comme le nom le dit) de l'ordre dans lequel on prend ces éléments.
omega0 c'est (notation un peu floue mais souvent rencontrée) : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,........}
1+omega0 c'est {X, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,........}
(ces deux ensembles sont clairement isomorphes)
et oméga0 + 1 c'est {2, 3, 4, 5, 6, 7,........, 1}
Et là c'est clairement non isomorphe (les bijections ne préservent pas l'ordre ou dit autrement : le premier ensemble n'a pas de dernier élément, le deuxième si)
Evidemment, inutile de démontrer que ces additions donnent bien ça, c'est plutôt une définition de l'addition des ordinaux.

Qu'on me corrige si j'ai dit une bêtise.

[invite452d5a24]

Salut,

Ce n'est pas gravé dans le marbre.

Non, au dernière de mes nouvelles, c'est ce que veut l'usage en math.

PS : merci pour ta réponse.

Cordialement.

[Deedee81]

Non, au dernière de mes nouvelles, c'est ce que veut l'usage en math.

Tu as raison de dire "de mes nouvelles" car en effet c'est faux
L'usage en math ne demande pas ça, comme je l'ai expliqué.
Ne jamais faire un axiome de ses croyances, toujours vérifier.

D'ailleurs regarde ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Additi..._ordonn%C3%A9s

L'addition s'étend ainsi en une opération sur les nombres ordinaux qui est associative mais non commutative

[Médiat]

Bonjour,

Les idées sont les bonnes, mais les expressions discutables :

aleph0 est un cardinal. Il ne dépend que de des éléments d'un ensemble (leur "nombre" en quelque sorte).

Non pas des éléments, sinon {0, 1} et {2, 3} n'auraient pas le même cardinal. Quant au "nombre", je rappelle que c'est un piège

donc il dépend des éléments et (comme le nom le dit) de l'ordre dans lequel on prend ces éléments.

Pas des éléments (cf. ci-dessus) et pas de l'ordre non plus (sinon {0, 1} muni de l'ordre 0<1 n'aurait pas le même ordinal que {0, 1} muni de l'ordre 1<0} mais du type d'ordre défini par la notion d'isomorphisme, qui, ici, est juste une bijection croissante).

La suite contient des notations inusuelles, est plus généralement noté {0, 1, 2, …}

[invite452d5a24]

Tu as raison de dire "de mes nouvelles" car en effet c'est faux
L'usage en math ne demande pas ça, comme je l'ai expliqué.
Ne jamais faire un axiome de ses croyances, toujours vérifier.

D'ailleurs regarde ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Additi..._ordonn%C3%A9s

C'est très intéressant pour moi, aurais-tu un autre exemple d'une autre opération appelé addition et qui ne soit pas commutative ?

Merci.

[Deedee81]

Non pas des éléments, sinon {0, 1} et {2, 3} n'auraient pas le même cardinal.

Ah oui, bien vu. Je me suis mal exprimé.

Quant au "nombre", je rappelle que c'est un piège

D'où mes guillemets.

Pas des éléments (cf. ci-dessus) et pas de l'ordre non plus (sinon {0, 1} muni de l'ordre 0<1 n'aurait pas le même ordinal que {0, 1} muni de l'ordre 1<0} mais du type d'ordre défini par la notion d'isomorphisme, qui, ici, est juste une bijection croissante).

Ah pardon, là je me trompais bel et bien !
Merci,

C'est très intéressant pour moi, aurais-tu un autre exemple d'une autre opération appelé addition et qui ne soit pas commutative ?

J'ai cité le cas des groupes non commutatifs où l'opération peut être notée "+".

Et d'une manière générale la composition des opérations (par exemple la composition de transformations géométriques ou de fonctions) est généralement non commutative, et on la note souvent . ou o ou sous forme de parenthèses emboitées, mais on peut aussi la noter "+", ce que j'ai déjà vu bien que ce soit plus rare.

Et on peut en imaginer autant qu'on veut, suffit de définir (on essaye d'éviter évidemment les confusions, mais il y a quand même une grande liberté).

[Médiat]

Et d'une manière générale la composition des opérations (par exemple la composition de transformations géométriques ou de fonctions) est généralement non commutative, et on la note souvent . ou o ou sous forme de parenthèses emboitées, mais on peut aussi la noter "+", ce que j'ai déjà vu bien que ce soit plus rare.

L'addition des ultrafiltres sur IN.

[invite452d5a24]

Et on peut en imaginer autant qu'on veut, suffit de définir (on essaye d'éviter évidemment les confusions, mais il y a quand même une grande liberté).

Je le sais bien, on peut même définir l'addition comme un polynôme à 2 variables, mais ici, j'interroge l'usage.

Car j'ai le souvenir d'un cours sur les groupes, ou le profs mettaient l'accent sur cette usage, après cela date un peu, mais cela reste surprenant pour moi.

[Deedee81]

on peut même définir l'addition comme un polynôme à 2 variables

Là je comprend pas. Définir une opération comme un polynôme ??? Tu aurais une référence ?

[invite51d17075]

Je le sais bien, on peut même définir l'addition comme un polynôme à 2 variables, mais ici, j'interroge l'usage.

je ne comprend pas cette insistance à parler "d'usage".
si les sciences s'étaient contenter de ce concept, il n'y aurait aucune évolution ou même de chgt de paradigme ( je pense surtout à la physique ).
l "usage" est il donc in finé l'adhésion du plus grand nombre ( au fait du sujet ou pas ).
alors instaurons le droit de vote sur certains points de RG et de PhysQ !

[Médiat]

Et on peut en imaginer autant qu'on veut, suffit de définir (on essaye d'éviter évidemment les confusions, mais il y a quand même une grande liberté).

En plus de l'exemple déjà cité, il est naturel de nommer une opération "addition", si elle est construite à partir d'une addition usuelle, par exemple, sur les couples d'entiers : (a, b) + (c, d) = (a + d, b + c)

[Deedee81]

je ne comprend pas cette insistance à parler "d'usage".

L'utilisation plus ou moins répandue de telle ou telle définition, notation, n'est pas totalement sans intérêt. Mais bon, cet intérêt est assez limité, en effet.

[invite452d5a24]

Là je comprend pas. Définir une opération comme un polynôme ??? Tu aurais une référence ?

une opération ce n'est rien d'autre qu'une fonction avec au moins une entrée, que l'on appelle opérande, et une fonction polynôme à 2 variables (2 opérandes) c'est aussi une opération.

PS : on n'est pas obligé (si on sort de l'usage) de faire correspondre au symbole + une opération, on peut symboliser avec une variable, une droite, ou tout autre chose...

[invite452d5a24]

Mais bon, cet intérêt est assez limité, en effet.

Il y a des tas d'ambiguïté qui sont levés avec l'usage, ce qui le rend très précieux, par exemple, si je note : x+1=0
On lit +(x,1)=0, or si l'on sort de l'usage c'est suite de caractère n'est pas qu’ambigüe, elle est impossible à interpréter.

[invite452d5a24]

On lit +(x,1)=0.

cela se lit : "on a =(+(x,1),0)" et même là l'usage reste nécessaire, pour faire une interprétation correcte.

[Deedee81]

une fonction polynôme à 2 variables (2 opérandes) c'est aussi une opération.

Oui, un polynôme peut être vu comme une opération mais pas une addition. On n'en parle d'ailleurs pas dans le lien que tu donnes. Je ne comprend toujours pas ce que tu entends par "définir l'addition comme un polynôme".

Par contre, j'avais oublié ça, c'est l'addition sur les points d'une courbe elliptique (définie à partir de polynômes particulier : la courbe, pas l'addition). On en parle dans la page "addition". Mais c'est commutatif.

Il y a des tas d'ambiguïté qui sont levés avec l'usage, ce qui le rend très précieux, par exemple, si je note : x+1=0
On lit +(x,1)=0, or si l'on sort de l'usage c'est suite de caractère n'est pas qu’ambigüe, elle est impossible à interpréter.

Oui, ça c'est clair que pour utiliser/comprendre il faut en connaitre l'usage. Mais ce n'est pas plus intéressant que dire "pour parler le français il faut connaitre le français"
C'est une évidence lapalissadesque.

[invite452d5a24]

1/ Oui, un polynôme peut être vu comme une opération mais pas une addition.

2/ C'est une évidence lapalissadesque.

1/ Pourquoi cela, au vu de ce que tu affirmes toi même (en effet une addition ne serait pas forcément commutative), à noter que l'addition "classique" est un polynôme à 2 variables P(x,y)=x+y... je pense que tu veux imposer à l'addition d'être associative, mais au nom de quoi, prendre par exemple P(x,y)=x+(-y) est un polynôme, qui est une addition (au sens littérale du terme) entre un nombre et son inverse et qui n'est pas pour autant associative.

2/ Non nous ne sommes pas dans savoir ou non parler le français (ici on suppose que tout le monde le sait) il est dans comprendre une phrase qui est ambigüe, avec des éléments extérieurs aux informations donner par le texte lui même, et là on a dépassé la palissade

[Verdurin]

Bonsoir Dattier.

Un polynôme est définie comme étant une somme. En d'autre termes, il faut avoir une addition ( et une multiplication ) pour parler de polynôme.
Ceci étant j'imagine qu'il y a des cas où ta remarque est utile.

En ce qui concerne l'usage du signe + pour désigner une opération non commutative, de nombreux langages informatiques l'utilisent pour la concaténation de listes ou de chaînes de caractères.
Ainsi on a "té"+"bon"="tébon" et "bon"+"té"="bonté".

C'est ce qui se passe, par définition, dans l'addition des ordinaux.

Un ordinal est un ensemble muni d'une relation de bon ordre ( cad ordre total et toute partie a un plus petit élément ).
Deux ordinaux sont égaux quand il y a une bijection croissante de l'un dans l'autre.

On additionne deux ordinaux en faisant une copie du premier suivie d'une copie du second.
Par exemple, en utilisant l'ordre usuel sur les entiers {0;1}+{0;1}={0;1;0;1} les éléments verts étant inférieurs aux éléments rouges. Il est alors clair que {0;1}+{0;1}={0;1,2;3} muni de l'ordre usuel.

Il est presque évident que l'addition des ordinaux finis est commutative.
Mais quand il y a un ordinal infini c'est différent.
{0}+{0;1; ...}={0;0;1; ...}
{0;1; ...}+{0}={0;1; ...;0}

Le premier ordinal est est il est clairement égal à
Le second a un plus grand élément : il est différent de

[invite452d5a24]

Bonsoir à tous les lecteurs, en particulier Verdurin,

1/ En ce qui concerne l'usage du signe + pour désigner une opération non commutative, de nombreux langages informatiques l'utilisent pour la concaténation de listes ou de chaînes de caractères.
Ainsi on a "té"+"bon"="tébon" et "bon"+"té"="bonté".

2/ Il est presque évident que l'addition des ordinaux finis est commutative.
Mais quand il y a un ordinal infini c'est différent.
{0}+{0;1; ...}={0;0;1; ...}
{0;1; ...}+{0}={0;1; ...;0}

Tout d'abord merci d'avoir pris le temps de me répondre.

1/ J'essaie d'expliquer aux gens qui pensent que l'on peut se passer de l'usage et tout expliciter, que c'est une entreprise pas seulement sans issus, mais dangereuses, en effet elle produit le sentiment que c'est quête est possible, or les gens censés savent, que cela revient juste à s'appuyer sur un usage encore mieux ancré (dont il font le pari de l'existence, d'un usage tellement ancré qu'il est impossible à mettre en évidence et donc à remettre en question).

2/Je sais ce que représente {0}+{0;1;...}={-1;0;1;2;...}
Mais que représente {0;1;...}+{0}={0;1;...;0} car avec cette notation on a l'impression qu'on épuise, {0;1;...} or par définition c'est ensemble ne s'épuise pas, on peut toujours égrainé un nouveau nombre.

Bonne soirée.