Décision dans le problème de Monty Hall

[invite7b7f1ad0]

Pour rappel du problème:

Le jeu oppose un présentateur à un candidat (le joueur). Ce joueur est placé devant trois portes fermées. Derrière l'une d'elles se trouve une voiture et derrière chacune des deux autres se trouve une chèvre. Il doit tout d'abord désigner une porte. Puis le présentateur doit ouvrir une porte qui n'est ni celle choisie par le candidat, ni celle cachant la voiture (le présentateur sait quelle est la bonne porte dès le début). Le candidat a alors le droit d'ouvrir la porte qu'il a choisie initialement, ou d'ouvrir la troisième porte.

Les questions qui se posent au candidat sont :

Que doit-il faire ?
Quelles sont ses chances de gagner la voiture en agissant au mieux ?

La solution donnée est de changer de porte car en considérant que il y a 2/3 chances pour que la voiture soit derrière une des portes non choisies, lorsque le présentateur en ouvre une parmi les deux il resterait alors 2/3 chances pour que la voiture soit derrière la porte non choisie restante.

D'un point de vue chronologique:

Acte 1: Si a,b et c sont les portes le joueur choisi a. 3 possibilités et 1 chance sur 3 d'avoir la voiture

Acte 2 Lorsque le présentateur ouvre une des deux portes restantes b ou c, le joueur sait que il y a 0/2 chances ou 1/2 chances pour que la voiture soit présente derrière b ou c, l'information donnée par le présentateur en ouvrant ou b ou c confirme juste cela car il est évident que quelque soit le choix du joueur le présentateur a toujours 1 possibilité d'ouvrir une porte perdante donc il ne fait que réduire le champs des possibles.

Acte 3: l'univers des possibles est désormais réduit à 2 portes il est différent de celui initial donc pour moi il reste une chance sur deux à ce moment là.

Pourquoi ne peut-on pas raisonner comme cela pour ce problème?
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[Médiat]

https://forums.futura-sciences.com/s...ml#post1100541
https://forums.futura-sciences.com/s...ml#post5104828
https://forums.futura-sciences.com/s...ml#post5110535

Et ce n'est qu'un petit extrait !

Ceci a plus sa place dans sciences ludiques que dans logique, voire pas de place du tout !

[invite7b7f1ad0]

Bonjour,

C'est vrai que c'est un marronnier ce problème ; c'est bientôt le printemps.

Je me questionne sur la reformulation du problème.

Si le jeu comporte 3 portes et qu’initialement (au début du jeu) l'une soit ouverte le joueur choisirait une parmi 2 avec une chance sur 2 de gagner.

Dés le début du jeu on sait que la situation initiale va évoluer vers une porte perdante ouverte et 2 fermées.
Le choix du présentateur restant toujours le même ouvrir une porte perdante quelque soit le choix du joueur, on arrive au moment de re-choisir pour le joueur sur la situation proposée ci dessus.

[Amanuensis]

Je me questionne sur la reformulation du problème.

C'est une question cruciale !

Pour moi c'est bien un problème de "logique", et compliqué de surcroît. La formulation du problème joue énormément si on cherche à faire une analyse bayésienne.

Le choix du présentateur restant toujours le même ouvrir une porte perdante quelque soit le choix du joueur

Bel exemple d'hypothèse qui n'est pas, usuellement, dans la formulation du problème ! C'est une modélisation très frustre du processus décisionnel du présentateur. Il n'y a rien d'évident à prendre cette hypothèse comme certaine (comme prior au sens bayésien), car non seulement on peut imaginer d'autres comportements, mais même y trouver des avantages. Ce qui amène à une analyse en termes de "théorie des jeux" (ce qui est inclus ou non dans la "logique", selon les gens), car c'est alors un jeu (à somme non nulle) entre le présentateur et le candidat, et même plutôt entre le présentateur et une série de candidats (jeu réitéré comme le dilemme du prisonnier réitéré) ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[RomVi]

Imaginons qu'il y ai 1 milliards de porte. On en choisi une au hasard, on a donc 1 chance sur un milliard.
Le présentateur ouvre 999 999 998 portes pour réduire le choix à la porte initiale ou la porte restante. Crois tu vraiment qu'il n'y a qu'une chance sur 2 de trouver ?

[Amanuensis]

Imaginons qu'il y ai 1 milliards de porte. On en choisi une au hasard, on a donc 1 chance sur un milliard.
Le présentateur ouvre 999 999 998 portes pour réduire le choix à la porte initiale ou la porte restante. Crois tu vraiment qu'il n'y a qu'une chance sur 2 de trouver ?

À qui le "tu" s'adresse-t-il ?

[invite7b7f1ad0]

C'est une question cruciale !

Pour moi c'est bien un problème de "logique", et compliqué de surcroît. La formulation du problème joue énormément si on cherche à faire une analyse bayésienne.



Bel exemple d'hypothèse qui n'est pas, usuellement, dans la formulation du problème ! C'est une modélisation très frustre du processus décisionnel du présentateur. Il n'y a rien d'évident à prendre cette hypothèse comme certaine (comme prior au sens bayésien), car non seulement on peut imaginer d'autres comportements, mais même y trouver des avantages. Ce qui amène à une analyse en termes de "théorie des jeux" (ce qui est inclus ou non dans la "logique", selon les gens), car c'est alors un jeu (à somme non nulle) entre le présentateur et le candidat, et même plutôt entre le présentateur et une série de candidats (jeu réitéré comme le dilemme du prisonnier réitéré) ...

Le joueur choisi la bonne porte (1/3 chance) alors le présentateur a une chance sur trois d'avoir le choix entre deux portes.
Le joueur choisi la mauvaise porte (2/3 chance) alors le présentateur a 2 chances sur trois de ne pas choisir la porte qu'il va ouvrir.
Dans les deux cas le présentateur sort une porte du jeu, dans un cas en conséquence imposée par le choix du joueur dans l'autre en conséquence du choix du joueur et au hasard, les processus de décision conduisent eux à une et unique situation: une porte gagnante et une porte perdante.

[Médiat]

J'avoue que je ne comprends pas les incompréhensions ou les tentatives pour rendre compliqué ce qui est si simple, la règle est claire : le présentateur sait où est le gros lot et il n'ouvre jamais cette porte, autrement dit c'est comme si on proposait au joueur de choisir entre garder son premier choix, ou ouvrir les portes restantes et de garder la voiture si elle se trouve derrière une de ces portes, la conclusion est triviale !

Ce raisonnement fonctionne avec 1000 portes (exemples que j'avais donné dans un autre fil) ou 1000000000 comme proposé par RomVi

[Amanuensis]

Je ne vais pas chercher à ce que tout le monde comprenne. Le point est simplement que ce "jeu" est joué en "vrai", dans le monde réel, avec des humains ayant des buts divers, pas toujours explicites. Ou encore, un présentateur usuel n'est pas une machine modélisée par un algorithme déterminisme. (Cela viendra peut-être, sans grande perte.)

Bien sûr, comme tous les "problèmes" de la vie courante (toujours très complexes), on peut les simplifier avec des hypothèses ad-hoc pour les rendre aisément (ou même trivialement) solvables par les maths (ou la physique mathématique).

On peut voir cela comme remplacer un problème difficile par un autre facile à résoudre. Seulement, il est alors trompeur de dire qu'on aurait résolu le problème difficile !

Et les joueurs ne sont pas des mathématiciens, ils n'ont pas le réflexe de remplacer le problème par un plus simple. Ils vont agir comme des humains. Ne voir que le problème simplifié, et la solution "triviale", n'amène qu'à les prendre, à tort, pour des imbéciles, ou du moins à ne pas les comprendre...

[Amanuensis]

D'ailleurs, je trouve une certaine parenté entre ce jeu et le bonneteau. Par exemple, qu'est ce qui nous dit que les "lots" ne sont pas intervertis en douce pour faire chuter la probabilité de gain du joueur ? Le but des organisateurs de l'émission n'est pas de jeter l'argent par les fenêtres, si ?

Faire descendre la probabilité de gain de 10%, c'est toujours ça de mieux dans la compta, et qui s'en rendra compte?

Suffit d'un minimum de parano, de voir des ennemis partout, etc., pour envisager ce genre d'hypothèse. Et cela ne se mathématise pas aisément.

[Médiat]

Suffit d'un minimum de parano, de voir des ennemis partout, etc., pour envisager ce genre d'hypothèse. Et cela ne se mathématise pas aisément.

Effectivement, dans ce cas il vaut mieux voir un médecin qu'un mathématicien !

[invite7b7f1ad0]

Je cherche la bonne formulation, cela ne complique pas forcement le problème.

Le présentateur a pour règle d'ouvrir toutes les portes sauf celles qui ont comme propriété d'être celle désignée par le joueur et/ou contenir le gros lot pour obtenir un ensemble de deux portes.
Quelque soit le nombre de portes au début il sera donc conservé une porte gagnante et une perdante.

[invite7b7f1ad0]

Si on traduit par un tableau, on obtiens visuellement le schémas des gains:

Sans nom 1.jpg

Change = 4/6 Change pas = 2/6

Mais il n'y a pas de formulation du problème qui puisse communiquer ce résultat contre-intuitif, faire apparaître la solution rapidement à tout à chacun?

Dans wikipedia : "Il est simple dans son énoncé, mais non intuitif dans sa résolution et c'est pourquoi on parle parfois à son sujet de paradoxe de Monty Hall."

Il ne s'agit pas d'un paradoxe à proprement parlé mais est-ce au final la formulation du problème qui induit les biais cognitifs et les erreurs de raisonnement?

[Médiat]

Mais il n'y a pas de formulation du problème qui puisse communiquer ce résultat contre-intuitif, faire apparaître la solution rapidement à tout à chacun?

Vous lisez les réponses donnés ? Sur ce fil et ceux que j'ai mis en lien.

Vous avez l'air de vous complaire dans le piège d'une présentation aussi fausse que contre intuitive, il est clair qu'en persévérant dans cette direction, vous n'y arriverez pas. C'est du même tonneau que si je disais "il y une chance sur deux que le soleil se lève demain sur Paris : l'univers est constitué de deux cas dont un favorable : 1/2"

[invitef29758b5]

Salut

Par exemple, qu'est ce qui nous dit que les "lots" ne sont pas intervertis en douce pour faire chuter la probabilité de gain du joueur ?

Si c' est le cas , ça devrait figurer dans l' énoncé .
L' énoncé doit comporter tous les éléments utiles à la résolution du problème .

[invite7b7f1ad0]

Vous lisez les réponses donnés ? Sur ce fil et ceux que j'ai mis en lien.

Vous avez l'air de vous complaire dans le piège d'une présentation aussi fausse que contre intuitive, il est clair qu'en persévérant dans cette direction, vous n'y arriverez pas. C'est du même tonneau que si je disais "il y une chance sur deux que le soleil se lève demain sur Paris : l'univers est constitué de deux cas dont un favorable : 1/2"

Vous donnez la méthode de résolution, cependant l'énoncé du jeu ne fait pas apparaître la finesse de celle ci sauf peut-être à utiliser les probabilités conditionnelles souvent.

Dans wikipedia : "De nombreuses variantes ont été proposées, modifiant les paramètres. Il est souvent possible de trouver la solution de chaque problème par un raisonnement simple, comme dans le problème principal, mais la difficulté à saisir le rôle de chaque hypothèse conduit souvent à une réponse erronée, et il est donc préférable de d'abord résoudre le problème analytiquement. "

La règle du jeu dans sa description, peut-elle être énoncée de façon à donner une vision immédiate et juste des hypothèses et de leurs conséquences? c'est mon questionnement.
Si on regarde toujours sur wikipedia les discussions sans fin qui se sont créées ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Discus..._de_Monty_Hall) , l'histoire de Paul Erdős également témoigne du caractère décontenançant de la solution.
Mon tableau me donne la solution mais je n'aurai pas trouvé sans le faire.

[Médiat]

sauf peut-être à utiliser les probabilités conditionnelles souvent.

Non, pas besoin de probabilités conditionnelles

M'enfin, vous avez le choix entre 1 porte sur 3 ou 2 portes sur 3, où est la complexité ???????

[invite7b7f1ad0]

Une fois que l'on a compris c'est simple , la difficulté (on ne peut pas parler de complexité, même moi j'ai fini par trouver ) c'est de bien comprendre les implications de l'énoncé.
Pour rester dans science ludique c'est un peu comme dans ce post https://forums.futura-sciences.com/s...r-de-cuba.html , une fois qu'on a vu le cigare on ne comprends pas pourquoi on ne le voyait pas.

[stefjm]

Je ne vais pas chercher à ce que tout le monde comprenne. Le point est simplement que ce "jeu" est joué en "vrai", dans le monde réel, avec des humains ayant des buts divers, pas toujours explicites. Ou encore, un présentateur usuel n'est pas une machine modélisée par un algorithme déterminisme. (Cela viendra peut-être, sans grande perte.)

Bien sûr, comme tous les "problèmes" de la vie courante (toujours très complexes), on peut les simplifier avec des hypothèses ad-hoc pour les rendre aisément (ou même trivialement) solvables par les maths (ou la physique mathématique).

On peut voir cela comme remplacer un problème difficile par un autre facile à résoudre. Seulement, il est alors trompeur de dire qu'on aurait résolu le problème difficile !

Et les joueurs ne sont pas des mathématiciens, ils n'ont pas le réflexe de remplacer le problème par un plus simple. Ils vont agir comme des humains. Ne voir que le problème simplifié, et la solution "triviale", n'amène qu'à les prendre, à tort, pour des imbéciles, ou du moins à ne pas les comprendre...

Smullyan disait déjà des choses comme cela en 1993 dans son bouquin de vulgarisation.
Une source exempte de numérologie : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal...148v2/document

[vgondr98]

La règle du jeu dans sa description, peut-elle être énoncée de façon à donner une vision immédiate et juste des hypothèses et de leurs conséquences? c'est mon questionnement.

On peut tenter de reformuler le problème :

Soit un jeu où lors du premier round, vous avez 1/3 de gagner et 2/3 de perdre.

Au deuxième round, vous avez le choix entre deux stratégies :
- la stratégie statut quo (une victoire reste une victoire et une défaite reste une défaite),
- la stratégie changement (une victoire devient une défaite et une défaite devient une victoire).

Quelle est la stratégie à adopter pour maximiser ses chances de gagner ?

[invite7b7f1ad0]

Smullyan disait déjà des choses comme cela en 1993 dans son bouquin de vulgarisation.
Une source exempte de numérologie : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal...148v2/document

Bonjour, ce lien est très explicite et ouvre des voies de réflexions passionnantes , merci, ce post reprends de la hauteur!

En relisant mon cheminement je m’aperçois qu'il faut considérer les variables en tant qu'état et évaluer à chaque moment pour avoir une chronologie exhaustive des combinaisons de telle situation dans telle condition avec tel action.
L'esprit dans le problème de Monty Hall a tendance à régénérer une formulation du problème par l'élimination de la porte ouverte par le présentateur car de toutes façons (100% de réalisation)
Le présentateur ouvrira une porte perdante car il sait qu'elle est perdante.

Hypothèse : le joueur sait que le présentateur sait mais si le joueur devait ouvrir une porte du présentateur (acter la réalisation afférente au présentateur) il sait qu'il serait confronté à deux probabilités: 1 chance sur 2 d'avoir une porte perdante /ou 2 chances /2 d'avoir une porte perdante qui induit intuitivement le calcul ((1+2)/4)/2=0.75/2.