Petit tour de passe-passe à la calculatrice (qui affiche des très grand nombres de préférence)

[stefjm]

Quel est le rapport avec les maths et les définitions de nombre ?

Et moi qui comptait sur vous pour avoir un avis sur cette question.
J'imagine que j'ai votre réponse implicite.

Médiat a expliqué que la notion de nombre est trop vague et donc ne sert à rien en tant que telle (pas de propositions qui commence par "soit x un nombre").
Je me demandais donc si la restriction à l'utilisation de description orienté objet permettait un début de quelque chose d'utile.
En gros, faire émerger de l'intéressant mathématique à partir de description objet.
Définition Mathématique -> Implémentation Informatique objet -> émergence de propriétés intéressantes?

@pm42
Je ne me fais guère d'illusion sur ce sujet vu votre réaction.
Je suis malgré tout intéressé par un développement de votre part.
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[Médiat]

La tentation de transporter le mot "objet" des mathématiques vers l'informatique est naturelle, mais pas très légitime (je rejoins pm42 ici), c'est plus un jeu sur les mots.

Par exemple, peut-on parler d'héritage entre les rationnels et les entiers ? Je dirais non puisque certaines opérations dans Q ne marchent pas dans Z (dans l'autre sens, c'est encore plus évident puisque que tous les rationnels ne sont pas des entiers).

[pm42]

Comme je disais, il n'y aucun rapport : c'est de la pensée par analogie.
Quand à la programmation orientée objet tel que décrite, elle est considéré aujourd'hui comme n'ayant pas tenue ses promesses.
Alors penser qu'elle peut modéliser l'incroyable variété des maths ou même celle des nombres est étonnant pour dire le moins.

[stefjm]

C'est tentant et c'est un exercice qui m'a fait progressé à mon petit niveau d'un coté comme de l'autre.
Quels sont les outils modernes?

[ArchoZaure]

La tentation de transporter le mot "objet" des mathématiques vers l'informatique est naturelle, mais pas très légitime (je rejoins pm42 ici), c'est plus un jeu sur les mots.

Par exemple, peut-on parler d'héritage entre les rationnels et les entiers ? Je dirais non puisque certaines opérations dans Q ne marchent pas dans Z (dans l'autre sens, c'est encore plus évident puisque que tous les rationnels ne sont pas des entiers).

Oui mais personne n'a dit que les relations entre les différents objets mathématiques seraient simple.
Vous voulez dire qu'on ne pourra jamais unifier les objets mathématiques au sein d'un genre d'arbre phylogénétique complexe ?
C'est pourtant à un niveau fondamental ce qui se fait déjà il me semble.
Par exemple.

Hilbert organise ce qui est déjà
Que l'on utilise, plus ou moins explicitement, le nombre 2 dans la définition n'importe pas à Hilbert, car son but est d'organiser un savoir déjà établi, d'en déterminer les concepts fondamentaux et les relations qui les lient, non de créer de toutes pièces une science nouvelle. Il est à noter à ce propos que Hilbert a entrepris l'axiomatisation de théories, mathématiques ou physiques, déjà existantes ; il n'a jamais cherché à créer de nouvelles théories. L. Corry souligne aussi ce point ; il écrit en effet : « Hilbert's own concetpion of axiomatics did not convey or encourage the formulation of abstract axiomatic system: his work was instead directly motivated by the need to better define and understand existing mathematical and scientific theory. »

https://www.normalesup.org/~sage/Ref...lbertExist.pdf

Et n'oublions pas que tous les concepts mathématiques ne sont pas tous aussi aboutis.
Voila ce qu'en disait Hilbert, qui par le va et viens des généralisations/particularisations montre qu'on peut aboutir à des objets qu'il appelle "critiques", les plus aboutis.

55 trois phases : naïve, formelle, critique
Dans un article lu en son nom au Congrès international des mathématiciens tenu à Chicago en 1893,
Hilbert soutenait que toute théorie mathématique se développe en trois stades, le stade naïf, le stade formel et le stade critique. Selon lui, les travaux de Cayley et Sylvester constituent le stade naïf de la théorie des invariants, ceux de Clebsch et Gordan en représentant le stade formel, et son propre travail est le seul représentant du stade critique : « Dans l'histoire d'une théorie mathématique, on peut facilement et clairement distinguer trois périodes de développement : la naïve, la formelle, et la critique. En ce qui concerne la théorie des invariants, les premiers fondateurs eux-mêmes, Cayley et Sylvester, sont ainsi à considérer comme les représentants de la période naïve : en établissant les formes invariantes les plus simples, et en les appliquant avec élégance à la résolution des équations des quatre premiers degrés, ils ont connu la joie immédiate de la première découverte. Ceux qui ont inventé et perfectionné le calcul symbolique, Clebsch et Gordan, sont les représentants de la deuxième période, alors que la période critique trouve son expression dans les propositions notées plus haut […]. »

https://www.normalesup.org/~sage/Ref...lbertExist.pdf

Mais bon on est d'accord que le sujet n'est pas simple.
Même en informatique, la notions d'objet nécessite de se placer dans un cas concret.
Tous les langages objets ne conçoivent pas les objets de la même manière.

[Médiat]

Vous me faites dire des choses que je n'ai jamais dites, la discussion est donc sans intérêt, totalement inutile !

[ArchoZaure]

Vous me faites dire des choses que je n'ai jamais dites, la discussion est donc sans intérêt, totalement inutile !

Oui vous avez raison.
Cette discussion a beaucoup perdu de son intérêt depuis un bon moment déjà.

[Médiat]

Et en plus, vous rejetez la faute sur les autres alors qu'elle est entièrement vôtre, c'est pathétique !

[ArchoZaure]

Et en plus, vous rejetez la faute sur les autres alors qu'elle est entièrement vôtre, c'est pathétique !

C'est étrange de considérer que l’intérêt que l'on porte ou qu'on ne porte pas à quelque-chose puisse être pathétique.

En plus, si vous essayez de faire à minima appel à la logique : C'est forcément de ma faute, comment pourrait-il en être autrement ?
C'est donc une tautologie.
Car lorsqu'on porte intérêt à quelque-chose c'est nécessairement un sentiment personnel...
Je ne sais pas si vous suivez.

Mais on dérive on dérive.
Et comme pour tout vous dire cette conversation ne présente plus aucun intérêt, je ne m'attarderai plus par ici.

[Juzo]

Quand je dis -2, est-ce que je parle de l'entier, du rationnel, du réel, du complexe, du quaternion, du surréel, (et je pourrais continuer) à noter que les propriétés ne sont pas les mêmes (la définition non plus, mais ce terrain est glissant)

Je dirais une intersection de toutes ces catégories (ou ensembles) même si elles désignent des propriétés différentes... en espérant ne pas dire une grosse bêtise.
Un peu comme si je disais "quand je parle du carré est-ce que je parle du rectangle, du losange, du parallélogramme, du quadrilatère etc."

La différence c'est que la phrase "Jules César est mort"
je ne peux pas sûr de quoi je parle car Jules César pourrait être le chien du voisin ou un homonyme encore vivant, auquel cas la phrase serait fausse.

[Médiat]

Non, dans votre exemple avec le carré, vous utilisez, sans le dire, l'axiome de compréhension (ou celui de remplacement), ce que l'on ne sait pas faire avec les "nombres".
Si je dis -2, savez-vous de quoi je parle, êtes-vous d'accord pour que pour tout x : -2*x = x

[Juzo]

Ok, donc je retire.

[stefjm]

La tentation de transporter le mot "objet" des mathématiques vers l'informatique est naturelle, mais pas très légitime (je rejoins pm42 ici), c'est plus un jeu sur les mots.

Par exemple, peut-on parler d'héritage entre les rationnels et les entiers ? Je dirais non puisque certaines opérations dans Q ne marchent pas dans Z (dans l'autre sens, c'est encore plus évident puisque que tous les rationnels ne sont pas des entiers).

Je n'avais pas tant l'impression de jouer sur les mots (ni de faire une analogie grossière).

Je comprend donc qu'il est difficile (voir impossible) de trouver une structure de dérivation (même partiel et modeste) à partir du non-concept mathématique de nombre et que le faire même très partiellement n'a pas d'intérêt.

[Liet Kynes]

Il y a aussi les cas où un nombre dans une formule parait anodin mais il est en fait tout autre chose.J'ai découvert cela dans mes élucubrations sur la conjecture de Syracuse, devant la formule ((3*x)+1)/2 , le 1 est au fil de ma réflexion devenu une interrogation : c'est quoi ce 1 ou plutôt c'est le 1 de quoi ? Je cherchai le nom d'un type de nombre : https://forums.futura-sciences.com/m...un-nombre.html

En grattant et réfléchissant plus j'ai compris que le 1 était le résultat de 3^a-2^a, avec a la valuation 2-adique de x+1, du coup je ne regarde plus les nombres de la même façon.

[Juzo]

Non, dans votre exemple avec le carré, vous utilisez, sans le dire, l'axiome de compréhension (ou celui de remplacement), ce que l'on ne sait pas faire avec les "nombres".
Si je dis -2, savez-vous de quoi je parle, êtes-vous d'accord pour que pour tout x : -2*x = x

PS : je n'explicitais pas l'axiome de compréhension car je pensais à tort qu'il s'appliquait aussi naturellement aux "nombres" et qu'il pouvait donc rester implicite...

Grâce à l'exemple de -2 j'ai clairement compris que je n'ai pas compris (c'est un bon début), je ne suis pas contre une explication de ce qu'est -2 dans ce cas, si ça a un intérêt dans la discussion, sinon je chercherai de mon coté en considérant ça un peu comme une énigme. (pour l'instant j'ai l'impression que c'est quelque chose nommé -2 dans une certain cadre mathématique mais que ce n'est pas vraiment -2)

[Médiat]

Le problème est que l'on ne sait pas donner une définition de "l'ensemble des nombres", contrairement à l'ensemble des quadrilatères qui contient celui des carrés, celui des rectangles etc.

dans est tout bêtement égal à et c'est vraiment

[Juzo]

Ah oui je n'y ai pas pensé. Ce n'est pas le statut du signe égal qui pourrait poser problème dans cette expression ?

[stefjm]

Ça marche aussi avec 4, 7, 10 qui sont tous 1 dans Z/3Z.

[Médiat]

-2 désigne l'opposé de 2 qui est égal à 1

[Liet Kynes]

-2 désigne l'opposé de 2 qui est égal à 1

Ce qui fait que l'on peut dire qu'un nombre est une désignation, reste à définir l'ensemble des manières de désigner.

[Juzo]

Bonsoir,

Quand je dis -2, est-ce que je parle de l'entier, du rationnel, du réel, du complexe, du quaternion, du surréel, (et je pourrais continuer) à noter que les propriétés ne sont pas les mêmes (la définition non plus, mais ce terrain est glissant)

Je dirais une intersection de toutes ces catégories (ou ensembles) même si elles désignent des propriétés différentes... en espérant ne pas dire une grosse bêtise.
Un peu comme si je disais "quand je parle du carré est-ce que je parle du rectangle, du losange, du parallélogramme, du quadrilatère etc."



La différence c'est que la phrase "Jules César est mort"
je ne peux pas sûr de quoi je parle car Jules César pourrait être le chien du voisin ou un homonyme encore vivant, auquel cas la phrase serait fausse.

Le début du livre "Mathématiques d'excellence - Cours pour lycéens très motivés - Niveau Seconde" de Francisco del Rey, Éric Dubon semble confirmer ce que je disais :

En mathématiques, on n’utilise que des phrases qui ne peuvent être que vraies ou fausses, sans ambiguïté. La phrase : « La Loire prend sa source au Mont Gerbier de Jonc » n’est pas une phrase mathématique.
Il faudrait délimiter sans ambiguïté ce qu’est le Mont Gerbier de Jonc et définir ce qu’est une source d’un fleuve. De plus cette phrase suppose l’unicité de la source. Rappelons qu’on considère traditionnellement trois sources pour la Loire : l’authentique, la véritable et . . . l’unique

Ce que vous semblez confirmer plus loin :

]Le problème est que l'on ne sait pas donner une définition de "l'ensemble des nombres", contrairement à l'ensemble des quadrilatères qui contient celui des carrés, celui des rectangles etc.
-2 dans Z/3Z est tout bêtement égal à 1 et c'est vraiment -2

Désolé d'y revenir mais c'est confus pour moi :
Si -2 est vraiment -2, quel est le sens de "Quand je parle de -2, est-ce que je parle de...." dans la première citation ?
Et quel est le rapport avec la définition de l'ensemble des nombres ?

Et si une proposition mathématiques est soit vraie soit fausse (et peut être indécidable), n'est-il pas juste de dire que "-2 est égal à 1" est fausse, et "-2 est égal à 1 dans Z/3Z" est vraie ?

Merci.

[Juzo]

[Edit] je n'avais pas vu que j'avais déjà posté le message désolé. Je garde la fin que j'ai essayé de formuler plus clairement.

Vous dites que -2, qui est égal à 1 dans Z/3Z, est vraiment -2. L'expression "est vraiment -2" semble indiquer que ce -2 qu'il est vraiment, est défini sans ambiguïté.
Quel est alors le sens de "Quand je parle de -2, est-ce que je parle de...." dans la première citation ?
Et quel est le rapport avec la définition de l'ensemble des nombres ?

Et puisqu'une proposition mathématique est soit vraie soit fausse comme on le sait, n'est-il pas juste de dire que "-2 est égal à 1" est fausse, et "-2 est égal à 1 dans Z/3Z" est vraie, si on considère que ce sont deux propositions mathématiques ?
Et que dans ce cas-là l'unicité de -2 est sauvée ?...


Merci et désolé pour la confusion.

[Médiat]

Le -2 de Z/3Z est une écriture légitime qui, clairement, ne désigne pas le même objet que le -2 de Z.
Le rapport avec "l'ensemble des nombres" (qui n'est pas défini), c'est que je ne peux pas donner une définition du genre "-2 est un nombre tel que ..."

La proposition "-2 est égal à 1" n'est pas fausse mais n'a pas de sens puisque l'on y parle de nombres, sans que l'on sache ce qu'est un nombre.

En mathematiques on peut écrire
à la condition que -2 soit un élément de la théorie (soit c'est une constante du langage, comme 0 pour AP, ou une abréviation bien connue, comme 2 = s(s(0)) toujours dans AP)

ou


à la condition que -2 soit un élément de l'ensemble sous-jacent (et aussi si -2 est une constante du langage)


Le "vraiment -2" pèse sur le signe moins utilisé à bon escient

[Juzo]

Ok c'est noté merci. "-2 est égal à 1" ou "-2 n'est pas égal à 1" ne sont pas des propositions mathématiques si je comprends bien.

[Médiat]

Effectivement, puisque l'on ne sait pas de quoi on parle, contrairement aux deux exemples de mon message précédent.

[Liet Kynes]

Et dans le cas des nombres autodescriptifs, on sais les "construire" mais peut-on dire qu'ils sont des nombres pour lesquels on sais de quoi on parle ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_autodescriptif

[Médiat]

La définition dit bien que ce sont des entiers naturels, pas des "nombres"

Est-ce que l'on sait ce que sont les naturels ? La réponse n'est pas spécifique aux nombres

[amineyasmine]

Et dans le cas des nombres autodescriptifs, on sais les "construire" mais peut-on dire qu'ils sont des nombres pour lesquels on sais de quoi on parle ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_autodescriptif

bonjour
un casse-tête pour uniquement casse-tête

[Liet Kynes]

La définition dit bien que ce sont des entiers naturels, pas des "nombres"

Est-ce que l'on sait ce que sont les naturels ? La réponse n'est pas spécifique aux nombres

L'idée c'est que l'axiome de l'infini permet de définir l'ensemble des entiers naturels pas celui des nombres?

[polo974]

L'idée c'est que l'axiome de l'infini permet de définir l'ensemble des entiers naturels pas celui des nombres?

de ce que j'ai compris, "un nombre", c'est équivalent quasiment à "un truc" ou "un machin", donc ça manque un poil de précision...