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casse tête



  1. #1
    ClaudeH

    casse tête


    ------

    Bonjour..

    Voici un casse tête que je soumet à votre sagacité.

    Pierre dit à Paul:
    Tu vois ces 3 personnes qui sont là-bas? Si je te dis que le produit de leurs âges est égal à 2450, peux-tu me donner leur âge?
    - Ben non réponds Paul.
    - Bon d'accord dit Pierre, et si je te dis que la somme de leurs âges est égale au double de ton âge, peux-tu me donner leurs âges?
    - Non, toujours pas dit Paul.!
    - Ok dit Pierre, je te donne encore un indice: Je suis plus âgé que chacun d'eux..
    - Ah, oui, maintenant je peux te donner l'age de chacun d'eux répond Paul.
    Quel est l'age de chacune des trois personnes? Quel est l'age de Pierre et celui de Paul.?

    Amicalement++

    -----

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  3. #2
    juudku

    Re : casse tête

    Pour pas en dire trop, est-ce que Pierre est dans la cinquantaine ?

  4. #3
    Tofix

    Re : casse tête

    salut, j'ai trouvé une solution (d'ailleur conforme à ce que dit juudku), mais je suis pas sûr quelle soit unique...donc...

    Tient, je viens de trouver une seconde solution...non conforme au résultat de juudku.

    PS: je précise que je ne suis pas matheu...
    Dernière modification par Tofix ; 26/08/2006 à 13h55. Motif: 2ème solution..

  5. #4
    fderwelt

    Re : casse tête

    Bonjour,

    Beuh... j'ai deux solutions, toutes les deux plausibles! Et même, si on a les trois âges, on connaît celui de Paul, mais pour celui de Pierre???

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Hari Seldon

    Re : casse tête

    j'ai une réponse totalement experimentale,mais elle marche(bien que pas trop plausible, mais bon)
    dès trois personnes, deux ont 1 an, et le troisieme en a 2450.
    Paul a donc (2450+1+1)/2=1226 ans.
    Quand a Pierre, il a très exactement 142857 années et 3 secondes.

  8. #6
    amine2684

    Re : casse tête

    Citation Envoyé par Hari Seldon Voir le message
    j'ai une réponse totalement experimentale,mais elle marche(bien que pas trop plausible, mais bon)
    dès trois personnes, deux ont 1 an, et le troisieme en a 2450.
    Paul a donc (2450+1+1)/2=1226 ans.
    Quand a Pierre, il a très exactement 142857 années et 3 secondes.
    dis donc ils vivent lo,gtemps ces personnes

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  10. #7
    Tofix

    Re : casse tête

    Allez! j'en suis a 5 réponses possibles...

  11. #8
    Tofix

    Re : casse tête

    oups!...
    Dernière modification par Tofix ; 26/08/2006 à 23h05. Motif: ;-)

  12. #9
    Tofix

    Re : casse tête

    Citation Envoyé par amine2684 Voir le message
    dis donc ils vivent lo,gtemps ces personnes
    c'est une solution, mais pas trés plausible en effet

  13. #10
    SunnySky

    Re : casse tête

    C'est peut-être moi qui manque de sagacité, mais j'ai l'impression que l'énoncé est incomplet... Comment peut-on trouver l'âge de Pierre (ici, la majuscule est importante...) en ne sachant qu'une chose: qu'il est le plus vieux?
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  14. #11
    juudku

    Re : casse tête

    Citation Envoyé par SunnySky Voir le message
    C'est peut-être moi qui manque de sagacité, mais j'ai l'impression que l'énoncé est incomplet... Comment peut-on trouver l'âge de Pierre (ici, la majuscule est importante...) en ne sachant qu'une chose: qu'il est le plus vieux?
    Je crois l'avoir trouvé, mais maintenant vous me faites douter: Pierre est le plus vieux, ok, mais il faut qu'il le soit juste assez pour éliminer les mauvaises solutions. Dans l'énoncé c'est pas dit, mais Paul doit connaître l'âge de Pierre.

  15. #12
    fderwelt

    Re : casse tête

    Citation Envoyé par juudku Voir le message
    Pierre est le plus vieux, ok, mais il faut qu'il le soit juste assez pour éliminer les mauvaises solutions. Dans l'énoncé c'est pas dit, mais Paul doit connaître l'âge de Pierre.
    Bonjour,

    Aaahhh oué oué oué... Vu comme ça, ça me permet d'éliminer une de mes deux solutions sans ambiguïté.

    Et le fait que Paul soit en mesure de répondre après le troisième indice (et pas avant) implique qu'il connaît l'âge de Pierre, même si ce n'est pas dit dans l'énoncé.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

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  17. #13
    Tofix

    Re : casse tête

    Citation Envoyé par fderwelt Voir le message
    Bonjour,

    Aaahhh oué oué oué... Vu comme ça, ça me permet d'éliminer une de mes deux solutions sans ambiguïté.

    Et le fait que Paul soit en mesure de répondre après le troisième indice (et pas avant) implique qu'il connaît l'âge de Pierre, même si ce n'est pas dit dans l'énoncé.

    -- françois
    Euh..connaitre l'age de Pierre ne va pas te donner une solution...Dans les cinqs solutions que j'ai trouvé (je me suis arretté là), il m'est toujours impossible de déterminer avec précision l'age de Pierre...

    Je vous donne un exemple quand vous voulez

    Par contre savoir l'age de Paul est un bon indice ...

  18. #14
    fderwelt

    Re : casse tête

    Citation Envoyé par Tofix Voir le message
    Euh..connaitre l'age de Pierre ne va pas te donner une solution...Dans les cinqs solutions que j'ai trouvé (je me suis arretté là), il m'est toujours impossible de déterminer avec précision l'age de Pierre...
    Bonjour,

    Si tu as cinq solutions, c'est sûr... Mais si tu n'en as que deux comme moi, alors tout s'éclaire (surtout si cesont les mêmes que les miennes).

    J'aimerais savoir comment tu fais pour avoir autant de solution? Les miennes (ceux qui ne veulent pas tricher ne sont pas obligés!) :

    (2,25,49) et (7,5,50) => Pierre a 50 ans, Paul en a 32, et la première soluce est la bonne.

    Voilà voilà.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  19. #15
    SunnySky

    Re : casse tête

    Je comprends que le dernier indice nous indique que, de toutes les solutions permises par les indices précédents, il faut conserver celle qui contient l'aîné le plus jeune. Bon. Mais ensuite, comment trouver l'âge de Pierre? 1 an de plus que le plus vieux des 3 personnages? 4 ans de plus?
    Le monde se divise en 10 : ceux qui connaissent le code binaire et ceux qui ne le connaissent pas.

  20. #16
    Tofix

    Re : casse tête

    Ok, j'espère ne m'être pas trompé, voilà comment je procède: (excusez le vocabulaire employé, je ne suis pas matheux

    Définitions des variables:

    a1,a2,a3 = age des 3 personnes
    Pl = age de Paul
    Pr = age de Pierre

    L'énoncé nous donne :

    (1) a1xa2xa3=2450
    (2) a1+a2+a3= 2Pl
    (3) a1;a2;a3 < Pr

    Je commence par décomposer en facteur premier (1) :
    2450 = 2 x 5 x 5 x 7 x 7 x 1 (le 1 rajoute encore un peu de piment, mais n'est pas vraiment utile .

    Je "combine" ces facteurs de tel sorte qu'il me donnent 3 ages (ceux de a1;a2;a3), par exemple: (il y en a d'autre)
    a1= 2x7=14
    a2= 5x5=25
    a3= 7x1=7

    Pierre à donc plus de 25 ans.

    Et Paul:
    (2) nous donne 2Pl = 46 => Pl=23 ans

    Voilà

    J'espère ne pas avoir fait d'erreur dans mon raisonnement, sinon j'ai trouvé entre autre pour l'age de Paul : 36;32;76;26 ...

  21. #17
    Tofix

    Re : casse tête

    Le 1 est utile dans ce cas :

    a1=49 ans
    a2=50 ans
    a3=1 an

    Pierre a plus de 50 ans et Paul a 50 ans.

    Et de six!

  22. #18
    fderwelt

    Re : casse tête

    Rebonjour Tofix,

    &#0201;videmment en procédant par tâtonnements on n'y arrive pas... Voilà comment je fais:

    2450 = 2 x 5² x 7²

    et il faut répartir les cinq facteurs {2, 5, 5, 7, 7} en trois groupes (éventuellement vides). Ce qui peut se faire de l'une des manières suivantes:

    5 = 0 + 0 + 5 => 1 possibilité
    5 = 0 + 1 + 4 => 3 possibilités
    5 = 0 + 2 + 3 => 5 possibilités
    5 = 1 + 1 + 3 => 5 possibilités
    5 = 1 + 2 + 2 => 6 possibilités

    et pour chacune des possibilités de construire les "sous-ensembles" correspondants. Par exemple un groupe de 2 facteurs peut être {25}, {27}, {55}, {57} ou {77}. Et ainsi de suite.

    Après il faut trouver des solutions telles que la somme soit ambiguë, et là jen'ai que celles que je donne. Le troisième indice permet de lever l'ambiguïté.

    Et hop.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

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  24. #19
    Tofix

    Re : casse tête

    Citation Envoyé par fderwelt Voir le message
    Rebonjour Tofix,

    Évidemment en procédant par tâtonnements on n'y arrive pas... Voilà comment je fais:

    2450 = 2 x 5² x 7²

    et il faut répartir les cinq facteurs {2, 5, 5, 7, 7} en trois groupes (éventuellement vides). Ce qui peut se faire de l'une des manières suivantes:

    5 = 0 + 0 + 5 => 1 possibilité
    5 = 0 + 1 + 4 => 3 possibilités
    5 = 0 + 2 + 3 => 5 possibilités
    5 = 1 + 1 + 3 => 5 possibilités
    5 = 1 + 2 + 2 => 6 possibilités

    et pour chacune des possibilités de construire les "sous-ensembles" correspondants. Par exemple un groupe de 2 facteurs peut être {25}, {27}, {55}, {57} ou {77}. Et ainsi de suite.

    Après il faut trouver des solutions telles que la somme soit ambiguë, et là jen'ai que celles que je donne. Le troisième indice permet de lever l'ambiguïté.

    Et hop.

    -- françois

    J'ai un peu de mal a comprendre ton raisonnement, quand tu dit "...Par exemple un groupe de 2 facteurs..", pourquoi pas un groupe de 3 facteurs (rien ne nous l'interdit) comme dans ma derniere solution (avec a3=1an) où : a2= 5x5x2.

    Là, ça m'interresse comme raisonnement mais tu peux m'expliquer d'où ça sort, je comprend pas :

    5 = 0 + 0 + 5 => 1 possibilité
    5 = 0 + 1 + 4 => 3 possibilités
    5 = 0 + 2 + 3 => 5 possibilités
    5 = 1 + 1 + 3 => 5 possibilités
    5 = 1 + 2 + 2 => 6 possibilités

    J'ai dû raté quelques chose.

    Je t'en donne une autre histoire que tu vois qu'il y en a plus que deux ( tu peut vérifier) :

    a1=25
    a2=49
    a3=2

    Pierre à plus de 49 ans et Paul à 38 ans.

    Cordialement.

    Ps: dans mon premier post de solutions, à la fin , l'age de Paul=76 ans est faux c'est 2 fois l'age de Paul=76 donc 38ans. Mais bon mon raisonnement marche ou pas?

  25. #20
    Tofix

    Re : casse tête

    Je crois comprendre t'a démarche (t'es mathématicien toi ). En fait pour chaque facteur tu cherche la probabilité d'une (ou plusieures) solutions. Mais ce raisonnement ne te donne pas les solutions du problème, juste le nombre de solutions possibles (si j'ai bien tout compris) .

    Je pense que néanmoins qu'il est complémentaire au mien dans ce cas , nous permetant de chercher toutes les solution possibles sans en oublier aucune .

    C'est ça où j'ai tout faux?

  26. #21
    fderwelt

    Re : casse tête

    Rebonjour Tofix,

    J'ai voulu faire bref, et du coup je n'ai pas été clair. On a bien cinq facteurs (une fois 2, deux fois 5, et deux fois 7) à répartir en trois groupes A, B, C, éventuellement vides. L'âge correspondant est le produit des éléments du groupe, donc 1 si le groupe est vide.

    Quand j'écris"5= 0+0+5", ça veut dire que les cinq facteurs peuvent être répartis en deux groupes vides, et un groupe à 5 éléments -- la seule possibilité pour les âges est (1,1,2.5².7²=2450).

    Pour "5=0+2+3", le groupe A est vide (l'âge correspondant est 1), le groupe de deux éléments peut être {25}, {27}, {55}, {57} ou {77}, et le groupe de 3 éléments est alors forcément ce qui reste, soit respectivement {577}, {557}, {277}, {257} et {255}. Ce qui donne pour les âges (1,10,245), (1,14,17), (1,25,98), (1,35,70) et (1,49,50).

    Et ainsi de suite pour les autres cas. Le procédé est parfaitement exhaustif (bien que fastidieux) mais il permet de ne pas oublier de possibilité. Et de ne pas se préoccuper des doublons obtenus par permutation.

    En procédant comme ça tu verras que les seules possibilités qui donnent la même somme (et donc ne permettent pas à Paul de répondre après le deuxième indice) sont celles que j'ai données. Ensuite le troisième indice permet de trancher. Pas de probabilités dans tout ça, seulement une manière systématique d'explorer toutes les possibilités.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  27. #22
    Tofix

    Re : casse tête

    Ok merci, laisse moi un peu de temps pour digérer , je vais analyser ça a tête reposée et je reviens.

  28. #23
    juudku

    Re : casse tête

    Citation Envoyé par Tofix Voir le message
    (...)

    Pierre à donc plus de 25 ans.

    Et Paul:
    (2) nous donne 2Pl = 46 => Pl=23 ans

    Voilà

    J'espère ne pas avoir fait d'erreur dans mon raisonnement, sinon j'ai trouvé entre autre pour l'age de Paul : 36;32;76;26 ...
    Citation Envoyé par Tofix Voir le message
    Le 1 est utile dans ce cas :

    a1=49 ans
    a2=50 ans
    a3=1 an

    Pierre a plus de 50 ans et Paul a 50 ans.

    Et de six!
    Si on résume tes 6 réponses, Paul a (au choix) : 23, 26, 32, 36, 50 ou 76 ans.

    Seulement quand Pierre dit que la somme des trois âges est égale au double de l'âge de Paul, on suppose (on est même sûr) que Paul connaît son âge. Alors il faut trouver plusieurs combinaisons qui donnent la même somme... la solution sera une de ces combinaisons puisque Paul n'a pas su répondre après le deuxième indice.

    D'ailleurs, si Paul aurait répondu après le deuxième indice, le problème serait impossible.

  29. #24
    Tofix

    Re : casse tête

    Ok, merci a tout les deux, j'ai compris, en fait je n'avais pas pris en compte le fait qu'à la 2ème "définition" Paul ne pouvant répondre (et connaissant son propre age ) signifie qu'il bute sur au moins deux posibilitées.

    fderwelt, en suivant ta méthode exaustive ( que j'ai parfaitement compris, c'était plus clair, merci ) et en écartant arbitrairement, durant le calcul, les ages irréalistes j'arrive à 12 résultats possibles .
    Donnant pour l'age de Paul (62;50;53;32;41;54;38;36;32;27;26;23).

    Mais...en tenant compte de la remarque précédante, il ne me reste plus que deux solutions possibles (celle soulignées). C'est ça?




    PS:Inutile de rebondir là dessus:
    Si on résume tes 6 réponses, Paul a (au choix) : 23, 26, 32, 36, 50 ou 76 ans.
    En fait le 76 ans est faux, c'est 76/2=38, une simple erreur de calcul comme je l'ai dit dans un post précédant.
    Dernière modification par Tofix ; 27/08/2006 à 22h45.

  30. Publicité
  31. #25
    Tofix

    Re : casse tête

    On sait maintenant que Paul connait "l'age de Pierre" ( ). Comme Paul à fini par trouver la solution, c'est qu'il ne reste qu'un choix possible :

    groupe d'age= (5;10;49)
    age de Paul= 32
    age de Pierre=50
    Dernière modification par Tofix ; 27/08/2006 à 22h54. Motif: réctif

  32. #26
    fderwelt

    Re : casse tête

    Citation Envoyé par Tofix Voir le message
    On sait maintenant que Paul connait "l'age de Pierre" ( ). Comme Paul à fini par trouver la solution, c'est qu'il ne reste qu'un choix possible :

    groupe d'age= (5;10;49)
    age de Paul= 32
    age de Pierre=50
    Bonjour,

    Voilà ! Le plus difficile dans ce genre de problème n'est pas tellement d'énumérer les possibilités, mais de correctement interpréter et exploiter tous les indices -- dans ce cas, le fait que l'âge de Pierre suffise à lever l'ambiguïté était particulièrement pas évident (enfin, moi j'ai trouvé... )

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  33. #27
    ClaudeH

    Re : casse tête

    Citation Envoyé par Tofix Voir le message

    groupe d'age= (5;10;49)
    age de Paul= 32
    age de Pierre=50
    Bonjour
    Excellente déduction.

    Mais je chippote un peu.
    Je trouve deux combinaisons (5,10,49) et (7,7,50) dont la somme de chaque combinaison est 64. Donc paul a 32 ans.
    Mais quand Pierre dit: je suis plus agé que chacun d'eux, j'élimine la deuxième combinaison à savoir (7,7,50).
    Donc Pierre a plus 49 ans et moins de 50 ans.
    Ais-je raison ?

    Cordialement.

  34. #28
    fderwelt

    Re : casse tête

    Citation Envoyé par ClaudeH Voir le message
    Mais quand Pierre dit: je suis plus agé que chacun d'eux, j'élimine la deuxième combinaison à savoir (7,7,50). Donc Pierre a plus 49 ans et moins de 50 ans.
    Bonjour,

    Tout d'abord, dans ce genre de problèmes, on compte habituellement en nombres entiers, sinon il suffirait d'une heure de différence... et je ne connais pas l'âge de mes propres sœurs (ni même celui de mes parents, ni même le mien quand j'y pense) à l'heure près. Alors celui des copains...

    Même comme ça, dans ce cas précis, il est clair que "plus âgé" doit se comprendre comme "plus ou aussi âgé", ce qui permet d'éliminer la solution (7,7,50). Le fait que Paul puisse répondre confirme que cette interprétation est nécessaire (sinon l'énoncé n'a aucun sens).

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  35. #29
    Tofix

    Smile Re : casse tête

    Merci a tous, je me suis bien amusé .

    Et puis ça fait du bien de se décrasser un peu les neurones.

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