énergie cinétique de l'univers

[inviteae1bc328]

Bonsoir,
Voici l'énoncé d'un exercice sur l'expansion de l'univers:

On prend comme modèle de l'Univers une sphère homogène ∑ de rayon R et de masse volumique ρ ; on note M la masse totale de ∑.



Dans un exercice précédent, indépendant, on définissait la constante d'Hubble par : (voir image de droite ci-dessus)

a) Exprimer en fonction de ρ, H, r et dr l'énergie cinétique d'une couche d'Univers comprise entre les rayons r et r+dr
b) En déduire l'énergie cinétique totale de l'Univers

Pour la question a) j'ai utilisé le fait que Ec=(mv²)/2 mais est-ce que et ? et est-ce cette formule là qu'il faut utiliser?
avec la masse de la couche comprise entre r et r+dr je trouve
est-ce que c'est correct?
ensuite pour la question b, je suppose qu'il faut intégrer de 0 à R, et passer à la limite lorsque dr tend vers 0, mais le dr est-il considéré comme un réel fixé? si oui, en intégrant on se trouve avec un dr² qui peut se mettre en dehors de l'intégrale, et du coup si dr tend vers 0 je me retrouve avec une énergie cinétique totale de 0, car j'ai alors que si j'ai pas le dr² après le H² et que dr tend vers 0 ça donnerait ce qui me semble plus plausible
mais en fait je ne crois pas que le dr soit considéré comme un réel, même assez petit, mais comme la dérivée de r, et je n'arrive pas à trouver la primitive de ou de

quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plaît? me dire où j'ai fait une erreur (ou même plusieurs )

merci
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[invite80fcb52e]

Non la première réponse est fausse.

Tu as une couche entre r et r+dr mais la couche va à la vitesse Vr=H.r. Voilà pour la vitesse, ensuite pour la masse tu dis que c'est masse volumique fois le volume, et le volume c'est pi.r².dr. Tu obtiens donc l'énergie cinétique dE. Après t'intègres sur r pour avoir sur tout l'univers!!

[invite80fcb52e]

Pardon c'est 4pi.r².dr pour le volume!

[inviteae1bc328]

Merci, avec ton aide je trouve et en intégrant : (c'est déjà beaucoup plus simple à intégrer )
Mais je ne vois pas pourquoi le volume est égal à , ça ressemble à la formule de la surface d'une sphère de rayon r mais avec un dr en plus. C'est une approximation parce qu'on considère dr très petit? J'ai vérifié avec quelques valeurs, c'est vrai que c'est très proche de si dr est petit.
voila mon raisonnement : et si dr très petit alors est négligeable face à , d'où le résultat, est-ce cohérent?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite80fcb52e]

Exactement, quand tu gardes les termes du premier ordre en dr tu obtiens la même chose. Tu peux aussi voir ça comme la surface d'une sphère de rayon r multiplié par la hauteur de la couche dr, c'est plus rapide comme ça!

Tu peux aussi prendre l'élément de volume d'une sphère:



Et tu intègres sur théta et phi pour avoir le volume d'une couche d'épaisseur dr. Ce qui redonne la même chose évidemment.

[inviteae1bc328]

Ok d'accord, merci beaucoup =)
J'ai regardé un peu sur internet la méthode à faire pour les intégrations multiples, si j'ai bien compris on a (comme on intègre sur de 0 à pi et sur de 0 à 2pi, et pas sur r):


mais est-ce qu'on peut écrire

et trouver les primitives séparément et faire le produit des deux? ici ça marche mais je ne sais pas si on peut faire ça en général

Merci pour ton aide

[invite80fcb52e]

et trouver les primitives séparément et faire le produit des deux? ici ça marche mais je ne sais pas si on peut faire ça en général

Merci pour ton aide

Si tu peux séparer les variables oui! Si t'avais par exemple sin(theta+phi) là tu pourrais pas car tu peux pas séparer en produit d'une fonction de theta et d'une fonction de phi!

[inviteae1bc328]

ok =)
merci pour tout
++