relativité et matière noire

[Zefram Cochrane]

Ok !

avec



->

Mais je comprends toujours pas pourquoi dr' = dr ?
-----

[Mailou75]

Salut,

Comme quoi, fallait pas faire avec!

Ben j'ai quand même du mal à comprendre comment, dans le schéma du mess #293,
la partie émergée de l'iceberg (au dessus de Rs) peut être juste et la partie immergée (sous Rs) fausse ?
Alors que les courbes sont données par les formules de Gloubi, a priori justes pour le cas qui nous intéresse (purement radial) ?

Je veux pas chipoter, mais une étoile à neutron de 1 masse solaire, selon ce que l'on sait, ça n'existe pas!(1.4 Ms au minimum cf. masse de Chandrasekhar)

Trop tard c'est fait tu prends le deuxième exemple dans ce cas, qui correspond tjrs au schéma:
M=2Mo Rs=6km Rayon=12km Ro=24km Rmax=48km et donc T~0,00116s !

[invite60be3959]

Ben j'ai quand même du mal à comprendre comment, dans le schéma du mess #293,
la partie émergée de l'iceberg (au dessus de Rs) peut être juste et la partie immergée (sous Rs) fausse ?
Alors que les courbes sont données par les formules de Gloubi, a priori justes pour le cas qui nous intéresse (purement radial) ?

La métrique de Schwarschild(MS) décrit l'espace-temps uniquement au-delà de Rs(R>Rs), par construction. Pas question ici de prétendre faire de la physique "inner Rs" !! Les formules de Gloubi sont issues d'un calcul classique, qui elles-mêmes ne prétendent pas décrire une quelconque physique relativiste. Si l'on obtient une vitesse propre qui coïncide avec la vitesse classique, cela est uniquement dû au caractère particulier de la trajectoire radiale(et encore il ne s'agit que de la vitesse), mais toujours dans un cadre général imposé par la MS(R>Rs). Pour prolonger la MS sous Rs, il faut changer de système de coordonnées, et là c'est une autre histoire!

[invite60be3959]

Mais je comprends toujours pas pourquoi dr' = dr ?

Je n'ai jamais dit ça! C'est toi qui l'interprète de cette facon en pensant encore trop RR. J'ai expliqué que par comparaison avec la RR, on constate que la "bonne" vitesse est dr/dtau en RG et non dr'/dtau. Cela n'implique pas du tout que dr=dr'. Pour tout de même aller dans ton sens afin que tu saisisses mieux l'histoire, on peut voir les choses de cette façon : tout se passe comme si, dtau qui contient les modifications d'espace et de temps, "agissait" sur dr pour le transformer en dr' ! dtau s'applique à lui-même les modifs de temps, et applique à dr les modifs d'espace. (mettez une douzaine de guillemets par mots!).

[Mailou75]

J'ai donc choisit comme 2ème exemple une étoile à neutron typique! Masse = 1.4 M_S, où M_S est la masse du Soleil, et d'un rayon de 15 km. L'objet est laché sans vitesse initiale à Ro = 1000 km(altitude 985 km), et sa position finale est la "surface" de l'étoile R=15 km. On trouve :

*PC

avec une vitesse moyenne de chute de 12000 km/s

*RG

avec une vitesse moyenne de chute de 39000 km/s

J'ai essayé de refaire ce calcul et je tombe effectivement sur 81ms...
Comment passe-t-on au calcul relativiste, c'est chaud ?
Est-ce seulement du point du vue de l'obs à l'infini que les choses changent ou les chiffres sont réellement faux ?

Pas question ici de prétendre faire de la physique "inner Rs" !! Les formules de Gloubi sont issues d'un calcul classique, qui elles-mêmes ne prétendent pas décrire une quelconque physique relativiste. Si l'on obtient une vitesse propre qui coïncide avec la vitesse classique, cela est uniquement dû au caractère particulier de la trajectoire radiale(et encore il ne s'agit que de la vitesse)

En fait en la prolongation des courbes sous Rs contenue dans le calcul classique
est "coupée" aux limites de la relativité (Rs, c) mais inchangée, c'est ça que je trouve étrange !
On se rend compte que les formules des prolongements sont simplement les formules d'origine définies au delà de c:
et
Comment peut on savoir qu'elles n'existent pas réellement au delà de Rs et de c?
Entre 0 et Rs la Vlib passe de l'infini à c
Entre Rs et 1,5Rs la Vorb passe de l'infini à c

Merci

[Zefram Cochrane]

Bonjour,


Je comprends tout à fait que tu te poses des questions à ce sujet. Cela vient du fait que tu penses encore trop "relativité restreinte". On constate en RR que la métrique de Minkowski ne contient que la dilatation du temps :



Si l'on veut obtenir la "vitesse propre" , il faut alors rajouter à la main la contraction des longueurs . Au final, avec les mêmes notations que dans ce fil, on obtient :



En RG, la situation est toute autre puisque la métrique (et donc )contient à la fois, la "dilatation du temps" et la "contraction des longueur"(à travers les facteurs de dt² et de dr²). Ce serait alors une erreur de ré-injecter à la main la contraction des longueurs dans la vitesse. On peut montrer qu'on élimine celle du temps en faisant cela.
Pour preuve, on obtient une relation tout à fait équivalente à celle de RR, ici (Pour Rmax-> +oo):





L'équivalent de en RG étant .

Je n'ai jamais dit ça! C'est toi qui l'interprète de cette facon en pensant encore trop RR. J'ai expliqué que par comparaison avec la RR, on constate que la "bonne" vitesse est dr/dtau en RG et non dr'/dtau. Cela n'implique pas du tout que dr=dr'. Pour tout de même aller dans ton sens afin que tu saisisses mieux l'histoire, on peut voir les choses de cette façon : tout se passe comme si, dtau qui contient les modifications d'espace et de temps, "agissait" sur dr pour le transformer en dr' ! dtau s'applique à lui-même les modifs de temps, et applique à dr les modifs d'espace. (mettez une douzaine de guillemets par mots!).

Bonjour,
Je commence à entrevoir à présent pourquoi on ne rajoute pas à la main quelque chose comme

si Vl correspond à la vitesse propre de l'observateur mobile j'ai deux questions :
Si dr' est différent de dr, ce qui me paraît normal : à quoi est égal dr'?
à quoi correspond la vitesse

Cordialement,
Zefram

[invite60be3959]

Si dr' est différent de dr, ce qui me paraît normal : à quoi est égal dr'?
à quoi correspond la vitesse

Je te laisse répondre à ces questions seul, c'est un très bon exercice!

Sinon j'ai fait quelques recherches sur le net afin de vérifier si on était dans le vrai et effectivement c'est le cas. Dans ce lien, on trouve la vitesse dr/dtau(formule 6a), et dr/dt(6b), ainsi que les expressions analytiques des "temps de vol", dans celui-ci, l'accélération dv/dt.(page 132)

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

Est- ce que les 7a et 7b ne correspondraient elle pas aux fameuses équations que nous cherchions?

Je veux bien un peu d'aide pour dr' dans ce sens que je cherche un point de départ comme nous l'avions fait initialement pour (cdtau)^2

Il est trop facile en RG de partir sur des considérations de base erronnées.

Cordialement,
Zefram

[invite60be3959]

Bonjour,

Est- ce que les 7a et 7b ne correspondraient elle pas aux fameuses équations que nous cherchions?

Tu veux dire que "tu cherchais"! Dès le message #208 les calculs étaient faits(primitive de 1/voo). Il n'y avait qu'à imposer que les fonctions présentes soient définies et calculer la différence primitive(Ro) -primitive(r), pour obtenir l'expression analytique finale. Mais je préfères de loin les expressions intégrales des temps de vol, qui font mieux apparaître la physique mise en jeu :





Ce qui permet de tracer des courbes tout de même. On injecte directement dans l'expression de la courbe à tracer, les intégrales précédentes. Cela évite de passer par les expressions analytiques lourdes à écrire(et sans intérêt physique).

Je veux bien un peu d'aide pour dr' dans ce sens que je cherche un point de départ comme nous l'avions fait initialement pour (cdtau)^2

Il est trop facile en RG de partir sur des considérations de base erronnées.

On a

[Mailou75]

Ce qui permet de tracer des courbes tout de même.

Ah bon?

Si vous me filez une fonction du type y=f(x) je veux bien vous la faire mais ça c'est du mandarin pour moi
Et éventuellement la fonction dont l'intégrale est la surface entre l'axe des x et la courbe, pour la cohérence...

[Zefram Cochrane]

Tu veux dire que "tu cherchais"! Dès le message #208 les calculs étaient faits(primitive de 1/voo). Il n'y avait qu'à imposer que les fonctions présentes soient définies et calculer la différence primitive(Ro) -primitive(r), pour obtenir l'expression analytique finale. Mais je préfères de loin les expressions intégrales des temps de vol, qui font mieux apparaître la physique mise en jeu :





Ce qui permet de tracer des courbes tout de même. On injecte directement dans l'expression de la courbe à tracer, les intégrales précédentes. Cela évite de passer par les expressions analytiques lourdes à écrire(et sans intérêt physique).

Je ne te donne pas tord.
juste une question pour notre ami Mailou : pour Xs c'est égal à ?

On a

je suis étonné de la forme de l'équation, je pensais que cela correspondait au dr' pour l'observateur fixe en r, pas pour l'observateur mobile?

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

juste une question pour notre ami Mailou : pour Xs c'est égal à ?

Oui c'est écrit au début de la page 4

Mais d'une part j'ai fait des essais numériques et quelle que soit la formule (7a ou 7b) aucune ne donne ceci :

J'ai donc choisit comme 2ème exemple une étoile à neutron typique! Masse = 1.4 M_S, où M_S est la masse du Soleil, et d'un rayon de 15 km. L'objet est laché sans vitesse initiale à Ro = 1000 km(altitude 985 km), et sa position finale est la "surface" de l'étoile R=15 km. On trouve :
*RG

avec une vitesse moyenne de chute de 39000 km/s

D'autre part je trouve au mieux un résultat (durée de la chute depuis ro) mais en aucun cas une courbe

Dommage...

[invite60be3959]

Salut,

Oui c'est écrit au début de la page 4

Mais d'une part j'ai fait des essais numériques et quelle que soit la formule (7a ou 7b) aucune ne donne ceci :

Bon après relecture l'article n'est pas terrible! En tous cas peu utilisable puisque l'étude est qualitative et non-quantitative. Déjà ils posent c=1, donc il manque un facteur 1/c dans les expression des intervalles de temps, et ils se passent allègrement des constantes qui ne modifient pas le comportement des résultats en fonction de r. DONC, pour que Mailou puisse nous tracer de belles courbes(!), je me suis atteler à obtenir les expressions analytiques des temps de vol recherchés. Pour , pas de problème, ça se fait sans trop de difficultés. On obtient :



où est l'apogée(montée) ou la position de "larguage"(descente). Cette formule n'a de sens QUE pour , puisque en dessous de Rs la vitesse associée à ce temps de vol, dépasse c. Et de toute façon, en coordonnées de Schwarschild, tout ce qui se passe en dessous de Rs n'a pas beaucoup de sens. Pour avoir droit de le faire, il faudrait passer en coordonnées de Kruskal. Donc non!(en tous cas pas dans l'immédiat).

Par contre pour , là ça se complique sérieusement! L'expression initiale est tellement longue que je ne garantis pas du tout l'exactitude de l'expression finale!(je ne suis même pas sûr des signes). On "trouve"(toute détection d'éventuelles erreurs sera la bien venue!) :



argth(x) est la fonction réciproque de th(x), définie elle-même comme le rapport sh(x)/ch(x). Il en existe une autre écriture :

D'autre part je trouve au mieux un résultat (durée de la chute depuis ro) mais en aucun cas une courbe

Là c'est pas de la faute des formules! Si t'as pas eu de courbes, c'est que t'as pas laisser de variables. (à moins que ton logiciel de tracé a bu la tasse!)

[Mailou75]

Salut,

DONC, pour que Mailou puisse nous tracer de belles courbes(!), je me suis attelé à obtenir les expressions analytiques des temps de vol recherchés.

Merci, c'est pas que j'y tienne mais avec les courbes j'arrive à "sentir" un peu plus ce qui se passe, alors que les formules restent muettes... pour moi

Pour avoir droit de le faire, il faudrait passer en coordonnées de Kruskal. Donc non!(en tous cas pas dans l'immédiat).

En effet on a eu un aperçu dans ton lien... ça a l'air complexe.
De loin ça ressemble à du Schwarzschild, lumière et "limites" à 45°, des courbes 1/x pour l'horizon et "r fixe" (espace?)...mais de loin

Joli !!

Là c'est pas de la faute des formules! Si t'as pas eu de courbes, c'est que t'as pas laisser de variables. (à moins que ton logiciel de tracé ait bu la tasse!)

Y'a pas de logiciel, c'est numérique mais c'est du manuel
Mais en effet il existerait une courbe : dt (ou d) en fonction de r pour Ro fixé par exemple

Est ce que une des deux formules donne le résultat que tu avais donné (cité au message 312) ?
Il me faudrait juste un exemple d'application numérique qui marche sinon je peux tracer n'imp... si par exemple un signe est faux

Merci

[invite60be3959]

Est ce que une des deux formules donne le résultat que tu avais donné (cité au message 312) ?
Il me faudrait juste un exemple d'application numérique qui marche sinon je peux tracer n'imp... si par exemple un signe est faux

Merci

Oui j'ai tout de même vérifié la cohérence du dans le cas de l'étoile à neutron(R=15km, Rs=4150m, Ro=1000km, M=1.4Ms). On trouve bien un temps de chute(ou de montée) de 81ms. Je l'ai fait aussi pour , mais il semblerait que mon logiciel(Maxima) ait fait une indigestion!! Du coup, c'est vrai que j'aimerais bien un petit coup de main de ta part, notamment pour voir si,dans un premier temps, on obtient bien la valeur de 26ms pour les mêmes paramètres stellaires. Par comparaison avec , le facteur de pi/2 devrait être positif. Il faudrait donc essayer aussi avec un - devant le (Ro+2Rs) concerné(puisqu'il y a un - devant toute l'expression(- par -, + !)). Par comparaison avec le reste de la formule(de delta t), les signes de -2Rs² et de (Ro+2Rs) doivent être opposés. Donc, en même temps que l'on met un - devant (Ro+2Rs)(facteur de pi/2) il faut transformer -2Rs² en +2Rs². Bon je sais que ça fait un peu tambouille, mais Mathematica(Wolfram Alpha sur le net) fait des siennes comme d'hab', même avec un "assuming" qui impose les signes et les ordres des différents paramètres(j'ai p'têtre mal tapé le truc, je sais pas).

à mon tour d'écrire Merci d'avance!

p.s : tu peux essayer aussi Zefram, un autre avis ne sera pas de trop!

[Zefram Cochrane]

Bonjour vous deux,
j'ai essayé avec Calc
pour , pas de problème je crois, je trouve : 0,0816318975068702 en secondes

pour Delta t en revanche j'ai qui passe mal :

Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Salut à vous,

Je tombe sur la même chose que Zef

La première formule dT marche impeccable, elle donne les mêmes résultat que celle de Gloubi (forcément c'est la même formule de vitesse)
Mais là ou celle de Gloubi demande une approximation sur les angles de paramétrage pour fixer r, celle de Vaincent est d'une précision diabolique
(Je trouve ~0,08141124005 mais ça doit être lié à la valeur prise pour Ms, peu importe)

Pour la deuxième dt ça n'a pas l'air de marcher
En effet comme dit Zef le membre de tanh^-1 est supérieur à 1 et la fonction n'est définie que sur ]-1;1[
mais dans le calcul on se rend compte que de tout façon l'influence du tanh^-1 est négligeable (en ordre de grandeur) sur le résultat final
Au lieu de trouver les 0,026s attendues on trouve -1,25s
Mais je ne vois pas comment t'aider plus, c'est pas en tâtonnant que je risque de trouver

J'essayerai çà :

Par comparaison avec , le facteur de pi/2 devrait être positif. Il faudrait donc essayer aussi avec un - devant le (Ro+2Rs) concerné(puisqu'il y a un - devant toute l'expression(- par -, + !)). Par comparaison avec le reste de la formule(de delta t), les signes de -2Rs² et de (Ro+2Rs) doivent être opposés. Donc, en même temps que l'on met un - devant (Ro+2Rs)(facteur de pi/2) il faut transformer -2Rs² en +2Rs².

Sinon, je ne comprends pas pourquoi tu dit que dT (locale) est une valeur "classique" alors que la valeur dt (à l'infini) ne semble être que "changement de repère" ?

à mon tour d'écrire Merci d'avance!

[invite60be3959]

ok je vais regatder ça!

[Mailou75]

Re,

Par comparaison avec , le facteur de pi/2 devrait être positif. Il faudrait donc essayer aussi avec un - devant le (Ro+2Rs) concerné(puisqu'il y a un - devant toute l'expression(- par -, + !)). Par comparaison avec le reste de la formule(de delta t), les signes de -2Rs² et de (Ro+2Rs) doivent être opposés. Donc, en même temps que l'on met un - devant (Ro+2Rs)(facteur de pi/2) il faut transformer -2Rs² en +2Rs².

Ça inverse le signe en effet et ça change un peu la valeur +1,27s (toujours pas les 0,026s)

Cette formule c'est quand même du lourd, elle permet de tracer deux nouvelles courbes qui complètent le graph du message 292

La rouge est la plus générale : "combien de temps de temps prend un saut à une altitude x depuis O"
Elle rappelle que tous ces résultats tiennent toujours compte d'une durée "virtuelle" en dessous de Rs à une vitesse dépassant c

La jaune vaut pour Ro : "combien de temps prend un saut à une altitude x depuis A"
NB : Les deux courbes ne se rejoignent pas mais se croisent en B !

La bleue (déjà tracée avec les formules de Gloubi) vaut pour Rmax : "combien de temps prend un saut depuis une altitude x jusqu'à B"
C'est celle ci qui détaille la position de l'objet au cours du temps

NB : Désolé pour l'inversion Ro et Rmax mais c'est pour suivre la logique des dessins

[invite60be3959]

Cette formule c'est quand même du lourd, elle permet de tracer deux nouvelles courbes qui complètent le graph du message 292

La rouge est la plus générale : "combien de temps de temps prend un saut à une altitude x depuis O"
Elle rappelle que tous ces résultats tiennent toujours compte d'une durée "virtuelle" en dessous de Rs à une vitesse dépassant c

La jaune vaut pour Ro : "combien de temps prend un saut à une altitude x depuis A"
NB : Les deux courbes ne se rejoignent pas mais se croisent en B !

La bleue (déjà tracée avec les formules de Gloubi) vaut pour Rmax : "combien de temps prend un saut depuis une altitude x jusqu'à B"
C'est celle ci qui détaille la position de l'objet au cours du temps

NB : Désolé pour l'inversion Ro et Rmax mais c'est pour suivre la logique des dessins

Tu aurais quand même pu préciser à tes lecteurs que tu n'as pas tracer DeltaTau(r)(formule que tu cites) qui représente le temps pour aller de r à Rmax, mais que Rmax est devenue la variable, et r l'altitude de départ !! Pas très pédagogique pour le coup!

p.s : au fait, pour l'autre formule, je crois qu'il suffit de changer le signe devant toute l'expression et d'inverser l'argument de l'argth(au lieu de argth(sqrt(a/b)) il faut argth(sqrt(b/a)))

[Mailou75]

Salut,

Tu aurais quand même pu préciser à tes lecteurs que tu n'as pas tracer DeltaTau(r)(formule que tu cites) qui représente le temps pour aller de r à Rmax, mais que Rmax est devenue la variable, et r l'altitude de départ !! Pas très pédagogique pour le coup!)

Ben ce schéma montre comment ça marche depuis l'origine O : c'est une vue d'ensemble du calcul
La courbe dont tu parles c'est la bleue, mais en symétrique (d'ailleurs on voit avec les flèches et surfaces que la lecture se fait effectivement "à l'envers", on part de Rmax)
Donc en cas de chute, on peut mettre Rmax à t=0 et Ro (arrivée) à t=x mais on élude alors le fait que la calcul mène toujours jusqu'au centre de l'astre (O)
Cette représentation me semble plus honnête vis à vis de la réalité du calcul

p.s : au fait, pour l'autre formule, je crois qu'il suffit de changer le signe devant toute l'expression et d'inverser l'argument de l'argth(au lieu de argth(sqrt(a/b)) il faut argth(sqrt(b/a)))

Comme je l'ai écrit plus haut le rôle de l'atanh est infime sur le résultat final, si je fais ce que tu dis je tombe sur +1,25s mais toujours pas 0,026s

[Zefram Cochrane]

Pour info :
<=> <=>

Bonjour,
Je reprends cette équation. Je pose Ro = +oo ->
et

Quand j'injecte Vl dans l'équation de la conservation de l'énergie je trouve



Pour en revenir a Delta t , je ne négligerais pas argtanh comme le propose Mailou mais je me demande si son résultat 1.25s n'est pas plus conforme que celui des 26ms?

Delta Tau = 82 ms et on sait que quand le mobile s'approche de l'horizon du TN, \Delta t -> +oo. Donc ne devrions nous pas trouver un Delta t supérieur à \Delta tau?

Cordialement,
Zefram

[invite60be3959]

Comme je l'ai écrit plus haut le rôle de l'atanh est infime sur le résultat final, si je fais ce que tu dis je tombe sur +1,25s mais toujours pas 0,026s

Au contraire c'est elle qui fait tendre Delta t vers l'infini, lorsque r tend vers Rs. En effet, tend vers 1 lorsque r tend vers Rs et donc l'argth tend vers l'infini. C'est LE terme qui représente le changement de référentiel de l'observateur mobile vers l'observateur à l'infini, en somme.(voir article). Tu t'es trop basé sur un cas particulier pas du tout représentatif pour en conclure que l'argth a une influence minime.

[invite60be3959]

Bonjour,
Je reprends cette équation. Je pose Ro = +oo ->
et

Quand j'injecte Vl dans l'équation de la conservation de l'énergie je trouve

Et donc, qu'est-ce-que tu en conclus ?

[Zefram Cochrane]

que
et non

puisque dr' = 0 pour l observateur mobile ?

Cordialement

Zefram

[Mailou75]

Salut,

Oui le fameux qui ne vaut que pour Rmax=oo (car le "terme du bas" disparait... il vaut 1)

C'est une Lapalissade ?

Pour en revenir a Delta t , je ne négligerais pas argtanh comme le propose Mailou mais je me demande si son résultat 1.25s n'est pas plus conforme que celui des 26ms?
Delta Tau = 82 ms et on sait que quand le mobile s'approche de l'horizon du TN, \Delta t -> +oo. Donc ne devrions nous pas trouver un Delta t supérieur à \Delta tau?

Oui en effet c'est pas con ça !!

Tu t'es trop basé sur un cas particulier pas du tout représentatif pour en conclure que l'argth a une influence minime.

Juste... quand on a Ro et Rmax tout deux très proches de Rs alors l'atanh modifie le résultat

[invite60be3959]

Cette représentation me semble plus honnête vis à vis de la réalité du calcul

c'est un point de vue qui se défend et je ne dis pas le contraire, mais si tu montres des courbes, ils est important que tu présentes les bonnes fonctions qui ont permis de les tracer(normalement ça doit être systématique). Dans ton message #319 la fonction que tu montres(Delta tau(r)) n'est pas celle représentée, puisque r et Ro ont été intervertis. C'est tout ce que je voulais dire.

[invite60be3959]

que
et non

puisque dr' = 0 pour l observateur mobile ?

Cordialement

Zefram

Effectivement, tu as montré que la distance pertinente est dr et non dr'.

[Zefram Cochrane]

ET peut être également que la vitesse de la lumière est localement constante et égale à c

Mais est ce que l'équation 43 ne se déduit pas en partant du principe que pour l'observateur mobile son énergie est égale à E=mc^2 parce qu'il est au repos dans son référentiel?

Cordialement,
Zefram

[invite60be3959]

ET peut être également que la vitesse de la lumière est localement constante et égale à c

ça c'est pas nouveau, mais c'est déjà bien de l'avoir montré! On observe cependant une "variation" de c du point de vue d'autres référentiels, ce qui n'est pas nouveau non plus. C'est ce qu'apporte la relativité générale par rapport à la relativité restreinte

Mais est ce que l'équation 43 ne se déduit pas en partant du principe que pour l'observateur mobile son énergie est égale à E=mc^2 parce qu'il est au repos dans son référentiel?

Non, pas vraiment(enfin...pas du tout en fait!). Elle est directement lié à la notion de vecteurs de Killing, qui sont des champs de vecteurs qui conserve la métrique sur une variété riemanienne. Ce fait mathématique implique l'existence de quantités conservées le long des géodésiques, qui sont justement, dans le cas particulier de la métrique de Schwarzschild, le moment cinétique et l'énergie, quantités également conservées en physique classique dans le problème de Kepler.