Réflexions sur la relativité restreinte et générale

[Amanuensis]

Par contre tu ne peux écrire comme le temps propre est invariant

Nawak.

"Le" temps propre, c'est nawak (à cause du "le", même commentaire que Nicophil).

dt est (classe élémentaire) un infinitésimale de durée, pas de valeur réelle, ou (plus avancée) une forme différentielle dans l'espace cotangent.

Ce qui "propre", c'est d'abord (comme l'indique Nicophil) des durées. Exercice : virer les infinitésimaux, et passer en durées (avec des \Delta) en exprimant correctement les événements aux extrémité de l'intervalle dont la durée est signifiée.
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[Amanuensis]

Autre exercice: utiliser la formule correcte pour la vitesse d'un chemin paramétré dans un système de coordonnées (ce qui n'implique que des dérivées ou des dérivées partielles, pas d'infinitésimaux ni de formes différentielles) pour exprimer les différents concepts proposés.

Rappel : la vitesse spatiale est , dans un système de coordonnées (t, x, y, z) avec t temporelle et x, y et z spatiales. (Formalisme applicable aussi bien en classique qu'en RR qu'en RG.)

[invite5e279b10]

Bonjour!

Par contre tu ne peux écrire comme le temps propre est invariant

Ben si! car l'intervalle d'espace-temps ds^b_b = c dt^b_b est un invariant relativiste.

est nulle donc la célérité aussi.

dx^b_b est nul mais dx^b_v ne l'est pas.

[Zefram Cochrane]

On va faire plus simple.

Soit un observateur Rouge défini comme stationnaire.

Un observateur Bleu et Vert en MRU par rapport à Rouge à U = 0,8c.

À Tr = Tb = Tv = 0 , Rouge et Bleu sont au même niveau.

À Tb = 18s , Bleu rebondit contre un mur et revient vers Rouge à U = 0,8c.

Lorsqu'il passe le travers de Rouge à Tb = 36s ; Tr = Yu* Tb = 60s, il passe également le travers également Vert à Tv = Yu * Tr = 100s.

Les horloges de Vert et Bleu son désynchronisées.
Mais lorsque Vert rebondit à son tour contre le mur à Tv = 118s, la vitesse relative par rapport à Bleu étant jusque là de 40c/41 , Bleu sera âgé de Tb = 36s + 41/9*18s = 36s + 82s = 118s

Donc les horloges de Bleu et Vert seront de nouveau synchronisées.

Apperemment, une vitesse relative entre deux horloges suffit à expliquer pourquoi elles peuvent ne pas être synchronisées.


Vérifions :
Soit un observateur Rouge défini comme stationnaire.

Un observateur Bleu et Vert en MRU par rapport à Rouge à U = 0,8c.

À Tr = Tb = Tv = 0 , Rouge et Bleu sont au même niveau.

À Tb = 18s , Bleu rebondit contre un mur et revient vers Rouge à W = 0,6c.

Lorsqu'il passe le travers de Rouge à Tb = 50s ; Tr = Yu* 18s + Yw * 32s = 70s, il passe également le travers également Vert à Tv = Yu * Tr = 350s/3s

Lorsque Vert rebondit à son tour contre le mur à Tv = 350s/3 + 18 = 404s/3 = 134,667s ; Bleu sera âgé de Tb = 50s + 37/12 * 18 = 50 + 55,5s= 105,5s

Les horloges de Vert et Bleu ne sont plus synchronisées. Chose amusante, c'est Vert qui a pris un coup de vieux et non Bleu alors que sa vitesse relative vis à vis de Rouge est demeurée à U=0,8c tandis que celle de Bleu est passée à W = 0,6c ???

Autre exercice: utiliser la formule correcte pour la vitesse d'un chemin paramétré dans un système de coordonnées (ce qui n'implique que des dérivées ou des dérivées partielles, pas d'infinitésimaux ni de formes différentielles) pour exprimer les différents concepts proposés.

Rappel : la vitesse spatiale est , dans un système de coordonnées (t, x, y, z) avec t temporelle et x, y et z spatiales. (Formalisme applicable aussi bien en classique qu'en RR qu'en RG.)

Je veux bien que tu réécrives le problème ci-dessus avec la notation rigoureuse que tu indiques.
Je suis preneur.

Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Tellement d'exemples que des "exercices" de ce genre, qui ne sont au fond que de la manipulation élémentaire de quelques formules, amènent une avancée dans la compréhension qu'abonder dans ce sens ne serait qu'en pure perte.

Les échanges les plus récents dans ce fil portent sur des "nouveaux" concepts et notations. Je ne vois pas toujours pas l'intérêt du concept de "vitesse propre" et encore moins celui de la notation non rigoureuse, trompeuse et source visible de confusion, utilisée.

Et aucune réponse faisant un minimum sens n'a été donnée aux questions réitérées sur l'intérêt prétendu de ces approches.

[Amanuensis]

PS: Si au lieu de faire de la géométrie analytique, vite confuse quand on travaille avec plus de quatre points, vous faisiez un beau diagramme de Minkowski pour visualiser les cinq ou six points concernés et les droites les reliant?

Ensuite on peut appliquer la "bête" règle de Pythagore (adaptée...) pour calculer aisément les longueurs des segments. Et, au passage, rendre plus clair où il y aurait quelque chose d'instructif dans cet exemple, le cas échéant.

[invite5e279b10]

On va faire plus simple.

D'accord!

À Tr = Tb = Tv = 0 , Rouge et Bleu sont au même niveau.

J'entends à T^r_r = T^b_b = T^v_v = 0 ; est-ce juste?

À Tb = 18s , Bleu rebondit contre un mur et revient vers Rouge à U = 0,8c.

J'entends à T^r_r = T^b_b = T^v_v = 18s ; est-ce juste?

[Zefram Cochrane]

D'accord!
J'entends à T^r_r = T^b_b = T^v_v = 0 ; est-ce juste?

Oui car les Horloges de Bleu et Vert sont synchronisées, et oui car les horloges de Bleu et Rouge indique la même date et que Bleu et Rouge sont au même niveau.

T^b_b = T^v_v = 18s ; est-ce juste?

Oui car à cette date, les horloges de Bleu et Vert son synchronisées.


T^r_r = Yu * T^v_v = 30s

[Zefram Cochrane]

PS: Si au lieu de faire de la géométrie analytique, vite confuse quand on travaille avec plus de quatre points, vous faisiez un beau diagramme de Minkowski pour visualiser les cinq ou six points concernés et les droites les reliant?

Ensuite on peut appliquer la "bête" règle de Pythagore (adaptée...) pour calculer aisément les longueurs des segments. Et, au passage, rendre plus clair où il y aurait quelque chose d'instructif dans cet exemple, le cas échéant.

Je Peux faire un schéma ( demain) par contre, pour les diagrammes, je laisse le soin à d'autres (Je me demande si un diagramme de Loedel ne serait pas plus adapté qu'un Minkowski traditionnel.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Diagramme_de_Minkowski

[Amanuensis]

Je Peux faire un schéma ( demain) par contre, pour les diagrammes, je laisse le soin à d'autres

Je ne vois pas immédiatement la différence entre un schéma et un diagramme de Minkowski.

Par ailleurs, l'incapacité de faire un diagramme de Minkowski est plus que curieuse, difficile à concilier avec les questions conceptuelles soulevées. On rampe avant de marcher, non?

si un diagramme de Loedel ne serait pas plus adapté qu'un Minkowski traditionnel.

Erreur consistant à penser que le but premier (et unique) d'un diagramme de Minkowski consiste à travailler avec deux systèmes de coordonnées.

Un diagramme de Minkowski c'est juste faire des figures comme on fait dans le cas de la géométrie euclidienne. Et en géométrie euclidienne, on fait des figures bien avant de faire de la géométrie analytique, en particulier parce que les figures aident à comprendre de quoi on parle en géométrie analytique.

[invite5e279b10]

T^r_r = Yu * T^v_v = 30s

Pourtant ΔT^r_r = ΔT^b_b = ΔT^v_v. N'est-il pas? Ne confonds-tu pas T^r_r et T^r_v?

[Zefram Cochrane]

ΔT^v_r (durée coordonnée) = Yu * ΔT^v_v (durée propre) = 30s

@Amanuensis.

c'est pas une question de connaissance mais une question que je n'ai pas de logiciel adapté pour faire un diagramme de Minkowski digne de ce nom.

[Amanuensis]

@Amanuensis.

c'est pas une question de connaissance mais une question que je n'ai pas de logiciel adapté pour faire un diagramme de Minkowski digne de ce nom.

Ah? Inkscape. Ou (horreur) MS paint. Ou papier + crayon + règle graduée + scanneur...

[Amanuensis]

ΔT^v_r (durée coordonnée) = Yu * ΔT^v_v (durée propre) = 30s

C'est donc entre deux événements concernant V, aux extrémités d'un segment de droite les liant et représentant une portion de la ligne d'Univers "V".

(Avant de parler "outils", pour faire un diagramme, commencer par identifier tous les événements pertinents, leur donner une lettre majuscule comme on fait en géométrie standard, et identifier les segments de droite pertinents reliant deux événements. Et au lien d'utiliser une notation indicée en conflit avec une autre, et source de confusion, parler de "la durée (ou la longueur) du segment AB"...)

[invite5e279b10]

ΔT^v_r (durée coordonnée) = Yu * ΔT^v_v (durée propre) = 30s

durée coordonnée (ou durée impropre) = ϒ durée propre. Nous sommes d'accord!

[Franc84]

..

J'ai essayé de vous envoyer un message privé mais votre boite est pleine.

Cordialement

[invite5e279b10]

ΔT^v_r (durée coordonnée) = Yu * ΔT^v_v (durée propre) = 30s.

En prenant des durées infiniment petites, on obtient dt^v_r = ϒ^v_r dt^v_v et inversement dt^r_v = ϒ^r_v dt^r_r. Le temps d'un référentiel paraît s'écouler plus vite quand il est perçu d'un référentiel en mouvement (par rapport au premier), mais les temps propres, les temps réels de ces espaces s'écoulent bien au même rythme: dt^v_v = dt^r_r.

[Zefram Cochrane]

Reprenons avec des schémas :
(schéma Tb)

Bleu et Vert ont une vitesse relative par rapport à rouge de U = 0,8c

à Tb = 18s Bleu rebondit contre le mur et revient vers Rouge à W.


Lorsqu'il passe le travers de Rouge, il passe également le travers de Vert ( schéma Tr )

il y a trois cas de figure :

U < W ( U = 0,8c ; W = 0,9c)

Tb = 18s + 11,624s = 29,624s

Tr = Yu*18s + Yw* 11,624s = 112,444s

Tv = Yu * Tr = 94,444s.



U = W ( U = 0,8c ; W = 0,8c)

Tb = 18s + 18s = 36s

Tr = Yu*18s + Yu* 18s = 60s

Tv = Yu * Tr = 100s


U > W ( U = 0,8c ; W = 0,6c)

Tb = 18s + 32s = 50s

Tr = Yu*18s + Yw* 32s = 70s

Tv = Yu * Tr = 116,667s

Lorsque Vert rebondit à son tour contre le mur il est âgé de 18s supplémentaires par rapport à l'âge qu'il avait à l'étape précédente. La vitesse relative avec Bleu étant ( U+W)/(1+U*W/c²), la durée écoulée dans le nouveau référentiel de Bleu (celui où il va à W ) pendant les 18s de vert est donc Y (de la vitesse composée) fois 18s
(schéma Tv)


U < W ( U = 0,8c ; W = 0,9c)

Tv = 94,444s+ 18s = 112,444s

Tb = 112,444s + 2,294* 18s = 148,002s



U = W ( U = 0,8c ; W = 0,8c)

Tv = 100s+ 18s = 118s

Tb = 36 + 41/9* 18s = 118s


U > W ( U = 0,8c ; W = 0,6c)

Tv = 116,667s+ 18s = 134,667s

Tb = 50+ 3,083*18s = 105,5s


Il faut noter que le rapport final Tv/Tb reste indentique et ce quelque soit la distance Xr séparant Rouge du mur. Est ce que cela implique que après que Vert a rebondi, les horloges de Bleu et Vert battent de manière synchrones mais avec un décallage?

[Zefram Cochrane]

Pièce jointe 294792

correction. J'ai supprimé dans ce schéma(Tv) la durée Tr de Rouge.

[Amanuensis]

Dans ces schémas, l'axe "horizontal" est l'axe spatial, disons celui des x dans un certain système de coordonnées, avec l'axe vertical utilisé pour distinguer les "observateurs".

Maintenant, on peut utiliser l'axe vertical comme étant celui du temps (précisément celui de la coordonnée ct), la pente étant plus ou moins grande selon la "vitesse coordonnée", la ligne verticale représentant un observateur immobile, i.e., dont la coordonnée x est constante.

Le résultat est un diagramme de Minkowski!

[Zefram Cochrane]

Salut,
Trois plutôt puisqu'il y a trois cas de figure.

[Amanuensis]

Pour voir les tendances, on peut étudier les cas particuliers. L'un est u=w non nuls. On peut remarquer que permuter u et v est la même chose que renverser le temps, donc on peut se contenter de regarder w>=u >=0 ; un autre cas particulier intéressant est u=0, w non nul.

a)

Pour u=w, l'étude du diagramme de Minkowski montre tout de suite qu'il y a un décalage. Nommons B1 l'événement rebond de B, O l'événement rencontre, et V3 l'événement rebond de V. La figure est symétrique par renversement du temps autour de O.

Prenons V1 l'événement défini par V recevant un signaux lumineux émis en B1. En synchronisation d'Einstein du passé, V1 est postérieur de d/c à B1, d étant la distance entre V et B dans le passé. Symétriquement (avec renversement du temps), soit B3 le moment d'émission de B tel que la réception sera en V3. En synchronisation d'Einstein du futur, B3 est antérieur à V3 de d/c.

Par symétrie le temps propre de V1V3 est le même que celui de B1B3. Il y a donc un décalage de 2d/c.

b) u=0, w non nul

Les deux sont immobiles sur le mur, et bleu accélère (B1=V1), puis un certain temps après, vert accélère (V2). Ensuite vert voit bleu immobile à une distance d.

Soit B2 l'événement émission de B tel qu'il est reçu en V2. Cet événement est antérieur de d/c à l'événement synchrone à V2 au sens d'Einstein. Le décalage est alors la durée propre de B1B2 plus d/c, moins la durée propre de V1V2.

Faut trouver la valeur de cette différence. Comme je ne vois pas de raisonnement intuitif sur la figure, plus simple (ça arrive) de passer en analytique. Pour plus tard!

[Amanuensis]

Annulé..... (erreur)

[Amanuensis]

Par symétrie le temps propre de V1V3 est le même que celui de B1B3. Il y a donc un décalage de 2d/c.

Hmm... Vraiment lent... Erreur de signe, les deux d/c se compensent, pas de décalage.

Entre l'événement de V simultané à B1 au sens d'Einstein et V3 il y a d/c + V1V3, et entre B1 et l'événement de V simultané à V3, il y a B1B3+d/c, même chose.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

J'ai fais les diagramme.

en abscisse j'ai pris X = 1s.l
en ordonnée J'ai pris le Temps propre de Bleu.
La pente de BLeu et Vert représentent donc des célérités gamma * vitesse. ( celle de la lumière est infinie segement orange)

un point peut être intéressant pour U = W ( ici = 0.6c)
Au moment du croisement : Tv = 4.167 ; Tb = 2.667 je fais Tb-Tv = 1.5s
Je prends U = 0.6c soit Yu.U = 0.750 soit la moitié de 1.5. ( Cela marche pour d'autres valeurs de U )


Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

Mon approche d'hier était inutilement compliquée sur certains points: je voulais mettre explicitement la synchronisation d'Einstein dans l'explication. Après coup c'est plus simple de procéder en prenant pour acquis la propriété de la synchronisation d'Einstein qui est que le segment joignant deux points synchrones un d'une ligne l'autre de l'autre est perpendiculaire aux lignes d'Univers.

Pour le cas u=0, qu'il y ait un décalage est direct en prenant l'événement B2 celui "simultané" à V2 au sens du futur, car alors B1B2² = V1V2² + d², d étant la distance entre les trajectoires futures.

Selon les figures du messages précédents (pas encore visibles), je reprendrai les notations ou proposerai une autre figure.

[Amanuensis]

en ordonnée J'ai pris le Temps propre de Bleu.

Il me semble plus intéressant de prendre les coordonnées telles que le mur est immobile (ce qui revient à prendre "le temps propre du mur", pour réutiliser cette expression peu rigoureuse).

[Zefram Cochrane]

Attention aux vitesses. J'ai pris U=0.6c et la vitesse de W est en titre des schémas.
Ces diagrames sont une proposition, d'autres pourront être plus pertinents.

[Amanuensis]

Vu les figures.

Cela correspond bien à ce que j'avais en tête.

a)

Comme la coordonnée spatiale est choisie telle que mur soit immobile, il est préférable de prendre comme échelle "verticale", l'axe temporel, le "temps propre du mur" fois c. Ainsi les rayons lumineux ont une trajectoire à 45° des axes, et on distingue les directions spatiales et les directions temporelles selon la pente comparée à 45°.

b)

Il serait utile de prolonger la ligne de Vert dans le futur, pour montrer le parallélisme avec celle de Bleu, et pour pouvoir parler de synchronisme après le rebond de Vert, et donc pour pouvoir parler de décalage des horloges.

c) Pour visualiser le décalage éventuel, il est intéressant de visualiser certains événements supplémentaires. En prenant les notations suivantes les points déjà visibles sur les dessins:

B1 l'événement rebond de B sur le mur ;
B2=V2=A l'événement croisement.

On peut rajouter V1 l'événement de V (donc sur sa ligne d'Univers) synchrone à B1 selon la synchronisation d'Einstein avant B1, et B3 l'événement de B (donc sur sa ligne d'Univers) synchrone à V3 selon la synchronisation d'Einstein après V3.

Pour dessiner ces points sans calcul on procède comme suit: on tire de B1 les deux lignes à 45° vers V, l'une vers le passé l'autre vers le futur ; cela donne deux intersections avec la ligne V. Le point V1 "synchrone" à B1 est le milieu entre ces points.

On peut alors raisonner sur la figure comme on le fait en géométrie usuelle, à quelques "détails" près, détails demandant une certaine pratique. Un exemple:

On note PQ le segment (vecteur) joignant P à Q, PQ² sa "métrique" (qui peut être positive, négative ou nulle ; je prends usuellement la convention que positif=temporel), |PQ| la racine carrée de |PQ²| (attention, on n'a pas |PQ|²=PQ² dans le cas spatial, mais -|PQ|²=PQ², un "détail" important). On note par le point le "produit scalaire", donc PQ² = PQ.PQ

Attention: le diagramme ne respecte pas les longueurs ou durées autres que celles parallèles à l'un des axes.

La synchronisation d'Einstein est telle que B1V1.V1V2=0, et on a aussi v = |B1V1|/|V1V2|, la vitesse de B par rapport à V en V2=B2=A (ce n'est ni u ni w).

On a (relation de Chasles) B1B2 = B1V1+V1V2, et donc B1B2² = (B1V1² + 2 B1V1.V1V2 + V1V2²) = B1V1² + V1V2² = (1-v²)V1V2². |B1B2| est la durée propre entre B1 et B2, et de même |V1V2| est la durée propre entre V1 et V2. On en déduit que V1V2 est plus "long" que B1B2, il y a décalage d'horloge au croisement.

D'autres "calculs" du même genre permettent d'aboutir au décalage final... C'est une alternative aux calculs avec TL, qui est plus proche de ce qu'on fait usuellement en géométrie euclidienne en travaillant sur une figure géométrique. C'est même très proche, faut "juste" faire attention à des signes...

[Zefram Cochrane]

Salut,

Je ferais un diagramme en tenant compte des spécificités demandées.
Certainement que des retouches seront à apporter.

Cordialement,
Zefram