L'univers, et des bords ?

[invite6f16e6e3]

Si la théorie de l'expansion de l'univers est réel, et bien l'univers à un début et une fin, mais cette fin est en perpétuelle expansion donc oui il y a une fin mais elle s'agrandit et change à chaque instant.
-----

[pm42]

Si la théorie de l'expansion de l'univers est réel, et bien l'univers à un début et une fin, mais cette fin est en perpétuelle expansion donc oui il y a une fin mais elle s'agrandit et change à chaque instant.

Non, cela ne fonctionne pas comme ça du tout. Je pense que cela a été expliqué dans ce fil que l'Univers peut être infini, fini sans bord (ou fin comme tu l'appelles), etc.
Et l'expansion n'a pas grand chose à voir avec la topologie de l'Univers.

[Gilgamesh]

T2, la variété (2D) appelée tore, peut être munie d'une métrique euclidienne, et a alors une courbure intrinsèque partout nulle.

La surface plongée en R^3 euclidien appelée tore et munie de la métrique induite a une courbure intrinsèque variable, dépendant du point.

Oui, je parlais de la surface commune qu'on peut expérimenter avec les mains, donc du second cas. On aura du mal à recouvrir sa surface avec du papier sans que ça froisse, car la courbure est localement positive ou négative ; comme c'est ce point qui faisait tiquer Mailou, je partais de là.

[invite6f16e6e3]

L'univers que nous connaissant actuellement ne découle t elle pas du big bang et donc par finalité par l'expansion de ce dernier?

Le terme univers que nous utilisons enrobe t elle tout l'univers ou juste les conséquences du big bang?

Selon l'angle selon la quel nous abordons cette question nous pourrions avoir deux réponses, non?

[pm42]

L'univers que nous connaissant actuellement ne découle t elle pas du big bang et donc par finalité par l'expansion de ce dernier?

Que l'Univers soit en expansion n'a rien à voir avec le fait qu'il ait une "fin" comme tu dis.

Le terme univers que nous utilisons enrobe t elle tout l'univers ou juste les conséquences du big bang?

Relis ta phrase : elle "tout l'univers" pour définir l'univers.

Selon l'angle selon la quel nous abordons cette question nous pourrions avoir deux réponses, non?

Non. On emploie Univers dans un seul sens. Sauf si tu veux parler de "l'Univers observable" mais même là, le concept de "fin" n'aurait pas de sens, on parle d'horizon pour une bonne raison puisque celui ci varie suivant l'observateur.

[invite6f16e6e3]

Selon la définition du mot univers, il s'agit de tout ce qui existe, régit par un certain nombres de lois(wiki), et plus loin on a la naissance de l'univers, tel que nous le connaissons, avec pour début le big bang. Ma question est toujours la mais je vais la reposer effectivement elle était mal formulé. Le terme univers fait il référence à ce qui a découlé du big bang? Si oui, on à effectivement deux réponse possibles,

La première: L'univers possède des bords mais ses derniers sont en mouvement perpétuel.

La seconde: L'univers est infini et malgré l'expansion de se dernier, il est impossible dans définir une extrémité quelconque.

[Bluedeep]

La première: L'univers possède des bords mais ses derniers sont en mouvement perpétuel.

Non. On vous l'a déjà dit : il n'y a aucune raison d'imaginer qu'un univers fini (ou pas) possède des bords.
Le pire c'est que cette affirmation est récurrente ici.

[invite6f16e6e3]

Hello bluedeep,

Je parle de bords pour en revenir au terme utiliser par notre amis pm42, personnellement je préfère employé le terme fin ou infini qui correspond mieux. La fin de l'univers ne signifie pas qu'il n'y a rien ensuite, imaginons un robinet qui coule sur une surface plane sans limite, cette eau va se répandre de tous les cotés et ce indéfiniment, mais la limite de cette dernière, même si elle est en expansion, n'est elle pas l'extrémité des bords de cette eau?

Ce que je dis ne sont que des idées et dire qu'il n'y a aucune raison pour imaginer cela serait de se fixer des limites, l'astronomie est une des sciences ou l'imaginaire a permis de grande découverte, beaucoup de gens pensent qu'il y a ou non une limite à notre univers, leur argument ou raison ne sont peut-être pas crédible pour les uns ou les autres mais ils sont la.

La définition de l'Univers choisie ici (« ensemble de tout ce qui existe ») soulève par ailleurs différents problèmes. Tout d'abord, il ne peut pas posséder de « bord » au sens intuitif du terme. En effet, l'existence de bord impliquerait l'existence d'un extérieur à l'Univers. Or par définition l'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe, il ne peut donc rien exister à l'extérieur. Toutefois cela ne signifie pas que l'Univers est infini, il peut être fini sans avoir de « bord », sans avoir en fait d'extérieur. Cela soulève une autre interrogation : que signifie pour l'Univers d'être en expansion s'il n'a ni bord ni extérieur ?(wiki)

[pm42]

Je parle de bords pour en revenir au terme utiliser par notre amis pm42, personnellement je préfère employé le terme fin ou infini qui correspond mieux.

Non, cela ne correspond pas mieux, cela signifie simplement que tu n'as pas lu le fil et que tu ne sais pas de quoi on parle.

La fin de l'univers ne signifie pas qu'il n'y a rien ensuite,

Si exactement. Ce qu'il y a ensuite c'est quoi ? En dehors de l'Univers ? Mais comme l'Univers, c'est tout, il n'y a pas d'en dehors.
On explique cela dans toutes les discussions sur le sujet.

imaginons un robinet qui coule sur une surface plane sans limite, cette eau va se répandre de tous les cotés et ce indéfiniment, mais la limite de cette dernière, même si elle est en expansion, n'est elle pas l'extrémité des bords de cette eau?

Le raisonnement par analogie ne marche pas. De plus, ton eau s'étend dans un espace pré-existant. Donc cela ne s'applique pas à l'Univers.

Ce que je dis ne sont que des idées et dire qu'il n'y a aucune raison pour imaginer cela serait de se fixer des limites, l'astronomie est une des sciences ou l'imaginaire a permis de grande découverte, beaucoup de gens pensent qu'il y a ou non une limite à notre univers, leur argument ou raison ne sont peut-être pas crédible pour les uns ou les autres mais ils sont la.

"Beaucoup de gens pensent" n'est pas un argument valide en sciences.

La définition de l'Univers choisie ici (« ensemble de tout ce qui existe ») soulève par ailleurs différents problèmes. Tout d'abord, il ne peut pas posséder de « bord » au sens intuitif du terme. En effet, l'existence de bord impliquerait l'existence d'un extérieur à l'Univers. Or par définition l'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe, il ne peut donc rien exister à l'extérieur.

Tu as dit le contraire juste au dessus.

Toutefois cela ne signifie pas que l'Univers est infini, il peut être fini sans avoir de « bord », sans avoir en fait d'extérieur. Cela soulève une autre interrogation : que signifie pour l'Univers d'être en expansion s'il n'a ni bord ni extérieur ?(wiki)

Il faut lire le fil qui a déjà pas mal expliqué ce genre de choses.

[Amanuensis]

Le pire c'est que cette affirmation est récurrente ici.

C'est surtout que le terme "bord" est utilisé à tort et à travers, des usages que les auteurs ne sauraient même pas définir rigoureusement, comme on devrait normalement s'attendre dans des discussions dans un forum se voulant scientifique.

[invite6f16e6e3]

Pm42 tu m'as l'air hargneux je ne sais pas pourquoi, mais discuter avec une autre personne se fait de manière calme, tu n'as pas pris la peine de comprendre ce que je te dis, mais pas grave je vais une fois de plus tenter de discuter avec toi,

1. J'ai répondu à la question posé par l'auteur et tenter de débattre sur mon idée rien de plus.

2. Tu parle de l'univers comme si nous en connaissions tout les recoins mais comment peux tu ne serais ce que savoir si oui ou non ce n'est pas un espace pré-existant, ce débat existe au niveau des astronomes alors dire une chose et en faire une réalité est presque trop présomptueux.

3. Au contraire toute idée découle des pensées des gens qui par la suite sont vérifié si possible, dans l'état actuel de l'astronomie, presque tout ce que l'on connais ne sont que des théories que l'on essaye de faire correspondre, même si ça marche cela ne reste que des théories,

Une théorie (du grec theorein, « contempler, observer, examiner ») est un ensemble d'explications, de notions ou d'idées sur un sujet précis(wiki)

la théorie du big bang,
la théorie du big crunch,
la théorie de l'expansion de l'univers,
la théorie de la matière noir
la théorie de la relativité générale.....


5.
Citation Envoyé par irenikus Voir le message
La définition de l'Univers choisie ici (« ensemble de tout ce qui existe ») soulève par ailleurs différents problèmes. Tout d'abord, il ne peut pas posséder de « bord » au sens intuitif du terme. En effet, l'existence de bord impliquerait l'existence d'un extérieur à l'Univers. Or par définition l'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe, il ne peut donc rien exister à l'extérieur.
Tu as dit le contraire juste au dessus.

Citation Envoyé par irenikus Voir le message
Toutefois cela ne signifie pas que l'Univers est infini, il peut être fini sans avoir de « bord », sans avoir en fait d'extérieur. Cela soulève une autre interrogation : que signifie pour l'Univers d'être en expansion s'il n'a ni bord ni extérieur ?(wiki)
Il faut lire le fil qui a déjà pas mal expliqué ce genre de choses.

J'ai mis une petite parenthèse(wiki) ne la tu pas vu? Cela signifie que ce paragraphe me viens de wikipedia et n'est pas ma propre idée, c'était pour te montrer que les deux idées était représenter même dans les plus hautes sphères.

selon l’étymologie, Un débat est une discussion ou un ensemble de discussions sur un sujet, précis ou de fond, à laquelle prennent part des individus ayant des avis, idées, réflexions, opinions plus ou moins divergents.

Il ne s'agit pas d’essayer d'avoir raison à tout prix, analyser les idées et avis des autres est le pilier d'un débat. Sans ce n'est plus un débat mais un monologue qui vise juste à parler sans écouter.

[pm42]

Comme tes posts précédents, celui ci me semble massivement critiquable.
Vu que tu dérives vers des attaques personnelles et que tu sembles ne pas vouloir simplement lire le fil pour t'éviter de répéter en boucle des choses fausses, j'arrête là.

[invite6f16e6e3]

C'est normal que mes post sont critiquables, ce ne sont que mes idées, mais tu parles d'attaques personnelles alors qu'il s'agit juste de l'analyse de tes réponses à mes question qui sont simple.
Tu à ton idée sur la question et toute autre intervention t'irrites visiblement.

Enfin bon

[erik]

C'est normal que mes post sont critiquables, ce ne sont que mes idées,

Le problème c'est que tes idées ne correspondent pas à ce que dit la physique.

Pour résumer
- L'univers ne s’étend pas dans quelque chose de pré-existant.
- L'univers n'a pas de bords
- On ne sait pas si l'univers est fini ou infini
- on peut tout à fait avoir un univers fini, sans bords et en expansion.

[invite06459106]

C'est surtout que le terme "bord" est utilisé à tort et à travers, des usages que les auteurs ne sauraient même pas définir rigoureusement, comme on devrait normalement s'attendre dans des discussions dans un forum se voulant scientifique.

Oui, et aussi définir "univers", "fini/infini" d'ailleurs à lire le fil, on ne fait référence que au côté spatial, ce qui m'apparaît être sans sens (en rapport à la RG), puisque ce côté là est arbitraire (feuilletage), en sachant qu' il y la la covariance "à préserver"..., d'ou mon post #90 (le côté sens physique).

Et malheureusement, les intervenants pouvant parler de tout ça de façon rigoureuse se faisant de plus en plus rare....
Prédiction: Fil où il y à rien à en tirer, au choix:
- Fermeture dans x posts "à la con" (sans être irrespectueux des personnes, juste des contenus des posts).
- Mort à petit feu...

C'est bien dommage, car même si ce n'est pas sur un forum où l'on pourra donner des réponses ( d'ailleurs, pas sûr qu'il y en ai), on pourrait espérer avoir des éclairages ( et n'est-ce pas la fonction d'une "vulgarisation de bon niveau?), là, à part de la bouillie....

Evidemment, je m'inclue dans "les posts à la con, et la bouillie", cela ne change pas le fond...

[invite06459106]

Un bémol...après tout, il se peut que je ne comprends strictement rien, et qu'il y a de la "valeur" dans ce thread...si on pouvait m'indiquer où....

[invite6f16e6e3]

Salut erik,

Tu résumes bien la chose!

[Mailou75]

Salut et merci,

Le tore 2D a localement une courbure intrinsèque (l'intérieur a une courbure de Gauss négative, l'extérieur a une courbure de Gauss positive, et la courbure totale est nulle), mais pas le tore 3D, qui est partout localement euclidien.

1) L'intérieur c'est la chambre à air et l'extérieur le pneu ?
Dans ce cas toute surface courbe aléatoire doit afficher localement un "total" nul ?

Ou 2) L'intérieur c'est "l'axe de la roue" et l'extérieur les "crampons"
Dans ce cas, faire le total entre les courbures des faces opposées a-t-il un intérêt ?

3) existe-t-il une surface qui ne soit pas "localement euclidienne" ?
Ex: la terre est localement plate, par extension tout espace est, de manière infinitesimale, euclidien

4)aurais tu des images de tore 3D? j'ai du mal à comprendre ce que c'est..

5) T2, la variété (2D) appelée tore, peut être munie d'une métrique euclidienne, et a alors une courbure intrinsèque partout nulle.

6) La surface plongée en R^3 euclidien appelée tore et munie de la métrique induite a une courbure intrinsèque variable, dépendant du point.

7) Pour a surface 2D plongée dans R^4 euclidien, de coordonnées x²+y²= z²+t² =1, qui est homéomorphe à T2, la métrique induite est euclidienne.

Employer les termes justes c'est bien mais sans traducteur c'est chaud...

5? la surface du tore est "quadrillée" par des cercles (forme circulaire du donut / section circulaire du donut )
qui de facon infinitésimale peut être assimilee a une "mosaïque de carrés" ?
Ou.. Ce ne sont pas des carrés mais on considère que les arrêtes ont la même valeur numérique ?

6? Le donut considéré par un observateur extérieur muni de son repère orthogonal (xyz)
qui juge que les cercles sont bien des cercles et qu'il y a partout une courbure ?

7? Plonger une surface 2D dans un espace 4D ? Snif...
Et si on veux un volume 3D "fini sans bord" (tore 3D ?) il faut le plonger dans un espace 5D ?
Ca a un sens en physique ?

Merci d'avance
Mailou

[Amanuensis]

5? la surface du tore est "quadrillée" par des cercles (forme circulaire du donut / section circulaire du donut )
qui de facon infinitésimale peut être assimilee a une "mosaïque de carrés" ?
Ou.. Ce ne sont pas des carrés mais on considère que les arrêtes ont la même valeur numérique ?

Disons le troisième.

Pour un tore plongé en 3D, la métrique euclidienne du tore peut être visualisée avec un ensemble de cercles équatoriaux et un ensemble de cercles radiaux, en mettant le même nombre de chaque. Tous les côtés des mailles quadrilatères ont alors à peu près la même longueur au sens de la métrique du tore (mais pas au sens de la métrique de l'espace ambiant), et on s'approche de l'égalité d'autant mieux qu'il y a plus de cercles. (On remarquera que par construction tous les cercles dessinés ont la même longueur pour la métrique du tore.)

Vaut voir cela comme une sorte de carte.

6? Le donut considéré par un observateur extérieur muni de son repère orthogonal (xyz)
qui juge que les cercles sont bien des cercles et qu'il y a partout une courbure ?

Pas d'observateur extérieur. Simplement on mesure une longueur infinitésimale sur la surface du tore en prenant la mesure utilisée en 3D. C'est la notion naturelle de mesure sur une surface plongée. Selon cette mesure le cercle équatorial intérieur a une longueur plus petite que le cercle extérieur.

7? Plonger une surface 2D dans un espace 4D ? Snif...

Mais c'est comme cela qu'un tore plongé a un max de symétries...

Et si on veux un volume 3D "fini sans bord" (tore 3D ?) il faut le plonger dans un espace 5D ?

On peut le plonger en 4D si on préfère.

Je ne sais pas si le plonger en 5D suffit pour que la métrique induite soit euclidienne ; m'étonnerait. En 6D c'est sûr...

Ca a un sens en physique ?

Ce n'est pas de la physique, c'est des maths.

Plonger une variété dans un espace euclidien, comme un cercle dans un plan, c'est une manière de visualiser, ainsi que de travailler avec les outils des espaces euclidiens. Cela n'a pas à correspondre à quelque chose de physique.

À côté de cela, il y a des outils mathématiques (géométrie différentielle) pour travailler sur des variétés "en elles-mêmes", non plongées dans quoi que ce soit. On peut faire de la géométrie sur un tore sans avoir à l'imaginer plongé dans un espace euclidien. On va alors typiquement choisir la métrique euclidienne, puisque le tore en admet une.

[Gilgamesh]

Salut et merci,


1) L'intérieur c'est la chambre à air et l'extérieur le pneu ?
Dans ce cas toute surface courbe aléatoire doit afficher localement un "total" nul ?

En 2D le tore T² plongé dans un espace à 3 dimensions est la surface de la chambre à air. Tout le reste (intérieur, extérieur) ne compte pas.
En 3D le tore T³ est un volume, mais ce volume n'est nullement définit par l'intérieur délimité par T².

3) existe-t-il une surface qui ne soit pas "localement euclidienne" ?
Ex: la terre est localement plate, par extension tout espace est, de manière infinitesimale, euclidien

Dans cette discussion, on va considérer ici que le localement la Terre présente une courbure. De même que le T² plongé en 3D (la surface de la chambre à air).

Pour la surface de plongement de T² ça donne ça :



La surface n'est euclidienne nulle part, mais si on intègre la courbure totale, on trouve qu'elle est nulle.

4)aurais tu des images de tore 3D? j'ai du mal à comprendre ce que c'est..

On ne peux pas se le représenter de l'extérieur. De l'intérieur par contre c'est extrêmement simple. Tu prend un cube et tu définis que lorsque tu sors par une face, tu rentres par la face opposée. (edit : et non pas comme corrigé par Amnuensis par choix d'une face ou de l'autre)


Bon, en résumant ce n'est pas si compliqué.

Pour T² tu prends un rectangle et tu identifies les bord. Le rectangle définit une surface euclidienne, donc la variété 2D obtenue en connectant ses bords l'est également. Toutefois, si tu dois plonger la surface obtenue en 3D pour te la représenter, cela induit une courbure en tout point, c'est la chambre à air du monde réel.

Pour T³ c'est exactement la même manip en opérant cette fois ci sur les faces d'un parallélépipède. Même topo : le parallélépipède définit un espace euclidien, donc la variété obtenue en connectant ses faces est également euclidienne.

[Amanuensis]

3) existe-t-il une surface qui ne soit pas "localement euclidienne" ?

Oui et non. "Euclidien" dépend de la métrique choisie (il n'y a pas qu'une seule métrique possible pour une surface donnée).

Non: il y a des surfaces munies de métrique telles qu'il n'existe aucun ouvert où elle est euclidienne (= la courbure, qui dépend de la métrique, n'est jamais nulle).

Oui: On peut toujours, en un point d'une surface donnée, trouver une métrique qui soit localement euclidienne en ce point.

Ex: la terre est localement plate

Correct. Mais la métrique usuelle sur la sphère S2 (correspondant à celle induite dans un plongement dans R^3 euclidien) n'est pas localement plate. Faut construire une autre métrique autour d'un point, explicitement euclidienne (c'est toujours possible) pour parler de "localement plat".

, par extension tout espace est, de manière infinitesimale, euclidien

Cela n'a pas de sens. (Et si on en trouve un cela a toutes les chances d'être faux: si la courbure est non nulle en ce point, il ne peut pas être "plat".

[Amanuensis]

(tu as le choix de la face, ce qui définit les différents types de tore T³)

??? T3 désigne une unique variété, il me semble, C1xC1xC1

Et certaines manières de choisir la face de retour ne peuvent pas donner T3 (de même que les différentes manières de replier un carré donnent T2 ou la bouteille de Klein ou le plan projectif).

Et dans le cas du carré, ressortir par un côté adjacent ne donne rien d'intéressant ; du coup je ne pense pas que joindre des faces adjacentes d'un cube donne quelque chose d'intéressant. À vérifier.

Bref, pour moi faut revenir par la face opposée, et il y alors peut-être 8 manières de le faire par paire de faces, certaines combinaisons vont donner T3, d'autres des volumes non orientables, etc.

[Amanuensis]

Bon, en résumant ce n'est pas si compliqué.

C'est sûr qu'en simplifiant (en omettant toute référence directe aux métriques par exemple), cela devient "pas si compliqué"

[Amanuensis]

Et dans le cas du carré, ressortir par un côté adjacent ne donne rien d'intéressant

La sphère S2 peut-être? Cas intéressant, car alors cela signifie que la métrique euclidienne sur le carré ne donne pas une métrique correcte sur la surface compacte obtenue par le repliement. (Ce qui contredit le "donc la variété 2D obtenue en connectant ses bords l'est également", qui est de toutes manières un "donc" dont la démo n'est "pas si simple" (un problème est évidemment la métrique sur les points venant des coins du carré ou du cube).

[Gilgamesh]

??? T3 désigne une unique variété, il me semble, C1xC1xC1

Et certaines manières de choisir la face de retour ne peuvent pas donner T3 (de même que les différentes manières de replier un carré donnent T2 ou la bouteille de Klein ou le plan projectif).

Et dans le cas du carré, ressortir par un côté adjacent ne donne rien d'intéressant ; du coup je ne pense pas que joindre des faces adjacentes d'un cube donne quelque chose d'intéressant. À vérifier.

Bref, pour moi faut revenir par la face opposée, et il y alors peut-être 8 manières de le faire par paire de faces, certaines combinaisons vont donner T3, d'autres des volumes non orientables, etc.

Oui, tu as raison, ça ne marche pas, je biffe.

Pour faire le point entre la topologie des espace euclidien et la cosmologie, je conseille la lecture de cet article d'un dossier Cosmologie de la revue Pour la Science :

Dix autres mondes sont possibles (PDF)

[Deedee81]

Bonjour,

Il parlait d'un plan 3D, le tore n'est pas un plan.
Si tu arrives à faire un tore avec une feuille de papier, link la photo stp

Je parlais du tore PLAT (qui ne peut pas s'obtenir à partir de la "bouée" sans la déformer, enfin pas sans corrugations On sait plonger le tore plat sans l'espace 3D mais ça fait un truc bizarre).

Et voilà, tu te précipites pour répondre sans avoir été vérifier (alors que je l'avais conseillé) et HOP une nouvelle bêtise. Ca m'arrive de lâcher des énormités, mais là tu fais fort.
C'est d'autant plus absurde que c'est archi connu, une recherche google t'aurait donné des tonnes et des tonnes de liens.

[Tryss2]

Concernant le plongement du tore plat dans l'espace 3D usuel :

http://images.math.cnrs.fr/Gnash-un-tore-plat.html

[Amanuensis]

Est-ce que l'aire de ce plongement isométrique est finie? (Je pense que oui, mais sans démo immédiate, juste que comme l'isométrie conserve les longueurs et les angles, elle devrait conserver les aires.)

[Mailou75]

Salut, merci beaucoup et désolé pour le délai de reponse...

@Amanuensis

Disons le troisième.

Pour un tore plongé en 3D, la métrique euclidienne du tore peut être visualisée avec un ensemble de cercles équatoriaux et un ensemble de cercles radiaux, en mettant le même nombre de chaque. Tous les côtés des mailles quadrilatères ont alors à peu près la même longueur au sens de la métrique du tore (mais pas au sens de la métrique de l'espace ambiant), et on s'approche de l'égalité d'autant mieux qu'il y a plus de cercles.

Faut voir cela comme une sorte de carte.

T2 en 2D: D'accord c'est l'image linkée par Gilga, plus le découpage est dense et plus la mosaïque s'approchera du carré. On ne considère que la surface 2D dans laquelle, quelle que soit la déformation du carré, il est toujours considéré comme carré. Si PacMan habitait cette surface il dessinerait une "carte" avec une grille orthogonale, plus la maille est dense et plus on s'approche de "l'égalité" entre plongements 2D et 3D.

(On remarquera que par construction tous les cercles dessinés ont la même longueur pour la métrique du tore.)
Sur la "carte" de PacMan ? Ce sont des droites pas des cercles..?

Pas d'observateur extérieur. Simplement on mesure une longueur infinitésimale sur la surface du tore en prenant la mesure utilisée en 3D. C'est la notion naturelle de mesure sur une surface plongée. Selon cette mesure le cercle équatorial intérieur a une longueur plus petite que le cercle extérieur.

T2 en 3D : D'accord on prend cette fois la vraie longueur des cercles qui découpent le Tore. Il ne sont pas égaux, ce sont des cercles et il y a donc une courbure.
- Doit on considérer que la surface du pneu a deux faces, et que l'extérieur a une courbure positive et que l'intérieur (dans le pneu) a une courbure négative ?
- Que penser d'un point qui se trouve sur la jante qui a a la fois une courbure positive (section du pneu) et négative (jante) ?

Je ne sais pas si le plonger en 5D suffit pour que la métrique induite soit euclidienne ; m'étonnerait. En 6D c'est sûr...
J'aime bien ton humour


Ce n'est pas de la physique, c'est des maths.
C'est bien ce qui me dérange...

Plonger une variété dans un espace euclidien, comme un cercle dans un plan, c'est une manière de visualiser, ainsi que de travailler avec les outils des espaces euclidiens. Cela n'a pas à correspondre à quelque chose de physique.

À côté de cela, il y a des outils mathématiques (géométrie différentielle) pour travailler sur des variétés "en elles-mêmes", non plongées dans quoi que ce soit. On peut faire de la géométrie sur un tore sans avoir à l'imaginer plongé dans un espace euclidien. On va alors typiquement choisir la métrique euclidienne, puisque le tore en admet une.
... mais je comprends, c'est comme un changement de repère chez Minkowski, ca n'a pas du tout la meme tête mais ca dit mathématiquement la meme chose. Et par extension, quand on est bon en maths, on peut ajouter N dimensions sans se soucier de la "representation", en sachant que ça marche..

Oui et non. "Euclidien" dépend de la métrique choisie (il n'y a pas qu'une seule métrique possible pour une surface donnée).
Non: il y a des surfaces munies de métrique telles qu'il n'existe aucun ouvert où elle est euclidienne (= la courbure, qui dépend de la métrique, n'est jamais nulle).
Oui: On peut toujours, en un point d'une surface donnée, trouver une métrique qui soit localement euclidienne en ce point.
Là tu m'as perdu

NDLR [La Terre est localement plate] Correct. Mais la métrique usuelle sur la sphère S2 (correspondant à celle induite dans un plongement dans R^3 euclidien) n'est pas localement plate. Faut construire une autre métrique autour d'un point, explicitement euclidienne (c'est toujours possible) pour parler de "localement plat".

Cela n'a pas de sens. (Et si on en trouve un cela a toutes les chances d'être faux: si la courbure est non nulle en ce point, il ne peut pas être "plat".
Ben ça dépend.. si la maille est suffisamment fine (cm) par rapport à la dimension du tore (13GaL) on s'approche de "l'égalité". C'est en ce sens que je parle de localement plat... si l'univers a une courbure, on en mesurerait peut être pas grand chose.

..........

@Gilgamesh

En 2D le tore T² plongé dans un espace à 3 dimensions est la surface de la chambre à air. Tout le reste (intérieur, extérieur) ne compte pas.
En 3D le tore T³ est un volume, mais ce volume n'est nullement définit par l'intérieur délimité par T².
Oui voir plus haut pour T2 en 2D et 3D.
T3 c'est le truc impossible à se représenter mais mathematiquement juste, ayant les mêmes propriétés dans une dimension supplémentaire.


Pour la surface de plongement de T² ça donne ça :
La surface n'est euclidienne nulle part, mais si on intègre la courbure totale, on trouve qu'elle est nulle.
Ca veut dire quoi "intégrer une courbure" stp ? Snif

On ne peux pas se le représenter de l'extérieur. De l'intérieur par contre c'est extrêmement simple. Tu prend un cube et tu définis que lorsque tu sors par une face, tu rentres par la face opposée. (edit : et non pas comme corrigé par Amnuensis par choix d'une face ou de l'autre)

Bon, en résumant ce n'est pas si compliqué.

Pour T² tu prends un rectangle et tu identifies les bord. Le rectangle définit une surface euclidienne, donc la variété 2D obtenue en connectant ses bords l'est également. Toutefois, si tu dois plonger la surface obtenue en 3D pour te la représenter, cela induit une courbure en tout point, c'est la chambre à air du monde réel.

Pour T³ c'est exactement la même manip en opérant cette fois ci sur les faces d'un parallélépipède. Même topo : le parallélépipède définit un espace euclidien, donc la variété obtenue en connectant ses faces est également euclidienne.
Elle m'allait bien cette representation de "l'intérieur" du T3, dommage qu'en lisant la suite je doive l'abandonner. J'ai pas bien compris pourquoi d'ailleurs, vous pourriez simplifier svp ?

..........

@Tryss2

Concernant le plongement du tore plat dans l'espace 3D usuel :
http://images.math.cnrs.fr/Gnash-un-tore-plat.html[/QUOTE]

Ah.. et ca c'est Tore PLAT de Deedee. Mais alors c'est quoi la grande différence avec le T2 en 2D ? Celui ci est un plan autant en 2D que son plongement en 3D, cad qu'on pourrait réaliser cette figure avec une feuille de papier ??

..........

Quoi qu'il en soit, vous êtes quand même en train de m'endormir... On etait en train de parler d'univers infini (avec ou sans bord) et il se trouve que le modèle actuel prend bien pour axiome qu'il est plat et infini a ma connaissance. La "platitude" a meme été officialisée par les mesures !

Apres on est en droit de se demander si PacMan jugerait que son univers est courbe ? D'après ce qui est dit plus haut, il semble que non. Lui est sur T2 en 2D, et nous nous sommes dans T3 en 3D, pas dit que la courbure soit plus mesurable pour nous que pour lui...

- Quel moyen a PacMan de savoir si son univers est un tore ou c'est un plan infini ?
- Quel moyen a t on de savoir si on est dans un T3 ou dans une hypersphere (sans triangulation possible) ?
J'ai ma petite idee mais je préfèrerais votre avis


Encore merci pour vos reponses et par avance pour la suite
Mailou

[Amanuensis]

Sur la "carte" de PacMan ? Ce sont des droites pas des cercles..?

Des lignes partout localement droites, mais se refermant sur elles-mêmes. Tout comme un méridien sur Terre.

T2 en 3D : D'accord on prend cette fois la vraie longueur des cercles qui découpent le Tore. Il ne sont pas égaux, ce sont des cercles et il y a donc une courbure.

Le terme "courbure" a plusieurs sens.

- Doit on considérer que la surface du pneu a deux faces, et que l'extérieur a une courbure positive et que l'intérieur (dans le pneu) a une courbure négative ?

Oui et non. Faudrait entrer dans les détails des différentes notions de courbures. Le signe d'une courbure a un sens différent selon ce qu'on appelle courbure. En optique, on parlera de courbure positive ou négative pour convexe ou concave, mais en RG ce n'est de cette courbure là dont il est question. Pour la courbure de Gauss, le signe indique si tous les cercles tangents sont "du même côté" (sommet ou fond de cuvette), ou s'il y en a des deux côtés (point selle, col). Et cette courbure ne s'occupe pas du côté de la surface qu'on regarde.

Pour le tore T2 usuel plongé dans R3, métrique induite, les points sur l'équateur extérieur (le plus loin de l'axe de symétrie) ont une courbure de Gauss positive, ceux sur l'équateur intérieur ont une courbure de Gauss négative.

- Que penser d'un point qui se trouve sur la jante qui a a la fois une courbure positive (section du pneu) et négative (jante) ?

Cela correspond j'imagine à la description d'un point selle, donc de courbure de Gausse négative.

Ben ça dépend.. si la maille est suffisamment fine (cm) par rapport à la dimension du tore (13GaL) on s'approche de "l'égalité". C'est en ce sens que je parle de localement plat... si l'univers a une courbure, on en mesurerait peut être pas grand chose.

Certes. Sauf que a courbure ne peut pas être modifiée par un choix de coordonnées. Ce n'est pas une question de "taille de maille", la question est de l'échelle à laquelle on s'intéresse, de l'expérience à laquelle on s'intéresse. Une courbure (de Gauss) est en l'inverse d'une aire (quelle que soit la dimension). En prenant la racine carrée de l'inverse de la valeur absolue d'une courbure scalaire, on obtient une longueur, un "rayon de courbure". Si les échelles d'une expérience locale (longueur typique, et durée typique x c) sont négligeables devant ce rayon de courbure, alors l'approximation plate amène des erreurs négligeables. Mais la courbure n'a pas été annulée (pas euclidien), c'est le rapport échelle sur rayon de courbure qui a été approché par 0, c'est cela qui sera "pas grand chose", et pas la courbure.