Forme d'un trou noir et autres questions

[JessikaS]

Bonjour à tous,
Je suis passionnée d'astrophysique et je me pose quelques questions concernant les trous noirs, mais je précise que je ne maîtrise pas (et de loin) tous les outils mathématiques pour les décrire.

Premier point : la forme de l'horizon.
Pour un trou noir de Schwarzschild, c'est simple, l'horizon est sphérique et on a :
Pour un trou noir de Kerr (c.a.d. en rotation), on a cette formule :
On voit clairement que ce rayon ne dépend pas de la latitude, donc un trou noir de Kerr devrait être parfaitement sphérique.
Le soucis c'est que de nombreux sites représentant un trou noir en rotation montrent un ellipsoïde.
Quelques exemples : Wikipedia ; Wikipedia anglais ; Astrosurf
J'aimerais donc savoir où se situe la vérité.

Deuxième point : la singularité.
Pour un trou noir de Schwarzschild c'est un point : OK
Pour un trou noir de Kerr, c'est un anneau, ce serait dû à la force centrifuge.
Le problème c'est que sous la sphère des photons (r = 1,5Rs) la force centrifuge s'inverse et pointe vers le centre du trou noir, je ne vois donc pas pourquoi la singularité prendrait la forme d'un anneau...
Et si on applique le même raisonnement à l'horizon, il devrait rester le même aux pôles, et rétrécir à l'équateur, ce qui n'est manifestement pas le cas.

Troisième point : l'ergosphère.
Son rayon est : où θ représente la latitude.

À l'équateur on a donc et au pôle donc et ainsi

La courbe définie par R en faisant varier θ est :
en posant (α=0 pour un trou noir de Schwarzschild et α=1 pour un trou noir extrémal).
J'ai tracé les courbes correspondantes pour α=0 ; α=0,5 ; α=0,75 ; α=0,9 ; α=0,97 ; α=1 et à ma grande surprise l'ergosphère n'est pas un ellipsoïde de révolution mais devient une sorte de citrouille quand α se rapproche de 1.


Est-ce exact ? Wikipédia montre un ellipsoïde en version française (ainsi que de nombreux sites et ouvrages) et une sorte de citrouille en version anglaise.

Quatrième point qui ne concerne pas vraiment la forme des trous noirs mais qui m'intrigue c'est la courbure de l'espace. J'ai souvent lu que l'horizon des événements Rs (Schwarzschild) n'est pas vraiment une sphère de rayon Rs car ce rayon n'est pas mesurable directement mais une sphère de circonférence C = 2∙pi∙Rs ce qui me paraît bizarre car la courbure de l'espace devrait imposer que C / Rs soit différent de 2Pi.
Vos explications sont donc les bienvenues

Et enfin le dernier point : la vitesse de libération et la vitesse orbitale (pour une orbite circulaire).
Pour simplifier on traitera le cas d'un trou noir de Schwarzschild.
Voici les formules "classiques" :
- vitesse d'évasion :
- vitesse orbitale :

Ces formules restent elles valables au voisinage d'un trou noir ?
- pour la vitesse d'évasion c'est cohérent car pour on a
=> la formule est correcte sur l'horizon mais le reste elle très près d'un trou noir ?
- pour la vitesse orbitale ça ne va pas car sur la sphère des photons on a donc
=> ce qui est faux car les photons étant en orbite autour du trou noir on devrait avoir !

Voici donc ma question : quelle est la formule qui donne la vitesse orbitale Vo autour d'un trou noir en fonction de r et de M ?

Conclusion : pas mal de chose étant un peu contre-intuitives (mais bon, l'intuition avec les trous noirs et la relativité c'est un peu spécial ), merci d'éclairer ma lanterne
-----

[mach3]

Concernant le 3e point, usuellement la coordonnée theta est la colatitude et non la latitude, c'est à dire qu'elle vaut pi/2 à l'équateur et 0 ou pi aux poles.

Je n'ai pas encore lu la suite (et vu qu'au delà du trou noir de Schwarzschild je ne connais vraiment pas bien, je ne pourrai pas apporter beaucoup à ce fil sur ce qui concerne Kerr...), mais c'est un point qu'il me semble utile de préciser tout de suite.

m@ch3

[JessikaS]

Merci pour cette réponse,
En effet j'ai hésité, j'ai trouvé deux formules : l'une avec latitude et l'autre avec colatitude et ça m'a paru plus naturel d'utiliser la première (comme la latitude terrestre).

[yves95210]

Bonjour,

Au sujet de la (non-)sphéricité de l'horizon, j'ai trouvé la remarque suivante dans le cours de RG de E. Gourgoulhon, à propos de la figure représentant l'horizon et l'ergosphère (une coupe dans un plan-coordonnées à et constants) : "l’horizon des événements H, dessiné comme un cercle sur cette figure puisque ne dépend pas de , n’est pas aussi sphérique qu’il paraît, car pour la métrique induite sur H n’est pas la métrique canonique d’une sphère".

Ce dont on peut se rendre compte à partir de l'expression de la métrique, où :

[A voir en vidéo sur Futura]

[JessikaS]

Intéressant mais un peu complexe pour moi.
Il me vient une idée :
- si on observe un trou noir de Schwarzschild, on voit son ombre qui est un disque (noir).
- donc concrètement si on regarde un trou noir de Kerr, que voit on ? L'ombre reste-t-elle un disque ou pas ? Et cette ombre est-elle déformée, décalée ?
Il me semble que dans toutes les simulations de trou noir que j'ai vu, même en rotation, l'ombre de l'horizon était toujours un disque.

[yves95210]

- donc concrètement si on regarde un trou noir de Kerr, que voit on ? L'ombre reste-t-elle un disque ou pas ? Et cette ombre est-elle déformée, décalée ?

Les deux. Par exemple cette publication (dont je n'ai lu que l'abstract) parle de la possibilité de déduire les paramètre de rotation des trous noir de la forme et de la position de leur ombre.
C'est donc bien que cette ombre n'est pas un disque (et sa forme dépend de l'angle sous lequel on l'observe), et qu'elle est décalée par l'effet de "frame-dragging" au voisinage du trou noir (d'autant plus que sa rotation est rapide). Cf. les figures dans l'article.

[mach3]

Quatrième point*qui ne concerne pas vraiment la forme des trous noirs mais qui m'intrigue c'est la*courbure de l'espace. J'ai souvent lu que l'horizon des événements Rs (Schwarzschild) n'est pas vraiment une sphère de rayon Rs car ce rayon n'est pas mesurable directement mais une sphère de circonférence C = 2∙pi∙Rs ce qui me paraît bizarre car la courbure de l'espace devrait imposer que C / Rs soit différent de 2Pi.
Vos explications sont donc les bienvenues*

La coordonnée radiale r est généralement ce qu'on appelle un rayon aréal. Ce n'est pas la distance au centre, qui dans le cas d'un trou noir n'est de toutes façon pas définie. C'est le rayon qu'aurait une sphère de l'espace euclidien de même surface. Il est défini justement pour avoir C/r=2pi. Le vrai rayon (s'il existe), sera plus grand ou plus petit que r suivant la courbure.

Pour finir, une analogie avec une dimension de moins pour comprendre que le centre peut ne pas être défini. Si on prend une sphère et qu'on considère ses parallèles qui sont des cercles, on peut considérer que le pôle nord est le centre de ces cercles (et la distance à ce centre est plus grande que ce que peut laisser croire la circonférence). Si on fait la même chose sur un paraboloide de Flamm (un genre de diabolo), alors les cercles parallèles n'ont pas de centre.

m@ch3

[mach3]

Pour le dernier point, je suggère la lecture de ce fil : https://forums.futura-sciences.com/q...trou-noir.html

m@ch3

[ordage]

Bonjour à tous,
Je suis passionnée d'astrophysique et je me pose quelques questions concernant les trous noirs, mais je précise que je ne maîtrise pas (et de loin) tous les outils mathématiques pour les décrire.

Premier point : la forme de l'horizon.

On voit clairement que ce rayon ne dépend pas de la latitude, donc un trou noir de Kerr devrait être parfaitement sphérique.
Le soucis c'est que de nombreux sites représentant un trou noir en rotation montrent un ellipsoïde.

Deuxième point : la singularité.
Pour un trou noir de Schwarzschild c'est un point : OK
Pour un trou noir de Kerr, c'est un anneau,

Troisième point : l'ergosphère.


Quatrième point qui ne concerne pas vraiment la forme des trous noirs mais qui m'intrigue c'est la courbure de l'espace. J'ai souvent lu que l'horizon des événements Rs (Schwarzschild) n'est pas vraiment une sphère de rayon Rs car ce rayon n'est pas mesurable directement mais une sphère de circonférence C = 2∙pi∙Rs ce qui me paraît bizarre car la courbure de l'espace devrait imposer que C / Rs soit différent de 2Pi.


Et enfin le dernier point : la vitesse de libération et la vitesse orbitale (pour une orbite circulaire).


Voici donc ma question : quelle est la formule qui donne la vitesse orbitale Vo autour d'un trou noir en fonction de r et de M ?

Conclusion : pas mal de chose étant un peu contre-intuitives (mais bon, l'intuition avec les trous noirs et la relativité c'est un peu spécial ), merci d'éclairer ma lanterne

Bonjour
1- Dans les coordonnées de Boyer-Lindquist (BL), les surfaces à r = constante ne sont pas des sphères mais des ellipsoïdes. Par ailleurs il existe, en général,2 horizons ainsi que 2 ergosphères, une singularité en anneau, un anti- univers (r < 0), une structure "polymérique "infinie" et une région (la Carter Time Machine) ou la causalité peut être violée. Une structure relativement complexe pour un objet défini par 2 paramètres.


2- C'est un effet de la "rotation". Dans la métrique de BL, on voit que r = 0 est un ellipsoïde dégénéré en disque. La métrique BL montre que la singularité centrale se produit pour r = 0 et theta = pi/2.
3- Ergosphère (externe). Limite statique en rotation.C'est la surface où le vecteur de Killing "temps" devient de type "espace" ceci ne coïncide pas avec l'horizon (sauf aux pôles).
4-Compte tenu de la symétrie sphérique dans le TN statique, l'horizon qui est une surface de type nul, est à symétrie sphérique. La coordonnée r sert de repère dans les coordonnées de Schwarzschild, elle n'est pas physique (comment la mesurer). Mais faire une mesure de longueur de périmètre sur l'horizon qui est une surface de type nul me semble tout autant problématique. En relativité, sur des géodésiques (orbites), circulaires par exemple, suivies par des astres pour r > 3GM/c², qui sont de type temps, on peut faire des mesures de type temps (période) avec le temps propre qui ont un caractère physique (espace-temps), je ne pense pas que les calculs de longueur de la circonférence suivie par l'astre ait un caractère physique (ce n'est pas une grandeur de type espace-temps).
5- Quelle définition pour la vitesse (3-vitesse "newtonienne" dans un référentiel qui a un caractère arbitraire) ou 4-vitesse relativiste?
Cordialement

[JessikaS]

Les deux. Par exemple cette publication (dont je n'ai lu que l'abstract) parle de la possibilité de déduire les paramètre de rotation des trous noir de la forme et de la position de leur ombre.
C'est donc bien que cette ombre n'est pas un disque (et sa forme dépend de l'angle sous lequel on l'observe), et qu'elle est décalée par l'effet de "frame-dragging" au voisinage du trou noir (d'autant plus que sa rotation est rapide). Cf. les figures dans l'article.

Merci pour le lien, effectivement on voit très bien ce qui se passe sur la figure le la page 4. En fait l'ombre se décale d'un côté mais reste (quasiment) en forme de disque, et ce n'est que lorsque la vitesse de rotation du trou noir approche la vitesse maximale que le disque se déforme de façon visible.

Le trou noir du schéma tourne donc de la gauche vers la droite ? ou je me trompe ?

La coordonnée radiale r est généralement ce qu'on appelle un rayon aréal. Ce n'est pas la distance au centre, qui dans le cas d'un trou noir n'est de toutes façon pas définie. C'est le rayon qu'aurait une sphère de l'espace euclidien de même surface. Il est défini justement pour avoir C/r=2pi. Le vrai rayon (s'il existe), sera plus grand ou plus petit que r suivant la courbure.

Alors si je comprends bien ça pourrait impliquer que la distance entre une sphère de rayon R1 et une sphère de rayon R2 ne soit pas égale à |R1 - R2| ?

Pour le dernier point, je suggère la lecture de ce fil : https://forums.futura-sciences.com/q...trou-noir.html

OK, je lirai ça à tête reposée (sûrement ce soir)

[mach3]

Alors si je comprends bien ça pourrait impliquer que la distance entre une sphère de rayon R1 et une sphère de rayon R2 ne soit pas égale à |R1 - R2| ?

Oui, et ça se lit directement dans l'expression de la métrique : le coefficient devant dr^2 est différent de 1 (mais il tend vers 1 pour r très grand devant rs, donc r se comporte comme une distance quand on est loin du trou noir).

m@ch3

[JessikaS]

Bonjour
1- Dans les coordonnées de Boyer-Lindquist (BL), les surfaces à r = constante ne sont pas des sphères mais des ellipsoïdes. Par ailleurs il existe, en général,2 horizons ainsi que 2 ergosphères, une singularité en anneau, un anti- univers (r < 0), une structure "polymérique "infinie" et une région (la Carter Time Machine) ou la causalité peut être violée. Une structure relativement complexe pour un objet défini par 2 paramètres.

4-Compte tenu de la symétrie sphérique dans le TN statique, l'horizon qui est une surface de type nul, est à symétrie sphérique. La coordonnée r sert de repère dans les coordonnées de Schwarzschild, elle n'est pas physique (comment la mesurer). Mais faire une mesure de longueur de périmètre sur l'horizon qui est une surface de type nul me semble tout autant problématique. En relativité, sur des géodésiques (orbites), circulaires par exemple, suivies par des astres pour r > 3GM/c², qui sont de type temps, on peut faire des mesures de type temps (période) avec le temps propre qui ont un caractère physique (espace-temps), je ne pense pas que les calculs de longueur de la circonférence suivie par l'astre ait un caractère physique (ce n'est pas une grandeur de type espace-temps).

Oui, et ça se lit directement dans l'expression de la métrique : le coefficient devant dr^2 est différent de 1 (mais il tend vers 1 pour r très grand devant rs, donc r se comporte comme une distance quand on est loin du trou noir).

Là ça devient un peu compliqué pour moi, vu que je ne suis pas habituée à manipuler les métriques.
Mais si je comprends bien tu parle de ce coefficient : qui effectivement tend vers 1 quand r tend vers l'infini.

2- C'est un effet de la "rotation". Dans la métrique de BL, on voit que r = 0 est un ellipsoïde dégénéré en disque. La métrique BL montre que la singularité centrale se produit pour r = 0 et theta = pi/2.

Donc ça vient de la rotation, mais pas de la force centrifuge, c'est plus une solution des équations qui décrivent le trou noir. C'est correct si je dis ça ?

3- Ergosphère (externe). Limite statique en rotation. C'est la surface où le vecteur de Killing "temps" devient de type "espace" ceci ne coïncide pas avec l'horizon (sauf aux pôles).

Là OK, je me suis faite à l'idée que l'ergosphère peut prendre la forme d'une citrouille, même si c'est un peu contre-intuitif.

5- Quelle définition pour la vitesse (3-vitesse "newtonienne" dans un référentiel qui a un caractère arbitraire) ou 4-vitesse relativiste?

Disons qu'on considère 2 cas :
- la vitesse de vue de loin (quand r tend vers l'infinie).
- la vitesse locale (pour celui qui est en orbite).
Et plutôt que vitesse (vu que les distances peuvent être difficiles voir impossibles à mesurer), on pourrait peut-être plutôt parler de période de révolution (là aussi, vue de loin et localement).

[JessikaS]

Je viens de lire le lien donné par mach3 et ça me semble bien plus clair.
Pour résumer :
1) Pour un observateur à l'infini :

De façon assez remarquable, la période orbitale d'un objet en orbite circulaire autour d'un trou noir de Schwarzschild (sphérique) est exactement égale à la période orbitale donnée par la troisième loi de Kepler, à condition que le rayon et la période soient définis de manière appropriée. La période orbitale T d'un objet en orbite circulaire de rayon R d'un trou noir de masse M, telle que mesurée par un observateur extérieur (à l'infini), est donnée précisément par la troisième loi de Kepler

donc

Pour être précis, le rayon R ici est le rayon « circonférentiel », celui défini tel que 2πR est la circonférence propre d'une sphère de rayon R, tel qu'utilisé dans la métrique de Schwarzschild.

2) Pour celui qui suit l'orbite :

La période orbitale propre [...] est plus courte, d'un facteur

[JessikaS]

J'ai regardé ce que ça donnait sur la sphère des photons :
donc
La circonférence de l'orbite est
On a donc une vitesse apparente de
Si on applique la formule que j'avais donné dans le premier message de la discussion cela donne
Les vitesses sont identiques, je pense ne pas m'être trompée dans mon raisonnement.

Calculons maintenant cette vitesse apparente par un autre moyen :
On sait que sur la sphère des photons la vitesse orbitale vaut .
La vitesse d'évasion vaut :
On a un facteur de contraction temporelle qu'on peut calculer d'après la vitesse d'évasion :
La vitesse apparente des photons sur la sphère des photons ne peut pas être mesurée car ces photons ne nous parviennent pas, on les remplacera donc par un objet y circulant à est donc la vitesse apparente quand tend vers 0 est

=> c'est bien la vitesse recherchée.

Petite précision : j'ai fait les calculs à mon niveau, donc j'espère ne pas m'être trop égarée...

[ordage]

2) Pour celui qui suit l'orbite :



1-

Bonjour
1- Qui s'écrit plus simplement:



Qui montre qu'il n'y a pas d'orbite circulaire de type temps pour r<3GM.
Pour r >> GM, on retrouve Kepler.
2- Pour la rotation d'un TN de Kerr, précisons qu'il s'agit d'une rotation "intrinsèque". Le TN de Kerr n'est pas en "rotation" dans quoi que ce soit, puisqu'il est un espace-temps infini supposé isolé. Cela se manifeste par des propriétés internes comme par exemple la géométrie des géodésiques de corps en "chute libre" qui ne sont pas radiales mais qui sont déviées dans le sens de la "rotation".
3- La géométrie de l'ergosphère n'est pas un ellipsoïde qui sont définis pour r = cste. La limite R de l'ergosphère externe est donnée par l'équation:



Elle n'est pas constante, elle dépend de la co-latitude. Elle rejoint l'horizon aux pôles.

Cordialement

[JessikaS]

1. Merci, en effet j'aurais pu simplifier la formule, sous cette forme c'est clair que r ne peut pas être inférieur à 3GM.
2. Je ne suis pas sûre de bien comprendre. Quand le trou noir accrète de la masse je veux bien étant donné que de notre point de vue, elle ne tombe pas vers la singularité mais vers "l'empreinte" que l'étoile en effondrement a laissé dans l'espace temps. Par contre cette étoile en effondrement a bien "emporté", de son point de vue, du moment angulaire sous l'horizon. Le trou noir de Kerr devrait donc bien être en rotation, c'est à dire subir une force centrifuge (quelque soit sa direction d'ailleurs), peut-être pas à R=0 mais en tout cas pour R>0.
Je ne sais pas si j'ai été bien claire... mais je ne vois pas comment mieux l'exprimer.
3. Sur le fait que l'ergosphère ne soit pas un ellipsoïde on est d'accord !