Une solution plus générale que la solution générale de Painlevé

[mach3]

Pour le paramètre alpha, c'est par l'équation géodésique à la limite newtonienne, qu'on montre sa valeur. C'est une démo standard (Celle d'Einstein étant la première je suppose. A noter que ce point a perturbé Einstein pendant plusieurs années, car il cherchait cette "convergence" au niveau des équations du champ et s'est rendu compte que c'était au niveau de l'équation géodésique qu'il fallait le faire.

Les deux techniques que j'ai utilisées (orbite circulaire uniforme, détaillée dans le fil, et pesanteur pour un immobile, non détaillée) avaient pour avantage de marcher pour l'expression générale quelque soit B et C. Je ne sais pas si c'est le cas si on passe par l'équation des géodésiques à la limite newtonnienne, ça nécessite peut être que l'expression soit celle de Schwarzschild. Fondamentalement ce n'est pas un problème vu que l'équivalence entre toute les expressions est démontrée, mais ce serait moins "joli". J'essaierai pour voir.

J'ai fait un essai au brouillon pour voir, les équations en theta et phi, sont les mêmes pour Newton et pour la solution générale, c'est l'équation en rho qu'il faut regarder. J'ai transformé mes dérivées premières et seconde de rho en celles de r, j'ai fait disparaitre les dérivées premières de upsilon grace au carré de la 4-vitesse, et après avoir touillé un peu, bingo, on retrouve exactement Newton si alpha=2M, sauf pour le r en facteur devant la partie angulaire qui devient r-M. Comme ça tend vers r pour r grand, on retrouve bien les équations newtonniennes pour r grand.

Du coup merci du conseil, c'est très satisfaisant parce que très général (toutes les géodésiques de cette solution générale tendent vers les trajectoires newtonniennes quand r grand), et encore une fois B et C disparaissent comme par magie (cela se fait en même temps qu'on fait disparaitre la dérivée d'upsilon).

Je vais rédiger au propre et je posterai la démo.

m@ch3
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[ordage]

J'ai fait un essai au brouillon pour voir, les équations en theta et phi, sont les mêmes pour Newton et pour la solution générale, c'est l'équation en rho qu'il faut regarder. J'ai transformé mes dérivées premières et seconde de rho en celles de r, j'ai fait disparaitre les dérivées premières de upsilon grace au carré de la 4-vitesse, et après avoir touillé un peu, bingo, on retrouve exactement Newton si alpha=2M, sauf pour le r en facteur devant la partie angulaire qui devient r-M. Comme ça tend vers r pour r grand, on retrouve bien les équations newtonniennes pour r grand.

Du coup merci du conseil, c'est très satisfaisant parce que très général (toutes les géodésiques de cette solution générale tendent vers les trajectoires newtonniennes quand r grand), et encore une fois B et C disparaissent comme par magie (cela se fait en même temps qu'on fait disparaitre la dérivée d'upsilon).

Je vais rédiger au propre et je posterai la démo.

m@ch3

Bonjour
Il suffit de faire une démonstration pour un seul exemple de la solution, pour déterminer cette constante.

La forme de Painlevé le fait simplement pour l'équation géodésique radiale (sans boost) car dans ce cas les équations de Painlevé et Newton sont identiques. En effet la forme de Painlevé peut s'écrire:



On voit que pour:

ce qui donne une "vitesse" Vp :

l'expression se réduit à ds² = -dt², ce qui indique que le mouvement est géodésique pour cette valeur de la "vitesse" qui se trouve être identique à la vitesse newtonienne Vn : Comme Vp = Vn, (partout, y compris à l'infini) on peut identifier à 2M.

Pour revenir à la formule générale, je me demande si on peut donner n'importe quelle valeur homogène (par exemple 5M²/r² + 3M/r + 7) à la fonction g(r). On peut calculer le coefficient du terme dt.dr mais quid de l'espace-temps généré, si ce n'est que le tenseur de Ricci est nul et que c'est donc une solution dans le vide?
Cordialement

[mach3]

Il suffit de faire une démonstration pour un seul exemple de la solution, pour déterminer cette constante.

oui, bien-sûr, mais faire la démonstration directement sur l'expression générale de la solution (sans choisir la fonction f) est plus élégant. Allons-y :

L'équivalent de l'équation des géodésiques chez Newton est :




. est la dérivée par rapport au temps (absolu dans le cas classique)

L'équation des géodésiques dans le cas de la solution générale proposée est :





. est la dérivée par rapport au temps propre cette fois

avec :
,
,
,


,

, ,
' indique la dérivée par rapport à la coordonnée radiale

Regardons d'abord les équations en et en :




On a , donc elles deviennent :




il s'agit de la même écriture que pour les équations en et en chez Newton, la différence est que la dérivation ne s'effectue pas par rapport au même temps : temps absolu chez Newton et temps propre dans la solution proposé. Cependant, à la limite newtonnienne (vitesse faibles, champ gravitationnel faible) ces deux temps sont approximativement égaux, donc il s'agit bien d'expression identiques dans ce cadre.

Regardons maintenant l'expression en :


Première étape, il nous faut gérer les termes en qui n'ont pas d'équivalent chez Newton. Un peu d'observation permet une factorisation intéressante :


En effet, si on écrit le carré de la 4-vitesse, on a :

Ce qui va permettre de faire disparaitre ces termes en , en effet : . On peut noter que cela fait aussi disparaitre B et C : la suite ne dépend pas du choix arbitraire de la fonction f.

L'équation en devient :



Deuxième étape, il faut transformer les dérivées de en dérivées de r. On a et , l'équation en devient une équation en r :





Nous pouvons maintenant comparer avec l'équation en r chez Newton (les dérivées par rapport au temps des expressions sont assimilables dans la limite newtonnienne, comme déjà précisé) :



Cela exige donc, pour r tendant vers afin d'être dans la limite newtonnienne :




La deuxième condition est immédiatement satisfaite car est déjà exigé par la nullité du tenseur de Ricci (condition n°2 dans le message 15). Pour les deux autres, rappelons les expressions de A et D, justement établies par la nullité du tenseur de Ricci :
et
on a par ailleurs , donc :
, ce qui impose pour satisfaire la première condition.
Pour la 3e condition :

Si , on a bien .

La constante vaut donc et l'équation des géodésiques résultant de l'expression générale de la métrique (sans préciser la fonction f, car les coefficients B et C disparaissent en même temps que la dérivée de ) redonne bien les équations newtonniennes pour des vitesses et champ de gravitation faible.

Je ne garantis pas l'absence d'erreur vu l'heure tardive.

m@ch3

[ordage]

Bonjour
J'ai regardé l'équation géodésique, avec le programme que j'ai, je trouve au moins une petite différence, sur "theta" mais je ne pense pas que cela n'influe pas sur la suite. Je vais regarder la suite.
J'ai mon fichier en PDF, je ne sais pas comment le mettre en pièce attachée.

En fait pour l'équation géodésique, on peut faire comme cela, mais il y a une méthode beaucoup plus simple où on utilise les constantes du mouvement, ( l'énergie E qui est conservée car la métrique ne dépend pas du temps, le moment angulaire L qui est conservé car la métrique ne dépend pas de "Phi", on pose theta = pi/2 car on a une symétrie sphérique et cela ne réduit pas la généralité, et on a l'invariant métrique. Ceci permet de faire la chose en peu de lignes (pas de symboles de Christofel à calculer).

Cordialement

[mach3]

Il y avait un souci sur la 3e condition, ça devait etre 3M-r, il y a un facteur 2 qui a sauté, j'ai édité le post

[mach3]

J'ai fini par trouver ceci : https://www.researchgate.net/publica...tein_equations

Il faut que je l'étudie pour voir si c'est exactement la même chose.

m@ch3

[ordage]

Bonjour
ci-joint calcul de l'équation géodésiqueeq-geo-generique.pdf
Cordialement

[ordage]

Bonjour
En suivant ta méthode, jusqu'à l'équation ci-dessus, les calculs sont relatifs à une métrique générique à symétrie sphérique. C'est après que tu particularise la solution en posant Ricci = 0.

Ces calculs ne devraient -ils pas donc s'appliquer aussi à d'autres métriques à symétrie sphérique où la contrainte de l'équation est différente, par exemple à la solution cosmologique avec section spatiale homogène et isotrope (symétrie spatiale maximum, incluant la symétrie sphérique), la contrainte étant alors que le tenseur de Ricci spatial (3D) soit à symétrie maximale (ce qui implique qu'il est proportionnel à cette métrique spatiale 3D).?
Cordialement

[mach3]

Bonjour
En suivant ta méthode, jusqu'à l'équation ci-dessus, les calculs sont relatifs à une métrique générique à symétrie sphérique. C'est après que tu particularise la solution en posant Ricci = 0.

symétrie sphérique ET stationnaire (les coefficients de la métrique ne dépendent que de la coordonnée radiale, donc en définitive que du rayon aréal)

Ces calculs ne devraient -ils pas donc s'appliquer aussi à d'autres métriques à symétrie sphérique où la contrainte de l'équation est différente, par exemple à la solution cosmologique avec section spatiale homogène et isotrope (symétrie spatiale maximum, incluant la symétrie sphérique), la contrainte étant alors que le tenseur de Ricci spatial (3D) soit à symétrie maximale (ce qui implique qu'il est proportionnel à cette métrique spatiale 3D).?

oui, jusqu'à cette étape là, les calculs peuvent s'appliquer à des cas non vides, à condition que ce soit stationnaire (par exemple l'univers d'Einstein).

m@ch3

[ordage]

symétrie sphérique ET stationnaire (les coefficients de la métrique ne dépendent que de la coordonnée radiale, donc en définitive que du rayon aréal)



oui, jusqu'à cette étape là, les calculs peuvent s'appliquer à des cas non vides, à condition que ce soit stationnaire (par exemple l'univers d'Einstein).

m@ch3

Bonjour
Effectivement, il y avait cette contrainte.
Cordialement