étagère cantilever

[Bricofagnes]

Bonjour à tous.

Je souhaite construire une étagère cantilever. Ce joli nom anglais qui signifie simplement porte-à-faux, en ce sens que les lisses - autrement dit les supports - ne sont retenus que d'un côté.
On s'en sert surtout pour le stockage des pièces longues. Une illustration entre mille : https://www.hellopro.fr/images/produ...ever-18076.jpg

Mais je manque d'outils pour calculer la capacité [masses qu'on peut y déposer] et/ou les sections d'acier à utiliser.

Concrètement, j'imaginais :
- acier 30x30x3mm [tube carré donc]
- soudé sur les 4 côtés
- montant de 1m50
- lisses de 30cm, d'un seul côté
- structure autoportante, donc non fixée au mur
- masse totale reposant sur les différentes lisses d'un montant 50kg

Et je souhaite voir si ça tient la route, avec un intérêt pratique [mon étagère] mais également intellectuel [comment calcule-t-on ça] ...

Comment calcule-t-on la flexion [en degrés je suppose] d'un angle d'acier [ici l'angle 90° montant-lisse] sous l'effet d'une charge [supposée répartie sur la longueur de la lisse] ? Ceci parce qu'il faut que les lisses restent horizontales
Comment calcule-t-on le couple qui va s'appliquer sur l'angle du bas [lisse au sol-montant] sous l'effet de la charge disposée sur les différentes lisses [imaginons-les réparties sur le montant] ? Ceci parce que j'imagine bien que c'est surtout là que se concentreront tous les efforts du montage
Comment calcule-t-on la résistance d'un angle d'acier sous l'effet d'un couple y appliqué ? Car au delà du pliage, il ne faut pas qu'il se déchire.
Comment calcule-t-on la flexion d'une longueur d'acier [montant] sous l'effet des différents couples [supposés égaux et supposés répartis] qui y sont appliqués par les charges disposés sur les lisses ? Cette flexion va s'ajouter à celles des angles montants-lisse et faire pencher les lisses.

Ma question se veut pratique : on ne va considérer qu'un montant, avec des coefficients de sécurité raisonnables. On n'est pas dans du dangereux, avec des masses immondes [disons 50kg posés sur l'ensemble des lisses d'un montant] ou des hauteurs impressionnantes [1m50]. Mais on veut que les lisses restent horizontales, ce qui en pratique ne laisse la possibilité que de quelques mm de tassement en bout de lisse.

Déjà un énorme merci !
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[ilovir]

Bonjour

Pour répondre à votre réponse :

il faut appel à la résistance des matériaux - pour ma part, comme c'est fastidieux, j'utiliserais le gratuiciel Freelem qui donne les résultats
et aux normes telles que l'eurocode 3 vis à vis de la sécurité en résistance
et encore aux catalogues des caractéristiques des produits acier (genre arcelor)
et également aux normes spécifiques aux racks de stockage, notamment dans les locaux recevant des travailleurs.

Je peux essayer quelque chose avec Freelem, mais il faudrait que vous mettiez un plan de ce que vous voulez faire.

[Bricofagnes]

Merci pour votre réponse

En fait, je cherche plus à comprendre qu'à avoir une réponse unique à un plan unique.

Prenons pour exemple un tube d'acier carré [1]. Soudons-y perpendiculairement un autre tube d'acier carré, identique [2]. Et supposons la soudure bien faite, en pratique aussi résistante que l'acier sur laquelle elle est soudée.

Mettons le tube [1] verticalement, ce qui évidemment positionne le tube [2] horizontalement.

Appliquons une force verticale dirigée vers le bas [autrement dit un poids] sur le tube [2], à une distance d de l'angle [1]-[2].

Question 1 : quelle va être la déformation de l'angle [en degrés je suppose]
Question 2 : quelle va être la déformation de [1] sur sa longueur

En pratique, on reste dans des données raisonnables. Par exemple tubes carrés 30x30x3mm, distance d=20cm, hauteur de [1] 1m50, poids 250N

Et corollaire maintenant ...

On retourne le tout, de sorte que [2] soit à plat au sol. [1] est toujours vertical, mais retourné. Supposons une série de tubes [2] faisant étagère répartis sur la hauteur de [1]. Appliquons sur l'ensemble des tubes un poids supposé uniformément réparti.

Question 3 : Comment va se comporter l'angle [1]-[2] au niveau du sol ?

Avec toujours des grandeurs raisonnables, soit les mêmes que ci-dessus et un poids total de 500N ou 1000N par exemple.


D'avance et encore, un grand merci !

[sh42]

Bonsoir,

Ce genre de calcul de résistance des matériaux ce n'est que de la physique et du calcul mathématique incluant les forces et les moments de ces forces par rapport à un point donné.
Il en est de même pour les calculs des soudures sauf que pour ces dernières, de mémoire, sur la longueur de la soudure, il faut enlever deux fois l'apothème ce qui correspond à l'amorce et fin de soudure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bricofagnes]

Bien sûr, ce n'est "que" de la physique, qui passera par du calcul mathématique des moments et forces en présence vs la résistance des matériaux en œuvre. Mais concrètement ... ?

[sh42]

Re-bonsoir,

Poser les équations, faire les intégrales, les dérivées, les hypothèses, .......

Par exemple le poteau vertical peut être considéré comme une poutre encastrée à sa base, ( soudure ), et soumise aux hauteurs h1, h2 , h3, ..... à un couple et un effort tranchant.

[ilovir]

Si cela vous intéresse, procurez vous un traité de RdM ; je ne peux rien vous rien dire d'autre. Je ne saurais pas vous faire ici un cours de RdM.
Et aussi les formulaires comme celui de Courbon, que vous pourrez glaner sur le net, mais pour le comprendre il faut d'abord avoir acquis les bases.

[Bricofagnes]

Bien sûr. je vous remercie pour votre docte avis.

[sh42]

Bonjour,

Question 1 : quelle va être la déformation de l'angle [en degrés je suppose]
Question 2 : quelle va être la déformation de [1] sur sa longueur

La courbe de déformation d'une poutre sensée être encastrée et soumise à une charge ponctuelle est une équation de puissance 3.
L'angle au départ, ( au point de soudure ), est de 90°. C'est ensuite qu'il est modifié puisqu'il devient tangent à la courbe de puissance 3.

[ilovir]

L'angle au départ, ( au point de soudure ), est de 90°

Pas tout à fait, car le poteau se déforme lui-aussi sous l'effet du moment de flexion. Et pour mettre ça en équation, bonjour.

[Bricofagnes]

Exactement : "pour mettre ça en équation, bonjour"

Mais nom d'un pipe, les fabricants d'étagères cantilever ne travaillent tout de même pas n'importe comment ... Il doit bien y avoir des approches raisonnables pour ce problème.

Je me disait qu'on pourrait partir du moment [F x d] appliqué sur [2] et rapporté à la hauteur du tube [2] au niveau de la soudure [1]-[2]. On en déduirait une force de pression sur le bas de [2] et de traction sur le haute de [2]. Si cette force, rapportée à la surface [30x3mm dans mon exemple] de [2] en sa partie haute est inférieure à ce que peut supporter l'acier à l'arrachement, on est bons. Surtout qu'on néglige la partie haute des parois verticales de [2] qui elles aussi subissent la traction. Et en compression, on supposera le métal incompressible.

Mais tout cela reste très approximatif, non ?

Pour ce qui est de l'angle du bas, on travaillerait exactement de la même façon.

Ce qui en gros devrait résoudre le problème en pratique - l'angle [1]-[2] ne se déchire pas - mais pas en théorie ... Parce que je sais bien qu'un angle, ça plie. Que la force nécessaire au pliage dépend des dimensions des tubes. Et qu'au delà d'une certaine limite, ça dépasse les limites élastiques et l'angle se brise. Mais je n'ai aucune idée de la relation entre cette force [ou plutôt ce moment] et le pliage de l'angle.

Sans compter, effectivement, le pliage du poteau lui même ... peut-on appliquer les calculs de flexion d'une poutre en appui simple, en se disant que le moment induit par la force sur [2] travaille comme un poids sur une poutre horizontale ?

[sh42]

Bonsoir,

peut-on appliquer les calculs de flexion d'une poutre en appui simple

La réponse est non puisque une poutre sur un appui simple est instable. C'est le principe de la balance.

Pour faire les calculs d'un bras horizontal, tu calcules comme une poutre encastrée et surtout tu mets un bon coefficient de sécurité de 6 ou 7 sur la résistance du métal.

[ilovir]

les fabricants d'étagères cantilever ne travaillent tout de même pas n'importe comment ... Il doit bien y avoir des approches raisonnables pour ce problème

Les fabricants fonctionnent beaucoup sur la base d'essais et prototypes, avant de lancer une fabrication.
Mais on peut calculer, et pour cela l'utilisation d'un logiciel reste la meilleure solution. Pour vérifier les contraintes et les déformations.

Pour celui qui veut creuser la théorie, il y a les études RdM.

Pour une réalisation pratique, le mieux est de s'inspirer de ce qui existe, dans le commerce ou par exemple ici :

https://www.youtube.com/watch?v=80UWClzenUw

Au niveau du calcul, le point critique est en fait l'évaluation de la résistance de l'assemblage soudé en T tube sur tube. Car l'effort arrivant axialement dans l'âme du tube horizontal va tirer perpendiculairement sur celle du tube vertical, provoquant un effort local de flexion dans celle-ci.

Je ne sais pas comment le déterminer, mais en prenant des tubes à parois assez épaisses (au moins 3 mm), et avec un bon de coefficient de sécurité comme dit SH 42, ça pourra aller.

[patrick78140]

Salut
Sont pas pres d'etre poséees ces etageress!!!

[sh42]

Bonjour,

Pour quelqu'un de fâché avec une simple calculatrice, c'est une journée de travail.

Les logiciels, c'est bon mais il faut choisir ceux qui correspondent, car parfois on peut avoir des surprises.

[Jaunin]

Bonjour,
Avez-vous regardé le lien suivant ainsi que les discussions similaires en bas de page.
Cordialement.
Jaunin__

[Jaunin]

Oups, désolé.

calcul flèche d'une potence (futura-sciences.com)

[Jaunin]

Bonjour,
J'ai retrouvé un document papier des années 70.
Ainsi qu'un lien.

https://meefi.pedagogie.ec-nantes.fr...2-corig%E9.pdf

Cordialement.
Jaunin__

[Bricofagnes]

Une fois encore, merci pour le soin que vous portez à mon petit problème ...

La flexion des montants est à mon sens quelque chose de gérable. Rappelons que contrairement à ceux présentés dans la vidéo youtube https://www.youtube.com/watch?v=80UWClzenUw , les miens ne seront pas attachés au mur. En pratique, on va reporter sur le montant la force [poids] appliqué sur les lisses, au prorata du rapport d [distance point d'application du poids - angle avec le montant] : hauteur du montant. Ce qui va donner une force verticale [calculs de flambage] et un force horizontale [on peut appliquer les formules relatives à la flexion d'une poutre encastrée - et non en simple appui, merci sh42].

Par contre, pour la résistance de l'angle lui-même [des angles en fait, et surtout celui du bas qui endosse toute la charge], à part effectivement se dire que le métal doit être raisonnablement épais et essayer ...
Mais est-ce bien une démarche raisonnable que de se dire que la déformation et la résistance au couple d'un schéma aussi simple qu'un angle 90° sur un tube carré ne peut raisonnablement pas être calculé !?! Personnellement, je trouve ça frustrant.

[sh42]

Bonjour,

pour la résistance de l'angle lui-même

Dans un ensemble lisse/poteau, ce n'est pas l'angle du bas qui travaille le plus. Si certes, c'est lui qui encaisse la charge appelée " effort tranchant ", c'est le plus souvent l'angle du haut qui lui encaisse l'effort du moment fléchissant car la lisse est sensée tourner autour de la soudure basse. Si l'on fait le rapport entre longueur de la lisse et sa hauteur, on voit au premier coup d'oeil qu'il est, en général, dans un rapport de plus de 100.

Il faut noter que prendre une charge globale équivalente au dépôt des pièces en bout de lisse est plus pénalisant qu'une charge répartie.

Pour la résistance des soudures, il y a certainement des méthodes de calculs mais je ne les connais pas.

[Bricofagnes]

Sh42 : bien d'accord !
Mais je me suis mal exprimé : dans mon étagère, il y a des lisses; dont une tout en bas qui sert de pied; et qui donc contrairement aux autres lisses supérieures qui ne portent que ce qu'on met dessus, porte tout [ou plus exactement, chaque lisse supérieure est soumise à un moment poids déposé x longueur, tandis que la lisse faisant pied est soumise au moment résultat du poids déposé sur toutes les lisses supérieures]. Voilà pour l'explication angle supérieur [lisse portante] ou angle inférieur [lisse faisant pied].

Et donc, il suffirait de prendre en compte le couple appliqué sur l'angle, de le rapporter à la hauteur de l'angle [le côté du tube carré] et à la surface du haut de la lisse [30x3mm dans mon exemple, en négligeant les parties verticales], et de comparer à la limite élastique de l'acier x un bon facteur de sécurité [6-7] pour savoir ce qui est raisonnable ou non ?

[sh42]

Re-bj,

Dans un calcul de résistance des matériaux, on prends les éléments un par un.

Dans ton cas, c'est chaque lisse, puis le poteau vertical et la lisse inférieure.

Pour le poteau vertical, on peut le calculer comme une lisse. On le considère comme une lisse subissant les forces des soudures et c'est là que cela se complique car pour chaque lisse il y a 2 forces égales et opposées en sens et situées à des distances différentes du pied du poteau.
Pour le pied du poteau, pour le moment de flexion, c'est la somme des moments de flexion de chaque lisse et pour l'effort tranchant il n'y en a pas puisque tous les efforts tranchant des lisses sont dans le sens de la compression.

[Bricofagnes]

Vous êtes sûr sh42 ... "pour le pied du poteau [...] pour l'effort tranchant il n'y en a pas puisque tous les efforts tranchant des lisses sont dans le sens de la compression."

À mon humble avis, le poteau tend à basculer sous les poids appliqués sur les lisses. Ce basculement [ou du moins cette force tendant à le faire basculer] se fait autour de la partie supérieure de la lisse faisant pied [axe de rotation] et tire sur la partie inférieure de la lisse faisant pied. Exactement l'inverse des lisses supérieures, qui elles basculent autour de leur partie inférieure et tirent sur leur partie supérieure.

Et nom d'une pipe, ça doit être calculable, la déformation d'un angle sous l'effet d'un moment !

[Jaunin]

Bonjour,
Vous pouvez toujours ajouter un gousset à la jonction avec le montant et la lisse du bas (pied)

Concrètement, j'imaginais :
- acier 30x30x3mm [tube carré donc]
- soudé sur les 4 côtés
- montant de 1m50
- lisses de 30cm, d'un seul côté Combien de lisses ? Pas plus longues ?
- structure autoportante, donc non fixée au mur
- masse totale reposant sur les différentes lisses d'un montant 50kg Pas plus lourd ?

Cordialement.
Jaunin__

[sh42]

Re-bj,

Ce qui crée un basculement, c'est une force qui crée un couple.
Pour qu'une force crée un couple, il faut que le point soit décalé par rapport à la ligne de la force.
Ce n'est pas parce qu'il y a un couple qu'il y a un effort tranchant. Un effort tranchant doit être perpendiculaire aux fibres du métal. Dans le cas du poteau, il devrait être parallèle au sol. Ce qui est impossible.

Je n'ai jamais calculé quelque chose à partir de la déformation d'un angle.

[Bricofagnes]

Jaunin :
disons cinq lisses, réparties sur les 150cm du poteau.
et non, pas plus longues que 30cm

et certes, des goussets améliorent la solidité; mais justement, comment savoir si on doit en mettre ou non ...

sh42 :
la lisse du bas est contre le sol.
le poteau est tiré latéralement par les poids appliqués sur les lisses
l'angle poteau-lisse va avoir tendance à se refermer [passer de 90° à moins]
le poteau exerce un couple [sa hauteur x la force induite par les poids sur les lisses] sur la jonction lisse inférieure - poteau

Il semble évident qu'un angle, quel qu'il soit, ne va pas tenir quelque soit le couple y appliqué. Il va se modifier, élastiquement d'abord, puis se briser.
Et c'est là tout le souci : pour un angle donné [par exemple en carré de 30x30x3mm 90°], quel est la déformation [élastique] de l'angle par 1Nm ? et quel est le couple maximal qui ne doit pas être franchi sous peine de casse ?

[ilovir]

Et si on pouvait voir un petit plan de l'étagère que Bricofagnes veut faire ?