Le comble de Langevin

[Mailou75]

Bonsoir,

Au cours d'une récente discussion, la question suivante a été soulevée :
Que se passe-t-il si le jumeau sédentaire du "paradoxe de Langevin" attend le retour de son frère sur une planète massique ?
La réponse est qu'il existe des cas où on peut trouver une égalité d'âge aux retrouvailles, j'en propose ici une illustration.

L'expérience proposée est celle d'un jumeau sédentaire, Vert, situé à 1,33Rs d'un trou noir (ou posé sur une étoile à neutron de 1,33Rs) et d'un jumeau voyageur, Rouge, allant à 0,642c par rapport à l'espace. Ce point est important, il conserve une vitesse constante, il doit donc accélérer en s'éloignant et ralentir en s'approchant, il n'est pas inertiel (sa vitesse locale n'augmente pas quand il "tombe" par exemple). Un peu comme chez Langevin, on ne se soucie pas de ce qui génère l'accélération du demi tour, ni de l'état du jumeau au retour...

.....

Le Minkowski nous montre que la trajectoire locale de Rouge est contenue dans un rectangle d'espace-temps de BY de long (espace local) sur Y de haut (temps local). On rappelle les valeurs courantes pour cette vitesse :
B=0,642
Y=1,304
BY=0,837
z+1=2,141
1/z+1=0,467

On a choisi "arbitrairement" que le sédentaire est à r=1,33Rs pour que la valeur de l'effet Einstein vaille z+1=2. Ça veut dire que quand l'observateur éloigné de Schwarzschild compte 1, le sédentaire compte 2. La valeur temporelle dépend de Rs, on prendra un trou noir de 300.000km de rayon pour que les unités soient des secondes, c'est plus pratique... L'intervalle représenté entre deux "billes de temps propres" est alors de 0,1s.

Je ne vais pas m'étendre sur l'approximation utilisée, mais pour en toucher deux mots : la courbe violette (voir formule ci dessous) donne le rapport entre l'espace local d et la coordonnée r de Schwarzschild, on y dispose des longueurs parcourues en 0,1s de temps propre du voyageur, cad 0.1*BY, pour trouver ces intervalles dans l'espace de l'observateur éloigné. La courbe bleue notée Y(z+1) est en réalité 0.1*Y(z+1), les rectangles gris sont compressés et étirés radialement jusqu'à atteindre cette courbe bleue (leur milieu, très important sinon c'est très vite faux). La précision du tracé va donc dépendre du "pas" utilisé, ici 0.1, mais pour vous rassurer quand je mets non pas les droites rouges mais les jaunes (lumière) bout à bout, j'obtiens le tracé d'un rayon lumineux (connu) avec une précision qui doit être 1/10ème de l'épaisseur du trait ! Il m'a donc paru inutile de réduire le pas





Ce qu'il faut retenir c'est que les rectangles gris locaux vont être vus compressés radialement (espace) et étirés verticalement (temps, redshiftés) par l'observateur éloigné, tout en conservant une surface constante. Je crois que c'est le tenseur de Ricci qui veut ça... Bref, on trouve au final que les tronçons de Rouge mis bout à bout nous donnent sa trajectoire chez Schwarzschild. Il y a sans doute une formule exacte mais je ne sais pas la calculer et pour le présent sujet la précision obtenue est largement suffisante. Je vous passe les détails sur comment on obtient Rouge après avoir fixé Vert...

Au final on trouve bien une solution dans laquelle Vert et Rouge comptent chacun 4s entre départ et retrouvailles. Le "comble de Langevin" est donc qu'il se trouve sur une planète trop lourde, qu'il envoie le jumeau à la vitesse qu'il ne faut pas (0,642c) et à la distance qu'il ne faut pas (2,44Rs) pour que son expérience ne fonctionne pas : les jumeaux ont le même âge au retour !

Sur la droite j'ai tracé des rayons lumineux pour montrer les shifts perçus par chacun (couleurs non contractuelles). Le sédentaire va voir l'aller redshifté mais de moins en moins (de z+1=2,141 à ~1,4) et le retour blueshifté, de moins en moins (de z+1~0,3 à =0,467). Le voyageur va voir le sédentaire redshifté à l'aller, de plus en plus (de 2,414 à ~3) et blueshifté au retour, de plus en plus (de ~0,7 à 0,467). Ceci confirme d'une part que localement (départ et arrivée), le z+1 est celui de la RR (voir valeurs données plus haut), et d'autre part que le sédentaire voit son frère de plus en plus blueshifté avec la distance car il est au dessus tandis que le voyageur voit son frère de plus en plus redshifté avec la distance car il est en dessous. Le shift perçu est simplement : effet Doppler x effet Einstein !

Voilà, je pense que je n'ai rien oublié, ça fait déjà un pavé à lire désolé...
Merci d'avance pour vos remarques

Mailou
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[Mailou75]

Je voulais juste ajouter deux trois trucs...

1/ Compte tenu de la formule très simple "effet Doppler x effet Einstein" j'aurais pu être plus précis dans mes valeurs, c'était une évaluation graphique rapide, d'où le signe "~" et un seul chiffre après la virgule. Corrections dans le texte, j'étais pas tombé loin

Le sédentaire va voir l'aller redshifté mais de moins en moins (de z+1=2,141 à ~1,4 >> 1,394 ) et le retour blueshifté, de moins en moins (de z+1~0,3 >> 0,304 à =0,467). Le voyageur va voir le sédentaire redshifté à l'aller, de plus en plus (de 2,141 à ~3 >> 3,290) et blueshifté au retour, de plus en plus (de ~0,7 >> 0,7174 à 0,467).

2/ Si vous vous demandez comment peut évoluer la figure en conservant cette égalité d'âge au retour : plus on va augmenter la vitesse locale du voyageur et plus le voyage sera long et loin, inversement si on réduit la vitesse bien sûr.
Si vous vous demandez ce qui se passe en prenant en compte la chute libre, uniquement : quelle que soit la vitesse d'éjection, le jumeau voyageur retombe toujours plus jeune, ça a fait l'objet d'un autre fil.

3/ Je me rend compte a posteriori, mais c'est toujours comme ça... que la trajectoire a une formule évidente. Si t(r) (voir ci dessous) est la trajectoire d'une géodésique lumière chez Schwarzschild, alors Rouge a une trajectoire qui ne dépend que de sa vitesse B et dont la formule est simplement t(r)/B ! A nouveau, le delta d'erreur est bien moins que l'épaisseur de la ligne... finalement en utilisant la trajectoire précise de Rouge et la formule de d(r) donnée précédemment (qui est une intégrale de la distance locale parcourue garante du temps propre du voyageur) on peut avoir des résultats numériques tout à fait précis pour cette expérience.



A+

[mach3]

un jumeau voyageur, Rouge, allant à 0,642c par rapport à l'espace

Salut, je pense qu'il serait utile d'ajouter des précisions sur cette phrase, car telle quelle elle n'a aucun sens. Une vitesse par rapport à l'espace ne veut rien dire, sauf si on suppose que l'espace est absolu, ce qu'on ne peut pas dans le contexte.

Il est bien évident pour moi qu'il s'agit de la vitesse de Rouge par rapport à chaque immobile de Schwarzschild qu'il croise au moment où il le croise, ou encore c'est la vitesse par rapport au référentiel dont les fibres temporelles sont les immobiles de Schwarzschild. Plus formellement, il s'agit de la tangente hyperbolique de l' "angle" entre la ligne d'univers de Rouge et chacune des lignes d'univers d'immobiles de Schwarzschild qu'elle intersecte. Et c'est évident pour moi parce que j'ai l'habitude de te lire, mais un lecteur lambda (qu'il soit profane ou physicien) risque de comprendre cela de travers ou penser que c'est tout faux.

Plus sur le fond, on doit pouvoir exhiber pas mal d'autres exemples de ce type, et même des exemples où le voyageur revient plus vieux. C'est pour cela qu'on essaie de se limiter à des situations sans gravitation ou avec gravitation négligeable quand on traite du "paradoxe" des jumeaux et qu'on souhaite éviter les complications.

m@ch3

[Mailou75]

Salut mach3,

Merci pour ta réponse et désolé de ne pas avoir répondu plus tôt, j’avais du taf par dessus la tête, les inconvénients du télétravail...

je pense qu'il serait utile d'ajouter des précisions sur cette phrase, car telle quelle elle n'a aucun sens. Une vitesse par rapport à l'espace ne veut rien dire, sauf si on suppose que l'espace est absolu, ce qu'on ne peut pas dans le contexte.

Je te l’accorde, un raccourci malencontreux... quand je parle d’espace c’est bien sur de l’espace local des immobiles comme tu l’as compris. Merci d’avoir donné des définitions plus rigoureuses.

Plus formellement, il s'agit de la tangente hyperbolique de l' "angle" entre la ligne d'univers de Rouge et chacune des lignes d'univers d'immobiles de Schwarzschild qu'elle intersecte.

Je penche pour celle ci qui ne souffre aucune discussion

Et c'est évident pour moi parce que j'ai l'habitude de te lire, mais un lecteur lambda (qu'il soit profane ou physicien) risque de comprendre cela de travers ou penser que c'est tout faux.

Et parce que tu connais un peu le sujet... je ne me rends pas compte à quel point je passe sur les acquis et adopte des tics de langage. J’essaye pourtant d’avoir un discours accessible au lecteur lambda, le but reste de partager. Dois je comprendre d’après la dernière remarque que pour toi c’est «tout juste» ?

Plus sur le fond, on doit pouvoir exhiber pas mal d'autres exemples de ce type, et même des exemples où le voyageur revient plus vieux.

Oui bien sur, dans cet exemple il suffit que le voyageur aille un tout petit peu plus loin. Le jeu était ici de trouver une égalité.

C'est pour cela qu'on essaie de se limiter à des situations sans gravitation ou avec gravitation négligeable quand on traite du "paradoxe" des jumeaux et qu'on souhaite éviter les complications.

Oui oui je sais. Ce fil ne traite pas du paradoxe des jumeaux habituels.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

Une vitesse par rapport à l'espace ne veut rien dire, sauf si on suppose que l'espace est absolu, ce qu'on ne peut pas dans le contexte.

Sinon, t’en as parlé aux cosmologistes, parce que eux y croient encore, et même qu’il est plat !