Bonsoir,
Au cours d'une récente discussion, la question suivante a été soulevée :
Que se passe-t-il si le jumeau sédentaire du "paradoxe de Langevin" attend le retour de son frère sur une planète massique ?
La réponse est qu'il existe des cas où on peut trouver une égalité d'âge aux retrouvailles, j'en propose ici une illustration.
L'expérience proposée est celle d'un jumeau sédentaire, Vert, situé à 1,33Rs d'un trou noir (ou posé sur une étoile à neutron de 1,33Rs) et d'un jumeau voyageur, Rouge, allant à 0,642c par rapport à l'espace. Ce point est important, il conserve une vitesse constante, il doit donc accélérer en s'éloignant et ralentir en s'approchant, il n'est pas inertiel (sa vitesse locale n'augmente pas quand il "tombe" par exemple). Un peu comme chez Langevin, on ne se soucie pas de ce qui génère l'accélération du demi tour, ni de l'état du jumeau au retour...
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Le Minkowski nous montre que la trajectoire locale de Rouge est contenue dans un rectangle d'espace-temps de BY de long (espace local) sur Y de haut (temps local). On rappelle les valeurs courantes pour cette vitesse :
B=0,642
Y=1,304
BY=0,837
z+1=2,141
1/z+1=0,467
On a choisi "arbitrairement" que le sédentaire est à r=1,33Rs pour que la valeur de l'effet Einstein vaille z+1=2. Ça veut dire que quand l'observateur éloigné de Schwarzschild compte 1, le sédentaire compte 2. La valeur temporelle dépend de Rs, on prendra un trou noir de 300.000km de rayon pour que les unités soient des secondes, c'est plus pratique... L'intervalle représenté entre deux "billes de temps propres" est alors de 0,1s.
Je ne vais pas m'étendre sur l'approximation utilisée, mais pour en toucher deux mots : la courbe violette (voir formule ci dessous) donne le rapport entre l'espace local d et la coordonnée r de Schwarzschild, on y dispose des longueurs parcourues en 0,1s de temps propre du voyageur, cad 0.1*BY, pour trouver ces intervalles dans l'espace de l'observateur éloigné. La courbe bleue notée Y(z+1) est en réalité 0.1*Y(z+1), les rectangles gris sont compressés et étirés radialement jusqu'à atteindre cette courbe bleue (leur milieu, très important sinon c'est très vite faux). La précision du tracé va donc dépendre du "pas" utilisé, ici 0.1, mais pour vous rassurer quand je mets non pas les droites rouges mais les jaunes (lumière) bout à bout, j'obtiens le tracé d'un rayon lumineux (connu) avec une précision qui doit être 1/10ème de l'épaisseur du trait ! Il m'a donc paru inutile de réduire le pas![]()
Ce qu'il faut retenir c'est que les rectangles gris locaux vont être vus compressés radialement (espace) et étirés verticalement (temps, redshiftés) par l'observateur éloigné, tout en conservant une surface constante. Je crois que c'est le tenseur de Ricci qui veut ça... Bref, on trouve au final que les tronçons de Rouge mis bout à bout nous donnent sa trajectoire chez Schwarzschild. Il y a sans doute une formule exacte mais je ne sais pas la calculer et pour le présent sujet la précision obtenue est largement suffisante. Je vous passe les détails sur comment on obtient Rouge après avoir fixé Vert...
Au final on trouve bien une solution dans laquelle Vert et Rouge comptent chacun 4s entre départ et retrouvailles. Le "comble de Langevin" est donc qu'il se trouve sur une planète trop lourde, qu'il envoie le jumeau à la vitesse qu'il ne faut pas (0,642c) et à la distance qu'il ne faut pas (2,44Rs) pour que son expérience ne fonctionne pas : les jumeaux ont le même âge au retour !![]()
Sur la droite j'ai tracé des rayons lumineux pour montrer les shifts perçus par chacun (couleurs non contractuelles). Le sédentaire va voir l'aller redshifté mais de moins en moins (de z+1=2,141 à ~1,4) et le retour blueshifté, de moins en moins (de z+1~0,3 à =0,467). Le voyageur va voir le sédentaire redshifté à l'aller, de plus en plus (de 2,414 à ~3) et blueshifté au retour, de plus en plus (de ~0,7 à 0,467). Ceci confirme d'une part que localement (départ et arrivée), le z+1 est celui de la RR (voir valeurs données plus haut), et d'autre part que le sédentaire voit son frère de plus en plus blueshifté avec la distance car il est au dessus tandis que le voyageur voit son frère de plus en plus redshifté avec la distance car il est en dessous. Le shift perçu est simplement : effet Doppler x effet Einstein !
Voilà, je pense que je n'ai rien oublié, ça fait déjà un pavé à lire désolé...
Merci d'avance pour vos remarques
Mailou
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