Solution de Schwarzschild : Cartographie (partie 1)

[Mailou75]

Bonsoir,

Le présent sujet est un compte rendu du longue (et vieille) discussion ayant eu lieu entre Amanuensis, Mach3 et moi même. L'objectif est d'en partager avec vous le fruit. Le titre annonce que le sujet est la solution de Schwarzschild, indépendamment des coordonnées du même auteur car, comme on le sait, il existe une multiplicité de systèmes traduisant les coordonnées (r;t) sous des formes variées.

Cette première partie est toutefois une dissection de la représentation la plus abordable pour l'esprit humain de ce qu'on nomme trou noir, menant au coordonnées de Schwarzschild. Si cette planche est la dernière dans la chronologie de la discussion, c'est pourtant celle-ci que je présente en premier car elle justifie ce qui suivra (et aussi parce qu'elle est déjà prête...) Elle tente d'expliquer la rependue formulation d'une "inversion de r et t" à l'intérieur du trou noir. Je vais essayer d'expliquer ce que j'en ai retenu avec mon vocabulaire de profane, les autres intervenants sont bien sûr invités à commenter/compléter/corriger/préciser ce que j'aurais pu en dire

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Extérieur 4D

Il s'agit de l'espace extérieur, un solide sphérique privé d'une boule centrale : le trou noir. Ce solide multiplié par la dimension supplémentaire qu'est le temps forme un hyper-volume 4D, relativement difficile à visualiser pour nos esprits habitués à seulement trois dimensions.

Extérieur 3D

Ici on dissocie le volume extérieur en montrant un temps qui n'est plus une dimension continue afin de traduire la reproduction de ce volume, identique à lui même au cours du temps.

Intérieur 4D

Comme précédemment pour l'extérieur il s'agit d'une représentation où toutes les dimensions sont représentées, mais on va voir qu'elles ne vont pas se dissocier de la même manière que pour l'extérieur.

Intérieur 3D

A nouveau on dissocie ce qui est la partie volumétrique en éléments juxtaposés au cours du temps et non plus confondus. Cette fois les trois dimensions volumétriques constituent ce qu'on appelle un cylindre-sphérique, c'est à dire que la directrice est une surface sphérique et la génératrice une droite (un cylindre classique aurait une directrice qui serait la surface d'un disque et non d'une sphère). On voit que le rayon de la sphère va diminuer au cours du temps jusqu'à devenir nul au centre, à la singularité.

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Extérieur 2D

On va encore supprimer une dimension, spatiale cette fois, pour n'obtenir que 2D. Dans le premier cas on retire ϕ pour ne garder que le couple (θ,r) et obtient un disque privé de partie centrale. Dans le deuxième cas on retire r pour ne conserver que le couple (θ,ϕ) et on obtient une sphère.

Intérieur 2D

Dans les dessin 4D la verticale était chaque fois la coordonnée t, ainsi quand on retire la dimension temporelle pour l'intérieur c'est r que l'on fait disparaitre. En conservant le couple (θ,t) on trouve la surface d'un cylindre et en ne conservant que le couple (θ,ϕ) on trouve, comme pour l'extérieur, une surface sphérique.

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Réinjection du temps (en bleu)

1 - On obtient un cylindre plein privé de son coeur : le disque extérieur multiplié par le temps
2 - On obtient un cylindre sphérique (dont l'utilité reste à prouver...)

3 - On obtient un cylindre plein : 2D privées de ϕ multipliées par le temps
4 - On obtient un "cylindre conique" (le temps n'est pas radial mais de direction "aléatoire")
5 - On obtient un "cône sphérique" (équivalent du cylindre sphérique mais respectant la diminution de la coordonnée r)
6 - On obtient une boule pleine pour laquelle le temps est une radiale

Liste non exhaustive... Je vais un peu vite sur la description, je compte sur les schémas pour être plus parlants que le discours. D'autant qu'une description rigoureuse nécessiterait de parler de "RxS2", "R2xS1" etc, un langage topologique que je maitrise mal... Amanuensis ou Mach3 vous feront peut être l'honneur de ce complément.

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Schwarzschild = 1+3

Les coordonnées de Schwarzschild, auxquelles on aurait retiré la cordonnée ϕ, par soucis de représentation, est donc la combinaison des "volumes" (2D+temps) 1 et 3. La figure montre que la coordonnée temporelle (bleue) est t à l'extérieur et r à l'intérieur, expliquant cette fameuse "inversion de r et t".

Temps orienté 1 et 3 disjoints

Afin d'avoir un temps qui soit toujours orienté vers le haut, le "volume" intérieur doit pivoter de 90° et les deux portions d'univers sont alors disjointes au niveau de l'horizon. Ceci traduit le fait qu'au niveau de l'horizon rien ne peut être défini car pour r=Rs, t ne sera jamais défini car valant l’infini (ceci indépendamment de tout système de coordonnées choisi, la continuité peut être illusoire dans certains).

Dans ces deux derniers schémas, les pointillés indiquent les coordonnées qui ne sont pas bornées :
- à l'extérieur, à part la privation de centre, l'espace r est illimité et le temps t l'est aussi. Bien sur θ et ϕ sont limités à 360°.
- à l'intérieur, une coordonné d'espace (devenue t) est illimitée mais toutes les autres le sont : le temps (r) est borné à ]Rs;0[
(La suppression de ϕ dans les représentations se justifie par la symétrie sphérique, sans perte de cohérence)

Les deux parties disjointes ainsi obtenues constituent les régions I et II auxquelles viendront s'ajouter III et IV pour obtenir la l'extension complète de Schwarzschild, décrivant l'origine d'un trou noir : le trou blanc !

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J'ai essayé d'être concis mais ça reste une belle tartine, désolé... merci à ceux qui sont arrivés au bout.
Merci d'avance pour vos interventions

Mailou
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[Pio2001]

Bonjour Mailou75,
Jusqu'ici j'arrive à suivre !

C'est assez fascinant de voir la coordonnée t de l'intérieur. Elle me fait des noeuds au cerveau. Elle représente quoi, en somme ? Plein de points de départs différents pour aller de l'horizon vers la singularité ?

[Mailou75]

Salut Pio, merci pour ta réponse, je me sens moins seul...

C'est assez fascinant de voir la coordonnée t de l'intérieur. Elle me fait des noeuds au cerveau. Elle représente quoi, en somme ? Plein de points de départs différents pour aller de l'horizon vers la singularité ?

Oui et non.

Oui, seulement si tu pars de l'horizon à vitesse nulle ! Pour mieux comprendre il faut regarder ces graphes https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6342819. Le Newton+ va te montrer que le voyageur Noir chute de Rs vers la singularité. En coordonnées de Schwarzschild c'est une trajectoire "à t constant" mais on pourrait en trouver d'identiques sur toutes les horizontales violettes. Et il faut aussi comprendre que tous les graphes on une symétrie vers le bas, donc ce que tu appelles "point de départ" est en réalité le point culminant d'une trajectoire partie de la singularité passée, atteignant Rs et retombant vers la singularité future. D'où la vitesse nulle "au départ"... En coordonnées de Kruskal ces trajectoires (complètes) sont soit la verticale pour Noir ou toutes les autres droites rayonnantes violettes passant par le point central* : elles partent par exemple d'en bas à gauche (si tu as fait la symétrie) pour arriver en haut à droite, tout ça en ligne droite. En coordonnées de Schwarzschild les régions II et IV sont superposées donc la trajectoire de Noir par symétrie reste identique. La coordonnée t est donc la coordonnée spatiale constante pour toutes ces trajectoires.

Non si tu passes l'horizon avec une vitesse non nulle, cad si tu proviens de l'extérieur. Si la verticale Rs en coordonnées de Schw est l'ensemble des points culminants des trajectoires de type "Noir", tous les points de passage sont reportés à l'infini (passé pour le passage de IV vers I et futur pour le passage de I vers II). Inversement, chez Kruskal tous les points culminants de type "Noir" sont confondus au centre du repère et les points de passage situé sur la droite à 45° séparant I et II (ou IV et I en cas de symétrie). Finalement Schw et Kruskal montrent exactement l'inverse. Donc chez Schw en Rs, aucune coordonnée t quelle qu'elle soit (à part + ou - l'infini) n'est un évènement de passage. Ce qui confirme que ce n'est qu'un point de "départ" pour aller de Rs à r=0 que si la vitesse de départ est nulle (voir réponse "oui").

* On pourrait donc penser que les points culminants de toutes les trajectoires de type "Noir" sont des évènements différents, pourtant ils sont confondus chez Kruskal. Et bien c'est Kruskal qui a raison... car les singularités passée et future sont des dates en fait. Donc ces trajectoires sont parties "ensembles" de lieux différents à une même date, arrivent en un même lieu Rs à une même date (puisqu'elle ont mis le même temps pour y arriver, donc un seul évènement) puis retombent en des lieux différents pour arriver à la même date future, la singularité future. Le problème pour nous c'est qu'on imagine qu'elles partent du centre pour arriver au bord du trou noir et que si elles le font "ensemble" alors il s'agit d'un trajectoire unique, pourtant ce n'est pas le cas !

Bon mal de crâne !

[Mailou75]

Donc si on veut être rigoureux dans le tableau proposé, dans la figure 3 (2D+r), les cylindres intérieurs sont bien des surfaces de type spatial mais le cylindre extérieur en Rs n’est qu’un cercle à une dimension. Si on dispose d’autres flèches bleues parallèles (trajectoires «de type Noir» dans ma réponse précédente) alors elles auront toutes une origine commune, tout en conservant des points d’arrivée différents. La verticale Rs chez Schw est en fait un seul événement, le point central de Kruskal. C’est une des raisons pour lesquelles Amanuensis critique autant Schw... en tout cas c’était une très bonne question, et un bon exercice pour moi d’y répondre

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Juste un point de vocabulaire :

Extérieur = Région I

Intérieur = Région II

La cartographie complète contient aussi les régions III et IV.

On peut oublier la III pour le moment, mais la IV est connectée à la I côté passé. La "sphère" centrale de la I est aussi bien la frontière commune avec la II qu'avec la IV. Les trois régions sont ouvertes, la "limite" entre elles est la difficulté principale pour comprendre les "formes" des régions.

[Amanuensis]

Ensuite, tant qu'on appellera "t" la coordonnées de genre espace dans la région II, on ira au mur. De même, parler de "verticale" est une mauvaise idée.

Enfin, non, les régions II et IV ne sont pas superposées, pas plus en coordonnées de Schw qu'autrement. Il se trouve juste que le système de coordonnées "de Schw intérieur" pour la II et pour la IV sont très proches. Ils ne sont pas identiques, le sens du temps n'est pas le même (singularité au passé extrême dans IV, et au futur extrême dans II).

Je ne promets rien, je vais essaye de déterrer mon doc sur le sujet, d'il y a plusieurs années. Dans ce doc je présente les étapes suivantes :

- définir correctement les trois systèmes de coordonnées (de I, II et IV), en nommant indépendamment les coordonnées, et en particulier garder des "t" pour la coordonnée temporelle.

- présenter les trois régions avec la coordonnée temporelle dans le même sens, direction (la "verticale" ?) et avec la bonne direction passé -> futur

- les présenter avec la coordonnée temporelle "compactée", de manière à ce qu'on puisse dessiner "après l'infini" pour la région I

- les montrer connectées correctement, c'est à dire non pas par une ligne mais par un point (r=r, t infini) pour I/II et (r=rs, t = -infini) pour IV/I

Mais ce point est comme (à l'envers) un pôle sur une carte de Mercator, le point de contact I/II représente ce qui devrait être une ligne, mais pas du tout celle rs=r, d'où confusion possible ! C'est la ligne T=X en KrSz.

Conversement, la ligne rs=r dans la région I ne représente qu'un seul point (et donc une sphère 2D en 4D), celui de coordonnées X=T=0 en KrSz ; pareil pour la région II (il s'agit alors de la ligne de temps minimal, t' = -rs).

[Il y a un problème du même genre pour la singularité, c'est à dire la zone de temps maximal, t'=0]


Ce sont toutes ces "subtilités" qui rendent les dessins de l'intérieur dans le message #1 faux ou difficile à comprendre.

La première modifications de ces dessins qui me semblent nécessaire, pour commencer, est de représenter le temps dans le bon sens. (Et je propose que la coordonnée temporelle dans la région II soit notée t', et va de -rs à 0. Conversement, la coordonnées spatiale ouverte est noté r', et couvre tous les réels.) C'est juste un changement de notation, cela ne devrait pas être trop dur à accepter, non ?

[Amanuensis]

En essayant d'expliquer autrement:

La ligne limite cartographiée rs=r ("verticale") en coordonnées de Schw pour la région I est souvent interprétée comme suit :

- la ligne de passage entre I et II
- et à la fois la ligne de passage entre IV et I

Rien que cela devrait mettre la puce à l'oreille, car cela n'a pas grand sens. (Cela amène l'idée, erronée, de "superposition" par exemple)

L'interprétation correcte est comme suit, du passé au futur:

- la demi-ligne de passage IV/I, pour t inférieur à -infini, donc non représentée
- le point limite commun IV/I/II, pour t réel, donc étalé en une ligne
- la demi-ligne de passage I/II, pour t supérieur à +infini, donc non représentée

C'est représenté correctement (une demi-ligne par une demi-ligne, un point par un point) en KrSz :

- la ligne de passage IV/I, pour X=-T, T<0 (une demi-ligne)
- le point limite commun IV/I/II, pour X=T=0
- la ligne de passage I/II, pour X= T, T>0 (une demi-ligne)

Les trois systèmes de coordonnées de Schw ont donc une singularité de coordonnées, qu'il faut bien comprendre.

(Et la signification de la ligne de passage et des coordonnées dans la région II s'en déduit assez bien : la coordonnée temporelle est l'ordre temporel d'entrée dans la région, et la coordonnée spatiale représente la même chose, puisque X=T en KrSz ! Après l'entrée, la coordonnée temporelle représente, tout naturellement, la progression vers le futur, quoi d'autre? Et le futur ultime est la singularité.)

[mach3]

Ensuite, tant qu'on appellera "t" la coordonnées de genre espace dans la région II, on ira au mur. De même, parler de "verticale" est une mauvaise idée.
[...]
La première modifications de ces dessins qui me semblent nécessaire, pour commencer, est de représenter le temps dans le bon sens. (Et je propose que la coordonnée temporelle dans la région II soit notée t', et va de -rs à 0. Conversement, la coordonnées spatiale ouverte est noté r', et couvre tous les réels.) C'est juste un changement de notation, cela ne devrait pas être trop dur à accepter, non ?

Une proposition qui avait été faite (je ne sais plus si c'est par moi-même...) dans le temps à propos de cela était d'utiliser A, le rayon aréal, et en lieu et place des r et t utilisés classiquement ( parce que le t de Schwarzschild se comporte comme un angle hyperbolique dans un diagramme de Kruskal). Ils permettent d'écrire la métrique de Schwarzschild de la même manière dans toutes les régions sans utiliser de variables connotées spatialement ou temporellement.

,

Il convient ensuite de les remplacer par r et t respectivement dans la région I,

,

ou par t' et r' (ou x ou ce qu'on veut qui évoque le genre espace) respectivement dans la région II, ce qui donne alors différentes écritures de la métrique avec des variables connotées, mais non trompeuses.

A noter que ceci est surtout à titre pédagogique (et également pour limiter des erreurs de raisonnement par focalisation involontaire sur le nom connoté d'une variable, ce qui peut arriver même quand on commence à avoir de l'expérience), car il est possible de déterminer qui est spatial et qui est temporel sans faire attention aux noms des variables qui ne sont que des étiquettes.

m@ch3

[Amanuensis]

Je pense qu'il faille garder t et r pour les coordonnées de Schwa de la région I, elles sont devenues l'usage.

Le choix des lettres se pose différemment pour les région II et IV, dès qu'on évite de reprendre celle pour la I. Dans mon vieux doc (que je cherche...) j'ai pris il me semble t' et x. (Le choix de la lettre x vient de ce que la coordonnée parcourt tout R, comportement différent de r.)

Notons que theta et phi sont communes à tous les cas. (Cela vient de ce que le sujet est les solutions du vide à symétrie "sphérique", et par hypothèse même on peut séparer les deux angulaires des deux autre.)

[Amanuensis]

Ce ne sont que des conventions de notation, bien d'accord. Mais il est nécessaire de se mettre d'accord sur une convention au moins pour ce fil de discussion, et si possible pour le forum, une bonne fois pour toute pour que les messages (dessins, et autres) soient compréhensibles sans avoir à se référer aux conventions de chaque participant.

Et l'arbitre pour enforcer la discipline ne peut être qu'un modo, et il n'y a qu'un choix de modo acceptable. Faut donc 1) son accord, 2) qu'il gère une (sous-)discussion amenant accord de tous sur le choix de notation?

Ma proposition est dans le message précédent t, r pour la région I ; t', x pour la II et la IV (et si possible les signes et intervalles dans le bon ordre pour t'!).

(Un argument : il existe des lignes d'Univers passant de IV à II sans passer par I (celles x=0 est un bon choix), et il serait bien que t' soit une "bonne" représentation du temps pour ces lignes.)

[Amanuensis]

Et je mets mon veto (comprendre vous vous passerez alors de moi dans la discussion) à continuer à utiliser t,r pour les régions II et IV.

[mach3]

Et l'arbitre pour enforcer la discipline ne peut être qu'un modo, et il n'y a qu'un choix de modo acceptable. Faut donc 1) son accord, 2) qu'il gère une (sous-)discussion amenant accord de tous sur le choix de notation?

Ma proposition est dans le message précédent t, r pour la région I ; t', x pour la II et la IV (et si possible les signes et intervalles dans le bon ordre pour t'!).

Très bien, alors nous allons fixer la notation pour ce fil. Le seul truc qui me gène (histoire de goût) est le " t' ". Ca n'a peut-être pas d'importance, mais il m'apparaitrait mieux d'avoir deux variables non primées ou deux variables primées, plutôt que une primée et l'autre non dans les région II et IV. On pourrait faire t' et x', mais x' peut laisser penser qu'il y a un x non primé. Mais je ne vois pas bien quoi utiliser à la place de t. Avec tau on risque une confusion avec le temps propre, et theta est déjà utilisé. Bref, le t' me dérange mais je ne vois pas d'alternative pour l'instant. Si personne ne propose quoique ce soit d'autre, je propose qu'on parte avec la notation de la citation ci-dessus. Je propose aussi que l'on utilise le rayon aréal A et l'angle hyperbolique eta comme références neutres d'origine purement géométrique, ne serait-ce que pour définir t' et x (et t et r)

Concernant les signes et intervalles, il serait peut-être souhaitable de bricoler un peu pour que le passage IV-->II soit plus sympathique. t' pourrait aller de -2M à 0 dans IV puis de 0 à 2M dans II (et donc t'=A-2M dans IV et t'=2M-A dans II). A voir.

m@ch3

[Amanuensis]

Concernant les signes et intervalles, il serait peut-être souhaitable de bricoler un peu pour que le passage IV-->II soit plus sympathique. t' pourrait aller de -2M à 0 dans IV puis de 0 à 2M dans II (et donc t'=A-2M dans IV et t'=2M-A dans II). A voir.

é
C'est ce que je proposerais aussi.

[Pour le rayon aréal (= durée aréale), je n'ai pas de problème à comprendre, mais certains peuvent être gênés par les unités (les expressions dans la citation doivent être comprises avec c=1 et G=1). Là encore une question de convention...]

[Amanuensis]

Le seul truc qui me gène (histoire de goût) est le " t' ". Ca n'a peut-être pas d'importance, mais il m'apparaitrait mieux d'avoir deux variables non primées ou deux variables primées, plutôt que une primée et l'autre non dans les région II et IV. On pourrait faire t' et x', mais x' peut laisser penser qu'il y a un x non primé. Mais je ne vois pas bien quoi utiliser à la place de t. Avec tau on risque une confusion avec le temps propre, et theta est déjà utilisé. Bref, le t' me dérange mais je ne vois pas d'alternative pour l'instant.

Je comprends d'autant mieux que je suis passé par ces réflexions il y a quelques années. Et je n'avais pas trouvé d'option moins insatisfaisante.

(Il y a aussi տ, ⵜ, þ, ট, et j'en passe, mais plutôt chiants à taper !)

[Mailou75]

Salut à vous,

Quand je vous lis je n'ai pas l'impression d'être à l'ouest sur mes explications, celle d'Amanuensis est une autre façon de dire les choses, sans doute plus rigoureuse mais qui ne rend pas fausses mes explications, enfin je ne crois pas...

Ce qu'il serait intéressant c'est de préciser pour les lecteur le sens d'un "ouvert" en topologie (et pour moi aussi, car c'est un peu flou) notamment dans la phrase : Les trois régions sont ouvertes, la "limite" entre elles est la difficulté principale pour comprendre les "formes" des régions.

.....

En ce qui concerne les notations j'ai une impression de déjà vu

- Je suis d'accord avec Amanuensis dans le sens où (x;t') redonne à chaque variable une connotation spatiale ou temporelle adaptée, et je suis la remarque de mach3 sur les primes, dans ce cas autant prendre (r';t') pour ne pas multiplier les lettres

- Je suis d'accord avec mach3 dans le sens ou η (eta) est un angle hyperbolique, mais il s'agit plutôt d'espace non ? Par ailleurs en répondant à Pio je me demandais dans quelle mesure, pour ceux qui vont directement de IV à II on pourrait fait le parallèle avec un espace plat Minkowskien ?

- Je suis d'accord avec moi même car j'ai introduit le sujet par une "explication" de l'inversion de la signification de r et t entre intérieur et extérieur donc si je m'étais mis à changer les variables le discours et les schémas auraient été moins pertinents. Une autre bonne raison c'est que moi je m'en sert derrière de r et t dans Excel pour faire tous mes calculs et r reste r et t reste t. En fait il suffit de faire attention à l'inversion de leur signification.

Et je mets mon veto (comprendre vous vous passerez alors de moi dans la discussion) à continuer à utiliser t,r pour les régions II et IV.

Ca s'appelle du chantage ! En définitive je dirais que (r';t') semble un bon compromis, je ne suis pas trop favorable à l'introduction d'un x sorti de nulle part.

.....

Enfin concernant la "superposition" de IV et II chez Schw (et de I et III aussi d'ailleurs) je parlais de superposition graphique mais pas uniquement... Je pense que tu (Amanuensis) te trompes sur l'inversion des coordonnées. Simplement, par exemple, une trajectoire appartenant à III ira à "contre temps" par rapport à la même trajectoire en I. Elles sont superposées mais l'une se lit vers le haut (sens de t extérieur) et l'autre vers le bas. C'est d'ailleurs le sujet des graphes suivants , alors si je dois m'amuser à créer des r'' et des t''' etc... sur un même cadran suivant la ligne à laquelle on s’intéresse on ne s'en sortira pas. Ca sera juste illisible et le lecteur sera rapidement largué entre les primes, secondes etc... du coup j'en reviens à ma première idée, conserver (r;t) est sans doute plus cohérent pour expliquer comment Schw va se "splitter" en quatre zones avec à chaque fois un quart de tour pour arriver aux régions de Kruskal. Avec des primes tout ça n'aurait aucun sens...

Merci pour interventions
A+

[Amanuensis]

Ce qu'il serait intéressant c'est de préciser pour les lecteur le sens d'un "ouvert" en topologie (et pour moi aussi, car c'est un peu flou) notamment dans la phrase : Les trois régions sont ouvertes, la "limite" entre elles est la difficulté principale pour comprendre les "formes" des régions.

J'emploie ici "ouvert" de manière très impropre (merci aux matheux de ne pas s'offusquer), mais qui se comprend (j'espère). En gros, "qui ne contient pas certaines limites". A se sens l'ensemble des réels est "ouvert" parce qu'il ne contient pas les deux infinis.

La région I est "ouverte", elle ne contient pas les limites r -> infini, t -> infini, t -> -infini, et pas non plus t -> 2M

Pour la région 2, pareil, elle ne contient pas les limites t' -> +/- 2M (singularités), x -> infini, x -> -infini, et pas non plus t -> 0

Certaines de ces limites sont "physiques" (elles ne sont plus des limites en coordonnées KrSz), d'autres le reste.

Une limite non atteinte dans un système de coordonnées mais atteinte dans un autre est une "singularité de coordonnée".

En ce qui concerne les notations j'ai une impression de déjà vu

Normal, tu as lu le vieux doc dont je parlais, mais, tu ne l'as pas "intégré".

- Je suis d'accord avec Amanuensis dans le sens où (x;t') redonne à chaque variable une connotation spatiale ou temporelle adaptée, et je suis la remarque de mach3 sur les primes, dans ce cas autant prendre (r';t') pour ne pas multiplier les lettres

J'ai expliqué pourquoi ne pas prendre r' : parce que r est toujours positif, alors que x parcourt tout les réels (positifs et négatifs). Très mauvaise connotation. Et cela ne vient pas de nulle part :en KrSz, on note X son équivalent, faudrait être tordu pour le noter R. Prendre x est parfaitement en ligne avec l'opposition entre coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires.

Une autre bonne raison c'est que moi je m'en sert derrière de r et t dans Excel pour faire tous mes calculs et r reste r et t reste t.

A chacun ses salades chez lui, l'idée est d'avoir une convention commune pour la discussion.

En fait il suffit de faire attention à l'inversion de leur signification.

Très naïf, ce "il suffit". Le choix de notation est là pour éviter d'avoir à "il suffit"-s-er

Je pense que tu (Amanuensis) te trompes sur l'inversion des coordonnées.

Pense ce que tu veux, mais réfléchir est utile aussi.

Simplement, par exemple, une trajectoire appartenant à III ira à "contre temps" par rapport à la même trajectoire en I.

Relire mon message : j'ai volontairement mis III de côté, pas besoin d'ajouter inutilement à la question : d'abord résoudre I, II et IV.

[Amanuensis]

L'opposition polaire/cartésien est clé pour la "forme".

r, theta sont des coordonnées polaires d'un plan. Donc (t, r, theta) est un système de coordonnées cylindrique de R^3, le temps étant dans le sens de l'axe (c'est un plan x le temps).

x, theta sont des coordonnées sur un cylindre infini (coordonnées cartésiennes sur le cylindre développé). (t, x, theta) est un système de coordonnées cylindriques d'une partie de R^3, mais avec le temps dans le sens radial. C'est un cylindre x le temps, des cylindres "emboîtés" de même axe, de rayon variable avec le temps. Et c'est une "barre cylindrique de diamètre fini.

C'est bien ce que représente tes dessins, sauf qu'on ne comprends ni le sens physique du temps (le "il suffit" est naïf), et qu'on se goure sur la connexion entre la région I et la région II. L'idée de connecter un R^3 moins une barre finie avec une barre finie paraît raisonnable, mais elle est fausse ! Simplement parce que le total n'est pas R^3. (Et ne peut pas l'être puisque cela ne laisserait aucune place à la région IV.)

[mach3]

- Je suis d'accord avec mach3 dans le sens ou η (eta) est un angle hyperbolique, mais il s'agit plutôt d'espace non ?

non, c'est défini dans un plan espace-temps, entre deux lignes de même genre (que ce soit temps ou espace). C'est l'intervalle représenté par une corde hyperbolique. En région I, cette corde sera de genre temps alors qu'en région II cette corde sera de genre espace.

m@ch3

[mach3]

Concernant les signes et intervalles, il serait peut-être souhaitable de bricoler un peu pour que le passage IV-->II soit plus sympathique. t' pourrait aller de -2M à 0 dans IV puis de 0 à 2M dans II (et donc t'=A-2M dans IV et t'=2M-A dans II). A voir.

é
C'est ce que je proposerais aussi.

Dans ce cas la métrique dans les régions II et IV peut s'écrire (sauf erreur) :

,

Ajout, plus propre :

,

m@ch3

[Amanuensis]

Qq chose comme ça. C'est dans mon vieux doc, j'ai pas trouvé le temps de fouiller mes archives...

Mais je préfère distinguer II et IV, plus de valeur absolue.

Et aussi cela véhicule l'idée qu'une description d'un système de coordonnées (d'une carte en fait) comprends, pour chacun indépendamment :

1) la liste des coordonnées,

2) l'intervalle (ouvert) de validité des coordonnées,

3) la forme métrique exprimée avec ces coordonnées.

C'est la manière normale de "cartographier", penser par exemple à une carte du monde avec un bandeau équatorial + deux disques pour les régions polaires. Trois cartes, chacune avec ses coordonnées (sur le plan de la carte) et ses échelles.

[Amanuensis]

Mon doc est chargeable comme

http://www.lahri.org/dotclear/dotcle...-Schwarzschild

Il date de trois ans, il a été mis à disposition de Mailou75 et de Mach3 à cette époque.

Il contient tout ce que j'ai à dire sur le sujet, y compris ce que j'ai répété dans cette discussion.

S'il y a des questions, c'est le moment de les poser (après avoir lu le doc, bien sûr).

Selon, je pourrais faire une révision (remplacer R par 2M par exemple), et même, pourquoi pas, inclure des figures "à la Mailou" (une fois en ligne avec le reste du doc !!).

Sur ce, je n'interviendrai plus ici que pour répondre à des questions sur le doc, ou discuter de suggestions d'améliorations (y compris d'éventuelles erreurs physique ou mathématiques). Je n'ai pas l'humeur à répéter ce qui est dans le doc. Si vous n'êtes pas d'humeur à le lire, tant pis.

[Le doc est public, l'indiquer par un lien sur mon site évite toute ambigüité sur les droits sur ce doc !)

[Amanuensis]

En lisant rapidement, j'ai vu qu'à l'époque je notais t et non pas t' pour les régions II et IV, et que conservais t>0 pour la IV. J'ai changé d'avis depuis, j'ai donc une première raison pour réviser le document !

[Mailou75]

Re,

En région I, cette corde sera de genre temps alors qu'en région II cette corde sera de genre espace.

Oui c'est un peu ce que je voulais dire. Pas facile de définir le sens de l'angle hyperbolique lui même...

Toutes les rayonnantes de la zone IV + II de Kruskal ayant un temps propre identique sur chacune des hyperboles je me pose vraiment la question du parallèle à faire avec Minkowski. L'intérieur peut il être considéré comme un espace temps plat (comme le serait l'intérieur d'une coque de matière) ?

..........

J'emploie ici "ouvert" de manière très impropre (merci aux matheux de ne pas s'offusquer), mais qui se comprend (j'espère). En gros, "qui ne contient pas certaines limites".

Ok, ouvert c'est simplement au sens de "crochets vers l'extérieur" pour des ensembles, si je réécris ton texte ça donne :

Région I : r ∈ ]Rs;+∞[ et t ∈ ]-∞;+∞[

Région II : r/t' ∈ ]0;Rs[ et t/x ∈ ]-∞;+∞[

(sachant que tu préfèrerais voir écrit t' ∈ ]-Rs;0[ pour une "chronologie positive")
Je pensais que c'était un concept de topologie plus complexe, d'où ma question.

J'ai expliqué pourquoi ne pas prendre r' : parce que r est toujours positif, alors que x parcourt tout les réels (positifs et négatifs).

Ca c'est un argument !

Pense ce que tu veux, mais réfléchir est utile aussi.
Relire mon message : j'ai volontairement mis III de côté, pas besoin d'ajouter inutilement à la question : d'abord résoudre I, II et IV.

Ben justement j'y avais pas mal réfléchi à l'époque et ne pas intégrer III c'est s'exposer à des problème ultérieurs. Si on prends des "aiguilles" (r;t) orthogonales elles feront un quart de tour entre chaque zone I > II > III > IV > I... ainsi III est comme I qui a fait demi tour et les trajectoires aussi. Pour qu'une trajectoire en III aille vers le haut alors il est nécessaire qu'elle aille vers le bas quand elle est "superposée" à la région I. C'est ce que montrent les planches que je dois mettre au propre et qui permettent de retomber sur les images de ton doc.

la ligne rs=r dans la région I ne représente qu'un seul point (et donc une sphère 2D en 4D)
(...)
on se goure sur la connexion entre la région I et la région II. L'idée de connecter un R^3 moins une barre finie avec une barre finie paraît raisonnable, mais elle est fausse !

Oui c'est ce que j'essayais de rectifier dans ma réponse à Pio, le cylindre limite en Rs n'est valable pour aucune des régions car il n'est qu'un cercle. Finalement il n'y a que Kruskal qui arrive à faire ça... De ton point de vue le centre X=T=0 de Kruskal permet-il à cette cartographie d'être réellement "continue" (ou est-ce un artefact) ? Je ne vois pas comment montrer ceci sur la décomposition du message#1, des idées ?...

Simplement parce que le total n'est pas R^3. (Et ne peut pas l'être puisque cela ne laisserait aucune place à la région IV.)

Pas clair... peux tu préciser stp ?

C'est la manière normale de "cartographier", penser par exemple à une carte du monde avec un bandeau équatorial + deux disques pour les régions polaires.

Je viens d'essayer rapidement d'imaginer de "dérouler" les cylindres intérieurs pour les mettre à plat (cartésien). C'est aussi ce que tu avais proposé comme ajout à la liste (1 à 6) du tableau du message #1 mais que j'ai écarté par soucis de lisibilité. En fait le rectangle obtenu borné sur θ et r (ou t' si tu préfères) et non borné sur t (ou x) présente l'inconvénient de ne plus "collapser" : les vecteurs partant de θ quelconque et t/x identiques et suivant r/t' jusqu'à la singularité arrivent sur une ligne et non sur un même évènement. Ce n'est donc pas la panacée... Ce serait quoi précisément tes "trois cartes" ?

je n'interviendrai plus ici que pour répondre à des questions sur le doc, ou discuter de suggestions d'améliorations

En fait la discussion que nous avions eue avec mach3 prenait une autre voie et l'idée n'était pas ici de "plagier" ton doc qui fait le lien entre le "Split coordonnées d'Amanuensis" et Kruskal, entre autre... mais de faire un compte rendu de l'autre voie : partir du "Split" de Schw (non connecté) vers celui "d'Amanuensis" (connecté) et le "plonger" dans une dimension supérieure abstraite pour obtenir des cartes différentes. Je ne souhaite pas critiquer ton doc, si besoin est de faire des copies à intégrer en adaptant la notation ça me prend 2 sec c'est pas un soucis, avec plaisir, l'idée était d'explorer autre chose ! Je dois m'y remettre pour compléter/finaliser, un peu de taf encore... j'espère que tu continueras de participer

Mailou

[Amanuensis]

Ben justement j'y avais pas mal réfléchi à l'époque et ne pas intégrer III c'est s'exposer à des problème ultérieurs.

Je connaissais ton point, et c'est pour cela que je ne chercher pas à intégrer la III pour le moment.

Et je ne suis pas d'accord avec tes arguments. Et le doc pointé traite de la III, et montre le sens du temps (qui est celui dans KrSz !!!).

De ton point de vue le centre X=T=0 de Kruskal permet-il à cette cartographie d'être réellement "continue" (ou est-ce un artefact) ?

C'est continu, et ce n'est pas un artefact. C'est le pont de Rosen.

Ce serait quoi précisément tes "trois cartes" ?

Réponse dans le doc.

le "plonger" dans une dimension supérieure abstraite pour obtenir des cartes différentes.

J'avais compris, et ce serait complémentaire à ce qu'il y a dans le doc.

Mais faut faire les choses dans l'ordre. Se mettre d'accord sur les cartes 1D+1D, chaque point représentant une sphère, et bien faire comprendre où "est" l'horizon (la ligne verte dans mon doc) est nécessaire avant de rajouter une coordonnée et essayer d'obtenir des représentations 1D+2D. (AMHA, il n'y en a pas de satisfaisantes si on cherche à grouper I et II. Pour une région seule, les dessins message #1 sont sur la bonne piste, mais il faut un peu plus que changer les noms des variables.)

[Amanuensis]

C'est continu, et ce n'est pas un artefact. C'est le pont de Rosen.

Enfin, pas plus un artefact que la région III !

Et je pense qu'on peut prendre le point de vue que la région III est un artefact... Mais c'est hors sujet pour cette discussion.

[Mailou75]

J'avais une dernière question parce que je viens de relire les anciens échanges pour savoir ce que j'allais présenter, je regarderais tes dernières réponses plus tard.

Concernant le caractère ouvert de la région II (r ∈ ]0;Rs[) le fait que r=0 ne soit pas compris semble signifier que pour toi il n'y aurais jamais de collapse. Je m'explique : Si deux particules partent de la singularité passée r=0 (exactement) avec entre elles un angle θ=90°, passent par la région I extérieure puis retombent sur la singularité future en r=0 (exactement), il s'agirait alors d'une "séparation" puis d'un "collapse". L'angle de 90° pourrait alors être compris pendant la chute comme l'effet de marrée orthoradial.

SI... on retire r=0 de coordonnées couvertes, quel est alors le sens qu'il faut donner à l’absence de séparation/collapse ? Les particules ne partiraient ni n'aboutiraient à un même évènement, on pourrait alors se permettre des cartographies tout à fait différentes, mais que deviendrait l'effet de marée ?

Je ne sais pas si c'est clair...

Merci

[Amanuensis]

Pas clair. Et ce genre de question s'analyse en KrSz, pas avec le coordonnées de m..., euh, de Schwarschild (avec tout le respect que je dois à ce mathématicien).

[Mailou75]

Salut,

Et je ne suis pas d'accord avec tes arguments. Et le doc pointé traite de la III, et montre le sens du temps (qui est celui dans KrSz !!!).

Je pense qu'on est d'accord et qu'il s'agit juste d'un quiproquo, on en reparlera avec la figure

C'est continu, et ce n'est pas un artefact. C'est le pont de Rosen.

Ok, merci

Enfin, pas plus un artefact que la région III !
Et je pense qu'on peut prendre le point de vue que la région III est un artefact... Mais c'est hors sujet pour cette discussion.

Pour moi IV et III arrivent en même temps, ou pas... Moi qui étais très retissent à l’idée d'existence de ces régions, le fait d'avoir un peu travaillé sur les trous blanc a fini par me convaincre : trop de trajectoires sont incomplètes si on supprime ces régions.

[trois cartes] Réponse dans le doc.

Je viens de le relire. Pas tout compris, tu parles des cartes (coordonnées d'Amanuensis) des régions IV, I et II ? Je croyais qu'i était question de représenter la ligne "2D" du tableau du message#1, j'ai mal interprété ce que tu disais ?

J'avais compris, et ce serait complémentaire à ce qu'il y a dans le doc.

C'est ça

Mais faut faire les choses dans l'ordre. Se mettre d'accord sur les cartes 1D+1D, chaque point représentant une sphère, et bien faire comprendre où "est" l'horizon (la ligne verte dans mon doc) est nécessaire avant de rajouter une coordonnée et essayer d'obtenir des représentations 1D+2D.

Je ne pense pas qu'il y ait trop de problème de ce coté là, en 1D+t, ton doc établis bien les bases.

(AMHA, il n'y en a pas de satisfaisantes si on cherche à grouper I et II. Pour une région seule, les dessins message #1 sont sur la bonne piste, mais il faut un peu plus que changer les noms des variables.)

Je me creuse la tête mais je ne vois pas, snif... j'essayais un parallèle avec Rindler et l'espace plat : en mettant des accélérés symétriques par rapport à un évènement central O en coord de Minkowski on crées deux zones (les ailleurs) qui ne peuvent pas communiquer entre elles. En les reportant en coordonnées de Rindler (les vraies) on crée deux régions A et B qui ne communiquent pas entre elles, séparées par une verticale qui est notre O étiré. A et B sont alors accolées et on a pas de rayon de Schw (ou alors il est nul). Bref, un parallèle intéressant mais qui n'aide pas à représenter la sphère "centre" (X=T=0).

L'idéal serait de pouvoir faire tourner Kruskal selon θ mais pour m'être déjà posé la question mille fois, je ne vois pas comment faire (sans que I et III se superposent à nouveau ni que IV et II se superposent à elles même) c'est sans issue...

Pas clair. Et ce genre de question s'analyse en KrSz, pas avec le coordonnées de m..., euh, de Schwarschild (avec tout le respect que je dois à ce mathématicien).

Laissons tomber cette question pour l'instant, elle reviendra avec les schémas et ce sera plus facile d'en discuter.

Merci
a+

[Amanuensis]

Pour moi IV et III arrivent en même temps, ou pas...

Cela se discute.

le fait d'avoir un peu travaillé sur les trous blanc a fini par me convaincre

Cela justifie la IV, oui.

Je viens de le relire. Pas tout compris, tu parles des cartes (coordonnées d'Amanuensis) des régions IV, I et II ?

Oui. Je n'aime pas trop "coordonnées d'Amanuensis". Tu signifies par là "coordonnées de Schwarzschild compactées", c'est ça ? Si oui, je propose d'utiliser cette expression.

Je croyais qu'i était question de représenter la ligne "2D" du tableau du message#1, j'ai mal interprété ce que tu disais ?

Pas ce que j'avais en tête exactement.

Pour la "bande 2D" (de quatre dessins), à gauche r, theta : OK, coordonnées polaires (à discuter la ligne rouge).

A droite x, theta ; je mettrais le cylindre "horizontal", et autre couleur que le rouge. Un problème est que le "rayon" du cylindre n'est pas constant si l'idée est une surface spatiale. Plutôt un paraboloïde (ou finissant en pointe), le rayon 0 étant la singularité et le rayon max 2M. Un cylindre à rayon constant (à 2M) serait l'horizon, une surface "lumière", pas spatiale.

L'idéal serait de pouvoir faire tourner Kruskal selon θ mais pour m'être déjà posé la question mille fois, je ne vois pas comment faire (sans que I et III se superposent à nouveau ni que IV et II se superposent à elles même) c'est sans issue...

Même conclusion.

Plus généralement, c'est chercher à plonger R² x C1 dans R3, un volume consistant à prendre le plan et remplacer chaque point par un cercle ; il y a bien des solutions il me semble, mais celles que j'imagine ne sont pas parlantes par elles-mêmes, et encore moins pour représenter un 1D+2D spatio-temporel.

[Amanuensis]

Pour être plus clair (?).

Dans la région I, le choix de t comme paramétrage des tranches (une tranche étant ce qui est représentée dans la bande (ligne) 2D) s'impose parce que la métrique est stationnaire (l'espace est "stable" dans le temps). Mais en région II, t' n'a pas de propriété particulière autre qu'être équi-A ce qui ne me semble pas intéressant. On peut choisir une autre coordonnée temporelle, et une telle qu'un 2D équi-temps soit à rayon A variable de 2M à 0 me semble plus parlante.