Solution de Schwarzschild : Cartographie (partie 1)

[Mailou75]

Salut,

Oui. Je n'aime pas trop "coordonnées d'Amanuensis". Tu signifies par là "coordonnées de Schwarzschild compactées", c'est ça ? Si oui, je propose d'utiliser cette expression.

Il fallait bien leur donner un nom, pour ma part ça restera Amanuensis®
Mais comme je suis parti pour faire plusieurs versions à chaque fois ok, pour ce fil ça sera : x, t' et Schw Compact

A droite x, theta ; je mettrais le cylindre "horizontal", et autre couleur que le rouge. Un problème est que le "rayon" du cylindre n'est pas constant si l'idée est une surface spatiale. Plutôt un paraboloïde (ou finissant en pointe), le rayon 0 étant la singularité et le rayon max 2M. Un cylindre à rayon constant (à 2M) serait l'horizon, une surface "lumière", pas spatiale.

Dans la région I, le choix de t comme paramétrage des tranches (une tranche étant ce qui est représentée dans la bande (ligne) 2D) s'impose parce que la métrique est stationnaire (l'espace est "stable" dans le temps). Mais en région II, t' n'a pas de propriété particulière autre qu'être équi-A ce qui ne me semble pas intéressant. On peut choisir une autre coordonnée temporelle, et une telle qu'un 2D équi-temps soit à rayon A variable de 2M à 0 me semble plus parlante.

J'ai conservé le rond rouge dans chaque figure et l'orientation du cylindre pour "linéariser" lecture, com graphique... Mais pas de soucis pour améliorer modifier l'original. Le mieux pour éviter des allers retours c'est que tu m'annotes la première version par scan ou paint ou ce que tu veux... puis par mail. On met ça au point et je rediffuse ici, soucis de ne par rallonger le fil inutilement.

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J'insiste un peu sur la question posée à mach3 sur l'intérieur : quels sont les points commun et différences avec un espace plat Minkowskien ?

Merci a +
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[Amanuensis]

Quel message la question de Mach3 ?

(Mais comme l'intérieur n'est pas "plat", cela fait une différence majeure !!)

[mach3]

Il y a deux aspects qui ont été plus ou moins vaguement évoqués et qu'il faudrait évacuer une bonne fois pour que ce soit bien clair :
-le "sens" de (j'utilise pour suivre la notation du fil, mais classiquement dans diverses références, il s'agit de t), dans les régions II, III et IV, plus précisément comment varie quand X augmente à T constant dans les régions II et IV et comment il varie à X constant quand T augmente en région III (X et T étant les coordonnées de Kruskal).
-le fait que dans un graphique "usuel" (mais considéré inadapté car confusant) avec (les références "classiques" utilisent t là encore) en ordonnée et A (r dans les références classiques) en abscisse, il soit possible de considérer une superposition des régions II et IV d'une part et des région I et III d'autre part.

L'objectif ici n'est pas d'ouvrir un débat sur ces aspects, mais au contraire de clore d'avance ces débats si possible. Dans le cas du premier point, un choix doit être effectué, et l'utilisation de coordonnées neutres d'une part et de coordonnées connotées de l'autre devrait simplifier ce choix.

Pour le premier point donc, suivant les sources, on peut trouver du "t" (usage de ces sources, pas l'usage que l'on souhaite ici) qui augmente systématiquement dans le sens anti-horaire quand on tourne autour du diagramme de Kruskal (avec passage de +inf à -inf à chaque limite de région), du "t" qui augmente avec T pour X constant en I et III et augmente avec X pour T constant en II et IV, ou encore du "t" qui augmente avec T à X constant en I et augmente avec X à T constant en II, tandis qu'il va à l'inverse de T à X constant en III et à l'inverse de X à T constant en IV (en faisant en sorte que les deux parties de chaque droite T=kX portent la même valeur de "t"). Chacune de ces façons de faire peut se justifier et ne fait que modifier les formules pour convertir entre X et T de Kruskal et "r" et "t" de Schwarzschild. "t" n'est qu'un étiquetage , dans tous les cas le temps va des T négatifs aux T positifs dans le Kruskal.
Ce que je propose pour cette discussion est ce qui suit :
-On va définir , tel qu'il augmente avec T à X constant en I et augmente avec X à T constant en II, tandis qu'il va à l'inverse de T à X constant en III et à l'inverse de X à T constant en IV, en faisant en sorte que les deux parties de chaque droite T=kX portent la même valeur de . qualifiera ainsi une paire de droite passant par l'origine du diagramme de Kruskal, l'une de genre temps, l'autre de genre espace, symétriques par rapport aux droites de genre nul passant par l'origine du Kruskal
-Dans la région I, on fixe
-Dans la région III, on fixe ; ainsi on a une coordonnée connotée temporellement qui augmente du passé vers le futur, comme en région I
-Dans la région II, on fixe
-Dans la région IV, on fixe ; ainsi d'une certaine manière augmenter x signifie "se rapprocher" de la région I que cela soit en II ou en IV (on peut se demander, par rapport au chuteurs radiaux qui passent pas la sphère de Schwarzschild, si il ne serait pas utile qu'ils gardent le même x en passant de II à IV, mais cela parait redondant avec qui ne change pas au passage de IV à II pour un chuteur radial).

Ainsi , neutre et de nature géométrique est défini d'une façon cohérente comme étiquette de géodésiques radiales passant par la sphère de Schwarzschild, et t (en I et III) et x (en II et IV) connotés temporellement et spatialement sont définis d'une manière non confusante (t augmente du passé vers le futur, x augmente de III vers I).

Je soumets donc cette proposition aux critiques, puis nous l’entérinerons.

A propos du deuxième point, chaque couple , avec désigne deux sphères différentes de l'espace-temps de Schwarzschild, symétriques l'une de l'autre par rapport à la sphère de Schwarzschild (en suivant la définition de qui précède).
C'est un peu comme si on décrivait les points de la surface de la Terre par seulement deux coordonnées cartésiennes x et y d'un repère cartésien 3D dont l'origine est au centre de la Terre : chaque couple x,y (avec x²+y²<R², R le rayon de la Terre) désigne deux points différents de la surface du globe, symétriques par rapport à un plan équatorial.
Si on représente la Terre dans ces coordonnées x,y, parait-il adroit de superposer les deux hémisphères sur la représentation ? non, c'est juste maladroit et confusant. Quelqu'un n'étant pas à l'aise pourrait s'imaginer que la superposition visible dans la représentation à un pendant physique dans le monde réel (par exemple que la Sardaigne et le Gabon sont le même endroit...)
C'est la même chose dans une représentation de la géométrie de Schwarzschild : on peut choisir de superposer les régions I et III et II et IV, mais c'est une maladresse qui engendrera de la confusion.
Dans le cas de la Terre, on représentera deux cartes x,y, une pour chaque hémisphère. Dans le cas de Schwarzschild on représentera deux cartes, et même en fait quatre, car il n'y a pas de raison légitime d'accoler les régions I et II, la ligne A=2M étant hors-jeux.

m@ch3

(messieurs, vous m'avez doublé, cela fait à peu près une heure que j'ai commencé à rédiger ce message!)

[mach3]

commentaires/réponses pêle-mêle :

Toutes les rayonnantes de la zone IV + II de Kruskal ayant un temps propre identique sur chacune des hyperboles je me pose vraiment la question du parallèle à faire avec Minkowski. L'intérieur peut il être considéré comme un espace temps plat (comme le serait l'intérieur d'une coque de matière) ?

Je crois voir de quel parallèle tu parles. On prend un Minkowski, on considère des observateurs partant en MRU d'un même évènement comme comobiles et les durées propres depuis cet évènement servent à établir la coordonnée temporelle (qui est sur des hyperboles dans un diagramme de Minkowski en coordonnées lorentziennes). Dans ce cas, la distance entre les comobiles augmente linéairement avec la durée propre écoulée depuis l'évènement de séparation et cela se poursuit à l'infini.
En région II c'est un peu différent car la distance entre les comobiles diverge au bout d'une durée propre finie, à cause de la courbure qui diverge.

SI... on retire r=0 de coordonnées couvertes, quel est alors le sens qu'il faut donner à l’absence de séparation/collapse ? Les particules ne partiraient ni n'aboutiraient à un même évènement

Elles peuvent partir d' / aboutir à des évènements arbitrairement proches ayant un r arbitrairement petit.

on pourrait alors se permettre des cartographies tout à fait différentes, mais que deviendrait l'effet de marée ?

la physique ne dépend de la représentation qu'on en fait

L'idéal serait de pouvoir faire tourner Kruskal selon θ mais pour m'être déjà posé la question mille fois, je ne vois pas comment faire (sans que I et III se superposent à nouveau ni que IV et II se superposent à elles même) c'est sans issue...

On ne peut faire cela que sur des tranches (une ligne choisie dans le Kruskal), on obtient alors des surfaces courbes plus ou moins complexes (chaque point de la ligne devenant un cercle de rayon A ou un demi-cercle, suivant si on considère phi ou théta), mais il est impossible de les empiler pour obtenir quelque chose d'intelligible en 3D. Par exemple la paraboloide de Flamm s'obtient en effectuant cette opération sur une droite T=kX, |k|<1 du Kruskal.

m@ch3

[Amanuensis]

Je soumets donc cette proposition aux critiques, puis nous l’entérinerons.

Je n'ai pas d'opinion, qu'elle soit entérinée ou pas m'est égal. Je ne réfléchis pas dans ce sens-là, et je n'utilise pas couramment eta et A.

Quand je dis que je raisonne dans l'autre sens : A et eta sont des "machins" de signification physique indépendante des coordonnées, comme la forme métrique, les géodésiques, etc. Donc je pars d'un système de coordonnées (qui est par nature arbitraire, un simple outil, qui n'a pas nécessairement de signification physique) et j'exprime les quantités physiques à partir des coordonnées. C'est ce que je fais pour la métrique, c'est ce que je ferais pour eta et A. C'est "dans l'autre sens" que la proposition, car je ne présente pas les coordonnées comme ayant une signification physique, ce serait bien trop restrictif ; je 'cache' les raisons du choix du système, j'expose le système d'abord, puis je présente les expressions de données physiques.

(Et il me semble que c'est ce qu'on entend par "cartographier". Toujours marrant de voir la réaction des gens quand on présente des cartes orientées nord en bas, et autres "violation" de conventions implicites, mais arbitraires.)

[Mailou75]

Salut,

Prenons les choses dans l'ordre. Je suis d'accord avec ça :

(...) ou encore du "t" qui augmente avec T à X constant en I et augmente avec X à T constant en II, tandis qu'il va à l'inverse de T à X constant en III et à l'inverse de X à T constant en IV (en faisant en sorte que les deux parties de chaque droite T=kX portent la même valeur de "t").

mais pas avec la première partie décrite. Je ne sais pas d'où tu la sors ? En même temps les Kruskal pourris ça court les rues. Oublions donc l'autre "façon de faire"...

Je suis aussi d'accord avec ça :

-On va définir , tel qu'il augmente avec T à X constant en I et augmente avec X à T constant en II, tandis qu'il va à l'inverse de T à X constant en III et à l'inverse de X à T constant en IV, en faisant en sorte que les deux parties de chaque droite T=kX portent la même valeur de . qualifiera ainsi une paire de droite passant par l'origine du diagramme de Kruskal, l'une de genre temps, l'autre de genre espace, symétriques par rapport aux droites de genre nul passant par l'origine du Kruskal

qui ne revient en fait qu'à changer la notation t en η. Pas de souci si ça vous aide à dormir

Mais alors là :

-Dans la région I, on fixe
-Dans la région III, on fixe (...)
-Dans la région II, on fixe
-Dans la région IV, on fixe (...)

Tu me demandes d'avoir deux notations différentes pour une même variable ?? A quoi sert η si c'est pour lui réaffecter une autre lettre ensuite, à savoir le x proposé par Amanuensis ?

D'autant que la bonne question est celle que tu poses toi même :

(on peut se demander, par rapport au chuteurs radiaux qui passent pas la sphère de Schwarzschild, si il ne serait pas utile qu'ils gardent le même x en passant de II à IV, mais cela parait redondant avec qui ne change pas au passage de IV à II pour un chuteur radial).

et effectivement ça ferait du bien qu'ils gardent le même x (feu t), sans changer de signe, symbole d'une "immobilité" ou du moins d'une inertie le long de leur trajectoire en ligne droite de IV vers II.

Enfin ceci ne nous dit rien sur le sort réservé à r en IV et II. Est-ce qu'on prend le t' d'Amanuensis ? Et dans de cas qu'est ce que le A dont tu parles ensuite puisque tu auras déjà réaffecté les notations t > η > x ? M'est d'avis qu'on est en train d'embrouiller le truc plus qu'autre chose. Comment faire ensuite le lien entre chaque système une fois qu'on aura mis un tel bordel ? J'ai mis un moment à tous les rendre "cohérents" d'un point de vue (r;t) et vous me demandez de me faire des noeuds au cerveau pour des raisons fallacieuses, vous mêmes insistant sur le fait que ce n'est qu'un "étiquetage". Dire que r est du temps en IV et II c'est un moindre mal par rapport à tout ça...

Pour ne pas perdre Amanuensis je propose donc d'adopter son "simple" changement de variable
- x dans le sens de X en II
- x dans le sens inverse de X en IV
- t' dans le sens de T en II
- t' dans le sens de T en IV (changement de signe minime mais de bon aloi)
ce qui va permettre de conserver les propriétés logiques de Kruskal.

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C'est un peu comme si on décrivait les points de la surface de la Terre par seulement deux coordonnées cartésiennes x et y d'un repère cartésien 3D dont l'origine est au centre de la Terre : chaque couple x,y (avec x²+y²<R², R le rayon de la Terre) désigne deux points différents de la surface du globe, symétriques par rapport à un plan équatorial.
Si on représente la Terre dans ces coordonnées x,y, parait-il adroit de superposer les deux hémisphères sur la représentation ? non, c'est juste maladroit et confusant. Quelqu'un n'étant pas à l'aise pourrait s'imaginer que la superposition visible dans la représentation à un pendant physique dans le monde réel (par exemple que la Sardaigne et le Gabon sont le même endroit...)
C'est la même chose dans une représentation de la géométrie de Schwarzschild : on peut choisir de superposer les régions I et III et II et IV, mais c'est une maladresse qui engendrera de la confusion.

C'est exactement ça, très bonne image !

Dans le cas de la Terre, on représentera deux cartes x,y, une pour chaque hémisphère. Dans le cas de Schwarzschild on représentera deux cartes, et même en fait quatre, car il n'y a pas de raison légitime d'accoler les régions I et II, la ligne A=2M étant hors-jeux.

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? Ca marche très bien à l'heure actuelle et ça donne ceci (que tu connais déjà) : https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6322504. La trajectoire complète en Newton et Schw est en réalité deux trajectoires complètes en Kruskal chacune devant être lue dans le sens inverse de l'autre.

Mais effectivement cette décomposition en quatre cartes disjointes (pour Schw) ou jointes par les horizons (Split Amanuensis/ Schw compact) est l'objet de la "partie 2" de cette étude. Il ne faut pas jeter Schw avec l'eau du bain, on ne réécrira pas l'histoire de toute façon... par contre en faire la dissection est tout à fait intéressant

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Je crois voir de quel parallèle tu parles. On prend un Minkowski, on considère des observateurs partant en MRU d'un même évènement comme comobiles et les durées propres depuis cet évènement servent à établir la coordonnée temporelle (qui est sur des hyperboles dans un diagramme de Minkowski en coordonnées lorentziennes). Dans ce cas, la distance entre les comobiles augmente linéairement avec la durée propre écoulée depuis l'évènement de séparation et cela se poursuit à l'infini.

C'est tout à fait ça

En région II c'est un peu différent car la distance entre les comobiles diverge au bout d'une durée propre finie, à cause de la courbure qui diverge.

Ma question porte là dessus. L'espace de "l'immobile" suivant la droite x=0, cad l'axe T (feu t=0) est il une horizontale ou l'hyperbole ? Quel que soit le cas, comment graduer cette variation d'espace divergente ?

Il me semble que tu avais commencé de répondre à cela ici

Donc ça donne simplement une longueur de si r<2M (si r>2M c'est une durée...).

mais je n'ai pas su interpréter son utilisation. En même temps ceci devrait faire l'objet d'un autre fil, sinon ca sent les discussions croisées et un fil imbitable... je reporte donc ma question à plus tard, quand le sujet "cartographie" sera achevé. Je le garde sous le coude tkt

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Elles peuvent partir d' / aboutir à des évènements arbitrairement proches ayant un r arbitrairement petit.

Arbitrairement petit ou tendant vers zero c'est synonyme pour moi c'est justement le sujet.

la physique ne dépend de la représentation qu'on en fait

En l’occurrence si ! Supposons qu'à la place de "arbitrairement petit" je place les évènement d'arrivée sur un "grand" cercle, suffisamment grand pour que le cercle de départ en Rs soit à peine plus grand en proportion. Dans ce cas j'ai perdu toute notion d'effet de marée orthoradial. D'où vient cette exclusion de r=0 (enfin t'=Rs pardon...) ? Si ça se trouve l'arrivée sur la singularité n'a rien d'ultime, juste une nouvelle "singularité de coordonnées" (= on s'est encore vautré) comme l'a été l'horizon de Schw à son époque ?

Notez que pour moi un horizon est un passage immatériel vers autre chose et cet autre chose n'est pas nécessairement borné (comprendre : il y a peut être un autre "extérieur" de l'autre coté de l'horizon). Bon, à nouveau c'est un sujet à part entière, mais cette fois il est en lien avec les représentations de la "partie 2" imposant que le cylindre numéroté 3 du message#1 montre un "collapse" alors que ce n'est peut être pas le cas... dans ce cas là beaucoup de copies sont à revoir !

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On ne peut faire cela que sur des tranches (une ligne choisie dans le Kruskal), on obtient alors des surfaces courbes plus ou moins complexes (chaque point de la ligne devenant un cercle de rayon A ou un demi-cercle, suivant si on considère phi ou théta), mais il est impossible de les empiler pour obtenir quelque chose d'intelligible en 3D. Par exemple la paraboloide de Flamm s'obtient en effectuant cette opération sur une droite T=kX, |k|<1 du Kruskal.

Humm... je comprends que Flamm est l'espace "propre" des immobiles extérieurs de Schw (pas l'espace coordonnée r) mais je ne vois pas comment en isolant une droite à t constant de la région I et en la faisant tourner on aurait Flamm. On aurait un cone, rien d'autre. Que voulais tu dire ?

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Il fallait bien leur donner un nom, pour ma part ça restera Amanuensis®

Note que Penrose ne s'est pas privé pour appeler un "Kruskal compact" un Penrose, pourquoi tant d'humilité ?

A+

Mailou

[mach3]

Je suis d'accord avec ça mais pas avec la première partie décrite. Je ne sais pas d'où tu la sors ?

Je ne retrouve pas, mais j'avais déjà vu des Kruskal avec ces façons de faire. Peu importe si je ne les retrouve pas.

Tu me demandes d'avoir deux notations différentes pour une même variable ?? A quoi sert η si c'est pour lui réaffecter une autre lettre ensuite, à savoir le x proposé par Amanuensis ?

L'idée est d'avoir d'un côté deux champs scalaires dont les noms ne sont pas connotés et simplement définis géométriquement sur l'ensemble de la géométrie, A et η, et de l'autre côté des couples de champs scalaires dont les noms sont connotés temporellement ou spatialement et définis différemment pour chaque carte afin d'être pertinents et non confusants. Chaque carte doit être lisible simplement.

ça ferait du bien qu'ils gardent le même x (feu t), sans changer de signe, symbole d'une "immobilité" ou du moins d'une inertie le long de leur trajectoire en ligne droite de IV vers II.

oui, j'y ai pensé au départ, mais ça introduit une espèce de dissymétrie dans les définitions. Pas évident d'expliquer, mais je vais essayer.
Quand on prend une hypersurface de constant avec A>2M, on obtient une paraboloide de Flamm, partout continue et dérivable, un côté est dans la région I, l'autre dans la région III, les deux reliés par la sphère de Schwarzschild, c'est une droite dans le Kruskal. Par contre quand on prend une hypersurface de t constant en région I et une hypersurface de même t constant en région III, elle se rejoigne bien sur la sphère de Schwarzschild, mais la jonction n'est pas lisse (on n'est plus dérivable sur la sphère), ce sont deux demi-droites se joignant au centre et formant un angle dans le Kruskal. Faire de choix d'un t allant du passé vers le futur en I et en III fait qu'il vaut mieux éviter de considérer des hypersurfaces de t constant s'étendant sur ces deux régions. A la réflexion en plus cela n'a aucun intérêt parce qu'on ne peut pas "synchroniser" les régions I et III.
De manière similaire, quand on prend une droite de constant avec A<2M, on obtient une géodésique de genre temps passant par la sphère de Schwarzschild et partout continue et dérivable (c'est une géodésique, donc pas le choix). Prendre x= dans les deux régions II et IV conserve la dérivabilité, contrairement à ce qu'on a fait pour I et III. Prendre x= en II et x= en IV permet de faire une jonction du même type que ce qu'on a fait pour I et III.
Enfin bon, ça reste une histoire de goût mais je préfère ma proposition parce que t varie dans le même sens que T et x dans le même sens que X et qu'on a une symétrie des définitions. D'ailleurs ça fait que si on représente les 4 régions compactée se touchant par des angles (II et IV étant convenablement tournées de 90° par rapport aux représentations usuelles), le x de II et IV vont tous les deux de gauche à droite, alors que va de gauche à droite en II et de droite à gauche en IV.

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? Ca marche très bien à l'heure actuelle et ça donne ceci (que tu connais déjà)

ben non ça ne marche pas très bien parce que sur le Schwarzschild au centre du schéma de ton lien, la partie sortante (région IV) et la partie entrante (région II) de la géodésique radiale sont représentée sur la même carte, donnant l'impression fausse que la particule test sort d'une région intérieure, culmine, puis retourne dans cette même région intérieure, alors que ce n'est pas ce qui se passe physiquement. C'est exactement le genre de confusion qu'il faut éviter de causer.

Ma question porte là dessus. L'espace de "l'immobile" suivant la droite x=0, cad l'axe T (feu t=0) est il une horizontale ou l'hyperbole ? Quel que soit le cas, comment graduer cette variation d'espace divergente ?

Si c'est espace au sens de partout orthogonal aux comobiles considérés, c'est une hypersurface de A constant (donc t' constant), alors c'est une droite en Schwarzschild, et donc une hyperbole en kruskal.

Arbitrairement petit ou tendant vers zero c'est synonyme pour moi c'est justement le sujet.

oui, c'est juste une façon de parler de limite

En l’occurrence si ! Supposons qu'à la place de "arbitrairement petit" je place les évènement d'arrivée sur un "grand" cercle, suffisamment grand pour que le cercle de départ en Rs soit à peine plus grand en proportion. Dans ce cas j'ai perdu toute notion d'effet de marée orthoradial.

quand je dis arbitrairement petit, cela signifie que l'on peut prendre aussi petit que l'on veut et la continuité fait qu'on peut toujours choisir encore plus petit, sans toutefois attendre la limite. Ce qui compte, c'est le fait de pouvoir choisir toujours plus petit.

D'où vient cette exclusion de r=0 (enfin t'=Rs pardon...) ? Si ça se trouve l'arrivée sur la singularité n'a rien d'ultime, juste une nouvelle "singularité de coordonnées" (= on s'est encore vautré) comme l'a été l'horizon de Schw à son époque ?

non, parce que quand A devient arbitrairement petit, la courbure devient arbitrairement grande, il y a divergence, c'est ça la singularité, une courbure qui tend vers l'infini. Et comme la courbure est intrinsèque, changer de coordonnées n'y fera rien, en A=0 on n'est plus dans le domaine de définition de la variété.

Humm... je comprends que Flamm est l'espace "propre" des immobiles extérieurs de Schw (pas l'espace coordonnée r) mais je ne vois pas comment en isolant une droite à t constant de la région I et en la faisant tourner on aurait Flamm. On aurait un cone, rien d'autre. Que voulais tu dire ?

Prends la droite T=0 dans kruskal. Remplace chacun des points de cette droite par des cercles de rayon A que tu empiles, tu obtiens, à une déformation près, la paraboloide de Flamm : A diminue jusqu'à atteindre 2M quand X augmente depuis -inf jusqu'à 0, puis réaugmente quand X augmente au dela de 0, ça donne le fameux "diabolo".
https://blogs.futura-sciences.com/e-...paraboloid.jpg

m@ch3

[Mailou75]

Merci pour ces réponses,

L'idée est d'avoir d'un côté deux champs scalaires dont les noms ne sont pas connotés et simplement définis géométriquement sur l'ensemble de la géométrie, A et η, et de l'autre côté des couples de champs scalaires dont les noms sont connotés temporellement ou spatialement et définis différemment pour chaque carte afin d'être pertinents et non confusants. Chaque carte doit être lisible simplement.

Donc A et η seraient visibles dans les calculs mais pas sur les cartes (où on ne verrait apparaitre que r, t, x et t') ? Si c'est le cas pourquoi pas, mais sinon tu comprends que, d'un point de vue com graphique, avoir plusieurs lettres pour la même chose ça ne va pas clarifier la lecture...

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Quand on prend une hypersurface de constant avec A>2M, on obtient une paraboloide de Flamm, partout continue et dérivable, un côté est dans la région I, l'autre dans la région III, les deux reliés par la sphère de Schwarzschild, c'est une droite dans le Kruskal.

Ah, pour toi la partie inférieure de Flamm c'est la région III ? Je ne m'étais jamais posé la question, j'étais plus sur l'image du trou de ver, sans chercher plus loin... mais en fait ça parait logique puisque spatialement, chez Kruskal, l'axe X passe directement de I à III. J'entends.

Par contre quand on prend une hypersurface de t constant en région I et une hypersurface de même t constant en région III, elle se rejoigne bien sur la sphère de Schwarzschild, mais la jonction n'est pas lisse (on n'est plus dérivable sur la sphère), ce sont deux demi-droites se joignant au centre et formant un angle dans le Kruskal.

Comme tu as défini η exactement comme t je ne vois pas où serait la différence. N'y aurait-il pas confusion avec ton -η ? Amanuensis n'a pas parlé de changer le t original en I ni III, d'ailleurs il n'a pas souhaité parler de III tout court

De manière similaire, quand on prend une droite de constant avec A<2M, on obtient une géodésique de genre temps passant par la sphère de Schwarzschild et partout continue et dérivable (c'est une géodésique, donc pas le choix). Prendre x= dans les deux régions II et IV conserve la dérivabilité, contrairement à ce qu'on a fait pour I et III.

C'est ce que je proposais, tant pis si x est "à l'envers" (sens inverse de X) en région IV.

Prendre x= en II et x= en IV permet de faire une jonction du même type que ce qu'on a fait pour I et III.

Et qui s'avère être une bêtise pour parler de "continuité". Mais j'ai quand même admis que t' pouvais aller dans le sens de T. Autant un espace mesuré en valeur négative n'a aucun sens donc l'esprit enlève naturellement le "-", autant pour le temps ça pourrait porter à confusion. Quoique...

Enfin bon, ça reste une histoire de goût mais je préfère ma proposition parce que t varie dans le même sens que T et x dans le même sens que X et qu'on a une symétrie des définitions.

Oui bon, ceci confirme que tu es bien en train de parler de t'. Faudrait commencer à faire gaffe du coup ! (de votre faute)

Relisez ma proposition de compromis, elle n'est pas si mal. Et puis il faut se mettre d'accord, on va pas palabrer pendant des pages pour quelques lettres

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ben non ça ne marche pas très bien parce que sur le Schwarzschild au centre du schéma de ton lien, la partie sortante (région IV) et la partie entrante (région II) de la géodésique radiale sont représentée sur la même carte, donnant l'impression fausse que la particule test sort d'une région intérieure, culmine, puis retourne dans cette même région intérieure, alors que ce n'est pas ce qui se passe physiquement. C'est exactement le genre de confusion qu'il faut éviter de causer.

Ben oui et non... Oui si on suppose que "notre" interprétation est la bonne à savoir qu'il y a bien quatre régions chez Schw (superposées deux par deux). Non si on suppose que certaines particules vont "à contre temps" (voir anti-particules) car dans ce cas Schw a tout bon, enfin presque
Mais je conçois que tu as raison sur l'image d'une particule qui sort du trou noir. J'ai pas vraiment d'explication pour ça...

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Si c'est espace au sens de partout orthogonal aux comobiles considérés, c'est une hypersurface de A constant (donc t' constant), alors c'est une droite en Schwarzschild, et donc une hyperbole en kruskal.

D'ac merci pour ce début de réponse, on étudiera la graduation plus tard (bien plus tard...)

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quand je dis arbitrairement petit, cela signifie que l'on peut prendre aussi petit que l'on veut et la continuité fait qu'on peut toujours choisir encore plus petit, sans toutefois attendre la limite. Ce qui compte, c'est le fait de pouvoir choisir toujours plus petit.

Ok, pour ma part ça ne change donc rien. On a un r=0 non couvert mais ça reste des maths... On conserve donc bien l'effet de marée orthoradial à l'intérieur. Oublie le reste de mes élucubrations...

non, parce que quand A devient arbitrairement petit, la courbure devient arbitrairement grande, il y a divergence, c'est ça la singularité, une courbure qui tend vers l'infini. Et comme la courbure est intrinsèque, changer de coordonnées n'y fera rien, en A=0 on n'est plus dans le domaine de définition de la variété.

Je vous fais confiance même si ça m'échappe... Je croyais que "toute la matière" était concentrée en r=0, si ce n'est plus le cas alors où est elle passée ? (puisqu'elle ne s'est pas arrêtée sur un rayon aréal "arbitrairement petit")

..........

Prends la droite T=0 dans kruskal. Remplace chacun des points de cette droite par des cercles de rayon A que tu empiles, tu obtiens, à une déformation près, la paraboloide de Flamm : A diminue jusqu'à atteindre 2M quand X augmente depuis -inf jusqu'à 0, puis réaugmente quand X augmente au dela de 0, ça donne le fameux "diabolo".

Mwai... à plusieurs déformations près : d'une part la droite horizontale devient une parabole et d'autre part c'est faux car la coordonnée X n'est pas du tout r et r c'est ton A : le rayon aréal. Bref, si dans le principe l'axe X représente l'espace des immobiles, le faire tourner suivant θ ne donnera jamais Flamm. Laisse tomber, c'est impossible d'ajouter une dimension à Kruskal, c'est triste mais faut s'y faire. Je te rappelle qu'on a trouvé un palliatif, la "partie 2" te rafraichira la mémoire

A demain bonne nuit

[mach3]

Ah, pour toi la partie inférieure de Flamm c'est la région III ? Je ne m'étais jamais posé la question, j'étais plus sur l'image du trou de ver, sans chercher plus loin... mais en fait ça parait logique puisque spatialement, chez Kruskal, l'axe X passe directement de I à III. J'entends.

Il me semblait qu'on en avait déjà parlé...

Mwai... à plusieurs déformations près : d'une part la droite horizontale devient une parabole et d'autre part c'est faux car la coordonnée X n'est pas du tout r et r c'est ton A : le rayon aréal. Bref, si dans le principe l'axe X représente l'espace des immobiles, le faire tourner suivant θ ne donnera jamais Flamm. Laisse tomber, c'est impossible d'ajouter une dimension à Kruskal, c'est triste mais faut s'y faire. Je te rappelle qu'on a trouvé un palliatif, la "partie 2" te rafraichira la mémoire

Tu te rappelles de ça, le diagramme Novikov/Newton :
https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6536908 (purée qu'est ce que c'était beau et éclairant comme schéma!)

Tu prends la parabole horizontale (elle correspond à T=0 en Kruskal, ou par rotation hyperbolique à toute droite T=kX avec |k|<1 ) et tu la fais tourner suivant l'axe de R*. On obtient directement la paraboloide de Flamm sans faire de déformation.

Comme tu as défini η exactement comme t je ne vois pas où serait la différence. N'y aurait-il pas confusion avec ton -η ? Amanuensis n'a pas parlé de changer le t original en I ni III, d'ailleurs il n'a pas souhaité parler de III tout court

en région I, mais en région III, pour avoir t croissant du passé vers le futur dans les deux régions ( est croissant du futur vers le passé en III). Donc on a deux demi-droites, de même valeur de t en I et III, mais du coup d'une valeur opposée de , elles font un angle (l'angle hyperbolique entre la demi-droite en I et le prolongement en I de la demi-droite en III est de )

C'est ce que je proposais, tant pis si x est "à l'envers" (sens inverse de X) en région IV.

Bon, faut que j'y réfléchisse, je reviens peut-être avec deux schémas post-it

Oui bon, ceci confirme que tu es bien en train de parler de t'. Faudrait commencer à faire gaffe du coup ! (de votre faute)

oui, quand j'ai dis que t est partout dans le sens de T, je mettais t et t' dans le même sac, c'était un raccourci malheureux.

Ben oui et non... Oui si on suppose que "notre" interprétation est la bonne à savoir qu'il y a bien quatre régions chez Schw (superposées deux par deux).

La question ne se pose même pas. Spéculer n'est pas le sujet si ? Le sujet n'est-il pas de cartographier la solution de Schwarzschild telle que décrite dans les ouvrages de référence ? Le fait qu'il y ait 4 régions est alors imposé dès le départ.

Je croyais que "toute la matière" était concentrée en r=0, si ce n'est plus le cas alors où est elle passée ? (puisqu'elle ne s'est pas arrêtée sur un rayon aréal "arbitrairement petit")

Il me semblait qu'on en avait déjà parler aussi, dans la solution complète de Schwarzschild, le tenseur de Ricci est nul partout, il n'y a pas de matière, jamais et nulle-part, on ne se demande pas où elle est passée. C'est une solution du vide, comme Minkowski.
Si on s'intéresse à un astre de symétrie sphérique sans rotation en effondrement, la géométrie n'est celle de Schwarzschild que dans la région où il n'y a pas de matière. Là où il y a de la matière, ce sera une géométrie de type FLRW, mais en contraction au lieu d'être en expansion. Dans ce cas les lignes d'univers suivie par la matière convergent, leurs évènements devenant arbitrairement proches quand A devient arbitrairement petit. Mais bon, ça, c'est un autre sujet.

m@ch3

[Amanuensis]

Juste un aparté, une question à Mach3.

Le terme "sphère de Schwarzschild" est-il commun ? Une référence ? (je n'en trouve pas par une recherche directe minimale sur la toile.)

J'utilise "le centre", ça va plus vite.

Je pensais que c'était le "pont d'Einstein-Rosen", mais il semblerait que c'est autre chose, genre trou de ver (pourtant je me souviens avoir vu ce terme pour l'étranglement du "paraboloïde de Flamm" montrant I et III à la fois.

Ou peut-être pas autre chose, si l'idée est est que la région III est une "sous-partie", ailleurs, de la région I ?

Bref, c'est quoi la terminologie pour X=T=0 (qui relie temporellement II et IV, et spatialement I et III) ?

Et parle-t-on bien de la même chose ?

[mach3]

@amanuensis : Je vais relire le chapitre 31 du MTW pour voir ce qu'ils en disent pour commencer...

m@ch3

[Amanuensis]

En lisant les textes sur le pont de Rosen, j'ai l'impression que la science-fiction a pris le pas sur les mathématiques !

Mon interprétation est que le pont de Rosen était bien, initialement, le lieu mathématique X=T=0 (faudrait vérifier l'article scientifique original), mais que son application comme jonction "ailleurs" dans l'Univers (trou de ver) a été ensuite la seule "application" retenue, et que cela a restreint le sens...

Si c'est ça, encore un exemple de "physique-spectacle" et du pouvoir de nuisance des médias.

[Amanuensis]

Par ailleurs, un rebroussement sur X=T=0 n'est pas nécessairement discontinu en vitesse : en 4D on peut "faire demi-tour" continument sur la sphère. La discontinuité de vitesse en KrSz est fictive, un effet d'écrasement des coordonnées 4D...

(Peut-être déjà indiqué, je lis vos (trop) grands messages en diagonal !)

[Amanuensis]

Je reviens sur un vieux message, suite à essayer d'éventuellement incorporer eta dans mon texte (qui est en train de subir un énorme ravalement, bien nécessaire!).

Il y a deux aspects qui ont été plus ou moins vaguement évoqués et qu'il faudrait évacuer une bonne fois pour que ce soit bien clair :
-le "sens" de (j'utilise pour suivre la notation du fil, mais classiquement dans diverses références, il s'agit de t), dans les régions II, III et IV, plus précisément comment varie quand X augmente à T constant dans les régions II et IV et comment il varie à X constant quand T augmente en région III (X et T étant les coordonnées de Kruskal).
-le fait que dans un graphique "usuel" (mais considéré inadapté car confusant) avec (les références "classiques" utilisent t là encore) en ordonnée et A (r dans les références classiques) en abscisse, il soit possible de considérer une superposition des régions II et IV d'une part et des région I et III d'autre part.

L'objectif ici n'est pas d'ouvrir un débat sur ces aspects, mais au contraire de clore d'avance ces débats si possible. Dans le cas du premier point, un choix doit être effectué, et l'utilisation de coordonnées neutres d'une part et de coordonnées connotées de l'autre devrait simplifier ce choix.

Autant je comprends que A est "neutre" au sens "absolu", indépendant de tout système de coordonnées, autant le cas de eta ne m'est pas clair.

En terme d'absoluïsme, eta l'est comme un angle, c'est à dire une propriété d'une paire de qvecteurs du tangent. Mais pour une coordonnée, on cherche une propriété d'un événement. Parler de eta pour un événement implique, sans le dire, le choix d'une direction origine, non ?
Du coup, cela me semble un peu "bâtard", surtout quand on considère qu'une des symétries de la géométrie de Schw. est l'invariance par une rotation hyperbolique dans le plan (T, X) laissant invariants les horizons.

Soit on se réfère à des absolus, soit on parle de choix arbitraire, mais mélanger les deux, non.

[Amanuensis]

PS : le parallèle avec les coordonnées polaires du plan cartésien est clair. Mais justement, dans (r, theta), theta est arbitraire, seule une différence est absolue.

Et du coup, pour moi, les coordonnées polaires sont aussi "arbitraires" que n'importe quelles autres, cartésiennes incluses, et il n'y a pas de raison de les privilégier pour définir d'autres systèmes (ce que d'ailleurs on ne fait pas en géométrie plane !).

[mach3]

Je comprend la critique, il faut effectivement choisir arbitrairement une droite T=kX comme origine de , et la symétrie par rotation hyperbolique dans le Kruskal correspond la symétrie par translation suivant (t dans les diagrammes usuels accolant régions I et II) dans le Schwarzschild. Je crains qu'on ne puisse trouver mieux. On est dans un système de coordonnées polaires généralisé : un rayon (aréal) et 3 angles (dont un hyperbolique), avec invariance par changement de ces angles. Pour moi les symétries de la géométrie de Schwarzschild peuvent justifier qu'on utilise un tel système polaire plutôt qu'un autre, non polaire.

Je reste ouvert à d'autres propositions

m@ch3

[Mailou75]

Salut à vous,

Il me semblait qu'on en avait déjà parlé...

Sans doute, mais ça n'avait pas du me marquer à l'époque. On ne retient que ce qu'on est prêt à entendre

Tu te rappelles de ça, le diagramme Novikov/Newton :
https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6536908 (purée qu'est ce que c'était beau et éclairant comme schéma!)
Tu prends la parabole horizontale (elle correspond à T=0 en Kruskal, ou par rotation hyperbolique à toute droite T=kX avec |k|<1 ) et tu la fais tourner suivant l'axe de R*. On obtient directement la paraboloide de Flamm sans faire de déformation.

Oui j'me souviens ! Malheureusement ce n'est pas le cas (je viens de vérifier) la parabole du plan horizontal est "deux fois trop haute" (exactement), si je conserve la valeur de r elle doit être écrasée suivant R*, sinon la longueur de la parabole n'est plus la longueur propre (enfin l'intégrale des longueurs propres locales) des immobiles extérieurs. Dommage c'aurait été joli j'avoue.

en région I, mais en région III, pour avoir t croissant du passé vers le futur dans les deux régions ( est croissant du futur vers le passé en III). Donc on a deux demi-droites, de même valeur de t en I et III, mais du coup d'une valeur opposée de , elles font un angle (l'angle hyperbolique entre la demi-droite en I et le prolongement en I de la demi-droite en III est de )

Pas de souci avec ça, c'est juste que tu es en train d'introduire un genre de t' en région III (alors qu'à priori il est réservé à IV et II). C'est donc encore d'une autre lettre qu'il s'agirait, on va se retrouver avec tout l'alphabet

oui, quand j'ai dis que t est partout dans le sens de T, je mettais t et t' dans le même sac, c'était un raccourci malheureux.

Comme dit c'est même pas le t' d'Amanuensis, c'est un "symétrique de t" par rapport à l'axe T.

La question ne se pose même pas. Spéculer n'est pas le sujet si ? Le sujet n'est-il pas de cartographier la solution de Schwarzschild telle que décrite dans les ouvrages de référence ? Le fait qu'il y ait 4 régions est alors imposé dès le départ.

Ok, disons que Schw restera Schw avec ses défauts, dont la superposition et les trajectoires à "contre temps" s'expliquant, à travers le Split (4 régions) comme allant toutes dans le sens d'un temps propre croissant. De toute façon je ne justifie pas qu'une des trajectoires puisse sortir du trou noir donc c'est forcément le trou blanc par superposition. On verra ça en "partie 2".

Il me semblait qu'on en avait déjà parlé aussi, dans la solution complète de Schwarzschild, le tenseur de Ricci est nul partout, il n'y a pas de matière, jamais et nulle-part, on ne se demande pas où elle est passée. C'est une solution du vide, comme Minkowski.

Ok ok, je m'attendais à cette réponse. De toute façon j'ai eu ma réponse pour l'effet de marée : "arbitrairement petit" c'est comme zero pour les représentations.

..........

Le terme "sphère de Schwarzschild" est-il commun ? Une référence ? (je n'en trouve pas par une recherche directe minimale sur la toile.)
J'utilise "le centre", ça va plus vite.

Il me semble que vous parlez de la même chose Centre=Sphère de Schw. Le premier fait référence au centre de Kruskal, le second au fait qu'en ajoutant θ et ϕ (rotation depuis un centre à une distance Rs) on obtient une sphère.

En lisant les textes sur le pont de Rosen, j'ai l'impression que la science-fiction a pris le pas sur les mathématiques !
Mon interprétation est que le pont de Rosen était bien, initialement, le lieu mathématique X=T=0 (faudrait vérifier l'article scientifique original), mais que son application comme jonction "ailleurs" dans l'Univers (trou de ver) a été ensuite la seule "application" retenue, et que cela a restreint le sens...
Si c'est ça, encore un exemple de "physique-spectacle" et du pouvoir de nuisance des médias.

C'est ça, et je me suis fait berner

Par ailleurs, un rebroussement sur X=T=0 n'est pas nécessairement discontinu en vitesse : en 4D on peut "faire demi-tour" continument sur la sphère. La discontinuité de vitesse en KrSz est fictive, un effet d'écrasement des coordonnées 4D...

J'aurais sans doute un schéma assez parlant montrant ce principe : un vecteur orthogonal constamment à la parabole de Flamm se traduit (par évolution constante du temps propre) par une vitesse par rapport à un espace qui serait horizontal. Pas facile à expliquer et pas facile à vous montrer non plus vu que les vecteurs sont tout petits pour que ça ne soit pas trop faux. Si j'écrivais moins de messages j'aurais peut être le temps de m'y consacrer, ce n'était pas prévu ici mais ça reste très intéressant comme "explication". On pourrait ainsi passer de I à III sans autre nécessité que d'être inertiel - on ne tomberait alors pas dans le trou noir !??

Autant je comprends que A est "neutre" au sens "absolu", indépendant de tout système de coordonnées, autant le cas de eta ne m'est pas clair

C'est parce que tu penses η comme un angle hyperbolique. Ici c'est juste un clin d'oeil à la rapidité chez Minko mais c'est en fait un simple changement de lettre : t=η rien d'autre.

A+

[Amanuensis]

Pour moi les symétries de la géométrie de Schwarzschild peuvent justifier qu'on utilise un tel système polaire plutôt qu'un autre, non polaire.

Je ne parlais pas d'un choix de système, pour moi c'est toujours arbitraire et guidé par l'application qu'on en fait. (Et les coordonnées de Schw sont très utile quand on se limite à la région I et r >> A.)

Ce que je disputais est l'usage de ces coordonnées polaires comme référence pour le reste.

Et, côté symétries, je ne vois pas trop l'avantage par rapport à KrSz, une fois qu'on a compris qu'elles étaient conformes en (T,X) et comment se présentait la symétrie par rotation hyperbolique.

[Amanuensis]

Il me semble que vous parlez de la même chose Centre=Sphère de Schw. Le premier fait référence au centre de Kruskal, le second au fait qu'en ajoutant θ et ϕ (rotation depuis un centre à une distance Rs) on obtient une sphère.

Au "détail" près que c'est valable pour n'importe quel point d'une représentation 2D, Schw ou KrSz, pareil.

[Mailou75]

Oui j'me souviens ! Malheureusement ce n'est pas le cas (je viens de vérifier) la parabole du plan horizontal est "deux fois trop haute"

En fait ça serait possible en multipliant R* par 2 cad en étirant latéralement l'ensemble des figures. Du coup R* trouverait un sens qu'il n'a actuellement pas... J'avoue que je n'ai pas le courage de tout me retaper (=refaire toutes les planches qui contiennent Novikov), on va se l'imaginer

.....

Au "détail" près que c'est valable pour n'importe quel point d'une représentation 2D, Schw ou KrSz, pareil.

Certes. Mais vous parlez bien de la même chose !

[Amanuensis]

Certes. Mais vous parlez bien de la même chose !

Oui. Mais que cela corresponde à un point en 2D n'est vrai qu'en KrSz. Pour quelqu'un qui ne percute pas sur ce point, il n'est pas évident que la ligne r=A représente une sphère en coordonnés de Schw. Du coup, je ne trouve pas le terme "sphère de Schwarzschild" satisfaisant, d'où la demande pour une référence.

"pont de Rosen" est trop connoté, maintenant.

"sphère centrale" pourrait être un compromis (sous-entendu "de la géométrie de Schwarzschild") ?

[Mailou75]

Re,

Sphère centrale ça me parait pas mal, comme ça on retrouve les deux significations : centre de Kruskal et sphère, avec toutes ses dimensions. Je vous laisse vous mettre d'accord sur ce point, pas de contre indications a priori.

Tu ne t'es pas prononcé sur ceci :

Pour ne pas perdre Amanuensis je propose donc d'adopter son "simple" changement de variable
- x dans le sens de X en II
- x dans le sens inverse de X en IV
- t' dans le sens de T en II
- t' dans le sens de T en IV (changement de signe minime mais de bon aloi)
ce qui va permettre de conserver les propriétés logiques de Kruskal.

Sachant que le passage par A et η sera principalement calculatoire et ne figurera pas sur les graphes.

Sinon, je reste dans l'attente de tes modifs (par mail : couleurs, symboles, orientations, compléments ?) sur le tableau du message#1 pour rediffusion

A+

Mailou

[Amanuensis]

Zappé. Mais cela ne me va pas, x doit être partout dans le sens du X de KrSz. Je ne vois aucun intérêt à faire autrement.

[Mailou75]

Motivation : en choisissant x en sens inverse de X en région IV alors un «immobile intérieur» (ligne droite entre IV et II passant par le Centre) conserve une coordonnée x unique. Comme pour η, pas de référence à choisir, toute rotation hyperbolique de Kruskal sera sans souci. A voir...

[Amanuensis]

C'est une remarque intéressante . J'en rediscuterai un jour (1). Mais cela ne change pas ma position.

Essentiellement parce qu'il y a une "suite" continue de systèmes de coordonnées passant de Schw à KrZs, et qu'une inversion de x créerait une discontinuité, sauf à "vriller" la projection (changer theta et phi continument en fonction de T) et donc changer les coordonnées de KrSz.

Pour moi c'est important de montrer que les deux systèmes sont proches, à un certain sens. (Au fond, c'est le sujet de mon doc, non?)

(1) Le statut de ces lignes est intéressant à discuter. Mais chercher à les voir comme "immobiles" ne me paraît pas une bonne approche. Une autre approche : sont-elles des géodésiques ? Sinon, que sont les géodésiques passant de IV à II ?

[Amanuensis]

PS : L'immobilité est une notion relative, le géodésisme est absolu.

[Mailou75]

Pour moi c'est important de montrer que les deux systèmes sont proches, à un certain sens. (Au fond, c'est le sujet de mon doc, non?)

Oui, dans le morphing du "split" vers Kruskal, je comprends. Ce n'est pas le sujet ici pour l'instant (aucun Kruskal en prévision même si on en parle beaucoup). Comme déjà dit ce sujet est complémentaire, mais je comprends que tu souhaites une cohérence entre les deux, pas de problème. Je ne suis pas trop regardant sur les lettres de toute façon, je donne juste un avis. Mettez vous d'accord avec mach3 je suivrai (essayer juste de ne pas y passer 4 pages)

Une autre approche : sont-elles des géodésiques ? Sinon, que sont les géodésiques passant de IV à II ?

Pour moi oui, ce sont des chuteurs culminant en Rs, qui suivent une courbe (cycloide en Newton+) similaires à ceux qui passent par I (ou III). Voir https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6342819 pour la cycloide

PS : L'immobilité est une notion relative, le géodésisme est absolu.

Des inertiels plus précisément (ou des combobiles peut être ?)

[Amanuensis]

Tiens si, quand même. Parce que cela entre dans le sujet des représentations 3D.

On peut "cartographier" en 3D la combinaison IV+II par R^3 moins un point.

On supprime x (justement), on prend le temps radial allant vers l'intérieur, et les coordonnées theta et phi normalement, ce qui donne des coordonnées sphériques. Le centre de symétrie (le point oté) est la singularité future, la sphère centrale une sphère centrée de rayon fini, et l'infini est la singularité passée.

On aimerait alors que les lignes radiales soient des chutes libres (géodésiques).

Quelle est la transformation de coordonnées à partir des KrSz?

[mach3]

A propos de la sphère de Schwarzschild, on peut lire ce paragraphe dans Gravitation :

The worrisome region of the Schwarzschild geometry, r=2M, is called the "gravitationnal radius", or the "Schwarzschild radius", or the "Schwarzschild surface", or the "Schwarzschild horizon", or the "Schwarzschild sphere".

On lit plus plus loin :

the surface r=2M, which appears to be 3-dimensionnal in the Schwarzschild coordinate system (, , ) has zero volume an thus is actually only 2-dimensionnal, or else is null.

Le centre X=T=0 et les horizons X=T et X=-T ne semblent pas différenciés dans le vocabulaire, mais deux cas sont bien identifiés, soit le volume est nul et c'est une surface (X=T=0) soit c'est du genre nul (X=T ou X=-T).

"Sphère de Schwarzschild" est possiblement confusant, car pouvant possiblement être compris comme couvrant l'ensemble de tous les évènements de r=2M, que t soit fini ou non, c'est en effet considéré comme synonyme de "horizon de Schwarzschild".

Si MTW font cet usage, c'est probablement qu'il est répandu, donc je suis d'accord pour abandonner "sphère de Schwarzschild" (même si j'aimais bien) et appeler X=T=0 "la sphère centrale".

On lit encore un peu plus loin :

Notice from the embedding diagram of figure 31.5a [ https://faraday.physics.utoronto.ca/.../transp8.3.gif ] , that the Schwarzschild geometry on the spacelike hypersurface t = const consists of a bridge or "wormhole" connecting two distinct, but identical, asymptotically flat universes. This bridge is sometimes called the "Einstein-Rosen bridge" and sometimes the "Schwarzschild throat" or the "Schwarzschild wormhole"

Ce que nous appelerons dorénavant la sphère centrale correspond bien au pont d'Einstein-Rosen.

Je m'arrête ici pour l'instant, j'ai du travail, mais je reviendrais pour commenter d'autres point plus tard.

m@ch3

[Amanuensis]

"worrisome", ça oui, elle l'est !