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Le mystère LTB



  1. #1
    Mailou75

    Le mystère LTB


    ------

    Salut,

    J'ouvre ce fil pour ne pas polluer un autre fil sérieux avec mes questions de noob…

    La dernière synthèse de mach3 pour le cas M=0 ( ) https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6473627

    J'essaye de comprendre ce que sont les diverses variables "liées" :

    - A(r) : rayon aréal. Déjà c'est bizarre.. est-ce que pour un trou noir de Schw A(r)=r ?
    C'est quoi "A point", "A prime", "A point prime", concrètement ? Vitesse de chute de A ..?

    - E(r) : énergie par unité de masse. Est-ce que dans le cas M=0 on a E=Y (facteur de Lorentz) ?

    - M(r) : masse du système. S'agit-il de la masse contenue dans une boule de poussière de rayon r ? Dans ce cas M est une formule de "densité" ?

    - tB : what is this ?

    Pour le cas M=0 que devient le "centre de masse" puisqu'il n'y a plus de masse. Quel est alors le sens de A ?
    Et que penser de "demi-lignes d'univers comobiles" qui démarrent en un point (origine du temps) qui ne peut être localisé dans l'espace ?

    Merci

    Mailou

    -----
    Dernière modification par Mailou75 ; Aujourd'hui à 00h00.
    Trollus vulgaris

  2. #2
    yves95210

    Re : Le mystère LTB

    Salut,

    Citation Envoyé par Mailou75 Voir le message
    J'ouvre ce fil pour ne pas polluer un autre fil sérieux avec mes questions de noob…

    La dernière synthèse de mach3 pour le cas M=0 ( ) https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6473627
    Tu aurais pu poster ton message dans le fil en question...

    J'essaye de comprendre ce que sont les diverses variables "liées" :

    - A(r) : rayon aréal. Déjà c'est bizarre.. est-ce que pour un trou noir de Schw A(r)=r ?
    Déjà, c'est A(t,r), donc ce n'est pas Schwarzschild sauf si A n'évolue pas avec le temps.
    Ensuite, oui, si tu écris la métrique de Schwarzschild dans le système de coordonnées du même, r est bien le rayon aréal (4 pi r^2 est l'aire de la sphère de centre r=0 et de coordonnée radiale r).

    C'est quoi "A point", "A prime", "A point prime", concrètement ? Vitesse de chute de A ..?
    En partant de ton dernier point d'interrogation, est "presque" la vitesse radiale de la coquille sphérique de coordonnée radiale r. "Presque" parce que la courbure intervient via le paramètre E (indépendant de t), et la vitesse radiale est en fait .

    Si E est partout nul, la distance propre à l'instant t entre l'origine et un point de coordonnée radiale R est simplement
    \int_0^R A'dr = A
    , et le "rayon propre" d'une sphère centrée sur l'origine est égal à son rayon aréal. Autrement dit, la courbure spatiale est également nulle.
    Et dans ce cas est bien la vitesse radiale d'une particule comobile.

    Quant à , c'est la variation dans le temps du rayon aréal. Ou si tu préfères, la variation dans le temps de la surface de la sphère de coord radiale r est .

    - E(r) : énergie par unité de masse. Est-ce que dans le cas M=0 on a E=Y (facteur de Lorentz) ?
    Avec M=0 on a simplement avec c=1 : en fait il y a un facteur c2 devant E.
    Et, comme mach l'a remarqué, on peut écrire la métrique avec et en déduire pas mal de choses

    - M(r) : masse du système. S'agit-il de la masse contenue dans une boule de poussière de rayon r ? Dans ce cas M est une formule de "densité" ?
    Oui pour la première question. Et M peut se calculer à partir de la densité en utilisant , où A et \rho sont fonctions de r et de t, mais M' fonction uniquement de r.

    - tB : what is this ?
    Tu comprendras peut-être mieux en faisant l'analogie avec la métrique FLRW à laquelle je t'ai déjà vu reprocher d'utiliser un temps absolu, le "temps cosmique", ce qui ne te semblait pas très "relativiste"...
    Eh bien la solution générale de Lemaître et Tolman permet que chaque sphère comobile ait un temps propre distinct, dépendant de r. Comme en FLRW chaque sphère émerge d'une singularité initiale, mais à l'instant t=tB(r) (et non l'instant t=0 pour tout le monde). C'est pour ça qu'on trouve souvent ce paramètre de temps écrit avec l'indice B comme dans Bang... tB(r) est en quelque sorte le temps (local) du big bang.

    Pour le cas M=0 que devient le "centre de masse" puisqu'il n'y a plus de masse. Quel est alors le sens de A ?
    Et que penser de "demi-lignes d'univers comobiles" qui démarrent en un point (origine du temps) qui ne peut être localisé dans l'espace ?
    Ben là je devrais laisser mach3 te répondre. Je n'ai pas tout suivi, car, pour être honnête les espaces vides ne me passionnent pas, même si c'est certainement très instructif dans une étude exhaustive des propriétés de la métrique. Mais quand-même :

    R=0 n'est pas que "le centre de masse", c'est un centre de symétrie également pour le paramètre E. Et bien sûr dans le cas M=0, A(t,r) continue de dépendre de E(r) - sauf évidemment si E est uniforme, cas sans grand intérêt...
    Par exemple, avec 2E=r2 (et tB=0), on retrouve simplement la métrique FLRW avec courbure négative dans un espace vide de matière - cas qui n'est pas sans intérêt physique puisque c'est l'évolution "naturelle" de tout modèle d'espace-temps de FL avec courbure négative : en effet la "densité de courbure" est en a-2 et diminue donc moins vite avec l'expansion que la densité de matière, qui finit par devenir négligeable

    Quant aux (demi) lignes d'univers comobiles qui démarrent en tout point de l'espace à l'origine des temps, ce n'est ni plus ni moins que ce qu'on a dans le modèle de Friedmann-Lemaître à t=0 (instant du Bang). Donc ce n'est pas plus choquant dans un cas (LTB avec M=0) que dans l'autre (FLRW)...

  3. #3
    yves95210

    Re : Le mystère LTB

    Citation Envoyé par yves95210 Voir le message
    Eh bien la solution générale de Lemaître et Tolman permet que chaque sphère comobile ait un temps propre distinct, dépendant de r. Comme en FLRW chaque sphère émerge d'une singularité initiale, mais à l'instant t=tB(r) (et non l'instant t=0 pour tout le monde).
    Petite précision : ce que je disais là correspond au cas où chaque observateur "cosmique" choisirait (logiquement...) comme origine des temps pour son horloge l'instant où sa demi-ligne d'univers sort de la singularité initiale.

  4. #4
    mach3

    Re : Le mystère LTB

    Salut,

    même si c'est déjà abordé par Yves, quelques points à propos de A.

    Quand on travaille en symétrie sphérique, cela signifie que l'espace-temps peut être "feuilleté"* par des sphères telle qu'en chaque événement d'une sphère donnée la situation soit exactement la même (même densité de matière, même courbure, même valeur numérique des coefficients de la métrique, etc). Chaque sphère est caractérisée par un rayon areal A, telle que sa surface est . En général il y a ainsi dans l'espace-temps de symétrie sphérique considéré une infinité de sphères d'un rayon aréal A, dont l'empilement forme (au moins) un cylindre sphérique, dont la génératrice peut être de genres variés (espace, nul, temps).
    On peut représenter le champ scalaire A en se limitant à deux dimensions d'espace-temps, chaque point de la représentation étant une sphère dont le rayon aréal et A.
    Formellement, quand il y a symétrie sphérique, on peut toujours écrire la métrique sous la forme :


    avec
    - la métrique de la sphère (par exemple )
    -a et b des champs scalaires choisis pour jouer le rôle de coordonnées, il peut s'agir par exemple, d'une coordonnée spatiale (donc radiale) et d'une temporelle, mais pas forcément, il y a une grande liberté de choix (ils peuvent être tous deux de genre nul par exemple), choix qui est arbitraire (il y a une infinité d'expressions de la métrique pour une même géométrie)
    -, et sont des fonctions indépendantes des coordonnées angulaires figurant dans (symétrie sphérique, la métrique ne doit pas dépendre de la position sur la sphère), pour une géométrie donnée leur forme est conditionnée par le choix de a et b (par exemple, si on choisi que a est temporel, que b est spatial, et qu'ils sont orthogonaux, est positif, est nul et est négatif)
    -A est le rayon aréal. On le reconnait immédiatement car son carré multiplie la métrique de la sphère.

    Dans le cas LTB, on considère un espace-temps à symétrie sphérique dont le contenu est de la poussière, c'est à dire qu'il y a de la densité, mais pas de pression. Les poussières suivent des géodésiques (pas de pression, donc pas de force qui dévie les poussières de leurs trajectoire de chute libre). Les poussières ont forcément des lignes d'univers qui respectent la symétrie sphérique (elles sont en chute radiale), et ces lignes ne se croisent pas, sauf en des singularités (typiquement, au croisement de deux poussières on devrait avoir une densité infinie). On demande à a et b d'avoir des propriétés bien spécifique. Chaque particule de poussière doit être caractérisé par une valeur de b, qu'on notera alors r. Dis autrement, une ligne de r constant est la géodésique d'une poussière. Le temps propre de chaque particule de poussière doit être caractérisé par a, qu'on notera alors . Ainsi dans une représentation avec r sur l'axe horizontal et sur l'axe vertical, chaque verticale est la géodésique d'une poussière, et on lit l'age de la poussière sur l'axe vertical. Cette description suppose qu'il y a des poussières partout, mais elle peut être généralisée à des cas où des régions sont vides. Il suffit simplement de dire que r et sont tels que si on représente r sur l'axe horizontal et sur l'axe vertical, chaque verticale est la géodésique d'une particule test, et on lit l'age de la particule test sur l'axe vertical.

    Les calculs sur les différents tenseurs (energie-impulsion, riemann, ricci, etc) et leurs relations, sans entrer dans le détail (ce que je n'ai pas encore fait personnellement de toutes façon donc ce serait difficile à retranscrire...), permettent d'obtenir la forme des coefficients , et et ainsi l'écriture de la métrique telle qu'on la trouve dans les ouvrages sur le sujet. Il n'y a pas d'homogénéité dans la façon de noter A, r et suivant les ouvrages (le sujet est relativement peu connu, donc il n'y a pas de convention qui émerge). A est parfois noté r, r est parfois noté R*, est parfois noté t... bref tout ce qu'il faut pour s'y perdre quand on n'est pas attentif. Il a fallu qu'on se mette d'accord avec Yves sur les notations, sans quoi échanger sur le sujet aurait été très compliqué (attention des fois on écrit t à la place de ).

    Dans le cas particulier de l'espace-temps de Schwarzschild, qui correspond à LTB vide mais M non nul, A correspond à la coordonnée r de Schwarzschild.

    A propos des , , maintenant. Il s'agit de notations raccourcies pour les dérivées partielles de A par rapport à r et .

    : la variation de A par rapport à tout en maintenant r constant. C'est donc le changement de rayon aréal de la sphère sur laquelle se trouve une poussière au cours de son temps propre.
    : la variation de A par rapport à r tout en maintenant constant.

    A est une fonction de r et . On ne peut pas forcément l'écrire explicitement, mais par contre on sait écrire sa différentielle :

    (il faut intégrer par rapport à r et à pour obtenir l'expression de A, ce qui n'est pas toujours faisable)

    Pour le cas M=0 que devient le "centre de masse" puisqu'il n'y a plus de masse. Quel est alors le sens de A ?
    Et que penser de "demi-lignes d'univers comobiles" qui démarrent en un point (origine du temps) qui ne peut être localisé dans l'espace ?
    Quand M=0, on a un espace-temps plat, dont la métrique est celle de Minkowski. En coordonnées sphérique (ce qui implique le choix arbitraire d'une droite de genre temps qui sera le centre), cette métrique s'écrit :
    (on retrouve simplement l'expression "habituelle" en considérant , valable quand c'est plat, et les relations entre x,y,z et les coordonnées angulaires de la sphère)

    Faire du LTB dans ce cadre, alors qu'il n'y a plus aucune poussière, revient juste à chercher des champs scalaire r et tels que r caractérise des droites de l'espace-temps de Minkowski réduit à 2 dimensions (chaque point étant une sphère, donc en fait cela caractérise plus exactement un cône sphérique, r caractérise des particules tests en mouvement rectiligne uniforme radial) et caractérise le temps propre le long de ces droites, tout en respectant la contrainte : r et sont tels que si on représente r sur l'axe horizontal et sur l'axe vertical, chaque verticale est la géodésique d'une particule test, et on lit l'age de la particule test sur l'axe vertical. On doit donc choisir un ensemble de droites de l'espace-temps de Minkowski qui respecte cette contrainte. Il y a deux ensembles triviaux :
    -on prend un ensemble droites parallèles, et on a simplement et A n'est fonction que de r (on peut très bien choisir A=r, mais on est libre de se compliquer la vie)
    -on prend un ensemble de droites concourant en un unique évènement. Cet unique évènement est une singularité de coordonnées : r y prend toutes les valeurs possibles simultanément (comme le pôle nord en coordonnées sphériques)
    Il y a d'autres possibilités, mais dans toutes on aura des singularités de coordonnées, vraisemblablement non restreinte à un seul évènement, c'est à dire des évènement où la valeur de r ne sera pas unique, car intersection de droites ayant une valeur de r différente
    C'est toujours l'espace-temps plat, on a juste choisi des coordonnées "mal fichues" pour le décrire.

    m@ch3

    *pas sûr que ce soit le mot technique exact
    Never feed the troll after midnight!

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