Le mystère LTB

[Mailou75]

Salut,

J'ouvre ce fil pour ne pas polluer un autre fil sérieux avec mes questions de noob…

La dernière synthèse de mach3 pour le cas M=0 ( ) https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6473627

J'essaye de comprendre ce que sont les diverses variables "liées" :

- A(r) : rayon aréal. Déjà c'est bizarre.. est-ce que pour un trou noir de Schw A(r)=r ?
C'est quoi "A point", "A prime", "A point prime", concrètement ? Vitesse de chute de A ..?

- E(r) : énergie par unité de masse. Est-ce que dans le cas M=0 on a E=Y (facteur de Lorentz) ?

- M(r) : masse du système. S'agit-il de la masse contenue dans une boule de poussière de rayon r ? Dans ce cas M est une formule de "densité" ?

- tB : what is this ?

Pour le cas M=0 que devient le "centre de masse" puisqu'il n'y a plus de masse. Quel est alors le sens de A ?
Et que penser de "demi-lignes d'univers comobiles" qui démarrent en un point (origine du temps) qui ne peut être localisé dans l'espace ?

Merci

Mailou
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[yves95210]

Salut,

J'ouvre ce fil pour ne pas polluer un autre fil sérieux avec mes questions de noob…

La dernière synthèse de mach3 pour le cas M=0 ( ) https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6473627

Tu aurais pu poster ton message dans le fil en question...

J'essaye de comprendre ce que sont les diverses variables "liées" :

- A(r) : rayon aréal. Déjà c'est bizarre.. est-ce que pour un trou noir de Schw A(r)=r ?

Déjà, c'est A(t,r), donc ce n'est pas Schwarzschild sauf si A n'évolue pas avec le temps.
Ensuite, oui, si tu écris la métrique de Schwarzschild dans le système de coordonnées du même, r est bien le rayon aréal (4 pi r^2 est l'aire de la sphère de centre r=0 et de coordonnée radiale r).

C'est quoi "A point", "A prime", "A point prime", concrètement ? Vitesse de chute de A ..?

En partant de ton dernier point d'interrogation, est "presque" la vitesse radiale de la coquille sphérique de coordonnée radiale r. "Presque" parce que la courbure intervient via le paramètre E (indépendant de t), et la vitesse radiale est en fait .

Si E est partout nul, la distance propre à l'instant t entre l'origine et un point de coordonnée radiale R est simplement

\int_0^R A'dr = A

, et le "rayon propre" d'une sphère centrée sur l'origine est égal à son rayon aréal. Autrement dit, la courbure spatiale est également nulle.
Et dans ce cas est bien la vitesse radiale d'une particule comobile.

Quant à , c'est la variation dans le temps du rayon aréal. Ou si tu préfères, la variation dans le temps de la surface de la sphère de coord radiale r est .

- E(r) : énergie par unité de masse. Est-ce que dans le cas M=0 on a E=Y (facteur de Lorentz) ?

Avec M=0 on a simplement avec c=1 : en fait il y a un facteur c² devant E.
Et, comme mach l'a remarqué, on peut écrire la métrique avec et en déduire pas mal de choses

- M(r) : masse du système. S'agit-il de la masse contenue dans une boule de poussière de rayon r ? Dans ce cas M est une formule de "densité" ?

Oui pour la première question. Et M peut se calculer à partir de la densité en utilisant , où A et \rho sont fonctions de r et de t, mais M' fonction uniquement de r.

- tB : what is this ?

Tu comprendras peut-être mieux en faisant l'analogie avec la métrique FLRW à laquelle je t'ai déjà vu reprocher d'utiliser un temps absolu, le "temps cosmique", ce qui ne te semblait pas très "relativiste"...
Eh bien la solution générale de Lemaître et Tolman permet que chaque sphère comobile ait un temps propre distinct, dépendant de r. Comme en FLRW chaque sphère émerge d'une singularité initiale, mais à l'instant t=t_B(r) (et non l'instant t=0 pour tout le monde). C'est pour ça qu'on trouve souvent ce paramètre de temps écrit avec l'indice B comme dans Bang... t_B(r) est en quelque sorte le temps (local) du big bang.

Pour le cas M=0 que devient le "centre de masse" puisqu'il n'y a plus de masse. Quel est alors le sens de A ?
Et que penser de "demi-lignes d'univers comobiles" qui démarrent en un point (origine du temps) qui ne peut être localisé dans l'espace ?

Ben là je devrais laisser mach3 te répondre. Je n'ai pas tout suivi, car, pour être honnête les espaces vides ne me passionnent pas, même si c'est certainement très instructif dans une étude exhaustive des propriétés de la métrique. Mais quand-même :

R=0 n'est pas que "le centre de masse", c'est un centre de symétrie également pour le paramètre E. Et bien sûr dans le cas M=0, A(t,r) continue de dépendre de E(r) - sauf évidemment si E est uniforme, cas sans grand intérêt...
Par exemple, avec 2E=r² (et t_B=0), on retrouve simplement la métrique FLRW avec courbure négative dans un espace vide de matière - cas qui n'est pas sans intérêt physique puisque c'est l'évolution "naturelle" de tout modèle d'espace-temps de FL avec courbure négative : en effet la "densité de courbure" est en a^-2 et diminue donc moins vite avec l'expansion que la densité de matière, qui finit par devenir négligeable

Quant aux (demi) lignes d'univers comobiles qui démarrent en tout point de l'espace à l'origine des temps, ce n'est ni plus ni moins que ce qu'on a dans le modèle de Friedmann-Lemaître à t=0 (instant du Bang). Donc ce n'est pas plus choquant dans un cas (LTB avec M=0) que dans l'autre (FLRW)...

[yves95210]

Eh bien la solution générale de Lemaître et Tolman permet que chaque sphère comobile ait un temps propre distinct, dépendant de r. Comme en FLRW chaque sphère émerge d'une singularité initiale, mais à l'instant t=t_B(r) (et non l'instant t=0 pour tout le monde).

Petite précision : ce que je disais là correspond au cas où chaque observateur "cosmique" choisirait (logiquement...) comme origine des temps pour son horloge l'instant où sa demi-ligne d'univers sort de la singularité initiale.

[mach3]

Salut,

même si c'est déjà abordé par Yves, quelques points à propos de A.

Quand on travaille en symétrie sphérique, cela signifie que l'espace-temps peut être "feuilleté"* par des sphères telle qu'en chaque événement d'une sphère donnée la situation soit exactement la même (même densité de matière, même courbure, même valeur numérique des coefficients de la métrique, etc). Chaque sphère est caractérisée par un rayon areal A, telle que sa surface est . En général il y a ainsi dans l'espace-temps de symétrie sphérique considéré une infinité de sphères d'un rayon aréal A, dont l'empilement forme (au moins) un cylindre sphérique, dont la génératrice peut être de genres variés (espace, nul, temps).
On peut représenter le champ scalaire A en se limitant à deux dimensions d'espace-temps, chaque point de la représentation étant une sphère dont le rayon aréal est A.
Formellement, quand il y a symétrie sphérique, on peut toujours écrire la métrique sous la forme :


avec
- la métrique de la sphère (par exemple )
-a et b des champs scalaires choisis pour jouer le rôle de coordonnées, il peut s'agir par exemple, d'une coordonnée spatiale (donc radiale) et d'une temporelle, mais pas forcément, il y a une grande liberté de choix (ils peuvent être tous deux de genre nul par exemple), choix qui est arbitraire (il y a une infinité d'expressions de la métrique pour une même géométrie)
-, et sont des fonctions indépendantes des coordonnées angulaires figurant dans (symétrie sphérique, la métrique ne doit pas dépendre de la position sur la sphère), pour une géométrie donnée leur forme est conditionnée par le choix de a et b (par exemple, si on choisi que a est temporel, que b est spatial, et qu'ils sont orthogonaux, est positif, est nul et est négatif)
-A est le rayon aréal. On le reconnait immédiatement car son carré multiplie la métrique de la sphère.

Dans le cas LTB, on considère un espace-temps à symétrie sphérique dont le contenu est de la poussière, c'est à dire qu'il y a de la densité, mais pas de pression. Les poussières suivent des géodésiques (pas de pression, donc pas de force qui dévie les poussières de leurs trajectoire de chute libre). Les poussières ont forcément des lignes d'univers qui respectent la symétrie sphérique (elles sont en chute radiale), et ces lignes ne se croisent pas, sauf en des singularités (typiquement, au croisement de deux poussières on devrait avoir une densité infinie). On demande à a et b d'avoir des propriétés bien spécifique. Chaque particule de poussière doit être caractérisé par une valeur de b, qu'on notera alors r. Dis autrement, une ligne de r constant est la géodésique d'une poussière. Le temps propre de chaque particule de poussière doit être caractérisé par a, qu'on notera alors . Ainsi dans une représentation avec r sur l'axe horizontal et sur l'axe vertical, chaque verticale est la géodésique d'une poussière, et on lit l'age de la poussière sur l'axe vertical. Cette description suppose qu'il y a des poussières partout, mais elle peut être généralisée à des cas où des régions sont vides. Il suffit simplement de dire que r et sont tels que si on représente r sur l'axe horizontal et sur l'axe vertical, chaque verticale est la géodésique d'une particule test, et on lit l'age de la particule test sur l'axe vertical.

Les calculs sur les différents tenseurs (energie-impulsion, riemann, ricci, etc) et leurs relations, sans entrer dans le détail (ce que je n'ai pas encore fait personnellement de toutes façon donc ce serait difficile à retranscrire...), permettent d'obtenir la forme des coefficients , et et ainsi l'écriture de la métrique telle qu'on la trouve dans les ouvrages sur le sujet. Il n'y a pas d'homogénéité dans la façon de noter A, r et suivant les ouvrages (le sujet est relativement peu connu, donc il n'y a pas de convention qui émerge). A est parfois noté r, r est parfois noté R*, est parfois noté t... bref tout ce qu'il faut pour s'y perdre quand on n'est pas attentif. Il a fallu qu'on se mette d'accord avec Yves sur les notations, sans quoi échanger sur le sujet aurait été très compliqué (attention des fois on écrit t à la place de ).

Dans le cas particulier de l'espace-temps de Schwarzschild, qui correspond à LTB vide mais M non nul, A correspond à la coordonnée r de Schwarzschild.

A propos des , , maintenant. Il s'agit de notations raccourcies pour les dérivées partielles de A par rapport à r et .

: la variation de A par rapport à tout en maintenant r constant. C'est donc le changement de rayon aréal de la sphère sur laquelle se trouve une poussière au cours de son temps propre.
: la variation de A par rapport à r tout en maintenant constant.

A est une fonction de r et . On ne peut pas forcément l'écrire explicitement, mais par contre on sait écrire sa différentielle :

(il faut intégrer par rapport à r et à pour obtenir l'expression de A, ce qui n'est pas toujours faisable)

Pour le cas M=0 que devient le "centre de masse" puisqu'il n'y a plus de masse. Quel est alors le sens de A ?
Et que penser de "demi-lignes d'univers comobiles" qui démarrent en un point (origine du temps) qui ne peut être localisé dans l'espace ?

Quand M=0, on a un espace-temps plat, dont la métrique est celle de Minkowski. En coordonnées sphérique (ce qui implique le choix arbitraire d'une droite de genre temps qui sera le centre), cette métrique s'écrit :
(on retrouve simplement l'expression "habituelle" en considérant , valable quand c'est plat, et les relations entre x,y,z et les coordonnées angulaires de la sphère)

Faire du LTB dans ce cadre, alors qu'il n'y a plus aucune poussière, revient juste à chercher des champs scalaire r et tels que r caractérise des droites de l'espace-temps de Minkowski réduit à 2 dimensions (chaque point étant une sphère, donc en fait cela caractérise plus exactement un cône sphérique, r caractérise des particules tests en mouvement rectiligne uniforme radial) et caractérise le temps propre le long de ces droites, tout en respectant la contrainte : r et sont tels que si on représente r sur l'axe horizontal et sur l'axe vertical, chaque verticale est la géodésique d'une particule test, et on lit l'age de la particule test sur l'axe vertical. On doit donc choisir un ensemble de droites de l'espace-temps de Minkowski qui respecte cette contrainte. Il y a deux ensembles triviaux :
-on prend un ensemble droites parallèles, et on a simplement et A n'est fonction que de r (on peut très bien choisir A=r, mais on est libre de se compliquer la vie)
-on prend un ensemble de droites concourant en un unique évènement. Cet unique évènement est une singularité de coordonnées : r y prend toutes les valeurs possibles simultanément (comme le pôle nord en coordonnées sphériques)
Il y a d'autres possibilités, mais dans toutes on aura des singularités de coordonnées, vraisemblablement non restreinte à un seul évènement, c'est à dire des évènement où la valeur de r ne sera pas unique, car intersection de droites ayant une valeur de r différente
C'est toujours l'espace-temps plat, on a juste choisi des coordonnées "mal fichues" pour le décrire.

m@ch3

*pas sûr que ce soit le mot technique exact

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

Salut,

Merci pour vos réponses très claires (à part quelques paragraphes de mach3 en mandarin). Après plusieurs lectures, je me dis qu'il est inutile de faire des citations car il y aurait à peu près une question par ligne… Malgré la clarté de vos réponses, je reste troublé par tous ces paramètres qui croisés et auxquels je n'arrive pas à donner de sens précis, l'un est la dérivée de l'autre, le troisième est le produit l'intégrale de la somme des deux autres…

Bref, je vais donc me contenter pour l'instant d'une question : qu'est ce que r ?
Chez Schw, r a une double fonction de rayon aréal ET de distance vue par l'observateur éloigné* ce qui légitime qu'un repère de Schw soit LE repère de l'observateur à l'infini. Ici, c'est A qui a pris le rôle de rayon aréal et on est en droit de supposer que si une solution LTB peut tendre vers Schw alors A sera aussi la distance vue par l'observateur éloigné, quid de r ? Si on devait représenter vos calculs, l'axe des abscisses serait-il gradué (régulièrement) en A ou en r ? De QUI serait-ce le repère, au sens "projection du cône passé sur le plan euclidien = image" ?

*plus précisément je dirais que r est la manière de tronçonner l'espace telle que des intervalles réguliers soient vus réguliers, même si déformés, par tous les observateurs statiques. Ainsi ce qui fonctionne chez Schw (le rayon aréal est aussi le rayon vu depuis l'infini) pourrait ne pas fonctionner ici…

Merci d'avance,

Mailou

[yves95210]

Salut,

Bref, je vais donc me contenter pour l'instant d'une question : qu'est ce que r ?

La coordonnée radiale... Que tu peux choisir librement du moment qu'elle a le bon goût de croître avec le rayon propre de la sphère qu'elle sert à étiqueter. Par exemple (pas dans le cas M=0 évidemment), si M est une fonction strictement croissante du rayon propre, rien ne t'empêche de choisir r = M, ce qui a le bon goût de simplifier certains calculs.

Chez Schw, r a une double fonction de rayon aréal ET de distance vue par l'observateur éloigné* ce qui légitime qu'un repère de Schw soit LE repère de l'observateur à l'infini. Ici, c'est A qui a pris le rôle de rayon aréal et on est en droit de supposer que si une solution LTB peut tendre vers Schw alors A sera aussi la distance vue par l'observateur éloigné, quid de r ? Si on devait représenter vos calculs, l'axe des abscisses serait-il gradué (régulièrement) en A ou en r ? De QUI serait-ce le repère, au sens "projection du cône passé sur le plan euclidien = image" ?

*plus précisément je dirais que r est la manière de tronçonner l'espace telle que des intervalles réguliers soient vus réguliers, même si déformés, par tous les observateurs statiques. Ainsi ce qui fonctionne chez Schw (le rayon aréal est aussi le rayon vu depuis l'infini) pourrait ne pas fonctionner ici…

Ici, r étiquette des observateurs comobiles. Il faut oublier la notion d'observateur "à l'infini". Et ça tombe bien, parce que l'infini, c'est pas physique, c'est juste une idéalisation. Chez Schwarzschild ça marche pas mal parce que l'espace est vide, et quand l'observateur est suffisamment loin de la masse centrale on peut à juste titre considérer qu'il est statique. Mais la solution de Lemaître et Tolman a justement pour vocation de décrire une portion d'espace-temps (partout) non vide, dans le cas général d'une symétrie sphérique (une autre idéalisation...). C'est pour ça qu'elle est utile, puisqu'elle permet de modéliser l'évolution d'une boule de "poussière" plus ou moins dense, pouvant se contracter ou s'expandre suivant le cas.
Pour retrouver une notion d'observateur "à l'infini", on peut à la rigueur plonger cette boule dans un espace vide (en faisant tendre M' et E vers 0 quand r tend vers une valeur max finie) : dans ce cas à l'extérieur de la boule on retrouve la solution de Schwarzschild. Ou, si on s'intéresse à des problèmes cosmologiques, on peut choisir un modèle qui tend asymptotiquement vers FLRW.

Pour avoir une bonne représentation graphique de ce qui se passe physiquement, il vaut effectivement mieux graduer l'axe des abscisses régulièrement en fonction de A.
Ou éventuellement en fonction du rayon propre des sphères comobiles, puisque c'est ça la "vraie" distance physique entre un observateur et l'origine. Mais de manière générale c'est plus compliqué puisque ça demande d'intégrer A'/sqrt(1+2E). Ce n'est que quand E est nul (ou suffisamment petit pour être négligeable) que ça se simplifie, puisque dans ce cas le rayon propre est à peu près égal à A. Tout dépend du problème traité; mais malgré les apparences, le cas E non nul mais très, très petit (du genre inférieur à 10^-4) ne conduit pas du tout aux mêmes résultats que le cas E=0.

[Mailou75]

Salut,

Je comprends à peu près ta réponse mais elle ne m'éclaire pas sur le sens de r. A est le rayon aréal qui n'est pas une distance propre. r est une "variable" devenue quelconque faisant évoluer A. Selon mach3 r est constant pour les comobiles, ce qui rend les choses encore moins claires... Et la distance propre n'est ni A ni r. De plus ni la distance propre, ni A, ni r ne sont plus désormais des distances vues. Or, ce qui caractérise le repère d'un observateur particulier c'est justement le fait que la projection du cone passé sur son plan euclidien soit une image vue. Par exemple, seul Schw est le repère d'un observateur et saurait être utilisé pour montrer ce qui est vu. Kruskal, Penrose etc sont des graphs "avec étiquetage" qui aident à représenter des relations mais pas à leur donner un sens objectif. Même Lemaitre réputé être LE repère de celui qui chute depuis l'infini ne semble pas fonctionner. En gros, avant d'aller plus loin je cherche à savoir si quelque chose sera exploitable à terme, cad représenter quelque chose de "vu", sans quoi où va-t-on ?

…….

J'aimerais poser quelques questions sur les récents graphs de mach3 (https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6477322). Parce que ça, vous vous en doutez, ça me parle beaucoup plus que les équations… comme y'en a 10 je vais les numéroter de 1 à 10 par facilité.

1/ Pur Miko comme je les aime, OK

2/ On décale t0=1, OK

3/ On décale A0=2, OK

4/ Ca se gâte… on décale A0=-2. Pourtant le graph ne semble pas être une translation de 1/ vers la gauche comme l'était 3/ vers la droite. L'évènement d'intersection ne semble pas se trouver en A=-2. Pourquoi ?

5/ = 1/ mais on a enlevé le tronçon T entre 0 et 1 ? Le texte parle pourtant "d'intersection", est-elle virtuelle ? L'ensemble des évènements situées sur l'iso-T sont il une intersection ? Qu'est ce que ça signifie ?

6,7,8,9,10/ Apparemment c'est toujours de la RR mais on décale les départs, les croisements et du coup les iso-T ne sont plus des hyperboles. Pourquoi pas, on pourrait en faire un tas des comme ça, mais les cas choisis correspondent ils à quelque chose de précis ? Les formules n'ont pas l'air d'être au pif, d'où proviennent elles ?

Je m'intéresse mais je ne suis pas sur de pouvoir vous suivre. J'ai déjà du mal à "finir" Schw et là c'est beaaaucoup plus compliqué parce que tout bouge, j'appréhende un peu j'avoue…

Merci

Mailou

[mach3]

Salut,

Pour le 4) l'intersection est bien en t=0 A=2. J'ai fait le choix pour les premiers graphes de ne pas représenter les A negatifs, car ils sont non physiques (à moins de considérer que phi ne fait qu'un demi-tour et pas un tour complet, chaque point du plan étant alors une demi-sphere au lieu d'une sphère)

Pour le 5) l'intersection est en t=0 A=0, mais j'ai fait le choix de ne représenter qu'à partir de tau=0. Si j'avais commencé à tau=-1, on aurait obtenu la même figure que 1)

La suite tout à l'heure.

m@ch3

[yves95210]

Salut,

[EDIT : croisement avec mach3; je laisse quand-même mon message car je réponds sur d'autres points]

Je comprends à peu près ta réponse mais elle ne m'éclaire pas sur le sens de r. A est le rayon aréal qui n'est pas une distance propre. r est une "variable" devenue quelconque faisant évoluer A. Selon mach3 r est constant pour les comobiles, ce qui rend les choses encore moins claires... Et la distance propre n'est ni A ni r.

Mais si, c'est clair : r étiquette les sphères comobiles, ce n'est donc pas une variable "quelconque". C'est exactement comme quand tu t'intéresses à ce qui se passe du point de vue d'un observateur en chute libre radiale dans un espace-temps de Schwarzschild.
Quant au fait que la distance propre radiale ne soit ni A ni r, tu devrais commencer à y être habitué... En particulier, c'est aussi le cas chez Schwarzschild, dans tous les systèmes de coordonnées que tu as rencontrés.
Tu y verras peut-être plus clair quand mach3 abordera le cas M = constante non nulle. Puisqu'il devrait alors retomber sur Schwarzschild, au moins comme cas particulier (en jouant sur les deux autres paramètres de la solution il en trouvera certainement d'autres, moins "physiques").

De plus ni la distance propre, ni A, ni r ne sont plus désormais des distances vues. Or, ce qui caractérise le repère d'un observateur particulier c'est justement le fait que la projection du cone passé sur son plan euclidien soit une image vue. Par exemple, seul Schw est le repère d'un observateur et saurait être utilisé pour montrer ce qui est vu. Kruskal, Penrose etc sont des graphs "avec étiquetage" qui aident à représenter des relations mais pas à leur donner un sens objectif. Même Lemaitre réputé être LE repère de celui qui chute depuis l'infini ne semble pas fonctionner. En gros, avant d'aller plus loin je cherche à savoir si quelque chose sera exploitable à terme, cad représenter quelque chose de "vu", sans quoi où va-t-on ?

Mais même dans les coordonnées de Schwarzschild, r n'est pas la distance propre radiale ! Sauf approximativement, à partir de milliers ou millions de fois r_s; ce qui est suffisant quand on s'intéresse au mouvements des planètes autour du soleil. Mais pas du tout quand on s'intéresse à ce qui se passe au voisinage d'un trou noir.

…….

J'aimerais poser quelques questions sur les récents graphs de mach3 (https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6477322). Parce que ça, vous vous en doutez, ça me parle beaucoup plus que les équations… comme y'en a 10 je vais les numéroter de 1 à 10 par facilité.
(...)

4/ Ca se gâte… on décale A0=-2. Pourtant le graph ne semble pas être une translation de 1/ vers la gauche comme l'était 3/ vers la droite. L'évènement d'intersection ne semble pas se trouver en A=-2. Pourquoi ?

Tu n'as pas dû voir que l'origine du graphe (l'intersection des axes) est en t=2...

5/ = 1/ mais on a enlevé le tronçon T entre 0 et 1 ? Le texte parle pourtant "d'intersection", est-elle virtuelle ? L'ensemble des évènements situées sur l'iso-T sont il une intersection ? Qu'est ce que ça signifie ?

C'est juste qu'il faudrait prolonger tau vers des valeurs négatives pour arriver à l'intersection. Par rapport au premier cas, c'est un simple changement de l'origine des temps propres tau.

6,7,8,9,10/ Apparemment c'est toujours de la RR mais on décale les départs, les croisements et du coup les iso-T ne sont plus des hyperboles. Pourquoi pas, on pourrait en faire un tas des comme ça, mais les cas choisis correspondent ils à quelque chose de précis ? Les formules n'ont pas l'air d'être au pif, d'où proviennent elles ?

Pas vu (et pas trop cherché) le sens physique. Quant aux formules, ce ne sont que quelques exemples de l'infinité de solutions auxquelles on peut aboutir, mais elles ne sont pas "au pif", puisqu'il s'agit de solutions des équations figurant à la fin du message #70.

[mach3]

6-10 ce sont des solutions que j'ai trouvée un peu "au pif" quand même.

Il faut que la contrainte soit respectée.

On pose la fonction t0 arbitrairement, on la dérive par rapport à r, ce qui donne t0', on divise par tanh(eta), ce qui donne A0' et là on prie pour qu'il soit possible de trouver une primitive de A0' et ainsi avoir la fonction A0. Du coup on essaie de choisir t0 (qui peut vraiment être n'importe quoi) de façon à ce qu'il soit facile de trouver A0. On peut aussi faire l'inverse, partir d'un A0 bien choisi et trouver le t0 qui correspond.
Si on prend n'importe quoi pour A0 ou pour t0, on a de grande chance que le t0 ou le A0 correspondant n'ait pas d'expression analytique, et c'est un peu gênant si on veut représenter les exemples (c'est plus rapide de tracer une courbe avec une expression analytique que la construire à partir d'une intégration numérique).
Les quelques solutions analytiques que j'ai trouvées peuvent servir à générer une infinité d'autres solutions par simples combinaisons linéaires. Il y a surement encore plein d'autres solutions de ce genre. L'ensemble des solutions non analytiques doit être encore plus grand.

Comme je le mentionne dans l'autre fil, je ne sais même pas si ces solutions ont une quelconque utilité. Ce que j'intuite néanmoins c'est que de telles solutions pourraient bien se manifester dans d'autres cas de la métrique LTB, et que si c'est dans des zones non vides, ça voudra dire singularité physique cette fois, et pas seulement singularité de coordonnée. Ca pourrait poser des contraintes si on veut une solution qui fait telle ou telle chose.

Je reviens sur r, que Yves a déjà abordé. Ce n'est vraiment rien de plus qu'une étiquette à la base, comme toute coordonnée radiale par exemple en géométrie de Schwarschild celle de Schwarzschild/Gullstrand-Painlevé, celle de Lemaitre, celle de Novikov, celle de Kruskal-Szekeres ou celle de Penrose-Carter.

Si on peut lui donner un sens physique, tant mieux, mais rien n'y oblige.

Par exemple en Kruskal ou Penrose on ne voit pas bien, physiquement, ce que fait un objet si sa coordonnée radiale ne change pas au cours du temps, ni leur lien avec les distances radiales.
En Lemaitre ou Novikov, la coordonnée radiale à le mérite d'étiqueter les chuteurs : avoir une coordonnée radiale constante signifie simplement qu'on est en chute libre, par contre pour le lien avec les distances (si ce n'est en Novikov au moment de la culmination) on repassera.
Enfin la coordonnée radiale peut avoir un rapport direct avec ce qui est mesuré par un observateur donné, c'est le cas du r de Schwarzschild. Mais c'est un cas particulier. Il ne faut surtout pas chercher à quel point de vue correspond une coordonnée radiale, ce n'est pas son rôle premier.

Techniquement, le point de vue d'un observateur pourra se reconstruire à partir de données dans n'importe quel système de coordonnée, via l'expression de la métrique dans ce système de coordonnées. Suivant l'observateur, il y aura évidemment des systèmes plus simples que d'autres.

Mais le but de LTB n'est pas de reconstruire le point de vue d'un observateur, mais d'étudier l'évolution d'un univers entier. La coordonnée radiale étiquette des poussières en chute libre, disposées sur des sphères concentriques dont le rayon aréal varie au fur et à mesure du temps. Il n'est pas exclu cependant (mais surement très difficile en général), une fois une solution trouvée, de trouver un système de coordonnée qui montre plus ou moins directement le point de vue d'un observateur particulier qui vivrait dans cette solution.

m@ch3

[yves95210]

Mais le but de LTB n'est pas de reconstruire le point de vue d'un observateur, mais d'étudier l'évolution d'un univers entier.

Disons plutôt d'une portion (une boule) de cet univers, à moins de faire fi des observations et de penser que notre univers a un centre de symétrie unique et n'est pas homogène même à très grande échelle.
On peut modéliser à l'aide de la métrique LTB des boules de "poussière" de densité supérieure ou inférieure à la densité moyenne (les plus grandes auxquelles on peut penser correspondent aux zones de sur- ou sous-densité du CMB, dont on suppose que l'évolution conduit aux grands vides cosmiques ou aux superamas de l'univers récent). Et utiliser ces briques pour construire un modèle d'univers non homogène, en "swiss-cheese" selon l'expression consacrée par les anglophones. Mais c'est un autre sujet (fort intéressant d'ailleurs).

La coordonnée radiale étiquette des poussières en chute libre, disposées sur des sphères concentriques dont le rayon aréal varie au fur et à mesure du temps. Il n'est pas exclu cependant (mais surement très difficile en général), une fois une solution trouvée, de trouver un système de coordonnée qui montre plus ou moins directement le point de vue d'un observateur particulier qui vivrait dans cette solution.

C'est plutôt le point de vue d'un observateur "cosmologique", vivant loin à l'extérieur du domaine où la solution s'applique, qui est intéressant pour comparer le modèle aux observations. Et dans ce cas il me semble que ce qu'il "voit", c'est bien le rayon aréal^(*).
Par exemple, en supposant^(**) qu'on puisse utiliser la métrique LTB pour décrire la croissance du trou noir central d'une galaxie en formation (pas encore stabilisée, donc encore assimilable à une boule de gaz en train de s'effondrer), le rayon aréal de l'horizon apparent pourrait être directement observable - du moins si on était capable de distinguer de tels "détails" dans l'univers jeune donc très lointain.

(*) Mais un observateur cosmologique n'est pas un observateur de Schwarzschild, à l'infini dans un espace-temps statique. Il (ou plutôt l'amas de galaxie dans lequel il vit) est lui aussi entraîné par l'expansion, dont il faut tenir compte dans les calculs.

(**) "en supposant que", car le modèle cesse d'être applicable bien avant que la boule de poussière ressemble aux galaxies qu'on observe aujourd'hui. Et je ne connais pas les modèles de formation des galaxies suffisamment bien pour pouvoir dire si il est plausible que leurs trous noirs centraux apparaissent dès l'époque où le modèle LTB est encore applicable.

[Mailou75]

Salut et merci,

Pour le 4) l'intersection est bien en t=0 A=2. J'ai fait le choix pour les premiers graphes de ne pas représenter les A negatifs, car ils sont non physiques (à moins de considérer que phi ne fait qu'un demi-tour et pas un tour complet, chaque point du plan étant alors une demi-sphère au lieu d'une sphère)

Pour le 5) l'intersection est en t=0 A=0, mais j'ai fait le choix de ne représenter qu'à partir de tau=0. Si j'avais commencé à tau=-1, on aurait obtenu la même figure que 1)

Tu n'as pas dû voir que l'origine du graphe (l'intersection des axes) est en t=2...

C'est juste qu'il faudrait prolonger tau vers des valeurs négatives pour arriver à l'intersection. Par rapport au premier cas, c'est un simple changement de l'origine des temps propres tau.

Ok, vu merci.

……….

Mais même dans les coordonnées de Schwarzschild, r n'est pas la distance propre radiale !

Je n'ai jamais dit ça, mais c'est une distance vue.

Mais si, c'est clair : r étiquette les sphères comobiles, ce n'est donc pas une variable "quelconque". C'est exactement comme quand tu t'intéresses à ce qui se passe du point de vue d'un observateur en chute libre radiale dans un espace-temps de Schwarzschild.
(…)
Tu y verras peut-être plus clair quand mach3 abordera le cas M = constante non nulle. Puisqu'il devrait alors retomber sur Schwarzschild, au moins comme cas particulier (en jouant sur les deux autres paramètres de la solution il en trouvera certainement d'autres, moins "physiques").

Oui je crois… j'imagine mal les r constants en chute et la coordonnée A fixe. Je ne saisis pas, qui va être vertical et qui va se courber... C'est peut être très simple mais pour l'instant c'est flou.

Disons plutôt d'une portion (une boule) de cet univers (…)

Une question que je me posais : S'agit-t-il d'une portion sphérique délimitée (contenant M(r)) dans un univers rempli uniformément de poussière ? (dans ce cas le choix d'un "centre" semble arbitraire) Ou s'agit-il d'une sphère remplie de poussière uniforme (totalisant M(r)) et entourée de vide en effondrement ?

C'est plutôt le point de vue d'un observateur "cosmologique", vivant loin à l'extérieur du domaine où la solution s'applique, qui est intéressant pour comparer le modèle aux observations. Et dans ce cas il me semble que ce qu'il "voit", c'est bien le rayon aréal^(*).

Ca paraitrait logique pour pouvoir retomber sur Schw, mais ce ne doit pas être généralisable

……….

6-10 ce sont des solutions que j'ai trouvée un peu "au pif" quand même.

Il faut que la contrainte soit respectée.

Ok, vu merci.

Si on peut lui donner un sens physique, tant mieux, mais rien n'y oblige.

C'est quand même pratique pour faire de la physique

Enfin la coordonnée radiale peut avoir un rapport direct avec ce qui est mesuré par un observateur donné, c'est le cas du r de Schwarzschild. Mais c'est un cas particulier. Il ne faut surtout pas chercher à quel point de vue correspond une coordonnée radiale, ce n'est pas son rôle premier.

Ok, mais dans ce cas là il faudrait une précision : Pour la solution de Schw, Schw est le repère d'un observateur, tous les autres sans exception sont juste des systèmes de coordonnées. Pour la solution LTB, un système (A;t) est un repère quand M=0 et pour le cas particulier Schw (car A=r), on verra peut être ce qu'il en est des autres cas. J'insiste sur la nuance

Techniquement, le point de vue d'un observateur pourra se reconstruire à partir de données dans n'importe quel système de coordonnée, via l'expression de la métrique dans ce système de coordonnées. Suivant l'observateur, il y aura évidemment des systèmes plus simples que d'autres.

Ok, tu risque d'en baver un peu, bon courage… Mais j'espère que vous êtes d'accord sur le fait que si on ne peut pas restituer "ce qui est vu" on ne pourra jamais le comparer à une observation réelle ?

Merci

Mailou

[yves95210]

Une question que je me posais : S'agit-t-il d'une portion sphérique délimitée (contenant M(r)) dans un univers rempli uniformément de poussière ? (dans ce cas le choix d'un "centre" semble arbitraire) Ou s'agit-il d'une sphère remplie de poussière uniforme (totalisant M(r)) et entourée de vide en effondrement ?

La seule contrainte est la symétrie sphérique. Tu peux imaginer représenter un univers entier (même le notre puisque Friedmann-Lemaître n'est qu'un cas particulier - homogène en plus d'être isotrope - de Lemaître-Tolman), ou une portion de l'univers. Dans ce cas, spatialement il s'agit d'une boule et sa surface est une sphère; et une des contraintes dont il faut tenir compte dans le choix des paramètres de la solution est le fait que, sur cette sphère et en tout temps, la métrique LT doit se raccorder avec la métrique qui décrit la géométrie de l'espace-temps à l'extérieur - ou se prolonger sur tout l'espace-temps mais avec une densité homogène à l'extérieur du domaine spatial dont on étudie l'évolution, et donc de tendre asymptotiquement vers FLRW (puisque, assez loin à l'extérieur, la boule considérée ne représentera plus qu'une petite inhomogénéité parmi d'autres; et on a le droit de penser que, quand on fait une moyenne à assez grande échelle, on retombe sur une solution homogène).

Et non, la boule n'est pas emplie de poussière uniforme, mais uniquement isotrope. Sa densité n'est pas homogène, elle peut varier en fonction de r. Sinon ça n'aurait aucun intérêt de se compliquer la vie.

C'est plutôt le point de vue d'un observateur "cosmologique", vivant loin à l'extérieur du domaine où la solution s'applique, qui est intéressant pour comparer le modèle aux observations. Et dans ce cas il me semble que ce qu'il "voit", c'est bien le rayon aréal

Ca paraitrait logique pour pouvoir retomber sur Schw, mais ce ne doit pas être généralisable

Si, c'est généralisable. Et le but n'est pas forcément de retomber sur Schwarzschild ! je dirais même, au contraire.

Si on peut lui donner un sens physique, tant mieux, mais rien n'y oblige.

C'est quand même pratique pour faire de la physique

A propos de la coordonnée r, dans le cas de la métrique LTB, quel que soit le choix fait, elle a un sens physique parfaitement clair : elle étiquette les sphères comobiles sur toute la portion de l'espace-temps considérée. Elle doit être croissante avec la distance propre à l'origine^(*) mais ne lui est pas forcément liée de manière simple, puisque cette distance propre (ou le rayon aréal) varie en permanence. En revanche, ce qui est constant, c'est la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r.
(*) ce qui peut ne pas être le cas éternellement. Mais quand cette condition n'est plus remplie la solution ne s'applique plus. Des coquilles sphériques de poussière peuvent se croiser, voire s'accumuler, ce qui peut conduire à une singularité (au moins de coordonnées).

Ok, mais dans ce cas là il faudrait une précision : Pour la solution de Schw, Schw est le repère d'un observateur, tous les autres sans exception sont juste des systèmes de coordonnées. Pour la solution LTB, un système (A;t) est un repère quand M=0 et pour le cas particulier Schw (car A=r), on verra peut être ce qu'il en est des autres cas. J'insiste sur la nuance

Mais en fait on s'en fiche que ce soit le repère d'un observateur. D'ailleurs celui (l'observateur) de Schwarzschild est parfaitement illusoire. Dans la vie réelle, si tu es assez près d'un corps isolé pour que Schwarzschild soit applicable (par ex. dans le système solaire), tu ne peut pas être statique dans ce repère sans accélérer; et si tu es en chute libre (par exemple en orbite circulaire, on ne te demande pas d'aller d'écraser sur le Soleil), ce que tu vois n'est pas ce que verrait un observateur à l'infini - qui a un sens mathématiquement, mais pas physiquement.

Mais j'espère que vous êtes d'accord sur le fait que si on ne peut pas restituer "ce qui est vu" on ne pourra jamais le comparer à une observation réelle ?

Mais justement, un observateur cosmologique n'est jamais un observateur de Schwarzschild ! Au mieux, en corrigeant ses observations en fonction de la vitesse de rotation de la planète sur laquelle il se trouve, de sa vitesse de révolution autour de son étoile, de la vitesse de révolution de celle-ci autour du centre de la galaxie, du mouvement propre de la galaxie au sein de son amas (etc.), on se rapproche d'un "observateur FLRW".

[yves95210]

Un exemple pour illustrer tout ça, et pour montrer à quoi cette solution peut servir : en choisissant tout bêtement une coordonnée R proportionnelle à M^1/3 (autrement dit, une masse qui croît uniformément en fonction de R), et une fonction E correspondant à une courbure positive très faible dans la partie centrale, puis négative au-delà (tendant vers une solution de Friedmann quand R devient assez grand) :

[Mailou75]

Salut et merci,

Et non, la boule n'est pas emplie de poussière uniforme, mais uniquement isotrope. Sa densité n'est pas homogène, elle peut varier en fonction de r. Sinon ça n'aurait aucun intérêt de se compliquer la vie.

Humm, pas en fonction de r puisque r contient toujours là même masse et c'est une constante, faudrait savoir
Mais je vois ce que tu veux dire, en s'effondrant la densité va forcément changer. Quid du vide généré entre la sphère de l'expérience et l'extérieur homogène non vide ? (c'est peut être l'objet de ton graph bleu plus bas?)

Si, c'est généralisable. Et le but n'est pas forcément de retomber sur Schwarzschild ! je dirais même, au contraire.

Je ne dis pas que c'est un objectif, c'est plus comme vérifier que Newton donne bien Einstein en champ faible, ici on vérifie que Schw est bien un cas particulier de LTB (ce qu'à fait mach3 sur l'autre fil j'ai l'impression)

En tout cas serait cool que tu aies raison pour A, un truc simple pour une fois… en y réfléchissant, je me dis que c'est sans doute imposé par la symétrie sphérique : Si on considère un ensemble d'observateurs éloignés, à une même distance radiale. Ils doivent voir radialement la même chose, et pour changer d'observateur par rotation selon un angle géométrique et couvrir l'ensemble d'une sphère, il est nécessaire que A soit le rayon aréal ET soit le rayon vu (au facteur près suivant où on se trouve). Enfin j'ai l'impression, j'aurais bien du mal à le démontrer…

A propos de la coordonnée r, dans le cas de la métrique LTB, quel que soit le choix fait, elle a un sens physique parfaitement clair : elle étiquette les sphères comobiles sur toute la portion de l'espace-temps considérée. Elle doit être croissante avec la distance propre à l'origine^(*) mais ne lui est pas forcément liée de manière simple, puisque cette distance propre (ou le rayon aréal) varie en permanence. En revanche, ce qui est constant, c'est la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r.

Oui ok, j'commence à comprendre, j'attends de voir

Mais en fait on s'en fiche que ce soit le repère d'un observateur. D'ailleurs celui (l'observateur) de Schwarzschild est parfaitement illusoire. Dans la vie réelle, si tu es assez près d'un corps isolé pour que Schwarzschild soit applicable (par ex. dans le système solaire), tu ne peut pas être statique dans ce repère sans accélérer; et si tu es en chute libre (par exemple en orbite circulaire, on ne te demande pas d'aller d'écraser sur le Soleil), ce que tu vois n'est pas ce que verrait un observateur à l'infini - qui a un sens mathématiquement, mais pas physiquement.

Y'a quand même des coté pratiques à Schw, mais c'est pas le sujet ici, on y reviendra…

Un exemple pour illustrer tout ça, et pour montrer à quoi cette solution peut servir : en choisissant tout bêtement une coordonnée R proportionnelle à M^1/3 (autrement dit, une masse qui croît uniformément en fonction de R), et une fonction E correspondant à une courbure positive très faible dans la partie centrale, puis négative au-delà (tendant vers une solution de Friedmann quand R devient assez grand) :

Cool !

J'ai essayé de comprendre… les deuxième et troisième montrent l'évolution d'une "boule univers" de masse constante (M ordonnées gauche) et facteur d'échelle variable (A en abscisse x1100). En pointillé, le profil M(A) en parabole (homogène). En orange, la courbe de densité, que j'aurais imaginé plate pour "homogène"..? Et puis c'est à peu près tout… je ne comprends pas du tout la première en bleu E(R) (unités)?

Pourrais tu décrire plus longuement ce qu'il faut comprendre de ces graphs stp ? Quelles formules tu as utilisées ? Etc.. ça m'intéresse

Merci

Mailou

[yves95210]

Salut,

Humm, pas en fonction de r puisque r contient toujours là même masse et c'est une constante, faudrait savoir

Si, bien sûr, dépend de r (via l'équation .
Dans le cas où ne dépend que de on retrouve l'homogénéité (spatiale) et la métrique FLRW.

Mais je vois ce que tu veux dire, en s'effondrant la densité va forcément changer. Quid du vide généré entre la sphère de l'expérience et l'extérieur homogène non vide ? (c'est peut être l'objet de ton graph bleu plus bas?)

Il n'y a pas de "vide" au sens complètement vide de matière. On peut soit étendre la solution jusqu'à l'infini, soit la recoller avec une solution décrivant l'espace-temps extérieur (FRLW en général). Mais effectivement, si on part d'une densité supérieure à la moyenne dans la zone centrale de la région décrite par LTB, au bout d'un certain temps les coquilles de matière vont commencer à se contracter (leur vitesse radiale devient négative); les premières concernées sont les plus proches de l'origine. Et la périphérie de la région continuant de s'expandre, sa densité devient de plus en plus faible.

Je ne dis pas que c'est un objectif, c'est plus comme vérifier que Newton donne bien Einstein en champ faible, ici on vérifie que Schw est bien un cas particulier de LTB (ce qu'à fait mach3 sur l'autre fil j'ai l'impression)

En l'occurrence Schwarzschild on s'en fout un peu. On n'est nulle part dans un espace-temps vide de matière. Ou alors ce n'est pas la peine de se compliquer la vie en utilisant la métrique LTB.

En tout cas serait cool que tu aies raison pour A, un truc simple pour une fois… en y réfléchissant, je me dis que c'est sans doute imposé par la symétrie sphérique : Si on considère un ensemble d'observateurs éloignés, à une même distance radiale. Ils doivent voir radialement la même chose, et pour changer d'observateur par rotation selon un angle géométrique et couvrir l'ensemble d'une sphère, il est nécessaire que A soit le rayon aréal ET soit le rayon vu (au facteur près suivant où on se trouve). Enfin j'ai l'impression, j'aurais bien du mal à le démontrer…

Ce n'est pas moi qui ai raison. C'est Hermann Bondi par exemple, dans son papier de 1947, où il explore cette solution, et donne les relations entre ses paramètres et les observables cosmologiques (distance angulaire, distance de luminosité, redshift).

Y'a quand même des coté pratiques à Schw, mais c'est pas le sujet ici, on y reviendra…

Oui, dans un système stellaire, où toutes les masses autres que celles de l'étoile centrale sont pratiquement négligeables. Mais là on parle de cosmologie, dans un univers où à grande échelle la densité de matière est à peu près la même partout (et à échelle un peu moins grande, celle des vides cosmique et des superamas, les densités moyennes de ces structures sont dans un rapport de l'ordre de 10).

J'ai essayé de comprendre… les deuxième et troisième montrent l'évolution d'une "boule univers" de masse constante (M ordonnées gauche) et facteur d'échelle variable (A en abscisse x1100). En pointillé, le profil M(A) en parabole (homogène). En orange, la courbe de densité, que j'aurais imaginé plate pour "homogène"..? Et puis c'est à peu près tout… je ne comprends pas du tout la première en bleu E(R) (unités)?

Pourrais tu décrire plus longuement ce qu'il faut comprendre de ces graphs stp ? Quelles formules tu as utilisées ? Etc.. ça m'intéresse

E(R) est sans dimension. (dans l'équation d'évolution il ne faut pas oublier qu'on a pris c=G=1. En fait il y a un facteur c² devant E et un facteur G devant M.
Et l'intérêt est justement de montrer qu'en partant d'une densité homogène (en r³), il suffit de perturber très légèrement le modèle en y introduisant via E une très faible courbure spatiale locale, par exemple positive près du centre et négative à la périphérie, pour aboutir au résultat que tu vois dans le graphe à une époque récente (ce n'est pas très visible sur les courbes vu la petitesse de la courbure, mais A est très proche de r³ dans la première, et s'en éloigne de manière significative dans la deuxième.

Quant aux formules, ce sont ni plus ni moins celles des solutions LTB avec E<0 (pour la partie centrale) et E>0 (pour la périphérie), que tu retrouveras dans les autres fils où on en a parlé (ou dans le document que j'avais mis en pj). Les seuls paramètres libres sont les fonction M(r) et E(r) (il y a aussi t_B(r), mais là je l'ai mis à 0 pour tout r). Comme je l'ai dit, j'ai pris M proportionnel à r³. Et pour la fonction E j'ai cherché une forme analytique qui corresponde à peu près aux contraintes exposées ci-dessus.
J'ai dû choisir deux fonctions qui se recollent bien entre elles (de manière continue et différentiable) :
pour
pour

[Mailou75]

Salut,

Si, bien sûr, dépend de r (via l'équation .
Dans le cas où ne dépend que de on retrouve l'homogénéité (spatiale) et la métrique FLRW.

Je comprends pour FLRW, la densité diminue partout de la même façon.
Pour l'autre cas c'est moins clair, la dérivée d'une masse ça ne me parle pas beaucoup

Dans l'absolu c'est le rôle de r, autrement que comme un paramètre pour définir A, que j'ai du mal à saisir. Et dans tes graphs tu te sers de A comme "facteur d'échelle" alors que nulle part jusqu'ici vous n'aviez défini A de la sorte. C'est juste que même sans entrer dans les calculs on a du mal à savoir de quoi vous parlez, c'est confusant d'un point de vue extérieur. On a beau dire de Zef, vous nous avez abreuvé de formules sans qu'on sache vraiment ce que vous étiez en train de faire

Il n'y a pas de "vide" au sens complètement vide de matière. On peut soit étendre la solution jusqu'à l'infini, soit la recoller avec une solution décrivant l'espace-temps extérieur (FRLW en général). Mais effectivement, si on part d'une densité supérieure à la moyenne dans la zone centrale de la région décrite par LTB, au bout d'un certain temps les coquilles de matière vont commencer à se contracter (leur vitesse radiale devient négative); les premières concernées sont les plus proches de l'origine. Et la périphérie de la région continuant de s'expandre, sa densité devient de plus en plus faible.

Ce que je voulais dire c'est que si on considère un extérieur homogène (ou assimilé homogène à grande échelle comme tu le dis) alors la zone de matière qui se contracte va générer un vide entre elle et l'extérieur. Il est question définir la nature de la frontière à laquelle la matière va cesser (progressivement?) d'être attirée vers un centre et tendre vers l'homogénéité extérieure. C'est peut être déjà contenu dans les équations… je cherche à comprendre l'expérience qui est décrite. Vraisemblablement il y a plusieurs cas possibles puisqu'on peut retomber sur Schw : une masse M et du vide (E=0?). Ou sur FLRW, Minkowski... il faudrait un tableau synthétique montrant l'influence de M et E sur différents cas "critiques" comme ceux cités, ça permettrait d'y voir plus clair [pour les lecteurs]

En l'occurrence Schwarzschild on s'en fout un peu. On n'est nulle part dans un espace-temps vide de matière. Ou alors ce n'est pas la peine de se compliquer la vie en utilisant la métrique LTB.

Humm je dirais au contraire qu'il y a essentiellement du vide ou des champs faibles alors pourquoi se compliquer la vie avec la RG à grande échelle… mais c'est un débat hors sujet.

Ce n'est pas moi qui ai raison. C'est Hermann Bondi par exemple, dans son papier de 1947, où il explore cette solution, et donne les relations entre ses paramètres et les observables cosmologiques (distance angulaire, distance de luminosité, redshift).

Pas trouvé, mais je te fais confiance, et puis je suis d'accord donc... Si la conclusion est que la distance angulaire est un multiple de A, genre A*X où X dépend de l'observateur, ça me va.

E(R) est sans dimension. (dans l'équation d'évolution il ne faut pas oublier qu'on a pris c=G=1. En fait il y a un facteur c² devant E et un facteur G devant M.

Sans dimension ça ne me gène pas, mais quel sens lui donnes tu ? Par exemple pour Schw, le profil "drap déformé" donne en ordonnée la variation d'écoulement du temps d'un immobile en fonction de r. Pourquoi ici on est en fonction de r alors que les autres sont en fonction de A ? Qu'est ce que tu "lis" quand tu regarde cette courbe ? Moi rien… un truc fixe en fonction de r sensé définir l'intervalle entre comobiles en chute… what you talkin' about ?

Et l'intérêt est justement de montrer qu'en partant d'une densité homogène (en r³), il suffit de perturber très légèrement le modèle en y introduisant via E une très faible courbure spatiale locale, par exemple positive près du centre et négative à la périphérie, pour aboutir au résultat que tu vois dans le graphe à une époque récente (ce n'est pas très visible sur les courbes vu la petitesse de la courbure, mais A est très proche de r³ dans la première, et s'en éloigne de manière significative dans la deuxième.

Pas compris, pourtant c'est crucial

Quant aux formules, ce sont ni plus ni moins celles des solutions LTB avec E<0 (pour la partie centrale) et E>0 (pour la périphérie), que tu retrouveras dans les autres fils où on en a parlé (ou dans le document que j'avais mis en pj). Les seuls paramètres libres sont les fonction M(r) et E(r) (il y a aussi t_B(r), mais là je l'ai mis à 0 pour tout r). Comme je l'ai dit, j'ai pris M proportionnel à r³. Et pour la fonction E j'ai cherché une forme analytique qui corresponde à peu près aux contraintes exposées ci-dessus.
J'ai dû choisir deux fonctions qui se recollent bien entre elles (de manière continue et différentiable) :
pour
pour

Tout ça m'a l'air bien arbitraire pour en arriver là où tu veux. Mais effectivement il va bien falloir trouver des formules pour les variables. Le truc c'est que leur cohérence est physique, pas seulement mathématique. Je vois mal comment s'en sortir en dehors des cas "critiques" ?

Merci pour ta patience

Mailou

[yves95210]

Salut,

Je comprends pour FLRW, la densité diminue partout de la même façon.

Ici elle peut augmenter aussi bien que diminuer puisque la métrique peut décrire une zone en contraction. Remarque, c'est vrai aussi en FLRW avec courbure positive. Ce qui différencie la solution générale LT de la solution FL, c'est que rho dépend aussi de r.

Pour l'autre cas c'est moins clair, la dérivée d'une masse ça ne me parle pas beaucoup

C'est pourtant pas plus compliqué : si tu considères la masse comme une fonction de r (et de rien d'autre : puisque r étiquette des sphères comobiles, la masse contenue à l'intérieur de la sphère de coordonnée radiale r ne varie pas dans le temps). Du moment que c'est une fonction de r, on peut parler de sa dérivée en calculant la différence entre la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r et celle contenu à l'intérieur de la sphère de rayon r+dr, avec dr infinitésimal. Cette différence est la masse de la coquille sphérique de coord radiale r, de densité rho(r), et d'épaisseur sqrt(g_rr) dr (où g est la métrique).

Dans l'absolu c'est le rôle de r, autrement que comme un paramètre pour définir A, que j'ai du mal à saisir. Et dans tes graphs tu te sers de A comme "facteur d'échelle" alors que nulle part jusqu'ici vous n'aviez défini A de la sorte.

r n'a pas de rôle autre que celui d'une étiquette permettant de spécifier de quelle sphère comobile on parle. Tout ce qu'on demande à r est d'être strictement croissante quand la distance à l'origine croît (la distance physique, celle qu'on pourrait mesurer avec des règles si on pouvait se déplacer sur l'hypersurface à t constant), et bien sûr que, si on exprime cette distance à en fonction de r, cette fonction soit continue, différentiable, enfin tout ce qui va bien. Le tout pour qu'on ne risque pas de confondre deux sphères différentes (il ne faut donc pas qu'elles puissent avoir la même étiquette r).

Si on se sert de A comme facteur d'échelle, c'est bien parce que A est une distance physique (le rayon aréal de la sphère comobile étiquetée par r) et peut donc être utilisée comme échelle "réaliste", contrairement à r.

C'est juste que même sans entrer dans les calculs on a du mal à savoir de quoi vous parlez, c'est confusant d'un point de vue extérieur. On a beau dire de Zef, vous nous avez abreuvé de formules sans qu'on sache vraiment ce que vous étiez en train de faire

Raison pour laquelle mach3 a créé ce fil dans le sous-forum "technique", destiné à des participants censés savoir manipuler les équations... Et il me semble que ni lui ni moi n'avons balancé des équations sans en expliquer le but - en tout cas suffisamment pour pouvoir nous comprendre l'un l'autre.

Ce que je voulais dire c'est que si on considère un extérieur homogène (ou assimilé homogène à grande échelle comme tu le dis) alors la zone de matière qui se contracte va générer un vide entre elle et l'extérieur.

Encore une fois, il faut définir ce que tu appelles "vide". En l'occurrence, dans le cas ci-dessus, on va avoir une zone centrale en contraction, dont la densité augmente, et une zone périphérique, encore en expansion si l'"extérieur homogène" l'est, où la densité diminue.
Donc effectivement il va se former quelque-chose comme un vide cosmique (une région de densité inférieure à la densité moyenne de l'univers) si on utilise la métrique LTB pour représenter une boule de rayon fini, à la frontière de laquelle on peut "recoller" la métrique avec celle de l'univers "moyen" (FLRW), et qu'on a fait en sorte que initialement la densité moyenne de la région décrite par la métrique LTB soit égale à la densité moyenne à grande échelle.
D'ailleurs, inversement, si on modélise de la même façon une zone de taille finie par LTB avec E>0, son profil de densité va se creuser dans la partie centrale, mais faire une bosse (sur-densité) à la périphérie.

Il est question définir la nature de la frontière à laquelle la matière va cesser (progressivement?) d'être attirée vers un centre et tendre vers l'homogénéité extérieure. C'est peut être déjà contenu dans les équations…

Oui, à partir du moment où on a choisi les fonctions M et E (bien sûr de manière appropriée pour essayer de modéliser le phénomène qui nous intéresse). Et cette frontière (sa coordonnée radiale) évolue avec le temps, puisque (quand E<0, conduisant à une contraction) les équations montrent que devient négatif (contraction) pour des valeurs de r de plus en plus grandes.
Mais si on a choisi un modèle où le signe de E change pour devenir positif à partir d'une certaine valeur de r (c'est le cas dans celui que j'ai utilisé pour produire les graphes), la zone périphérique (de coord radiale supérieure à cette valeur) sera toujours en expansion puisque dans le cas E>0, est toujours positive.

je cherche à comprendre l'expérience qui est décrite. Vraisemblablement il y a plusieurs cas possibles puisqu'on peut retomber sur Schw : une masse M et du vide (E=0?). Ou sur FLRW, Minkowski... il faudrait un tableau synthétique montrant l'influence de M et E sur différents cas "critiques" comme ceux cités, ça permettrait d'y voir plus clair [pour les lecteurs]

Comme tu as dû le constater, mach3 procède méthodiquement en commençant par explorer les cas M=0 (où LTB = Minkowski "vu" par une famille d'observateurs étiquetés par r dont la vitesse radiale - constante mais dépendant de r - fixe la valeur de E pour chacun d'entre eux), puis M=constante (où LTB = Schwarzschild en coordonnées comobiles).
Ce n'est que quand il en aura fini avec ce cas qu'il abordera ceux, plus généraux (et pour l'étude desquels Lemaître et Tolman ont élaboré leur métrique), où M varie avec r, et dont l'évolution dépendra du signe de E (mais pas que...); avec des sous-cas où M varie en r³ et E en r² (ou est nulle) qui s'avéreront correspondre aux trois cas de la métrique FLRW avec k=-1, 0 ou 1 (le signe de k étant alors l'opposé de celui de E).

Ne sois pas trop impatient, le tableau synthétique dont tu parles n'est pas près d'arriver

Humm je dirais au contraire qu'il y a essentiellement du vide ou des champs faibles alors pourquoi se compliquer la vie avec la RG à grande échelle… mais c'est un débat hors sujet.

Parce qu'on s'intéresse à la cosmologie, et que la RG s'y applique. Ou alors il faudra que tu nous expliques (dans un autre fil...) comment tu rends compte des observations avec la mécanique newtonienne.
Si tu peux le faire au-delà de quelques R_s dans une portion de l'univers où Schwarzschild s'applique, c'est parce que la somme de toutes les masses en-dehors de la masse centrale est négligeable devant cette dernière, permettant d’utiliser une solution "du vide". Mais à grande échelle, la densité moyenne d'une région de l'univers ne s'écarte pas de plus d'un ordre de grandeur de la densité moyenne de l'univers. Et tu ne peux pas traiter un vide cosmique comme "du vide" ou un amas de galaxies comme une masse centrale avec rien que "du vide" autour. Tout dépend de la nature des observations que tu cherches à expliquer.

Sans dimension ça ne me gène pas, mais quel sens lui donnes tu ? Par exemple pour Schw, le profil "drap déformé" donne en ordonnée la variation d'écoulement du temps d'un immobile en fonction de r. Pourquoi ici on est en fonction de r alors que les autres sont en fonction de A ? Qu'est ce que tu "lis" quand tu regarde cette courbe ? Moi rien… un truc fixe en fonction de r sensé définir l'intervalle entre comobiles en chute… what you talkin' about ?

En n'oubliant pas le facteur c² devant le E sans dimension, il s'agit d'une énergie.
Et l'équation devrait te rappeler quelque-chose, non?
Si tu préfères, je remplace A par R et par v, et ça donne , autrement dit est l'énergie mécanique d'une particule de masse unité.

Quant aux courbes, n'essaye pas de leur faire dire ce qu'elles ne disent pas. Celle représentant E(r) a juste pour but de montrer la forme de cette fonction de r, ni plus ni moins - autrement dit d'illustrer mon choix - pas si arbitraire - de la fonction E. Les autres sont là à titre d'exemple, pour illustrer une des multiples application possible du modèle générique LTB : l'étude de l'évolution d'une zone de surdensité.

Pas compris, pourtant c'est crucial

Pas compris ce que tu n'as pas compris...

Tout ça m'a l'air bien arbitraire pour en arriver là où tu veux. Mais effectivement il va bien falloir trouver des formules pour les variables. Le truc c'est que leur cohérence est physique, pas seulement mathématique. Je vois mal comment s'en sortir en dehors des cas "critiques" ?

Pour la cohérence physique, dans le cas que j'ai illustré : il faut vérifier que le modèle conduit bien à une densité quasiment homogène à l'époque du CMB, et que la courbure moyenne à grande échelle (en recollant ensemble des régions décrites par ce modèle) y est à peu près nulle, de manière à rester cohérent avec les observations. Et que son évolution dans le temps conduit à des résultats compatibles avec les observations dans l'univers récent (taille et densité moyenne des structures, taux d'expansion).

Le tout sans oublier que ça reste un "toy-model", qui ne peut représenter que très grossièrement l'évolution de l'univers "réel". En l'occurrence, je l'ai fait tourner avec une masse M(1)=5x10⁴⁵kg (r=1 correspondant à la partie centrale de la région modélisée, pour laquelle E<0, et qui doit donc finir par se contracter en donnant naissance à "une grande structure"). A part le choix de la fonction E, M(1) est le seul paramètre libre du modèle puisque pour être conforme avec l'hypothèse d'homogénéité j'ai pris tout simplement M(r)=r³ M(1).

Quant à E (en plus des contraintes imposées par l'utilisation de la solution LTB, du genre E(0)=0 et E(r) en r² au voisinage de 0 pour éviter que les équations divergent quand r tend vers 0), l'idée était juste de lui donner une forme calculable dans un tableur, et conforme aux hypothèses (négative au centre, positive et en r² à la périphérie de manière à ressembler à FLRW avec courbure négative pour r > 1, et partout dérivable, de dérivée continue, pour éviter les singularités).

Avec (seul paramètre libre de mon modèle en plus de M(1)) un facteur numérique permettant de choisir la valeur maximale de -E très faible dans la zone où E est négative (valeur qui doit être très faible pour rester conforme à l'hypothèse d'homogénéité initiale : en fait avec M en r³, c'est E qui provoque une non-homogénéité de rho, qui doit être très faible à t=380000 ans).

Mais si j'ai collé des diagrammes ici, c'était juste pour donner un exemple de ce qu'on peut faire avec cette solution. Mon modèle ne vaut certainement pas grand-chose, et il n'est pas encore au point (je n'entre pas dans les détails, hors-sujet ici), en tout cas pour ce que je veux en faire. Malgré tout, il donne des résultats plausibles en ordre de grandeur pour l'évolution des paramètres.

[yves95210]

C'est pourtant pas plus compliqué : si tu considères la masse comme une fonction de r (et de rien d'autre : puisque r étiquette des sphères comobiles, la masse contenue à l'intérieur de la sphère de coordonnée radiale r ne varie pas dans le temps). Du moment que c'est une fonction de r, on peut parler de sa dérivée en calculant la différence entre la masse contenue à l'intérieur de la sphère de rayon r et celle contenu à l'intérieur de la sphère de rayon r+dr, avec dr infinitésimal. Cette différence est la masse de la coquille sphérique de coord radiale r, de densité rho(r), et d'épaisseur sqrt(g_rr) dr (où g est la métrique).

Je reviens sur ce point.
D'une part parce que j'ai parlé malencontreusement de "rayon r" au lieu de coordonnée radiale r (et de rayon aréal A(r)) pour la sphère en question. Je vais encore me faire taper sur les doigts par mach3 (et il aura raison, c'est déjà assez confusant comme ça sans en rajouter)

D'autre part parce que je n'ai pas été complètement honnête (je ne voulais pas trop compliquer les choses) : j'ai passé sous silence un "détail". Si on applique ce que j'ai écrit ci-dessus, le volume de la coquille sphérique est , et sa masse est , donc on devrait avoir ,
et M(r) obtenu par intégration de M' entre 0 et r, serait bien la masse de la boule de rayon aréal A(r).
Alors que la résolution de l'équation d'Einstein pour la métrique LTB conduit bien (entre autres) à


conduisant à assimiler à l'énergie mécanique (cinétique + potentielle gravitationnelle) par analogie avec la mécanique newtonienne.

Bref, le paramètre M n'est pas exactement la masse contenue à l'intérieur de la sphère de coordonnée radiale r, même si dans les situations dont je parlais la différence est très petite (parce que E est très petit) - mais ce n'est pas toujours le cas. Dans sa publication, Bondi^(*) (qui utilise d'ailleurs la lettre M pour la "vraie" masse dans les équations) parle de masse gravitationnelle effective pour notre paramètre M, et ce n'est que lorsqu'on utilise ce paramètre que la formule de l'"énergie mécanique" est identique à celle de la mécanique newtonienne.

(*) que je cite parce que, parmi les papiers "historiques" il est le premier à avoir écrit l'équation sous cette forme et mis en évidence cette analogie (pour Lemaître je ne sais pas, son article n'est pas facile à trouver; et dans celui de Tolman c'est loin d'être aussi clair).

[Mailou75]

Salut,

J’ai un peu l’esprit ailleurs, ma femme est en train d’accoucher (du deuxième)
Je te réponds dans qq jours quand j’aurais remis les pieds sur Terre
(C’est pas pour dévoiler ma vie privée, juste pour ne pas paraître impoli...)

À plus

[mach3]

Toutes mes félicitations !
Bon courage aussi !

[invite6c093f92]

Je m'associe à Mach3.
Bienheureux pour toi (et madame aussi).
En te (enfin vous) souhaitant le meilleur.

[Mailou75]

Merci à vous

Tout c’est bien passé, tout le monde va bien.
Je reviens dès que je peux... dsl pour le HS.

A bientôt

[yves95210]

Tout c’est bien passé, tout le monde va bien.

Félicitations !
(et ton absence sur le forum est excusée pour une durée indéterminée)

[Mailou75]

Merci (pour la permission)

[Mailou75]

Salut Yves,

Pardon pour le délai de réponse, je trouve seulement le temps (et la concentration) nécessaire pour te répondre.

J'ai re-relu tes réponses, je ne vais pas revenir sur tout les points. Je commence vaguement à comprendre les rôles de r et A, tu m'éclaires un peu plus sur celui de E mais tout ceci est encore nébuleux. Je ne sais pas qui observe (référentiel de vos équations), ce qu'il voit/mesure, comment une masse contenue dans r en effondrement va définir A... etc.

Quand je vois comment Schw (cas statique) est compliqué à décrire pour chaque observateur, je me dis que si l'objectif est "décrire ce que voient des observateurs statiques/en chute dans un champ fort variable car en effondrement" je me dis que vous n'êtes pas sortis de l'auberge... Ce n'est pas de formules dont je manque, car elles ne me parlent pas, mais de logique avec les mains pour comprendre ce qu'on fait.

Pour le tableau synthétique, ne pas hésiter à en faire une version provisoire pour savoir déjà où on en est sur les quelques cas d'école étudiés… ça permettrait de vous suivre. Sur le fil de mach3 on va bientôt passer le cap des 1000 formules ! Pourtant j'imagine que deux ou trois formules par cas étudié devraient suffire (?).

Enfin, pour le cas que tu affectionnes, je pense comme mach3 qu'avancer pas à pas pour savoir où on met les pieds est prudent. Et je ne dis pas que tu ne comprends pas, ça fait un moment que tu es sur le sujet… mais que, pour moi, prendre cet exemple pour commencer est le meilleur moyen de ne pas comprendre. Les graphs de cas simples aideraient plus, mach3 a commencé, bon on en est encore à Minko mais c'est pas grave.. C'est la seule chose qui me parle en tout cas pour l'instant, à voir si c'est toujours aussi clair quand on ajoutera M...

Bref, ça m'intéresse et j'ai voulu en apprendre un peu plus mais je vais attendre de voir si vos recherches aboutissent à quelque chose que serais apte à comprendre…

Encore merci pour tes réponses,

Mailou

[yves95210]

Salut,

et bon retour parmi nous.

J'ai re-relu tes réponses, je ne vais pas revenir sur tout les points. Je commence vaguement à comprendre les rôles de r et A, tu m'éclaires un peu plus sur celui de E mais tout ceci est encore nébuleux. Je ne sais pas qui observe (référentiel de vos équations), ce qu'il voit/mesure, comment une masse contenue dans r en effondrement va définir A... etc.

Ce sont en fait les deux paramètres M et E qui déterminent l'évolution de A pour un r donné (donc le mouvement d'une particule comobile), à condition que la métrique reste applicable (il ne faut pas que A' devienne négatif). Si tu fais l'analogie avec la mécanique classique et ses grandeurs conservées (la masse et l'énergie mécanique), ça ne devrait pas te choquer.

Quand je vois comment Schw (cas statique) est compliqué à décrire pour chaque observateur, je me dis que si l'objectif est "décrire ce que voient des observateurs statiques/en chute dans un champ fort variable car en effondrement" je me dis que vous n'êtes pas sortis de l'auberge... Ce n'est pas de formules dont je manque, car elles ne me parlent pas, mais de logique avec les mains pour comprendre ce qu'on fait.

L'objectif n'est pas de décrire ce que voit un observateur statique dans la région décrite par la métrique LTB, mais d'étudier ce qui arrive à la matière contenue dans cette région (qui peut être en expansion aussi bien qu'en effondrement, ou en expansion avant d'être en effondrement). Ensuite, pour que ce soit pertinent, il faudrait faire le lien avec que voit un observateur lointain, considéré comme statique ou non. Donc par exemple étudier comment les photons émis depuis une coquille de matière quelconque d'une zone en effondrement sont redshiftés, et combien de temps il mettent à parvenir à l'observateur, voire s'ils peuvent lui parvenir en un temps fini (et là on retombe sur la question de l'horizon, dont on a parlé dans le fil sur la croissance des trous noirs).

Et il ne s'agit pas forcément de "champs forts" puisque dans l'application de cette solution à la cosmologie les champs sont en général faibles ; sauf dans la phase terminale de l'effondrement d'une région sur-dense, mais dans ce cas, au-delà d'une certaine limite, la solution n'est plus applicable (C'est d'ailleurs un des problèmes que j'ai dans le modèle avec lequel je joue : si je le laisse évoluer jusqu'au bout en appliquant la métrique LTB, il ne forme pas de galaxies ou d'amas, mais juste des trous noirs de plus en plus grands).

Pour le tableau synthétique, ne pas hésiter à en faire une version provisoire pour savoir déjà où on en est sur les quelques cas d'école étudiés… ça permettrait de vous suivre. Sur le fil de mach3 on va bientôt passer le cap des 1000 formules ! Pourtant j'imagine que deux ou trois formules par cas étudié devraient suffire (?).

Il n'y a pas 1000 formules utiles pour la compréhension... C'est normal que pour arriver à une équation "utile", on ait besoin d'en écrire quelques-unes (voire des dizaines) intermédiaires. Et avant que mach3 se lance dans cette étude exhaustive, en commençant par des cas où la solution LTB n'apporte probablement pas grand-chose si ce n'est des complications, je m'étais contenté d'appliquer les solutions classiques pour E < 0 ou E > 0, soit deux équations dans chaque cas (et similaires dans les deux cas, à ceci près que dans le premier on utilise la trigonométrie sphérique et dans le second la trigo hyperbolique), et une seule équation dans le cas E=0. Bref, rien de compliqué.

Mais ce n'est pas très compliqué non plus de déduire de la solution LTB avec M constante non seulement la métrique de Schwarzschild dans ses coordonnées usuelles, mais aussi dans des systèmes de coordonnées moins connus, basés sur le temps propre des chuteurs.

Enfin, pour le cas que tu affectionnes, je pense comme mach3 qu'avancer pas à pas pour savoir où on met les pieds est prudent. Et je ne dis pas que tu ne comprends pas, ça fait un moment que tu es sur le sujet… mais que, pour moi, prendre cet exemple pour commencer est le meilleur moyen de ne pas comprendre. Les graphs de cas simples aideraient plus, mach3 a commencé, bon on en est encore à Minko mais c'est pas grave.. C'est la seule chose qui me parle en tout cas pour l'instant, à voir si c'est toujours aussi clair quand on ajoutera M...

En l'occurrence c'est ce qui paraît le plus simple qui est le plus compliqué (ou du moins qui présente une plus grande part d'arbitraire, et de choix techniques à justifier). Quant on s'intéresse aux cas pour lesquels Lemaître et Tolman ont élaboré cette solution, ces choix sont imposés par la physique. Et le domaine d'application auquel ils pensaient n'était certainement pas l'étude des géodésiques d'un ensemble de "chuteurs" de masse négligeable dans un espace-temps statique.
Je ne veux pas dire là que l'étude entreprise par mach3 est sans intérêt (et au passage j'ai plutôt été content de pouvoir retrouver facilement les coordonnées de Painlevé-Gullstrand ou celles de Gautreau-Hoffmann pour la métrique de Schw.). Mais en ce qui me concerne elle m'éloigne de mes préoccupations - celles qui m'ont motivé à m'intéresser à la solution LTB, plus pour l'utiliser que pour la décortiquer.

[mach3]

Je commence vaguement à comprendre les rôles de r et A, tu m'éclaires un peu plus sur celui de E mais tout ceci est encore nébuleux. Je ne sais pas qui observe (référentiel de vos équations), ce qu'il voit/mesure, comment une masse contenue dans r en effondrement va définir A... etc.

Il y a un point qui commence à m'apparaitre assez clairement et que je peux commencer à vulgariser (au moins essayer).

Le modèle LTB consiste en un empilement continu de couches de poussières concentriques. Considérer temporairement cet empilement comme discontinu peut aider à comprendre le fonctionnement du modèle.

On peut considérer ainsi des coquilles de poussières concentriques d'épaisseur nulle avec du vide entre chaque, numérotées n=1,2,3,4.... Dans le vide entre chaque coquille, la géométrie est celle de Schwarzschild, avec un paramètre M qui dépend des coquilles qui sont en dessous (majoritairement de leur masse, mais peut-être pas que, il y a des choses qui ne sont pas encore claires pour moi à ce stade, l'important étant que ce paramètre M ne varie pas, ce qui est sous le vide "inter-coquille" considéré "pèse" invariablement M), on aura M(1) entre la coquille 1 et la coquille 2, M(2)>M(1) entre la coquille 2 et la coquille 3, etc. Chaque coquille est en chute libre, plus précisément, chaque poussière de chaque coquille est en chute libre radiale. La chute libre de la coquille n est simplement décrite par la chute libre radiale en géométrie de Schwarzschild de paramètre M(n). Cette chute libre se décrit par une "position", le rayon aréal A, et une "vitesse" , la variation de ce rayon aréal par rapport au temps propre . Les deux évoluent avec le temps propre de la coquille, suivant une équation d'évolution qui fait apparaitre un invariant :



L'analogie avec l'énergie mécanique classique (par unité de masse) :

,

ne vient pas de nulle part. Comme tu l'as déjà remarqué depuis le temps que tu étudies la chose, la chute libre radiale de la mécanique classique décrite en fonction du temps absolu de Newton est analogue à la chute libre radiale de la géométrie de Schwarzschild décrite en fonction du temps propre du chuteur.

Donc chaque coquille est caractérisée par une "énergie" E(n), qui qualifie la façon dont elle chute (culmination, vitesse nulle à l'infini, vitesse non nulle à l'infini, "drip", "rain" et "hail" selon le vocable de Taylor et Wheeler (2e paragraphe de l'introduction)).

Pour finir, il faut spécifier une condition initiale, dire qu'à une certaine date de la coquille, son rayon aréal possède une certaine valeur et varie d'une certaine façon, c'est le rôle de qui est la date du rayon aréal nul.

Donc voila, on a une série de coquilles sphériques, en chute libre radiale, chacune ayant des caractéristiques de chute particulières. Si elles ont toutes une valeur de E négative, elles vont toutes finir par décroitre (contraction, voire effondrement), si elles ont toutes une valeur de E positive, elles vont croître en continu (expansion illimitée), ou décroître depuis un passé infini (film de l'expansion illimitée vu à l'envers). Si certaines coquilles sont de E positif et d'autre de E négatif, on aura des comportement plus complexes, avec des zones en expansion et des zones en contraction.

Pour passer de cette description discontinue simplifié à LTB, il suffit de considérer un nombre infini de coquilles (qu'on va étiqueter par un réel r plutôt qu'avec un entier n) et de faire tendre l'épaisseur des vides "inter-coquilles" vers 0.

m@ch3

[Mailou75]

Salut et merci,

@Yves

Je comprends ton impatience mais mach3 a besoin de comprendre le modèle pour pouvoir t'aider, sinon comment ?.. Dans tes réponses tu supposes que j'en sais plus que ce n'est le cas : par exemple "il ne faut pas que A' devienne négatif". Je ne sais pas ce qu'est A' ni pourquoi ça pose problème qu'il soit négatif. Ou par exemple "les solutions classiques pour E < 0 ou E > 0" quand je ne sais même pas ce qu'est E. Je sais que tu essayes de me donner une version simplifiée mais il me manque les fondements du sujet. La réponse de mach3 est mieux ciblée, plus épurée, pour ceux qui se noient dans un verre d'eau… car je constate qu'une partie du contenu est proche de ta réponse 19.

@mach3

Merci de revenir aux bases. Ce que tu appelles numérotation des coquilles (n) est en fait r ? Pour le rayon aréal A je crois que c'est la seule chose qui est à peu près claire puisque c'est de la géométrie : un intervalle régulier entre coquilles permettant la symétrie sphérique pour chacun des observateurs. La "vitesse" °A est elle l'équivalent de dr/dT chez Schwarzschild, c'est à dire la vitesse de chute de Newton , la cycloïde dans un repère (r;T) ? E serait l'équivalent du "K" (ou du genre) que tu avais défini pour la formule "générale" des cas : Vlib, chute avec apoastre et vitesse non nulle à l'infini ? C'est l'énergie liée à la trajectoire (je ne sais pas comment le dire) ? Ah, T_B c'est la première fois que je lis de quoi il s'agit… date (en temps propre) du collapse donc ?

Pour résumer, chaque particule de chaque coquille se comporte comme si elle se trouvait seule dans un modèle de type "masse entourée de vide" avec en dessous d'elle une coque "de masse M" (contenant un ensemble de coques de masse m1, m2 etc avec M=m1+m2+ …) se comportant à distance comme une masse ponctuelle centrale et dont on ne prend en compte que la partie extérieure de courbure négative pour étudier la chute "vers la coquille du dessous" ?

Merci pour votre patience

Mailou

[yves95210]

Salut,

@Yves

Dans tes réponses tu supposes que j'en sais plus que ce n'est le cas : par exemple "il ne faut pas que A' devienne négatif". Je ne sais pas ce qu'est A' ni pourquoi ça pose problème qu'il soit négatif. Ou par exemple "les solutions classiques pour E < 0 ou E > 0" quand je ne sais même pas ce qu'est E. Je sais que tu essayes de me donner une version simplifiée mais il me manque les fondements du sujet. La réponse de mach3 est mieux ciblée, plus épurée, pour ceux qui se noient dans un verre d'eau… car je constate qu'une partie du contenu est proche de ta réponse 19.

En fait j'ai supposé que tu avais lu au moins en partie l'autre fil (ou le précédent sur la croissance des trous noirs), où les notations étaient utilisées.

A' est comme d'habitude (?) la dérivée de A par rapport à r (la coordonnée radiale). On a besoin que A' reste positif pour que la métrique reste valide (pour que le coeff de dr² reste positif).

Quant à E, comme mach3 (dans son message d'hier) et moi (dès mon message du 20/12) l'avons expliqué, tu peux considérer qu'il s'agit de l'énergie mécanique (cinétique + potentielle) d'une particule comobile de masse unitaire.

Mais évidemment dans le cas d'un espace vide, la notion de particule comobile est un peu arbitraire : il faut imaginer des particules de masse négligeable en chute libre et imposer des conditions initiales bien précises pour que les géodésiques de plusieurs de ces particules puissent être décrites par la même version de la métrique LTB (entre autres à cause de la condition A'>0). Et à mon avis, cela ne fait que compliquer la compréhension de la solution générale.

Je ne réponds pas aux questions que tu poses à mach3, sauf sur un point : non, n'est pas la date du collapse mais celle à laquelle la coquille de coordonnée radiale r émerge de la singularité initiale (en effet, quand , A=0).
Le but de Lemaître et Tolman était de construire un modèle cosmologique - avec big bang, comme Friedmann-Lemaître, mais avec des contraintes moins fortes (autorisant une non-homogénéité), et n'ayant pas vocation à décrire l'ensemble de l'univers mais seulement des portions de celui-ci. Mais je ne sais pas s'ils avaient vu que leur solution autorise que la date du "bang" soit différente pour chaque coquille de matière.