Le mystère LTB

[mach3]

A' est comme d'habitude (?) la dérivée de A par rapport à r (la coordonnée radiale). On a besoin que A' reste positif pour que la métrique reste valide (pour que le coeff de dr² reste positif).

Attention, c'est A'² qui intervient dans le coefficient de dr², donc il peut être positif ou négatif sans que cela pose un souci (on peut très bien changer les étiquettes r des coquilles par une étiquette 1/r par exemple, ça ne change pas la physique). Le fait que A' puisse changer de signe, autrement dit que A ne soit pas monotone, peut poser problème en revanche : il est possible que cela signifie qu'on étiquette des sphères deux fois. Possible mais pas obligatoire parce qu'il existe un cas avec A non monotone mais où les sphères existent par paires : la géométrie de Schwarzschild complète (ça méritera qu'on en rediscute dans le fil technique). En dehors de ce cas particulier (et j'intuite qu'il n'en existe pas d'autres, mais il faut se méfier des intuitions ici...), étiqueter deux fois une même sphère est absurde, et le fait que A' change de signe impliquant que lui ou son inverse passe par 0 pose un problème au niveau du coefficient de dr²

m@ch3
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[mach3]

Ce que tu appelles numérotation des coquilles (n) est en fait r ?

oui, n étiquète les coquilles de façon discrète dans le modèle discontinu simplifié, r les étiquète de façon continue

La "vitesse" °A est elle l'équivalent de dr/dT chez Schwarzschild, c'est à dire la vitesse de chute de Newton , la cycloïde dans un repère (r;T) ?

oui, c'est le si r est la coordonnée radiale de Schwarzschild et tau le temps propre du chuteur. D'ailleurs en voyant les solutions, cela "saute" aux yeux, notamment celle pour E<0 :




comparée à un chuteur libre avec culmination dans la géométrie de Schwarzschild :




Bon, il faut touiller un peu, et faire quelques substitutions, mais ces deux trucs là décrivent bien la même chose, une cycloïde.

E serait l'équivalent du "K" (ou du genre) que tu avais défini pour la formule "générale" des cas : Vlib, chute avec apoastre et vitesse non nulle à l'infini ? C'est l'énergie liée à la trajectoire (je ne sais pas comment le dire) ?

oui, c'est ça

Ah, T_B c'est la première fois que je lis de quoi il s'agit… date (en temps propre) du collapse donc ?

du collapse ou de son inverse, et toutes les coquilles ne collapsent pas forcément "en même temps" (comprendre au même )
Par exemple, si on prend le cas particulier où LTB reproduit FLRW, sera le même pour tout le monde et correspondra au big-bang (ou au big crunch).
Autre exemple, si on prend le cas particulier LTB reproduit Schwarzschild sera différent pour chaque sphère. Si on choisit des sphères en chute libre libre depuis l'infini à vitesse nulle, de la pluie ("rain") d'après Taylor et Wheeler, c'est à dire les coordonnées de Lemaitre, alors

On le voit bien sur cette image là : https://forums.futura-sciences.com/a...futura-264.jpg (l'auteur me dit quelque chose...)

Je dois y aller

m@ch3

[yves95210]

Attention, c'est A'² qui intervient dans le coefficient de dr², donc il peut être positif ou négatif sans que cela pose un souci (on peut très bien changer les étiquettes r des coquilles par une étiquette 1/r par exemple, ça ne change pas la physique).

Oui, j'ai répondu sans réfléchir et je ne voulais pas rentrer dans les détails nécessitant de connaître les équations, dont celle reliant M' à rho, qui conduit à une densité infinie quand A' s'annule (bien sûr seulement dans le cas où l'espace n'est pas vide) et donc à une singularité à partir de laquelle le modèle ne s'applique plus. Mais effectivement ce n'est pas le signe de A' qui importe mais le fait qu'il ne change pas.

Le fait que A' puisse changer de signe, autrement dit que A ne soit pas monotone, peut poser problème en revanche : il est possible que cela signifie qu'on étiquette des sphères deux fois. Possible mais pas obligatoire parce qu'il existe un cas avec A non monotone mais où les sphères existent par paires : la géométrie de Schwarzschild complète (ça méritera qu'on en rediscute dans le fil technique). En dehors de ce cas particulier (et j'intuite qu'il n'en existe pas d'autres, mais il faut se méfier des intuitions ici...), étiqueter deux fois une même sphère est absurde, et le fait que A' change de signe impliquant que lui ou son inverse passe par 0 pose un problème au niveau du coefficient de dr²

Oui, j'avais vu cette possibilité. Mais dans la géométrie de Schwarzschild, l'application du modèle LTB est arbitraire, les "chuteurs" dont on parle dans l'autre discussion ne sont pas des particules comobiles au sens de Lemaître (constituant des coquilles sphériques de masse M'dr non nulle et dont la vitesse d'expansion / contraction dépend de conditions initiales non arbitraires), et le fait que des coquilles sphériques de masse nulle (ou négligeable) se croisent n'a pas de conséquence sur la géométrie de l'espace-temps.
Le fait de choisir arbitrairement une famille de chuteurs "cohérente" (en évitant le changement de signe de A') permet simplement de définir une famille de géodésiques qui ne se croisent pas et qui peuvent couvrir tout l'espace-temps, et ce n'est qu'un artifice permettant de d'écrire la métrique dans un système de coordonnées approprié (approprié = répondant aux contraintes qu'on s'est données : utilisation des coordonnées "naturelles" que sont le temps propre des chuteurs et le rayon aréal), à partir duquel on retombe aisément sur les coordonnées de Schwarzschild.

[yves95210]

Bon, il faut touiller un peu, et faire quelques substitutions, mais ces deux trucs là décrivent bien la même chose, une cycloïde.

C'est même tout simple (à vue de nez). C'est juste que les que tu utilises dans les deux solutions ne sont pas le même paramètre, il y a un déphasage de entre eux :
dans la solution LTB avec E<0, la "culmination" correspond au moment où la coquille sphérique (jusque-là en expansion) commence à se contracter, lorsque , alors que dans ton expression de la solution pour un chuteur libre avec culmination en Schw., tu poses lors de la cumination.

[mach3]

Je termine de répondre à mailou :

Pour résumer, chaque particule de chaque coquille se comporte comme si elle se trouvait seule dans un modèle de type "masse entourée de vide" avec en dessous d'elle une coque "de masse M" (contenant un ensemble de coques de masse m1, m2 etc avec M=m1+m2+ …) se comportant à distance comme une masse ponctuelle centrale et dont on ne prend en compte que la partie extérieure de courbure négative pour étudier la chute "vers la coquille du dessous" ?

oui, c'est le "miracle" de la symétrie sphérique et des théorèmes qui l'accompagnent :
-le théorème de Gauss qui permet d'ignorer l'influence de tout ce qui est à l'extérieur d'une coquille donnée
-le théorème de Birkhoff qui permet de résumer l'influence de tout ce qui est à l'intérieur de cette coquille à un "point massique central" entouré de vide (avec toutes les précautions que ça implique : si le point est plus petit que son rayon de Schwarzschild, alors il n'est pas un point au sens point de l'espace).

Oui, j'avais vu cette possibilité. Mais dans la géométrie de Schwarzschild, l'application du modèle LTB est arbitraire, les "chuteurs" dont on parle dans l'autre discussion ne sont pas des particules comobiles au sens de Lemaître (constituant des coquilles sphériques de masse M'dr non nulle et dont la vitesse d'expansion / contraction dépend de conditions initiales non arbitraires), et le fait que des coquilles sphériques de masse nulle (ou négligeable) se croisent n'a pas de conséquence sur la géométrie de l'espace-temps.

oui, pour gérer le "croisement" de coquilles de masses non nulles, il faudrait prendre en compte la pression, qui justement s'opposerait à ce croisement (et en fonction des propriétés physiques des coquilles et de la dynamique de leur collision, cette pression pourrait empêcher que la densité ne diverge et donc empêcher l'apparition d'une singularité). Les coquilles n'auraient alors plus un mouvement géodésiques, car elles interagiraient l'une avec l'autre. Un LTB avec de la pression doit être un beau cauchemar...

m@ch3

[Mailou75]

Salut à vous,

Un peu dans le désordre, pour éviter les multi-citations.

@Yves

- Si si, j'ai tout lu vos échanges, mais j'ai pas tout compris…

- A' est la dérivée de A par rapport à r ? Ca ne me parle pas du tout, de quelle grandeur physique s'agit-il ? La seule chose que je comprend c'est un graph v en fonction de t dont la surface d'un rectangle (par exemple si v=cst) vaut d=v.t, donc que d(t) est l'intégrale de v au sens surface. Et que l'accélération est la dérivée de v (nulle ici). Toutes les autres dérivées me passent au dessus du cigare, malheureusement.

- D'accord pour E, mais vous écriviez E(r) qui semblait être variable. Comme r n'est qu'une étiquette E(r)=cste c'est ça ?

- Pour te suivre sur l'autre "série" (dont je ne rate aucun épisode ) : Quand tu dis M' différent de 0 ça veut dire que la masse M(r) contenue en dessous de r serait variable ? Comment est ce possible, ça devrait être comme pour E, M(r)=cste ? Sinon que signifie le signe "=" avec trois barres stp ?

……….

@mach3

- Ca fait pas mal de "oui"(s), cool ! Ca veut dire que j'avance un peu

- "ca saute aux yeux", mdrr ! j'irais voir mon ophtalmo alors, je dois avoir un problème
Donc en fait dr/dT devient ici dA/dT (que vous notez °A) cad la pente de la trajectoire dans un repère (A;T) ?
Et cette trajectoire serait aussi une cycloïde de type "chute chez Newton" ? Comment ça se fait… c'est là que se trouverait la contrainte ?

- Quel sens donnez vous à E<0, E=0 et E>0 ? (je mise E=0=rain...). Finalement c'est pas vraiment K, ce serait plus proche de L, voire encore plus proche de E/m... Est-ce que les E/m>,< ou=0 correspondent entre les modèles?

- T_B=r ? WTF ? même en regardant le Lemaitre je ne vois pas ce que tu veux dire…. pourriez vous vous mettre d'accord et être plus explicite, je n'ai toujours pas saisi.

Merci d'avance

Mailou

[mach3]

- A' est la dérivée de A par rapport à r ? Ca ne me parle pas du tout, de quelle grandeur physique s'agit-il ? La seule chose que je comprend c'est un graph v en fonction de t dont la surface d'un rectangle (par exemple si v=cst) vaut d=v.t, donc que d(t) est l'intégrale de v au sens surface. Et que l'accélération est la dérivée de v (nulle ici). Toutes les autres dérivées me passent au dessus du cigare, malheureusement.

r est l'étiquette des coquilles. Chaque coquille voit sont rayon aréal A évoluer au fur et mesure que passe. Le changement de A par rapport à pour une coquille donnée est , la dérivée de A par rapport à quand r est constant (ça concerne la coquille d'étiquette r et c'est tout). Mais on peut aussi s'intéresser à comment évolue A de coquille en coquille à une date fixée, c'est A', la dérivée de A par rapport à r quand est constant. On prend une coupe de l'espace-temps pour une certaine valeur de , on parcourt les sphères en faisant varier r et on regarder comment A varie. Il faut noter qu'il y a une part d'arbitraire dans A', car il dépend de comment on a choisit de faire l'étiquetage, donc son sens physique est assez "vide".

- D'accord pour E, mais vous écriviez E(r) qui semblait être variable. Comme r n'est qu'une étiquette E(r)=cste c'est ça ?
[...]
- Quel sens donnez vous à E<0, E=0 et E>0 ? (je mise E=0=rain...). Finalement c'est pas vraiment K, ce serait plus proche de L, voire encore plus proche de E/m... Est-ce que les E/m>,< ou=0 correspondent entre les modèles?

Chaque coquille d'étiquette r possède une énergie E, qui ne change pas au cours du temps , c'est l'invariant qui caractérise la chute de la coquille : E<0 culmination (drip), E=0 vitesse nulle à l'infini (rain), E> vitesse non nulle à l'infini (hail). Je ne me souviens pas de comment on avait défini K et L ou E/m dans l'ancien fil dont tu parles, mais le E utilisé ici y est lié, d'une façon où d'une autre, pas le courage d'aller regarder maintenant.
Chaque coquille va avoir son E propre : toutes les coquilles n'auront pas la même culmination, certaines pourront même avoir la vitesse de libération, ou plus. E est une fonction de r, mais pas de . Le E d'une coquille ne change pas au cours du temps, par contre, si on prend une coupe de l'espace-temps pour une certaine valeur de , et qu'on parcourt les sphères en faisant varier r, on verra que E varie.

- T_B=r ? WTF ? même en regardant le Lemaitre je ne vois pas ce que tu veux dire…. pourriez vous vous mettre d'accord et être plus explicite, je n'ai toujours pas saisi.

Dans ton schéma que j'ai mis en lien, dans le graphique de droite qui représente un Lemaitre, considère que la coordonnée horizontale est r et la coordonnée verticale est . Les droites à 45° venant du bas à gauche et allant vers le haut à droite sont à A constant. Chaque verticale est une coquille en chute libre dont on peut lire l'étiquette sur l'axe horizontal. Pour chacune, A diminue quand augmente, jusqu'à atteindre 0 (singularité). Chaque coquille d'étiquette r arrive en A=0 à une date différente. On voit que la date à laquelle A=0 est atteint augmente linéairement avec r. On a (à une constante près).

Tiens d'ailleurs il y a avec ce schéma de Lemaitre un exercice graphique que tu peux faire pour mieux te représenter ce que sont et A'. Ajoute un 3e axe graduée en valeur de A, et trace la surface qui représente A en fonction de r et , puis prend des coupes à r constant ou à constant et regarde la pente de A. Dans les coupes à r constant, la pente est , dans les coupes à constant, la pente est A'.

m@ch3

[yves95210]

Salut,

r est l'étiquette des coquilles. Chaque coquille voit sont rayon aréal A évoluer au fur et mesure que passe. Le changement de A par rapport à pour une coquille donnée est , la dérivée de A par rapport à quand r est constant (ça concerne la coquille d'étiquette r et c'est tout). Mais on peut aussi s'intéresser à comment évolue A de coquille en coquille à une date fixée, c'est A', la dérivée de A par rapport à r quand est constant. On prend une coupe de l'espace-temps pour une certaine valeur de , on parcourt les sphères en faisant varier r et on regarder comment A varie. Il faut noter qu'il y a une part d'arbitraire dans A', car il dépend de comment on a choisit de faire l'étiquetage, donc son sens physique est assez "vide".

Bon, ça c'est ce que dit la théorie : r n'a pas besoin d'avoir un sens physique. Il faut juste s'assurer qu'on le choisit de manière que M(r) soit une fonction croissante, soit M'(r)>=0, et que, au moins pendant un certain temps (au-delà duquel le modèle ne sera plus applicable), A(r) soit une fonction strictement croissante, soit A'(r)>0.

Mais en pratique (dans les modèles qu'on va utiliser pour étudier des phénomènes "réels"), on va quand-même en général "raccrocher" r à quelque-chose de physique. Cf. dans l'autre discussion, pour le cas M=constante, les coordonnées de Gautreau-Hoffmann, où r est le rayon aréal à culmination. Je suis tombé sur ces coordonnées (que je ne connaissais pas auparavant) en faisant mon propre développement, mais ce n'est pas un hasard : en l'occurrence c'est la physique qui conduit à ce choix de r, et ça a le bon goût de simplifier le problème (si tu regardes le message où j'ai retrouvé ces coordonnées, tu verras qu'on n'a pas besoin de beaucoup de lignes de calcul pour y arriver).

Idem dans les modèles cosmologiques où on part de conditions initiales de quasi-homogénéité et de courbure spatiale très faible : dans ce cas le choix de r proportionnel à M^1/3 paraît assez naturel - et, à la date t₀ correspondant à ces conditions initiales, le rayon aréal est quasiment égal à r. Ou, tout aussi bien (mais peut-être moins pratique pour les calculs à moins de se contenter d'une approximation), on peut choisir r=A(t₀).

Mais il faut être conscient du fait que, dans ces cas, ce qui est vrai à t₀ (l'égalité entre r et A) ne l'est certainement plus à t >> t₀. Mais tu connais déjà ça avec les coordonnées de Schwarzschild : r y est toujours le rayon aréal, mais la relation entre r et la distance propre entre le centre du repère spatial et le point où se trouve un objet en chute libre à un instant t n'est pas égale à r, sauf à l'infini. Donc la relation entre r et cette distance propre évolue avec le temps.

Quant à la signification de A' (et sa dépendance vis-à-vis du choix de r), un exemple qui te parlera peut-être plus : imagine une route qui gravit une montagne. Tu peux imaginer deux manières de choisir r : soit r mesure la distance horizontale parcourue en suivant la route, soit r mesure la distance horizontale le long du segment de ligne droite qui sépare le sommet de la montagne de son pied. Les deux ont une signification physique claire. Et disons que A est l'altitude d'un point, mesurée par rapport au pied de la montagne. Suivant le choix de r, A' sera la pente de la route ou la pente de la montagne; et elles peuvent être très différentes (ce n'est pas pour rien que les routes de montagne font des lacets...)

[Mailou75]

Salut et merci,

Alors je vais résumer un peu mes acquis et non acquis…

- n est une numéro de coquille et r est une "numérotation continue"
- °A, une écriture de dA/dT est le dr/dT de Schwarzschild cad la cycloïde de Newton
- Chaque particule de chaque coquille chute comme si elle était seule avec une masse centrale M (somme des coquilles inférieures)
- E est l'énergie du chuteur réputée constante au cours de la chute (E<0 culmination, E=0 chute depuis l'infini, E>0 vitesse non nulle à l'infini)
(Pour la comparaison avec le modèle Schw : c'est E/m -1 qui doit être >, < ou = à 0)
- E est une fonction de r au sens ou en changeant de r on change de E, mais E(r) ne varie pas suivant T
- Ce qui répond a priori à l'autre question : M est une fonction de r au sens ou en changeant de r on change de M, mais M(r) de varie pas suivant T
- °A=dA/dT est la vitesse de chute qui varie suivant T pour une coquille donnée (r cst)
- A'=dA/dr est la vitesse de chute qui varie suivant r (coquille donnée) à T cst cad à un moment donné : plus on regarde à l'intérieur et plus leur vitesse instantanée sera grande si on a lâché toutes les coquilles au même moment (ce qui donne du sens à A')

@mach3

- Je ne suis pas trop d'accord pour dire que "Tb=r", c'est un raccourci dangereux. Dans le Lemaitre l'écart horizontal est avant tout un écart de temps : les chuteurs sont partis de l'infini avec une durée Rs/c d'écart et arrivent à la singularité avec le même écart. Le temps propre de chute est strictement identique. Ok pour le sens de Tb comme "date de collapse à une constante près", on pourra aviser avec des applications numériques...

- J'ai re-re-relu l'exercice sur Lemaitre mais je ne le comprends pas. Il ne peut y avoir d'axe gradué suivant A de manière régulière. Chez Schw, A c'est r et l'axe "gradué non régulièrement" de r c'est le X' du lien. Donc s'il devait y avoir un axe de r il serait courbe, comme Flamm peut être une graduation régulière de d (distance propre). Du coup je ne comprend ce qu'est "la surface qui représente A en fonction de r et T" ni la suite de l'exo... Pourrais tu m'aiguiller ?

@Yves

- Je ne connais pas les coordonnées de Gautreau-Hoffmann pour un trou noir de Schw. Aurais tu sous la main les équations nécessaires à sa représentation pour que je l'ajoute aux autres systèmes pour comparaison ? Quand je dis équation c'est y=f(x) stp, pas des métriques qui sont muettes pour moi… (j'aurais besoin d'une géodésique de chute libre depuis l'infini, d'un rayon lumineux et des coordonnées qu'on doit lire sur les axes).

- Perso je préfère étudier la chute de coques concentriques (analogie avec une étoile en effondrement) avant de passer à de possibles modèles d'univers (FLRW ou Buchet). J'ai même envie de spéculer qu'un observateur lié à ces coques (galaxie) pourrait bien voir un extérieur en apparente expansion… et donc qu'il n'y aura pas nécessité à aborder cette suite.

Merci d'avance

Mailou

[yves95210]

Salut,

Alors je vais résumer un peu mes acquis et non acquis…

- n est une numéro de coquille et r est une "numérotation continue"
- °A, une écriture de dA/dT est le dr/dT de Schwarzschild cad la cycloïde de Newton
- Chaque particule de chaque coquille chute comme si elle était seule avec une masse centrale M (somme des coquilles inférieures)
- E est l'énergie du chuteur réputée constante au cours de la chute (E<0 culmination, E=0 chute depuis l'infini, E>0 vitesse non nulle à l'infini)
(Pour la comparaison avec le modèle Schw : c'est E/m -1 qui doit être >, < ou = à 0)
- E est une fonction de r au sens ou en changeant de r on change de E, mais E(r) ne varie pas suivant T
- Ce qui répond a priori à l'autre question : M est une fonction de r au sens ou en changeant de r on change de M, mais M(r) de varie pas suivant T
- °A=dA/dT est la vitesse de chute qui varie suivant T pour une coquille donnée (r cst)

Jusque-là c'est tout bon, mais

A'=dA/dr est la vitesse de chute qui varie suivant r (coquille donnée) à T cst cad à un moment donné : plus on regarde à l'intérieur et plus leur vitesse instantanée sera grande si on a lâché toutes les coquilles au même moment (ce qui donne du sens à A')

attention, A' n'est pas une vitesse. A'dr est la différence entre le rayon aréal de la coquille r et le rayon aréal de la coquille r+dr à l'instant .

- Je ne connais pas les coordonnées de Gautreau-Hoffmann pour un trou noir de Schw. Aurais tu sous la main les équations nécessaires à sa représentation pour que je l'ajoute aux autres systèmes pour comparaison ? Quand je dis équation c'est y=f(x) stp, pas des métriques qui sont muettes pour moi… (j'aurais besoin d'une géodésique de chute libre depuis l'infini, d'un rayon lumineux et des coordonnées qu'on doit lire sur les axes).

Avec nos notations pour la métrique LTB,


avec le rayon aréal de la sphère où la vitesse radiale s'annule (pour un "chuteur avec culmination").

Avec les notations usuelles pour Schw., où la coordonnée radiale est le rayon aréal, ça s'écrirait plutôt


où est la valeur de r à culmination et est l'intervalle de temps propre du chuteur.

Mais cela ne définit pas une coordonnée de temps commune à tous les chuteurs. Pour que l'équation ci-dessus soit celle d'une métrique (celle de Schw.) pour la portion d'espace-temps considérée, il faut en plus définir une famille de chuteurs partant de toutes les valeurs possible de au même instant , où est la coordonnée de temps de Schw.; et ça conduit à une formule compliquée reliant la coordonnée de temps de G-H et celle de Schw. Cf. la section III.B du document déjà cité.

Mais si ce qui t'intéresse est seulement l'équation de la géodésique d'un chuteur en particulier (dans son temps propre , avec quand , sans chercher à définir une coord de temps commune à tous), tu n'as pas besoin de cette complication, tu peux te contenter de l'équation 3.10 de ce document, qui te permettra te tracer la courbe en fonction de :

[mach3]

Je ne suis pas trop d'accord pour dire que "\tau_B=r", c'est un raccourci dangereux.

ce n'est pas un raccourci, c'est des maths. La date de collapse augmente avec l'étiquette de la coquille. est forcément une fonction monotone de r. Comme on a une liberté d'étiquettage, on peut choisir l'étiquettage pour que est la forme que l'on veut (tant que c'est monotone) sans que la physique ne soit changée. Vu qu'on a le choix, le plus simple est de prendre une fonction affine, et histoire de travailler en géométrique et de ne pas promener une constante inutile, on prend .

Dans le Lemaitre l'écart horizontal est avant tout un écart de temps : les chuteurs sont partis de l'infini avec une durée Rs/c d'écart et arrivent à la singularité avec le même écart.

Non, il s'agit bien d'un écart spatial, r (de LTB =R de Lemaitre) est de genre espace. Une autre manière de le voir est dans un Gullstrand-Painlevé : pour une même date , les chuteurs ne sont pas au même rayon aréal A.

J'ai re-re-relu l'exercice sur Lemaitre mais je ne le comprends pas. Il ne peut y avoir d'axe gradué suivant A de manière régulière. Chez Schw, A c'est r et l'axe "gradué non régulièrement" de r c'est le X' du lien. Donc s'il devait y avoir un axe de r il serait courbe, comme Flamm peut être une graduation régulière de d (distance propre). Du coup je ne comprend ce qu'est "la surface qui représente A en fonction de r et T" ni la suite de l'exo... Pourrais tu m'aiguiller ?

Il faut tracer la surface :



Les lignes de r constant sur cette surface sont les chuteurs libres avec vitesse nulle à l'infini.

Vu d'au-dessus (suivant l'axe A) cela donne Lemaitre (projection dans le plan )
Vu de coté (suivant l'axe r) cela donne Gullstrand-Painlevé (projection dans le plan )

Si on fait une coupe de la surface parallèle au plan , la pente de la courbe obtenue est
Si on fait une coupe de la surface parallèle au plan , la pente de la courbe obtenue est

Je ne connais pas les coordonnées de Gautreau-Hoffmann pour un trou noir de Schw. Aurais tu sous la main les équations nécessaires à sa représentation pour que je l'ajoute aux autres systèmes pour comparaison ? Quand je dis équation c'est y=f(x) stp, pas des métriques qui sont muettes pour moi… (j'aurais besoin d'une géodésique de chute libre depuis l'infini, d'un rayon lumineux et des coordonnées qu'on doit lire sur les axes).

Il me semble que tu les as déjà utilisées sans le savoir, en traçant des chuteurs libres qui culminent en même temps dans un graphique représentant leur temps propre en fonction de leur rayon aréal (=r de Schwarzschild)

m@ch3

[yves95210]

Mais si ce qui t'intéresse est seulement l'équation de la géodésique d'un chuteur en particulier (dans son temps propre , avec quand , sans chercher à définir une coord de temps commune à tous), tu n'as pas besoin de cette complication, tu peux te contenter de l'équation 3.10 de ce document, qui te permettra te tracer la courbe en fonction de :

Ce qui ressemble pas mal à l'équation que tu as écrite dans ce message, dans le paragraphe que tu as intitulé "Laplace", et que tu as déjà représentée graphiquement (en remplaçant ton paramètre K par -1/R_i )...

PS : croisement avec mach3

[mach3]

Il me semble, mais c'est à confirmer, que Gautreau-Hoffman correspond à Newton+ ici : https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6342819

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

- Ok, pour A' (soit dA/dr) je suis peut être allé un peu vite… je dois y réfléchir encore. Quelle est l'unité de cette valeur si r n'est qu'une "étiquette" ?

- Et je mettrais bien un bémol sur la définition de °A comme une "vitesse" car le dr/dT chez Schw n'est pas une vitesse locale (au sens RR) mais uniquement la pente (en r) d'une courbe de trajectoire dans un repère (r;T).

- Pour T_B je pense qu'il n'y a pas tellement de difficulté mais seulement des quiproquo. Il trouvera tout son sens quand on passera aux applications numériques. De même que pour la formulation "T_B=r", des chuteurs partis avec un intervalle de temps conservent entre eux un intervalle d'espace, certes, mais je reste sceptique sur cette formulation car si l'intervalle de temps (pour atteindre une même coordonnée r) est constant, l'intervalle d'espace ne l'est pas : une courbe de chute en Painlevé sera identique décalée verticalement, suivant T, mais pas décalée horizontalement, suivant r.

- Pour Gautreau-Hoffmann, les deux références que vous citez ne sont pas tout à fait identiques. Yves a raison dans le sens où K=1/Rmax dans une chute avec culmination, mais il y a un asinh qui devient un acosh, est-ce vraiment la même formule ? Pour moi la grande différence est que dans le Laplace, on peut trouver des trajectoires de plus en plus "horizontales" à mesure que la vitesse résiduelle à l'infini augmente, quand celle ci est proche de c on obtient une quasi horizontale confondue avec l'axe d'espace (cad un rayon lumineux). Tandis que dans le Newton+, la forme en amande en dessous de la chute depuis Rs reste vide : la solution de Schw n'y est pas définie et on y trouvera aucune trajectoire. Le Newton+ est un système équivalent aux autres (Kruskal, EF, etc) mais pas le Laplace. Quoi qu'il en soit, il semble que G-H n'apporte pas de nouveauté par rapport aux systèmes déjà étudiés, à moins qu'il ne s'agisse d'un troisième, légèrement différent des deux cités…?

- Enfin, pour l'exercice a effectuer sur le Lemaitre, la formule ne me parle pas encore mais j'essayerai de m'en occuper ce week end pour voir où ça mène et tenter de comprendre ce que mach3 essaye de me faire comprendre...

Merci, j'avance un peu grace à vos réponses, la brume est moins épaisse

A plus

Mailou

[mach3]

Quelle est l'unité de cette valeur si r n'est qu'une "étiquette" ?*

Tout dépend de l'unité qu'on choisit pour r. Comme r peut être vu comme une distance comobile, il est pourrait être judicieux de le mettre en mètre et que A' soit du coup sans dimension.

m@ch3

[mach3]

- Et je mettrais bien un bémol sur la définition de °A comme une "vitesse" car le dr/dT chez Schw n'est pas une*vitesse locale(au sens RR) mais uniquement la pente (en r) d'une courbe de trajectoire dans un repère (r;T).*

peut s'exprimer comme des mètres de rayon areal par secondes de temps propre de chuteur, c'est bien la dimension d'une vitesse, mais ce n'est pas une vitesse au sens usuel tout comme ce qui est parfois appelé maladroitement vitesse propre, le sinus hyperbolique de la rapidité en RR (des mètres d'un référentiel par secondes de temps propre d'un mobile dans ce référentiel).

m@ch3

[mach3]

De même que pour la formulation "TB=r", des chuteurs partis avec un intervalle de temps conservent entre eux un intervalle d'espace, certes, mais je reste sceptique sur cette formulation car si l'intervalle de temps (pour atteindre une même coordonnée r) est constant, l'intervalle d'espace ne l'est pas

Oui, la différence de r entre deux chuteurs "rain" ne varie pas, mais pendant ce temps la différence de rayon areal, elle, augmente. Cela témoigne du fait que A' augmente avec tau dans ce cas de figure (il diverge à la singularité il me semble).

m@ch3

[yves95210]

Salut,

- Pour Gautreau-Hoffmann, les deux références que vous citez ne sont pas tout à fait identiques. Yves a raison dans le sens où K=1/Rmax dans une chute avec culmination, mais il y a un asinh qui devient un acosh, est-ce vraiment la même formule ?

Dans une équation il y a un -asinh, dans l'autre un +acosh. C'est la même fonction à une translation constante (pi/2) près.

Quoi qu'il en soit, il semble que G-H n'apporte pas de nouveauté par rapport aux systèmes déjà étudiés, à moins qu'il ne s'agisse d'un troisième, légèrement différent des deux cités…?

Heureusement : ce qui serait nouveau ça serait qu'on tombe sur une solution différente pour la même géométrie de l'espace-temps et avec les mêmes coordonnées. Et dans ce cas il y en aurait une de fausse...
L'intérêt ici (puisque mach3 a entrepris d'explorer de manière exhaustive la métrique LTB) était de trouver cette solution particulière à partir de la solution générale LTB. Ce qui revient à faire des maths, et n'est pas très intéressant d'un point de vue physique puisque ce système de coordonnées pour la métrique de Schw. est déjà connu (enfin pas par moi, donc j'étais content de le "découvrir"...)

[mach3]

Il me semble, mais c'est à confirmer, que Gautreau-Hoffman correspond à Newton+ ici : https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6342819

Je n'avais pas pris le temps de décortiquer (et je ne l'ai toujours pas) mais il y a des choses qui ne collent pas, notamment au niveau coordonnée temporelle.
Un de ces 4 j'aurais le temps j'espère.

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

Tout dépend de l'unité qu'on choisit pour r. Comme r peut être vu comme une distance comobile, il est pourrait être judicieux de le mettre en mètre et que A' soit du coup sans dimension.

Pas trop d'accord, je persiste (voir message suivant).

peut s'exprimer comme des mètres de rayon areal par secondes de temps propre de chuteur, c'est bien la dimension d'une vitesse, mais ce n'est pas une vitesse au sens usuel tout comme ce qui est parfois appelé maladroitement vitesse propre, le sinus hyperbolique de la rapidité en RR (des mètres d'un référentiel par secondes de temps propre d'un mobile dans ce référentiel).

Ok, on est d'accord.

Oui, la différence de r entre deux chuteurs "rain" ne varie pas, mais pendant ce temps la différence de rayon areal, elle, augmente.

Non, elle ne varie pas puisque c'est une différence de date de départ, quelque chose d'absolu (voir message suivant)

…….

Dans une équation il y a un -asinh, dans l'autre un +acosh. C'est la même fonction à une translation constante (pi/2) près.

Ok, j'entends… je vais te faire confiance sur ce coup.

Heureusement : ce qui serait nouveau ça serait qu'on tombe sur une solution différente pour la même géométrie de l'espace-temps et avec les mêmes coordonnées. Et dans ce cas il y en aurait une de fausse...

Pas fausse non. Les deux sont justes mais ne faut pas leur faire dire ce qu'elle ne disent pas :
- Newton+ est un système au même titre que n'importe quel Kruskal, Penrose, EF, Painlevé, etc.
- Laplace est une juxtaposition de courbes qui n'ont aucune légitimité à être représentées dans le même graph, cad qu'il est impossible d'y montrer une communication (rayons lumineux) entre les "évènements" représentés. Chaque courbe est juste mais unique est devrait donner lieu à un système différent : Painlevé pour la chute libre depuis l'infini sans vitesse initiale et une multitude de "Painlevé-like" pour les autres chutes (culmination ou vitesse résiduelle à l'inifini)
Le fait que Newton+ soit un Painlevé-like dans lequel on a le droit de mettre plusieurs trajectoires est lié au fait qu'elles culminent à t=T=0 et donc que le T en ordonnée reste valable pour chaque trajectoire.

[Mailou75]

Je reviens sur l'exercice proposé :

Il faut tracer la surface :



Les lignes de r constant sur cette surface sont les chuteurs libres avec vitesse nulle à l'infini.

Vu d'au-dessus (suivant l'axe A) cela donne Lemaitre (projection dans le plan )
Vu de coté (suivant l'axe r) cela donne Gullstrand-Painlevé (projection dans le plan )

Si on fait une coupe de la surface parallèle au plan , la pente de la courbe obtenue est
Si on fait une coupe de la surface parallèle au plan , la pente de la courbe obtenue est

Je n'ai pas réussi (ou pas vraiment essayé) à utiliser la formule telle quelle, pour plusieurs raisons :

- D'abord parce que son écriture avec "(T-r)" dans la même parenthèse trahis le fait que r est bien, comme je le soutiens depuis quelques messages, une valeur de temps : précisément l'écart de date de départ depuis l'infini entre deux particules test. Sinon il y a vraisemblablement un problème d'unités.

- Ensuite parce que je la comprend ainsi : en prenant 2M=Rs=1 et r=0 elle s'écrit



ce qui "à l'envers" nous donne



soit, en évitant l'adimensionnement et en prenant soin d'écrire r pour A, la formule normale (et classique) de la trajectoire en Painlevé (cad Newton)



…..

J'ai donc pris le parti de me servir de la description qui suivait pour explorer la question et c'est effectivement intéressant, voir dessin joint.
Au passage, puisque je suis encore chez Schw et pour ne pas mettre le bordel j'ai remplacé A par r (rayon aréal) et r par n (étiquetage)

La surface recherchée est la "voile" centrale. Comme décrit par mach3 :

- la projection dans un plan (r;T) nous donne Painlevé
- la projection dans un pan (n;T) nous donne Lemaître
- la pente de la trajectoire dans le plan (r;T) est °r=dr/dT qu'on connait bien
- la pente de la courbe dans le plan (r;n) est r'=dr/dn

Mais… trajectoire dans Painlevé et courbe dans le plan (r;n) sont strictement les mêmes. Et… le fait que n soit une différence de date de départ donc une valeur de temps fait que r' peut aussi être interprété comme une "vitesse" (autant ou pas plus que chez Painlevé) dans le sens où pour "changer de coque" (=rattraper le retard) il faut avoir ladite vitesse.

Le bilan est que dans cet exemple, simple mais sans doute pas adapté, on trouve, en reprenant vos notations :
Donc question compréhension de A', ça n'aide pas vraiment…

Même joueur rejoue

A plus

Mailou

[yves95210]

Salut,

Pas fausse non. Les deux sont justes mais ne faut pas leur faire dire ce qu'elle ne disent pas :
- Newton+ est un système au même titre que n'importe quel Kruskal, Penrose, EF, Painlevé, etc.
- Laplace est une juxtaposition de courbes qui n'ont aucune légitimité à être représentées dans le même graph, cad qu'il est impossible d'y montrer une communication (rayons lumineux) entre les "évènements" représentés. Chaque courbe est juste mais unique est devrait donner lieu à un système différent : Painlevé pour la chute libre depuis l'infini sans vitesse initiale et une multitude de "Painlevé-like" pour les autres chutes (culmination ou vitesse résiduelle à l'inifini)
Le fait que Newton+ soit un Painlevé-like dans lequel on a le droit de mettre plusieurs trajectoires est lié au fait qu'elles culminent à t=T=0 et donc que le T en ordonnée reste valable pour chaque trajectoire.

Je n'ai pas dit que Gautreau-Hoffmann = Laplace. Juste que les équations se ressemblent (et en fait, comme je n'ai pas lu la totalité de l'autre fil, je ne sais pas exactement ce que tu appelles Laplace...).

Mais j'ai dit avant que "Pour que l'équation ci-dessus [de Gautreau-Hoffmann] soit celle d'une métrique (celle de Schw.) pour la portion d'espace-temps considérée, il faut en plus définir une famille de chuteurs partant de toutes les valeurs possible de R_i au même instant t, où t est la coordonnée de temps de Schw.".
Ce n'est évidemment qu'à cette condition qu'on peut représenter les géodésiques de différents chuteurs dans le même graphe.

[yves95210]

Salut,

Tout dépend de l'unité qu'on choisit pour r. Comme r peut être vu comme une distance comobile, il est pourrait être judicieux de le mettre en mètre et que A' soit du coup sans dimension.

Je n'ai pas regardé quelles sont les conséquences de ce choix dans le cas particulier M=constante. Mais dans le cas général il me semble plus judicieux de considérer r comme une simple étiquette, sans dimension, et de donner à A la dimension d'une longueur (et du coup également à A').

Ne serait-ce que parce que, comme autre cas particulier du modèle LTB ( spatialement homogène), en choisissant r telle que , on retrouve Friedmann-Lemaître dans le même système de coordonnées , en posant et , ce qui donne bien la métrique FLRW sous sa forme habituelle
où k, sans dimension, prend les valeurs -1, 0 ou 1 suivant que la géométrie des hypersurfaces à temps constant est hyperbolique, euclidienne ou sphérique. Ce n'est que dans le cas k=0 qu'on peut donner arbitrairement à r la dimension d'une longueur.
Evidemment on pourrait s'amuser à donner à k la dimension L^-2 pour que r ait la dimension L. Mais ça n'est pas forcément judicieux.

A fortiori dans le cas général il vaut mieux s'habituer à voir en r une simple étiquette sans dimension, puisqu'on peut vraiment la choisir arbitrairement à condition de garantir que M' reste positive ou nulle pour tout r. Et suivant le choix fait, r ne ressemblera guère à une distance, même comobile...
(par exemple j'ai vu une publication qui utilisait le choix r = M; il ne s'agit pas de kg ou de m³ pour autant)

[mach3]

- D'abord parce que son écriture avec "(T-r)" dans la même parenthèse trahis le fait que r est bien, comme je le soutiens depuis quelques messages, une valeur de temps : précisément l'écart de date de départ depuis l'infini entre deux particules test. Sinon il y a vraisemblablement un problème d'unités.

on est en unités géométriques, donc on fait un peu "ce qu'on veut". On pourrait plutôt écrire (par exemple c'est ce qui est fait ici https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A..._m%C3%A9trique , attention, les notations ne sont pas du tout les mêmes), ce qui montrerait que r est plutôt semblable à une distance. Pour finir, le terme en dans la métrique a un signe opposé au terme en , ce dernier étant de genre temps, cela condamne r à être de genre espace.

Autre chose, il n'y a pas de "date" ni de "lieu" de départ à vitesse nulle, le chuteur provient de l'infini spatial et de l'infini passé, donc on ne peut pas parler d'écart de dates de départ à vitesse nulle, ni d'ecart lieux de départ à vitesse nulle.

Cela étant dit, quand A=2M, la métrique de Lemaître s'écrit :



Dans les environs immédiats de l'horizon, une variation de r à et angles constants correspond à une distance mesurée suivant une radiale.

Avec le r de LTB, on a vraiment à faire à quelque chose qui est lié à une distance (même si indirectement car étiquetage) et non à une durée (pour une même date , plus r est grand plus on est loin du centre de symétrie(*)). Après Lemaitre (LTB avec M=constante et E=0) est un cas particulier mal choisi (ma faute, mais c'est aussi un cas simple, sinon on pourrait faire la même chose avec du Novikov, mais ça demanderait beaucoup plus d'explications et donc de réflexion en amont de ma part et pas assez de temps en ce moment pour ça), dans lequel r a des propriétés qui ne sont pas généralisables à tous les cas LTB, par exemple le fait que le long d'une ligne de A constant, r et soit liés par une fonction affine. En effet cela amène à confondre r et quand on considère une certaine valeur de A : deux chuteurs ont toujours le même écart de temps quand ils sont au même A, pour tout A, et donc, via la fonction affine reliant r et , toujours le même écart de r (et ça c'est trivial vu que r joue le rôle d'étiquette! si l'écart de r changeait, cela voudrait qu'au moins l'un des deux chuteurs change d'étiquette...).

La surface recherchée est la "voile" centrale. Comme décrit par mach3 :

- la projection dans un plan (r;T) nous donne Painlevé
- la projection dans un pan (n;T) nous donne Lemaître
- la pente de la trajectoire dans le plan (r;T) est °r=dr/dT qu'on connait bien
- la pente de la courbe dans le plan (r;n) est r'=dr/dn

vraiment sympa le dessin. Ajouter dessus des rayons lumineux, voire même des lignes avec t de Schwarzschild constant, si c'est dans tes cordes, pourrait être encore plus éclairant.

Le bilan est que dans cet exemple, simple mais sans doute pas adapté, on trouve, en reprenant vos notations

oui, à cause du cas particulier que représente Lemaitre... Dès que j'ai du temps, on fait le même exercice avec Novikov.

m@ch3

*: où l'inverse si on étiquette à l'envers, car on a le droit du moment qu'on étiquette de façon monotone, mais restons au cas où on étiquette dans le "bon" sens.

[Mailou75]

Salut,

(et en fait, comme je n'ai pas lu la totalité de l'autre fil, je ne sais pas exactement ce que tu appelles Laplace...).

Un trou noir version 1796. Les équations de Newton poussées jusqu'à Vlib=c donnant un astre "noir" dont la lumière elle même ne peut s'échapper.
Il se trouve que dans la solution de Schwarzschild, pour le cas radial, dr/dT=Newton donc on a le droit de mélanger Laplace et Schw.

…..

Autre chose, il n'y a pas de "date" ni de "lieu" de départ à vitesse nulle, le chuteur provient de l'infini spatial et de l'infini passé, donc on ne peut pas parler d'écart de dates de départ à vitesse nulle, ni d'ecart lieux de départ à vitesse nulle.

Je suis tétu (au cas où tu en doutais encore…). Partons du principe que je ne lache pas mes particules test depuis l'infini avec une vitesse nulle mais depuis un r donné (10Rs par exemple) avec la Vlib locale. Si je les lâche avec un intervalle de temps propre (de l'observateur local / le z+1 local = temps propre de l'observateur à l'infini) égal à Rs/c, alors je retrouve exactement le même graph. Le n est bien un intervalle de temps.

Je ne préjuge pas de ce que devient n chez LTB, mais pour Schw, je sais ce qu'il vaut. La seule chose qu'on peut imaginer pour donner un sens d'espace à n c'est que les particules test soient lâchées toutes en même temps depuis l'inifini, l'infini+Rs, l'infini+2Rs etc... (et c'est quelque chose qu'on peut s'autoriser à "penser" à partir du moment où on s'autorise des vitesses résiduelles non nulles à l'infini : la particule test peut alors aller plus loin que l'infini)

vraiment sympa le dessin. Ajouter dessus des rayons lumineux, voire même des lignes avec t de Schwarzschild constant, si c'est dans tes cordes, pourrait être encore plus éclairant.

C'est toujours possible puisque c'est de la géométrie J'avais hésité mais je ne voulais pas compliquer le graph vu que le sujet était la compréhension de A'. Je te laisse le soin d'exprimer l'équivalent analytique... (mais je pense que c'est une perte de temps, t'as mieux à faire)

Pour rappel : les trois chuteurs sont lâchés depuis l'infini avec une durée Rs/c d'écart, les billes représentent des "battements" de 0,1Rs/c de temps propre, la courbe violette est l'espace euclidien de l'observateur à l'inifini pour un t0 arbitraire (date d'arrivée de Vert en l'occurrence), la courbe jaune est une géodésique nulle In-Out et la orange une In-In. Jaune et orange se croisent deux fois sur t0 : une fois à r=0 et une fois à r~1,278Rs.

Par contre, je reviens sur mon interprétation de r' comme d'une vitesse, c'est n'imp… je pense qu'il ne faut pas chercher à lui donner un sens physique autre que ce qu'il exprime. Je vais me contenter de : c'est l'augmentation de l'écart de rayon aréal entre deux coques successives, dans le sens où si je fais varier dn alors dr sera de plus en plus grand à l'approche du centre de masse (de la même manière que la vitesse augmente à l'approche du centre). Cette "manière" est tellement identique qu'on trouve en effet °r=r'. Bref je pense avoir saisi le sens global…

oui, à cause du cas particulier que représente Lemaitre... Dès que j'ai du temps, on fait le même exercice avec Novikov.

Painlevé deviendrait Newton+ (r;T) avec lecture de °r et Lemaître deviendrait Novikov (R*;T)?
Mais la projection horizontale (r;R*) ne permettrait plus d'y lire r'. Is it ?

Merci

Mailou

[Mailou75]

La seule chose qu'on peut imaginer pour donner un sens d'espace à n c'est que les particules test soient lâchées toutes en même temps depuis l'inifini, l'infini+Rs, l'infini+2Rs etc... (et c'est quelque chose qu'on peut s'autoriser à "penser" à partir du moment où on s'autorise des vitesses résiduelles non nulles à l'infini : la particule test peut alors aller plus loin que l'infini)

Non mais même ça c'est idiot… si les particules test partent avec une vitesse nulle, il faudrait un temps infini pour parcourir les +Rs, +2Rs etc...
Définitivement, n est une durée propre avant départ !

[mach3]

Un peu de temps ce soir!

Avant de revenir sur les dernières réponses (plus tard...), faisons un peu de Novikov/Newton+.

On pose , soit
On pose

La solution de l'équation d'évolution pour E<0 est :
,

on peut la réécrire :
,

L'exercice est de représenter la surface (un empilement de cycloïdes A(\tau) le long de l'axe r) dans un repère . Projeté dans le plan , on obtient ton Newton+. Projeté dans le plan , on obtient Novikov.

J'ai fait un petit croquis au brouillon, c'est très joli, c'est encore une nouvelle façon de voir la géométrie de Schwarzschild. En regardant à nouveau tes anciens dessins là : https://forums.futura-sciences.com/a...futura-333.jpg , où newton+ et novikov sont cote à cote, ça m'agace de ne pas avoir vu ça avant, c'est vraiment un très bel objet, et j'ai hâte de voir ce que ça donne une fois dessiné par un professionnel

m@ch3

[Mailou75]

Salut et merci,


Comme d'hab je reste égaré par les équations LTB mais ça ne devrait pas m'empêcher de faire la figure.

J'ai fait un petit croquis au brouillon (…) c'est vraiment un très bel objet, et j'ai hâte de voir ce que ça donne une fois dessiné par un professionnel

Merci pour le compliment ^^ J'ai fait une version à la main aussi, j'appréhende juste le fait de rendre lisible la surface engendrée. Il me faudra un peu de temps car je viens de découvrir un théorème qui dit : à partir de deux enfants ton temps propre ne t'appartient plus !

Sinon je doute de ceci :

Projeté dans le plan , on obtient Novikov.

Je ne pense pas que R* soit n (enfin ton r...). Je ne vois pas pourquoi ce serait le cas, c'est pour ça que je disais que cette figure ne nous en apprendrait pas tellement plus sur r'=dr/dn (car ce qu'on obtiendrait est dr/dR*). Je pense qu'il faudrait revenir à ta description entamée au message 54, pas forcément évidente… ou passer directement à un cas de chute de quelques sphères concentriques (chutes définies par la masse totale des sphères situées en dessous) et l'apparition des horizons successif…?

A suivre

[Mailou75]

Salut,

Le voilà, avec un peu de retard… comme tu le sais j'ai été occupé avec les illustrations d'Amanuensis.

On retrouve nos trois chuteurs Rouge, Vert et Bleu partis de 1.054Rs, 1.175Rs et 1.289Rs qui atteignent la singularité en respectivement 1.7, 2.0 et 2.3Rs/c (on peut dire "secondes" si on fixe Rs à 300.000km, comme d'hab). J'ai ajouté ceux qui partent de 1.5Rs et 2Rs à t=0 en gris.

Il est amusant de voir que les limites de la surface 3D sont toujours des courbes et que chacune sera vue comme une droite suivant le repère de projection. Un point encore inconnu : dans le repère du bas (r;R*) la courbe qui correspond à t=0 est une parabole !

J'aime bien le résultat car on imagine bien les cycloïdes parties de la singularité passée, atteindre leur apoastre à t=0 et retomber sur la singularité future. C'est une vision amusante des trous noirs/blancs, bien que je ne pense pas que cette représentation soit plus "physique" qu'une autre.

J'aimerais revenir sur un point. J'ai dit que R* n'était pas n (votre r)... effectivement ce n'est pas le même genre de n que dans le graph précédent (durée avant chute). Pourtant je reconnais que dans le sens de n comme une "étiquette" définissant une "coordonnée constante" entre objets dans un repère particulier ça reste un point commun sur les deux graphs : chez Lemaître les chuteurs depuis l'infini sont parallèles et ont un découpage du temps propre vertical constant et chez Novikov les chuteurs partis depuis Rmax à t=0 ont aussi des lignes d'univers parallèles et ont un temps propre vertical régulier. En ce sens ce sont des repères où ces objets sont "comobiles".

Ce qui m'ennuie c'est que dans ces deux exemples "n" ne recouvre pas le même sens et donc que l'utilisation de n par la suite dans LTB pourrait poser problème. Il faudrait savoir de quoi on parle avant d'aller plus loin...

A plus

[mach3]

Magnifique!
Cependant tu n'as représenté que le cadran tau>0 R*>0 (avec un tout petit bout de tau<0 R*>0), j'aimerais bien voir ce que ça donne avec les 4 cadrans si c'est faisable

Un point encore inconnu : dans le repère du bas (r;R*) la courbe qui correspond à t=0 est une parabole !

Ca vient simplement de l'expression de E(r) (ou E(R*) dans tes notations), autrement dit cela vient de la façon d'étiqueter.

On a :



parce que , solution de l'équation d'évolution, imposée par les maths et
, choix arbitraire de l'expression de E.

A constant, A(r) (donc r(R*) dans tes notations) est une parabole, en particulier pour , qui correspond à la culmination ()



Choisir une autre expression pour E (du moment qu'elle prend ses valeurs sur l'intervalle -0.5 , 0 et qu'elle est monotone) ne change pas la physique derrière (ensemble de chutes libres avec culminations au même t de Schwarzschild), mais pourra avoir un impact fort sur la représentation. On pourrait avoir une hyperbole à la place de la parabole par exemple :

(il suffit de choisir )

avec comme avantage que |r| soit proportionnel à quand il est grand :
si ,

C'est une vision amusante des trous noirs/blancs, bien que je ne pense pas que cette représentation soit plus "physique" qu'une autre.

elle est pleine d'arbitraire (expressions de et E), mais ça donne un angle de vue original.

J'aimerais revenir sur un point. J'ai dit que R* n'était pas n (votre r)... effectivement ce n'est pas le même genre de n que dans le graph précédent (durée avant chute). Pourtant je reconnais que dans le sens de n comme une "étiquette" définissant une "coordonnée constante" entre objets dans un repère particulier ça reste un point commun sur les deux graphs : chez Lemaître les chuteurs depuis l'infini sont [représentés par des] parallèles et ont un découpage du temps propre vertical constant et chez Novikov les chuteurs partis depuis Rmax à t=0 ont aussi des lignes d'univers [représentés par des] parallèles et ont un temps propre vertical régulier. En ce sens ce sont des repères où ces objets sont "comobiles".

Et oui, c'était bien ce que je cherchais à te faire voir. Et de là à te faire comprendre A' et , les pentes de A suivant r et suivant (les pentes de r suivant R* et dans tes notations).

Ce qui m'ennuie c'est que dans ces deux exemples "n" ne recouvre pas le même sens et donc que l'utilisation de n par la suite dans LTB pourrait poser problème.

non, pas de problème, l'étiquette est très versatile. Dans le cas Lemaitre, le fait d'avoir dans la formule de A provient du choix arbitraire . On aurait pu prendre n'importe quelle fonction monotone de r pour (voir https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6480858 ), ce qui dans la plupart des cas fait que r ne correspond à rien d'autre qu'à une étiquette. On a choisi parce que ça permet ici d'être plus proche d'un sens physique. Mais ce genre de choix n'est vraisemblablement pas toujours possible et il faut se résigner à penser r comme une simple étiquette. Si on arrive à y coller un semblant de sens physique, ce n'est qu'un bonus (dont on peut se passer).

m@ch3