Le mystère LTB

[mach3]

Merci pour vos réponses, j'ai au peu près tout compris (sauf l'histoire du "croisement en A=0" mais pas grave...)

peut-être parce que j'ai été trop vite en disant :

Le croisement peut en revanche se produire en A=0 et cela figure la singularité "usuelle" (singularité passé du big bang par exemple, ou singularité d'un trou noir)

c'est le cas pour une singularité de type big-bang, mais pas pour une singularité de type trou noir...

Je commence à me demander, compte tenu des liens qu'entretiennent M, E et tB "physiquement", si imposer M n'impose pas les autres,

il y a une certaine indépendance de M, E et tauB, mais il faut respecter des contraintes pour éviter qu'une singularité non voulue se manifeste. Après le choix d'un triplet M,E,tauB fixe totalement l'espace-temps (la collection de A(r,tau)), on ne peut pas choisir de condition initiale si on choisi ce triplet : elles sont imposées. Comme le dit Yves, si on fixe M(r), A(r,tau) et (r,tau) pour un tau donné (conditions initiales), alors on ne plus choisir E et tauB.

m@ch3
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[yves95210]

Comme le dit Yves, si on fixe M(r), A(r,tau) et (r,tau) pour un tau donné (conditions initiales), alors on ne plus choisir E et tauB.

Pas forcément des conditions initiales. Physiquement il peut être intéressant de partir de conditions "finales" (ce qu'on observe aujourd'hui) et de faire tourner le modèle "à l'envers" pour s'assurer qu'il fonctionne (en conduisant à des valeurs plausibles, par exemple de la densité de matière à l'époque du CMB, si on s'intéresse à l'évolution des zones de sous- et sur-densités qui ont donné naissance aux grandes structures de l'univers récent).

[mach3]

Mon prochain temps de réflexion sera consacré aux conditions qui permettent A'=0 et ce qu'elles impliquent. J'ai déjà identifié que cela impose M'=0 (pour éviter une divergence de densité), et également que cela impose E=-0.5 (pour éviter l'annulation du 2e coeff de la métrique). Deux conditions remplies sur la cycloide de plus faible culmination dans Novikov/Newton+.

Bon, j'ai l'impression de tourner en rond et de n'arriver à rien de bien concluant. Voici le mieux que j'ai pour l'instant... Je dérive l'équation d'évolution ( par rapport à r à constant :


On sait que A'=0 impose M'=0, donc si A'=0 :


Or A'=0 impose aussi E=-0.5, alors que E doit rester strictement supérieur à -0.5. Il peut s'agir d'un miminum local à -0.5 pour E (il y a une autre possibilité que je n'ai pas encore investiguée) et donc on a en ce mimimum E'=0, donc dans ce cas :


-soit , dont la signification directe, sachant E=-0.5, est A=2M. Il ne s'agit en général que d'un point particulier sur la courbe considérée, car : il n'est nul que si M est nul. A=2M est simplement la culmination en A=2M. Dans le cas particulier où M=0 pour cette courbe, alors c'est une géodésique qui reste constamment en A=0 et A'=0 concerne toute la courbe.
-soit . Cela signifie que sur la courbe considérée, A' reste nul tout du long, pour tout . Et le fait que E=-0.5, permet d'identifier cette courbe à la cycloïde de culmination minimale (en A=2M)

Il semblerait qu'on ait donc trois cas de figures, l'un où M possède une valeur nulle pour un certain r (qui correspond à la famille du type FLRW) et pour laquelle je conjecture que la courbe à ce r est la première de la collection (pas de région III donc), c'est le "centre", un 2e où M est constant et non nul (=Schwarzschild, avec région III) et le dernier pour lequel M possède un minimum non nul pour un certain r (probablement avec une région III).

Il faut que je creuse encore... plus tard...

m@ch3

[yves95210]

et le dernier pour lequel M possède un minimum non nul pour un certain r (probablement avec une région III).

Salut,

Tu es sûr que ça correspond à un cas possible physiquement...?

Si c'est un minimum, M' s'annule et change de signe en r. Du côté où M' est négative, à moins d'avoir aussi A'<0, cela demande une densité de matière négative. Je pense qu'on peut oublier ce cas...

Mais si A'<0 la métrique n'est plus de signature (+,-,-,-). Pour moi la solution LTB n'a pas vocation a être utilisée pour décrire une telle situation.
Ou alors il faudrait peut-être en utiliser deux instances, l'une pour décrire les géodésiques des particules appartenant à des coquilles en contraction et l'autre celles des coquilles en expansion, en supposant qu'il n'y ait aucune interaction autre que gravitationnelle entre les coquilles qui se croisent ? Mais dans ce cas, pour un r donné, M(r) n'est plus constante et on n'est plus dans le domaine d'application de la solution.

Ceci dit, il y a toute une littérature à propos du problème de "shell-crossing" dans le modèle de Lemaître-Tolman. Au hasard je suis tombé sur ce papier, que je n'ai pas lu mais dont l'introduction cite un certain nombre de références sur le sujet. Et apparemment il y a des solutions :

There were also several works about the strength of shell crossing singularities, with the general conclusion that it is a weak singularity in the sense of Tipler [12]. This then raised the question of the continuity of the metric across these singularities and, very interestingly, solutions of dynamical extension through shell crossing singularities of LTB have been proved to exist, by Nolan [13], while the case including a cosmological constant and electric charges has been discussed by Gonçalves [10].
A complementary treatment was given by Nunez et al. [14] for metric extensions through shell crossing based on the interactions between shells, which translate in a conservation relation between mass and momenta, for timelike massive shells. Physically, this conservation relation summarises the microphysics of the fluid, however for dust, only purely gravitational interaction occurs between crossing shells, hence the rest mass of each shell is conserved [15].

[mach3]

Tu es sûr que ça correspond à un cas possible physiquement...?

C'est probablement autant possible physiquement que la solution de Schwarzschild dans son extension maximale...

Si c'est un minimum, M' s'annule et change de signe en r. Du côté où M' est négative, à moins d'avoir aussi A'<0, cela demande une densité de matière négative. Je pense qu'on peut oublier ce cas...

oui, si M' change de signe, A' doit changer de signe en même temps, voir message 81

Mais si A'<0 la métrique n'est plus de signature (+,-,-,-).

si si, ça reste +---, parce que c'est A'² dans le 2e coefficient de la métrique, pas A', donc A' peut changer de signe, mais le passage de A' par 0 doit s'accompagner d'un passage par -0.5 pour E, afin de ne pas annuler ce 2e coefficient.

m@ch3

[yves95210]

si si, ça reste +---, parce que c'est A'² dans le 2e coefficient de la métrique, pas A', donc A' peut changer de signe, mais le passage de A' par 0 doit s'accompagner d'un passage par -0.5 pour E, afin de ne pas annuler ce 2e coefficient.

Oui, tu as raison. Et ce n'est pas la première fois que je tombe dans ce piège.

Oublie cette bêtise, la remarque qui suivait est plus importante : dans ce cas (croisement des coquilles), pour un r donné, M(r) n'est plus constante et on n'est plus dans le domaine d'application de la solution.

Vrai ou faux ?
Peut-être que c'est faux parce que M(r) n'est en fait pas la somme des "masses au repos" de l'ensemble des particules de coordonnée radiale < r ?
Mais (faudrait faire le calcul), il me semble que ça serait une sacrée coïncidence qu'elle reste constante lors d'un croisement de coquilles, sauf peut-être si tu choisis des conditions initiales (ou des E(r)) ad hoc.

[Mailou75]

Salut et merci pour vos réponses,

Effectivement, , , et sont reliées par l'équation .

(ce que tu peux voir comme l'expression de la conservation de l'énergie mécanique d'une particule de la coquille de rayon aréal r)

D'accord, c'est ce qui m'inquiétait : la liberté totale dans les fonctions ne conduit pas toujours à une réalité physique, je comprend que la "physique" est contenue dans cette relation, merci

L'avantage dans les cas coques ou boule entourées de vide c'est qu'on connait ce qu'on doit obtenir asymptotiquement (Schw), pour ma part ça me donnera un élément auquel me raccrocher.

(...) par exemple de la densité de matière à l'époque du CMB, si on s'intéresse à l'évolution des zones de sous- et sur-densités qui ont donné naissance aux grandes structures de l'univers récent).

C'est une finalité mais ça me semble anticipé, c'est comme les croisements de coques, faudrait déjà qu'on arrive à en gérer une

.........

Bon, j'ai l'impression de tourner en rond et de n'arriver à rien de bien concluant. Voici le mieux que j'ai pour l'instant...

Je ne vais pas te cacher que je n'y comprend pas grand chose... plutôt que poser des questions pour lesquelles je ne comprendrais peut être pas la réponse, je vais te laisser avancer

Merci à bientot