Le mystère LTB

[Mailou75]

Salut,

Magnifique!
Cependant tu n'as représenté que le cadran tau>0 R*>0 (avec un tout petit bout de tau<0 R*>0), j'aimerais bien voir ce que ça donne avec les 4 cadrans si c'est faisable

Merci Oui c'est faisable, une simple symétrie. Je l'ai fait à cette échelle pour que les textes restent lisible.
Maintenant on peut voir plus global si tu veux. J'ai juste une question, tu veux 8 cadrans comme celui là ?... Parce la figure 3D admet une première symétrie verticale (amorcée dans le dessin), une seconde selon r (à ce stade on a un genre de Kruskal à quatre régions) et enfin une troisième selon R*. Chaque projection plane admet deux symétries et l'image obtenue ne serait qu'une "face" de l'objet 3D complet : si on applique deux symétries à chaque projection, les régions représentées ne seront pas les mêmes (ou elles seront confondues tel Schw qui "superpose" les régions I et III). En gros, faut il chercher une "extension" supplémentaire par rapport à Kruskal ou est-ce que je me limite aux deux premières symétries décrites ?

A constant, A(r) (donc r(R*) dans tes notations) est une parabole, en particulier pour , qui correspond à la culmination ()

Oui ça correspond bien à la définition de Novikov
Pour toi eta constant c'est un plan qui est orienté (pas trouvé...) ?

On a :



parce que , solution de l'équation d'évolution, imposée par les maths et
, choix arbitraire de l'expression de E.

Est ce que tu es en train de me dire que la formule de A est une "solution" (comme Schw) et que E définit une métrique (cad un repère comme Schw, ou Kruskal, Penrose etc...). Qu'en fait A ne dépend que de M ?

On pourrait avoir une hyperbole à la place de la parabole par exemple (…)

S'il faut se retaper un Novikov-like sans formule analytique c'est sans moi…
J'avais imaginé un autre genre de repère dans lequel on aurait de vraies cycloïdes (car seule la noire en est une pour l'instant)
Je ne suis pas sur que le jeu en vaille la chandelle, on pourrait en faire une infité

elle est pleine d'arbitraire (expressions de et E), mais ça donne un angle de vue original.

Oui je sais, j'essaye de ne pas m'aveugler...

Et oui, c'était bien ce que je cherchais à te faire voir. Et de là à te faire comprendre A' et , les pentes de A suivant r et suivant (les pentes de r suivant R* et dans tes notations).

Ok donc tu confirmes que R* est bien ton étiquetage r. Je comprend mieux le sens du "comobile" dont vous parliez, c'est leur coordonnée en abscisse suivant R*. J'étais troublé par la différence entre les deux derniers graphs : chute depuis Rmax ou depuis l'infini, il y a vraiment deux écoles qui ont l'air incompatibles.

non, pas de problème, l'étiquette est très versatile (…)

Ok je crois que j'ai compris cette étape. Il me semble que pour poursuivre il faudrait passer à un exemple concret de LTB, avec trois coques de matière.

[HS : d'aillleurs, si on devait les faire chuter depuis Rmax à t=0, comment auraient elles pu arriver jusqu'ici ? L'existence de matière n'est elle conditionnée par celle d'un trou noir éternel (dont elle est issues) ]

Merci

Mailou
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[mach3]

Oui c'est faisable, une simple symétrie. Je l'ai fait à cette échelle pour que les textes restent lisible.
Maintenant on peut voir plus global si tu veux. J'ai juste une question, tu veux 8 cadrans comme celui là ?

Non, seulement 4. Le rayon aréal A (r dans ta notation) est forcément positif. Les 4 cadrans sont (R*>0 dans ta notation), (R*>0 dans ta notation), (R*<0 dans ta notation) et (R*<0 dans ta notation).

Réponse au reste tout à l'heure.

m@ch3

[mach3]

Pour toi eta constant c'est un plan qui est orienté (pas trouvé...) ?

constant n'est vraisemblablement plan que pour (c'est le plan ) et pour (c'est le plan A=0, et on ne peut plus vraiment parler de A(r), ou r(R*) dans ta notation, comme d'une parabole car A=0 pour tout r).

Est ce que tu es en train de me dire que la formule de A est une "solution" (comme Schw) et que E définit une métrique (cad un repère comme Schw, ou Kruskal, Penrose etc...). Qu'en fait A ne dépend que de M ?

C'est mal dit. Je développe.

On postule une métrique de la forme :

, avec A le rayon aréal, la métrique de la sphère et B une fonction de r et (mais indépendante des variables angulaires ) à déterminer.

Cette métrique est construite de façon à avoir la symétrie sphérique et de façon à ce que la coordonnée coïncide avec le temps propre des mouvements de constants.

A partir de cette métrique, on calcule le tenseur de Ricci et/ou celui d'Einstein, qui seront fonction de B et des dérivées partielles premières et secondes de B (les expressions obtenues sont juste atroces). Dans le cas LTB (boule de poussière sans pression), on exige que le tenseur d'Einstein possède une forme bien spécifique (un seul coefficient, celui qui correspond à la densité d'énergie, est non nul, les autres doivent être nuls), ce qui mène à système d'équations différentielles croisées en A et B bien velues qui permettent de trouver une expression du coefficient B :

, avec E une fonction de r

avec comme équation d'évolution , M, fonction de r étant définie via la densité d'énergie (le seul coefficient du tenseur d'Einstein qui ne s'annule pas) :


Et suivant E, l'équation d'évolution admet 3 solutions possibles :
: ,

:

: ,

avec une fonction de .

Une région de l'espace-temps décrite par LTB sera donc caractérisée par la donnée des 3 fonctions M(r), E(r) et . A priori, pour chaque triplet de ces fonctions, on aura une géométrie différente (il y aura cependant des familles de triplets équivalents, certains sont assez évidents). En effet, elles caractérisent le comportement des poussières comobiles, dont la présence et le mouvement impacte la géométrie, qui impacte à son tour le comportement des poussières, etc, etc.

C'est à peine plus simple dans le cas Schwarzschild. On part de la même expression de la métrique, mais on exige cette fois que le tenseur d'Einstein (et donc le tenseur de Ricci) soit complétement nul. On obtient les mêmes expressions, à ceci près que maintenant M est une constante indépendante de r. Autre détail d'importance, la géométrie est celle de Schwarzschild, quelque soit E(r) et , en effet, elles ne caractérisent pas des poussières (qui impacterait la géométrie par leur présence et leur mouvement), mais des particules tests sans impact. En choisissant E(r) et on ne fait que choisir une famille de géodésiques radiales qui seront représentées par des droites parallèle l'axe dans un repère .

Pour chaque choix de E(r) et on obtient une nouvelle expression de la métrique de Schwarzschild (pas une nouvelle métrique, ça reste la même géométrie), dans un nouveau système de coordonnées (Lemaitre et Novikov en étant des exemples).

La suite plus tard...

m@ch3

[mach3]

J'avais imaginé un autre genre de repère dans lequel on aurait de vraies cycloïdes (car seule la noire en est une pour l'instant)

je ne comprends pas, ce sont toutes des cycloïdes, non? qu'est-ce que la noire à de plus "vrai" que les autres ?

J'étais troublé par la différence entre les deux derniers graphs : chute depuis Rmax ou depuis l'infini, il y a vraiment deux écoles qui ont l'air incompatibles.

Si on parle de Schwarzschild, c'est juste deux familles de géodésiques différentes. Pas d'incompatibilité, juste le fait qu'elle ne peuvent pas être représentées par des droites en même temps (tout comme les grands cercles de la sphère, si je choisi Mercator, la famille de géodésiques appelées méridiens sera représenté par des droites, au détriment de toutes les autres familles, sauf l'équateur). Si on parle de LTB en général, il s'agit de deux géométries d'espace-temps bien différentes, aussi différentes qu'un univers qui fini en big crunch et un univers qui s'expand à l'infini...

d'aillleurs, si on devait les faire chuter depuis Rmax à t=0, comment auraient elles pu arriver jusqu'ici ? L'existence de matière n'est elle conditionnée par celle d'un trou noir éternel (dont elle est issues)

Si on considère une géométrie de LTB donnée comme un univers complet, alors oui, il peut y avoir des choses assez étranges et un peu artificielles, du genre un trou blanc qui disparait en crachant des coquilles sphériques de poussière, qui peuvent ensuite s'effondrer en trou noir.
Mais il faut plus voir LTB comme la géométrie approximative dans une région de l'espace-temps qui aurait les bonnes caractéristiques (symétrie à peu près sphérique et à peu près pas de pression). Antérieurement ou postérieurement à cette région, et aussi autour, les caractéristiques peuvent ne pas être bonnes (pression significative, pas de symétrie sphérique). En gros, une situation sans symétrie sphérique, et/ou avec pression, pourrait précéder ou suivre une phase ou la symétrie est approximativement sphérique et/ou avec une pression négligeable, descriptible par LTB. C'est pour cette raison que c'est intéressant pour étudier la formation des galaxies : au début de l'effondrement partant d'une densité faible et presque homogène, on a une symétrie approximativement sphérique et une pression négligeable, et ça tient jusqu'à ce que la pression ne soit plus négligeable ou que la rotation devienne significative.

m@ch3

[mach3]

J'ai apporté une correction au message 63 dans lequel j'ai dit une bêtise sur . Dans le cas Schwarzschild, si on change , ça change bien l'expression de la métrique contrairement à ce que j'ai dit, mais ce changement est implicite, planqué dans le A', ce qui m'a induit en erreur. Dans le cas E=0 (Lemaitre), où on peut écrire A' explicitement sans problème, c'est bien visible (par exemple ici : https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6480858 , apparait dans l'expression de la métrique)

m@ch3

[Mailou75]

Salut et merci,

Non, seulement 4. Le rayon aréal A (r dans ta notation) est forcément positif. Les 4 cadrans sont (…)

Ok ce sera fait, 4 cadrans pour 4 régions

constant n'est vraisemblablement plan que pour (c'est le plan ) et pour (c'est le plan A=0, et on ne peut plus vraiment parler de A(r), ou r(R*) dans ta notation, comme d'une parabole car A=0 pour tout r)

Dac, parce que je les cherchais… j'avais vu pour A=0 en cherchant, je ne le savais pas avant.

C'est mal dit. Je développe
(…)
Une région de l'espace-temps décrite par LTB sera donc caractérisée par la donnée des 3 fonctions M(r), E(r) et

Merci pour ce rappel

Avant d'aller plus loin je voulais juste faire un dernier point sur le sens des lettres

- A rayon aréal ok (quoique… mais ce sera pour plus tard)
- M(r) est bien le total de la masse contenue en dessous de r (ou seulement la masse de la coque r) ?
- B est juste une lettre qui combine d'autre fonctions
- Tb pas encore tout à fait clair, dans ton lien qui dit Tb=r faut il comprendre que dans le graph de ceux qui chutent depuis l'infini Tb est la valeur de la longueur d'une "ligne d'univers" (Bleu Vert Rouge), l'intervalle de T entre "T=0" et leur arrivée à la singularité ?
- °A=dA/dT "vitesse" de chute
- A' euh… pente de la courbe qui relie les positions des comobiles à un T=0 arbitraire ? arf, joker… dA/dr
- E(r) énergie constante pour une coque donnée : r

En choisissant E(r) et on ne fait que choisir une famille de géodésiques radiales qui seront représentées par des droites parallèle l'axe dans un repère

Et c'est là ou je ne suis plus. D'un coté tu as l'air de dire que le choix de E est arbitraire (voir formule de -2E qui vaut pour Novikov dans ton précédent message) et d'un autre coté il est une "valeur d'énergie constante" (ex : E=0 chute depuis l'infini) donc pas arbitraire ?

Pour chaque choix de E(r) et on obtient une nouvelle expression de la métrique de Schwarzschild (pas une nouvelle métrique, ça reste la même géométrie), dans un nouveau système de coordonnées (Lemaitre et Novikov en étant des exemples).

Ah ? Je croyais qu'on disait "métrique de Kruskal", "métrique de Lemaitre"... encore un abus de langage ?

je ne comprends pas, ce sont toutes des cycloïdes, non? qu'est-ce que la noire à de plus "vrai" que les autres ?

C'est le véritable tracé par rapport à la route d'un point sur une roue faisant un demi tour. Toutes les autres sont étirées verticalement et horizontalement d'un facteur différent, ce ne sont pas des homothéties. J'imaginais justement un repère ou ce seraient des homothéties, de là rechercher s'il existe un lien avec la "roue"...

Si on parle de Schwarzschild, c'est juste deux familles de géodésiques différentes. Pas d'incompatibilité, juste le fait qu'elle ne peuvent pas être représentées par des droites en même temps (tout comme les grands cercles de la sphère, si je choisi Mercator, la famille de géodésiques appelées méridiens sera représenté par des droites, au détriment de toutes les autres familles, sauf l'équateur).

Très clair.
[HS]D'ailleurs il serait intéressant d'arriver à définir les surfaces sur lesquelles les géodésiques de chute sont spatialement les "droites" de la surface. Je ne sais pas si c'est possible…

Si on considère une géométrie de LTB donnée comme un univers complet, alors oui, il peut y avoir des choses assez étranges et un peu artificielles, du genre un trou blanc qui disparait en crachant des coquilles sphériques de poussière, qui peuvent ensuite s'effondrer en trou noir. (…)

Je n'imagine pas qu'il disparait, un trou blanc reste visible et il permet de donner une "origine" à la matière constituant les coques. D'ailleurs j'aimerais bien qu'on passe à un exemple avec quelques coques concentriques qui s'effondrent. Tu me conseilles quoi pour commencer à réfléchir : parties de l'infini ou parties d'un apoastre ?

J'ai apporté une correction au message 63 dans lequel j'ai dit une bêtise sur . Dans le cas Schwarzschild, si on change , ça change bien l'expression de la métrique contrairement à ce que j'ai dit, mais ce changement est implicite, planqué dans le A', ce qui m'a induit en erreur.

Oui j'avais vu, c'est pour ça que je t'ai laissé le temps de te relire . . .

Merci à plus

Mailou

[mach3]

- A rayon aréal ok (quoique… mais ce sera pour plus tard)

non, pas de "quoique", c'est par définition, si devant la métrique de la sphère, , dans l'expression de la métrique, il y a comme coefficient, alors A est le rayon aréal, tel que la surface de la sphère est

- M(r) est bien le total de la masse contenue en dessous de r (ou seulement la masse de la coque r) ?

c'est la "masse" de la boule délimitée par la coque, coque incluse, je mets des guillemets parce que j'ai encore une compréhension trop limitée de ce que ça représente, ce ne doit pas être que la masse de la matière dans la boule, il doit aussi y avoir des contributions due au mouvement et aux interactions de la matière dans la boule, ce n'est pas encore clair pour moi

- B est juste une lettre qui combine d'autre fonctions

un peu plus que ça, en tant que coefficient du terme en de l’expression de la métrique, il a un lien avec la distance spatiale entre deux évènements de même et de r arbitrairement proche

- Tb pas encore tout à fait clair, dans ton lien qui dit Tb=r faut il comprendre que dans le graph de ceux qui chutent depuis l'infini Tb est la valeur de la longueur d'une "ligne d'univers" (Bleu Vert Rouge), l'intervalle de T entre "T=0" et leur arrivée à la singularité ?

il suffit de regarder ce qu'implique .
Pour E=0, ça implique directement A=0, donc la singularité.
Pour , ça implique ou , donc et donc A=0 aussi, donc la singularité
Selon comment on choisit l'expression, cela peut être une singularité passé ou future. Dans le cas Lemaitre, avec , et en considérant que l'espace-temps est défini pour , est la singularité future et seules les régions I et II sont représentées. A l'inverse, on peut considérer que l'espace-temps est défini pour , est la singularité passé et seules les régions IV et III sont représentées.

- °A=dA/dT "vitesse" de chute

oui, avec des guillemets

- A' euh… pente de la courbe qui relie les positions des comobiles à un T=0 arbitraire ? arf, joker… dA/dr

Pour un constant, n'importe lequel. Tu prends une coupe à constant dans un de tes deux schémas (lemaitre/gullstrand-painlevé ou Novikov/"Newton+"), la pente suivant r sera A'. Pas vraiment de sens physique à chercher, car cela dépend du sens physique éventuel de r, et comme on peut choisir r un peu comme on veut... D'ailleurs on pourrait imaginer choisir r de façon à ce que A' ait une expression commode et/ou un sens physique (probablement pas toujours possible...).

- E(r) énergie constante pour une coque donnée : r

oui, mais ça mérite des guillemets, comme "masse" et "vitesse"

Il faut bien comprendre qu'il y a une ressemblance (qui n'est pas due au hasard) entre la dynamique dans LTB et la dynamique Newtonnienne pour une distribution de masse à symétrie sphérique. Et cette ressemblance permet d'associer, avec des guillemets, M avec la masse, E avec l'énergie et avec la vitesse, à condition de traduire le temps absolu de Newton en temps propre des comobiles. Je ne pourrais pas développer plus ce point, car ce n'est pas encore maitrisé de mon côté, mais c'est lié au fait que Newton est une approximation en champ faible de la RG.

Et c'est là ou je ne suis plus. D'un coté tu as l'air de dire que le choix de E est arbitraire (voir formule de -2E qui vaut pour Novikov dans ton précédent message) et d'un autre coté il est une "valeur d'énergie constante" (ex : E=0 chute depuis l'infini) donc pas arbitraire ?

Dans le cas Schwarzschild, il n'y a pas de matière qui chute, mais il y a quand même des géodésiques (que des particules tests de masse négligeables auraient comme ligne d'univers). On est libre de choisir une famille de géodésiques radiales étiquetées par r (ce que l'on fait en choisissant E(r) et ) qui seront représentées par des droites verticales. Par exemple toutes les chutes radiales entrante avec vitesse nulle à l'infini (Lemaitre), donc E=0 pour tout le monde et monotone en r, ou toutes les chutes radiales avec culmination dans tranche spatiale particulière -de t de Schwarzschild constant, ce qui implique une certaine symétrie- (Novikov), donc E croissant de -0.5 à 0 avec r et fonction paire de r, ou tout autre fantaisie (par exemple dernièrement j'ai commencer à regarder pour toutes les chutes radiales qui se terminent au même point de la singularité future, E croissant de -0.5 à l'infini avec r et constant, c'est assez amusant...).
E est constant le long d'une géodésique (r constant et variable), mais E peut changer d'une géodésique à l'autre (r variable, constant).

Ah ? Je croyais qu'on disait "métrique de Kruskal", "métrique de Lemaitre"... encore un abus de langage ?

oui, abus de langage, malheureusement très répandu. On devrait dire "métrique de Schwarzschild en coordonnées de Kruskal" et "métrique de Schwarzschild en coordonnées de Lemaitre", voire même "métrique de la géométrie de Schwarzschild exprimée en coordonnées de Kruskal" et "métrique de la géométrie de Schwarzschild exprimée en coordonnées de Lemaitre", ou quelque chose du genre. Bref, séparer l'objet géométrique (l'espace-temps de Schwarzschild) et sa métrique qui est un champ de tenseur qui caractérise sa géométrie, de l'expression de cette métrique en fonction des champs scalaires que sont les coordonnées.

C'est le véritable tracé par rapport à la route d'un point sur une roue faisant un demi tour. Toutes les autres sont étirées verticalement et horizontalement d'un facteur différent, ce ne sont pas des homothéties. J'imaginais justement un repère ou ce seraient des homothéties, de là rechercher s'il existe un lien avec la "roue"...

A OK, suffit surement d'appliquer un changement de variable sur , changement de variable dépendant de , donc de r. Ou inversement, un changement variable sur A. Pas sûr que ça apporte quelque chose, à voir.

Je n'imagine pas qu'il disparait, un trou blanc reste visible et il permet de donner une "origine" à la matière constituant les coques.

On verra quand on ira plus loin, mais j'intuite qu'il peut disparaitre.

D'ailleurs j'aimerais bien qu'on passe à un exemple avec quelques coques concentriques qui s'effondrent. Tu me conseilles quoi pour commencer à réfléchir : parties de l'infini ou parties d'un apoastre ?

le plus simple est peut-être de considérer un cas avec E=0 partout, chute libre depuis l'infini avec vitesse nulle à l'infini, ou autrement dit, vitesse de libération pour toutes les poussières. La solution de l'équation d'évolution pour E=0 est beaucoup plus "gentille" que les autres (pas de ). Mais bon, j'aurais du mal à t'accompagner, je n'en suis pas encore là (et je suis encore en manque de temps en ce moment).

Oui j'avais vu, c'est pour ça que je t'ai laissé le temps de te relire . . .

lol...

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

[A] non, pas de "quoique"(…)

On est d'accord sur celui là, le "quoique" porte juste sur l'utilisation qu'on pourra en faire (chez Schw c'est une distance radiale visible, avec un coefficient, pour les observateurs statiques)

[M(r)] c'est la "masse" de la boule délimitée par la coque, coque incluse, je mets des guillemets parce que j'ai encore une compréhension trop limitée de ce que ça représente, ce ne doit pas être que la masse de la matière dans la boule, il doit aussi y avoir des contributions due au mouvement et aux interactions de la matière dans la boule, ce n'est pas encore clair pour moi

De la façon dont tu m'as décrit le principe, on peut toujours dire que c'est une quantité d'énergie de source non définie centrée sur un point (l'état des coques en dessous de r ne devrait pas en modifier l'énergie totale). La courbure extérieure (négative) est toujours indépendante de ce qui se passe à l'intérieur.

[Tb] il suffit de regarder ce qu'implique .
(…)
Dans le cas Lemaitre, avec , et en considérant que l'espace-temps est défini pour , est la singularité future et seules les régions I et II sont représentées. A l'inverse, on peut considérer que l'espace-temps est défini pour , est la singularité passé et seules les régions IV et III sont représentées.

Je vais prendre ça pour un oui

[°A] oui, avec des guillemets

Oui tkt. Pour le coup A et T sont assez clairement définis, on sait à peu près de quoi on parle.

[A'] Pour un constant, n'importe lequel. Tu prends une coupe à constant dans un de tes deux schémas (lemaitre/gullstrand-painlevé ou Novikov/"Newton+"), la pente suivant r sera A'. Pas vraiment de sens physique à chercher, car cela dépend du sens physique éventuel de r, et comme on peut choisir r un peu comme on veut... D'ailleurs on pourrait imaginer choisir r de façon à ce que A' ait une expression commode et/ou un sens physique (probablement pas toujours possible...).

Ok, du coup je ne comprends pas pourquoi on lui accorde autant d'attention. Simplement parce qu'on le retrouve sous cette forme dans d'autre valeurs peut être ?

[E] oui, mais ça mérite des guillemets, comme "masse" et "vitesse" (…) Je ne pourrais pas développer plus ce point, car ce n'est pas encore maitrisé de mon côté, mais c'est lié au fait que Newton est une approximation en champ faible de la RG.

Bon ok, on met des guillemets partout

[E cst] Dans le cas Schwarzschild, il n'y a pas de matière qui chute, mais il y a quand même des géodésiques (que des particules tests de masse négligeables auraient comme ligne d'univers) (…) E est constant le long d'une géodésique (r constant et variable), mais E peut changer d'une géodésique à l'autre (r variable, constant).

Ok, compris.

[Cycloïdes] A OK, suffit surement d'appliquer un changement de variable sur , changement de variable dépendant de , donc de r. Ou inversement, un changement variable sur A. Pas sûr que ça apporte quelque chose, à voir.

Non, moi non plus...

On verra quand on ira plus loin, mais j'intuite qu'il peut disparaitre.

C'est pas parce qu'on prend une situation de départ avec des objets à leur apoastre qu'on fait disparaitre la raison pour laquelle ils s'y trouvent. De plus un trou blanc ça ne disparait pas a priori (la singularité passée est visible en tout évènement de la région II, voir Kruskal). Mais bon c'est un peu HS…

le plus simple est peut-être de considérer un cas avec E=0 partout, chute libre depuis l'infini avec vitesse nulle à l'infini, ou autrement dit, vitesse de libération pour toutes les poussières. La solution de l'équation d'évolution pour E=0 est beaucoup plus "gentille" que les autres (pas de ). Mais bon, j'aurais du mal à t'accompagner, je n'en suis pas encore là (et je suis encore en manque de temps en ce moment).

D'ac c'est ce que je me disais. Je me dis aussi que je ne vais sans doute pas aller loin

A suivre

[mach3]

Ok, du coup je ne comprends pas pourquoi on lui accorde autant d'attention. Simplement parce qu'on le retrouve sous cette forme dans d'autre valeurs peut être ?*

C'est pour rendre les expressions plus générales et plus simples. En dehors du cas Lemaitre, l'expression de A' est en général absolument attroce.

C'est pas parce qu'on prend une situation de départ avec des objets à leur apoastre qu'on fait disparaitre la raison pour laquelle ils s'y trouvent. De plus un trou blanc ça ne disparait pas a priori (la singularité passée est visible en tout évènement de la région II, voir Kruskal). Mais bon c'est un peu HS…*

Si il se trouve que M(r) vaut 0 en dessous d'une certaine valeur de r, alors la métrique au centre est celle de Minkowski... Imagine qu'il n'y ait qu'une unique coquille avec E<0. La coquille démarre avec un rayon areal nul, grossit jusqu'à culmination, puis s'effondre jusqu'à avoir de nouveau un rayon areal nul. A l'extérieur de la coquille, c'est de la géométrie de Schwarzschild de paramètre M=masse de la coquille. A l'intérieur de la coquille, c'est de la géométrie de Minkowski. Quand (en terme de temps tau) le rayon areal est inférieur à 2M, il y a un horizon. Un horizon passé lors de la croissance initiale, et un horizon futur lors de l'effondrement final. Entre les deux, on a A>2M (sauf cas limite E=-0,5 pour lequel la culmination est en A=2M) et il n'y aura pas d'horizon sur un certain intervalle de tau.
Ce n'est qu'un cas extrême parmi d'autres.

m@ch3

[Mailou75]

Oui tu as raison, il faudrait commencer par le cas «une coque» avant de passer a plusieurs. Je m’y colle dès que je peux

[Mailou75]

Like this ?

[mach3]

Yes!!! Trop beau!

Sur ce, bonne nuit

m@ch3

[Mailou75]

Un truc amusant auquel je n'avais jamais prêté attention : tous ceux de la région I, au moment où ils traversent l'horizon, voient leur congénères (de plus basse "altitude") passer eux même l'horizon du trou noir (ça on le savait…). Mais ils voient aussi tous ceux de la région III à l'instant où ils sortent du trou blanc !

Bonne nuit

[Mailou75]

Salut mach3,

Un autre dans la même veine : Kruskal projeté sur des cônes à 45°. Les autres vues ont des r orthonormés (?) et des t rayonnants, rien de "remarquable" sinon que les rayons lumineux sont des morceaux de paraboles. J'avoue que je préfère le précédent

[Mailou75]

@mach3 et Yves

Sinon pour en revenir au sujet en cours : prenons une version à 3 coques concentriques, chacune de masse identique. Considérons celle du milieu. J'ai cru comprendre que celle du dessus n'avait pas d'influence et qu'elle était uniquement attirée par celle du dessous. Je conviens du premier point mais j'ai un doute sur le deuxième. Si on considère la coque du dessous, par quoi est elle attirée sinon par son propre centre de masse ? Si on se prenait qu'une seule coque en effondrement, l'espace temps serait-il "plat" (Minkowskien) partout dans la sphère, ou déjà courbe ? Finalement, peut être que je ne conviens pas du premier point non plus…

Merci pour votre aide

Mailou

[mach3]

Salut,

Basiquement, on va vouloir que M(r) soit en marches d'escalier. Des palliers horizontaux avec des sauts brusques en r1, r2 et r3, les étiquettes des 3 coquilles. Si M(0)=0, alors la géométrie entre 0 et r1 est celle de Minkowski, puis c'est celle de Schwarzschild entre r1 et r2 (avec la masse qui va bien), puis une autre de Schwarzschild entre r2 et r3, etc. On a aussi le droit* de considérer que M(0) est différent de 0, ce qui donnera du Schwarzschild à l'intérieur aussi.

Cependant ces sauts brusques posent des problèmes (attention réflexion informelle faite de tête, il faudrait poser les équations pour confirmer) :
-la densité, qui dépend de M', la dérivée de M par rapport à r, divergera en r1, r2 et r3. Si la densité diverge sur les coquilles, alors le tenseur énergie impulsion et le tenseur de Ricci aussi, il y a singularité.
-les géodésiques de l'intérieur ne s'accordent pas avec les géodésiques de l'extérieur : dans le cas M(0)=0, une géodésique de l'intérieur étiquetée par r<r1, arbitrairement proche de la coquille, serait telle que le rayon aréal varierait linéairement avec le temps propre, alors que qu'une géodésique de l'extérieur, étiquetée par r>r1 arbitrairement proche de la coquille, serait telle que le rayon aréal varierait quadratiquement avec le temps propre. Ces deux géodésiques, arbitrairement proches l'une de l'autre (séparées par la coquille) devraient forcément se couper, ce qui est incompatible avec "l'esprit" de la métrique LTB où les géodésiques étiquetées ne se croisent pas (si c'est le cas alors A(r,tau) à des problèmes en r1, surement non dérivable, voire non continue, à vérifier). Le même genre de chose doit se produire pour M(0) différent de 0, et au niveau de chaque coquille.
Il semble qu'on ne puisse pas raccorder Minkowski avec Schwarzschild, ou différents Schwarzschilds, le long de géodésiques radiales de genre temps (alors que le long de géodésiques radiales nulles on sait faire)

Pour s'en sortir, il faut émousser les sauts de M(r), par exemple en utilisant des tanh, des atan, des erf (fonction d'erreur de Gauss), ou toute autre fonction monotone continue (et probablement suffisamment dérivable, aucune idée de combien de fois) ayant deux asymptotes horizontales. Et même en faisant cela, j'ai l'intuition qu'il faut bien gérer la forme de E(r) pour éviter que des géodésiques étiquetées par r se croisent dans les coquilles (un genre d'effondrement au sein même de la coquille).

Bref, cela soulève pas mal de questions pour lesquelles je ne dispose pas de temps pour répondre à l'heure actuelle, j'ai d'ailleurs mis 3 jours pour rédiger ce message... (le confinement semble donner du temps libre à certains, en ce qui me concerne c'est plutôt le contraire).

m@ch3

* : reste à voir ce que cela signifie physiquement, mais la même question se pose pour la géométrie complète de Schwarzschild = LTB avec M(r)=constante.

[Mailou75]

Salut, merci pour ta réponse,

Ce que tu racontes n'est pas de très bonne augure. Je me posais déjà des questions au niveau de r1 (Minko/Schw) mais tu m'en annonces en r2 et r3 (Schw/Schw).

Et ça ne réponds pas tout à fait à la question : si l'espace temps en dessous de r1 est plat (soit M(0)=0), qu'est ce qui fait chuter la coque r1 vers un "centre" (puisqu'un espace plat n'a aucune symétrie indiquant un centre particulier) ?

Cette histoire d'escalier semble déjà étrange (de même que la jonction Minko/Schw). Je croyais que la connexion (?) devait toujours être fluide (tu imagineras les bons termes...), cad qu'une géodésique ne peut pas comporter d'angle, la dérivée à droite et à gauche d'un point doit être la même (?). Ta solution d'émousser les nez de marche me parait tout à fait gratuite

.....

J'ai une vision plus simple du truc (mais sans doute fausse) : Il n'y a qu'une déformation. Les particules sont centrées sur une masse virtuelle M=m1+m2+m3. La masse totale du système est invariante. Les particules glissent comme des particules test (ex : chez Newton le temps de chute est inchangé T mais la distance de chute, pour N particules, vaut D/N si D est la distance depuis laquelle une particule de masse négligeable chuterait, en une durée T, vers une masse M "totale").

Merci pour ton aide,

Mailou

[mach3]

Et ça ne réponds pas tout à fait à la question : si l'espace temps en dessous de r1 est plat (soit M(0)=0), qu'est ce qui fait chuter la coque r1 vers un "centre" (puisqu'un espace plat n'a aucune symétrie indiquant un centre particulier) ?

a priori ce n'est pas plat "dans" la coque, mais "dans" fait difficilement sens si la coque est infiniment fine (=discontinuité de M qui saute de 0 à une valeur non nulle en r1). De plus la courbure n'intervient directement ni dans la dérivée première de A (la "vitesse" radiale), ni dans la seconde, mais aux ordres plus élevés. La dérivée seconde de A dépend des Christofells qui-vont-bien et de la dérivée première de A. La dérivée première de A dépend en premier lieu des conditions initiales qu'on fixe, puis elle évolue fonction de la dérivée seconde (qui n'a pas forcément besoin qu'il y ait courbure pour être non nulle). Enfin, la géométrie étudiée (LTB) possède une symétrie sphérique, donc même si la partie centrale est plate, elle possède bien un centre (avec comme propriété que la géodésique ayant A=0 et la dérivée première de A nulle en un point reste continuellement en A=0).

Cette histoire d'escalier semble déjà étrange (de même que la jonction Minko/Schw). Je croyais que la connexion (?) devait toujours être fluide (tu imagineras les bons termes...), cad qu'une géodésique ne peut pas comporter d'angle, la dérivée à droite et à gauche d'un point doit être la même (?). Ta solution d'émousser les nez de marche me parait tout à fait gratuite

il semble qu'il faille donner une épaisseur à la coquille pour que la densité n'y soit pas infinie. A minima, M doit être continue, afin d'avoir une densité finie. Et il semble que cela ne suffise pas et qu'il faille que M soit dérivable (c'est à dire que la dérivée de M doit être continue), peut-être même plusieurs fois (la dérivée seconde de M, voire la 3e, etc, devraient être continues), mais j'aurais besoin de temps pour démontrer cela. Cette dérivabilité suffisante de M permettrait justement d'avoir quelque chose de "fluide" aux jointures. Emousser les nez de marche en utilisant une fonction continue et dérivable (et même infiniment dérivable si on considère par exemple tanh ou atan), permet au moins de surmonter cela.

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

La dérivée première de A dépend en premier lieu des conditions initiales qu'on fixe, puis elle évolue fonction de la dérivée seconde (qui n'a pas forcément besoin qu'il y ait courbure pour être non nulle).

Tu suggères quoi ? Une accélération constante partout dans la sphère ou aucune (selon le principe de je-sais-plus-qui)?
Je pose la (même) question différemment : pourquoi les particules chutent-elles ?

Enfin, la géométrie étudiée (LTB) possède une symétrie sphérique, donc même si la partie centrale est plate, elle possède bien un centre (avec comme propriété que la géodésique ayant A=0 et la dérivée première de A nulle en un point reste continuellement en A=0).

Un centre d'inertie ? Pourquoi pas, je me questionne sur son pouvoir attractif au centre d'un espace temps plat. Une coque en chute libre va accélérer en tombant je suppose ? J'ai du mal à croire, dans ce cas, que le centre de la sphère soit Minkowskien. Et je vois mal comment une accélération uniforme pourrait décrire des coques parties d'assez loin ? Y'a autre chose... que je ne comprends pas.

il semble qu'il faille donner une épaisseur à la coquille pour que la densité n'y soit pas infinie.

Je comprends qu'il y ait une "marche" au niveau d'une coque sur un graph M(r) puisque M est la somme de tout ce qui se trouve en dessous. Mais je ne comprends pas cet infini ? La densité de la surface d'une coque r, de masse constante (points répartis sur une sphère), va augmenter au cours de la chute (autant de points sur une sphère plus petite). La densité sera infinie si la coque s'effondre en un point. Dans le sens radial, la coque aurait une densité nulle du fait de son épaisseur nulle. Problème de poids total nul c'est ça ...?

A minima, M doit être continue, afin d'avoir une densité finie. Et il semble que cela ne suffise pas et qu'il faille que M soit dérivable (c'est à dire que la dérivée de M doit être continue), peut-être même plusieurs fois (la dérivée seconde de M, voire la 3e, etc, devraient être continues), mais j'aurais besoin de temps pour démontrer cela.

Ca donne quoi en language décodé ? Qu'on ne peut pas parler de coque car M varie régulièrement avec r (ou A) cad qu'on décrit forcément un nuage de poussière ?

Cette dérivabilité suffisante de M permettrait justement d'avoir quelque chose de "fluide" aux jointures. Emousser les nez de marche en utilisant une fonction continue et dérivable (et même infiniment dérivable si on considère par exemple tanh ou atan), permet au moins de surmonter cela.

La bonne question est : est-ce qu'il faut aller "cracker" LTB avec des fonctions illégitimes... ou pas ? Si le "programme" est prévu pour des boules de poussières, ok, on abandonne les coques plutôt que s’éreinter pour rien, on passe directement aux boules. Une étape aurait été pas mal mais tant pis...

Question annexe générale : La boule d'Oppenheimer est-elle un "cas particulier" de LTB (comme l'est Schw) ?

Merci d'avance

Mailou

[mach3]

Je pose la (même) question différemment : pourquoi les particules chutent-elles ?

considérons une coquille d'épaisseur non nulle. Les poussières sur le bord interne n'ont aucune autre raison de chuter (A décroissant en fonction de tau) qu'une vitesse radiale initiale. Il n'y a aucune masse "en dessous", donc aucune accélération (la dérivée de A par rapport à tau est constante). Les poussières qui ne sont pas au bord interne "voient" une masse non nulle "sous" elles, donc elles vont accélérer, très très peu pour celles proche du bord interne, de plus en plus fort à mesure qu'on se rapproche du bord externe. D'où le problème : à moins qu'elles aillent à la vitesse de la lumière on voit mal dans cette configuration comment les poussières qui sont sur le bord interne ne seraient pas rattrapées par les autres avant d'atteindre A=0. L'épaisseur de la coquille va chuter jusqu'à s'annuler. Sa densité sera alors infinie.

Un centre d'inertie ? Pourquoi pas, je me questionne sur son pouvoir attractif au centre d'un espace temps plat. Une coque en chute libre va accélérer en tombant je suppose ? J'ai du mal à croire, dans ce cas, que le centre de la sphère soit Minkowskien. Et je vois mal comment une accélération uniforme pourrait décrire des coques parties d'assez loin ? Y'a autre chose... que je ne comprends pas.

un centre géométrique. Et comme dit au-dessus, les poussières sur le bord interne de la coquille ne chutent que si on leur donne une vitesse radiale initiale et les autres au-dessus chutent parce qu'il y a quelque chose en-dessous.

Je comprends qu'il y ait une "marche" au niveau d'une coque sur un graph M(r) puisque M est la somme de tout ce qui se trouve en dessous. Mais je ne comprends pas cet infini ? La densité de la surface d'une coque r, de masse constante (points répartis sur une sphère), va augmenter au cours de la chute (autant de points sur une sphère plus petite). La densité sera infinie si la coque s'effondre en un point. Dans le sens radial, la coque aurait une densité nulle du fait de son épaisseur nulle. Problème de poids total nul c'est ça ...?

la densité est définie par :

(à une constante multiplicative finie près qui dépend des unités qu'on choisi pour la densité)

Si M saute de façon discontinue en r1, alors M' est infini en r1, donc la densité en r1 est infinie. Il faut que la coquille soit d'épaisseur non nulle pour éviter cela.

Ca donne quoi en language décodé ? Qu'on ne peut pas parler de coque car M varie régulièrement avec r (ou A) cad qu'on décrit forcément un nuage de poussière ?

On peut parler de coquille, mais son épaisseur est non nulle (M continue) et il est probable qu'il faille que ses bords soit diffus (M' continue, voire dérivable).

La bonne question est : est-ce qu'il faut aller "cracker" LTB avec des fonctions illégitimes... ou pas ? Si le "programme" est prévu pour des boules de poussières, ok, on abandonne les coques plutôt que s’éreinter pour rien, on passe directement aux boules. Une étape aurait été pas mal mais tant pis...

on peut faire ce qu'on veut, il n'y a pas de fonction plus légitime qu'une autre vu que ces coquilles sont des objets hypothétiques. A la rigueur, il y a des fonctions qui peuvent rendre le problème plus facile à traiter analytiquement. Un point à voir est si la fonction choisie influence significativement le résultat, mais j'ai l'intuition que c'est seulement à la marge.
Il est possible qu'on ne puisse avoir M=0 qu'au centre, avec M' jamais nul (sauf, éventuellement, au centre, à voir), mais si M reste proche de 0 sur une grande gamme de r avant de monter assez brusquement, ça simulera assez bien une coquille.

Question annexe générale : La boule d'Oppenheimer est-elle un "cas particulier" de LTB (comme l'est Schw) ?

oui.

Commentaire plus général issu d'une réflexion nocturne :
Une solution à LTB peut être vu comme une collection de courbe A=f(tau) empilées les unes sur les autres. Cette collection a de particulier qu'aucune courbe de la collection n'en croise un autre (sauf en A=0, sinon cela génère une singularité "bizarre") et qu'il n'y ait pas de trous dans la collection (pas de zone où aucune courbe ne passe entourée d'une zone où passent des courbes*). Chaque courbe est caractérisée par trois paramètres, E, M et tau_B, qui sont des fonctions de r, étiquette de la courbe. Les contraintes précédentes (pas de croisements, pas de trous), semblent impliquer que E, M et tau_B sont des fonctions continues de r, voire même un certain nombre de fois dérivables.
En considérant cette façon de voir, on constate qu'une zone centrale étendue pour laquelle M=0 entourée d'une zone de M non nul (par exemple de r=0 à r1, M est nul puis il est non nul ensuite) est difficilement imaginable : les courbes A=f(tau) sont des droites dans la zone de M=0, mais des courbes dans la zone de M non nulle, avec la concavité dans le mauvais sens qui plus est : il est impossible que les premières ne croisent jamais les secondes, à moins qu'il y ait un vide, une zone sans courbe, ce qui n'est pas admis.

m@ch3

*ar contre il peut y avoir des vides sur les bords, comme ce que est sous la première cycloïde dans le Newton+.

[mach3]

Commentaire plus général issu d'une réflexion nocturne :
Une solution à LTB peut être vu comme une collection de courbe A=f(tau) empilées les unes sur les autres. Cette collection a de particulier qu'aucune courbe de la collection n'en croise un autre (sauf en A=0, sinon cela génère une singularité "bizarre") et qu'il n'y ait pas de trous dans la collection (pas de zone où aucune courbe ne passe entourée d'une zone où passent des courbes*). Chaque courbe est caractérisée par trois paramètres, E, M et tau_B, qui sont des fonctions de r, étiquette de la courbe. Les contraintes précédentes (pas de croisements, pas de trous), semblent impliquer que E, M et tau_B sont des fonctions continues de r, voire même un certain nombre de fois dérivables.
En considérant cette façon de voir, on constate qu'une zone centrale étendue pour laquelle M=0 entourée d'une zone de M non nul (par exemple de r=0 à r1, M est nul puis il est non nul ensuite) est difficilement imaginable : les courbes A=f(tau) sont des droites dans la zone de M=0, mais des courbes dans la zone de M non nulle, avec la concavité dans le mauvais sens qui plus est : il est impossible que les premières ne croisent jamais les secondes, à moins qu'il y ait un vide, une zone sans courbe, ce qui n'est pas admis.

Pour aller un peu plus loin dans cette réflexion :

On considère un repère avec les axes qui portent r, A et tau, comme on l'a déjà fait pour Lemaitre/Gullstrand-Painlevé et Novikov/Newton+.
-Si on projette dans le plan r,tau, les lignes d'univers de nos poussières forment un ensemble continu de droites parallèles de r constant.
-Supposons que A' soit toujours fini, non nul et ne change jamais de signe, A est alors continue et strictement monotone (fonction strictement croissante ou strictement décroissante de r pour un tau donné). Dans ce cas si on projette dans le plan A,tau, les lignes d'univers de nos poussières forment un ensemble continu de courbes ne se croisant ni ne se superposant jamais et sans vides entre-elles. Un petit schéma permet de s'en convaincre.
L'objet qu'on regarde tantôt projeté dans r,tau, tantôt dans A,tau est une surface continue, sans trou

Le cas où on accepte que A' s'annule et change de signe est compliqué. En effet cela signifie que A n'est plus strictement monotone. Il existera des valeurs de A qui seront obtenues pour plusieurs valeurs de r. C'est ce qu'on constate pour du Novikov/Newton+ : de part et d'autre de la cycloïde de culmination minimale, A augmente, elle est croissante avec r d'un côté, décroissante avec r de l'autre.

Si A' s'annule en un point du plan r,tau, la densité diverge et on a une singularité, sauf si M' est nul aussi en ce point (dans ce cas il y a indétermination sur la densité qui peut donc avoir une valeur finie voire nulle), toujours dans l'exemple en Novikov/Newton+, A' s'annule sur la cycloide de plus faible culmination, mais M' est nul partout et la densité est nulle partout (on le sait par ailleurs, c'est juste pour montrer que c'est compatible).

Dans la formule de la densité, on a le quotient M'/A', c'est équivalent à la dérivée de M par rapport à A pour tau constant. Pour avoir une densité positive ou nulle, il faut que M soit une fonction croissante de A (pas forcément strictement croissante, mais en tout cas la décroissance stricte est interdite). Si A n'est pas monotone (A' peut changer de signe) en r, il faut donc que M ne soit pas monotone en r non plus (M' doit changer de signe en même temps que A', à moins que M' ne soit nul). Ce n'est encore qu'une conjecture, mais je pense qu'en dehors du cas M=constante (Novikov/Newton+), on ne peut pas avoir de changement de signe de A'. Je n'arrive pas à me représenter ce que cela signifierait dans le cas contraire... A suivre.

m@ch3

[Mailou75]

Salut et merci

Les poussières sur le bord interne n'ont aucune autre raison de chuter (A décroissant en fonction de tau) qu'une vitesse radiale initiale (...) les poussières sur le bord interne de la coquille ne chutent que si on leur donne une vitesse radiale initiale et les autres au-dessus chutent parce qu'il y a quelque chose en-dessous.

Pourquoi est-ce qu'elle en auraient une ? On est donc pas totalement libres sur les conditions initiales

On peut parler de coquille, mais son épaisseur est non nulle (M continue) et il est probable qu'il faille que ses bords soit diffus (M' continue, voire dérivable) (...) avec M' jamais nul (sauf, éventuellement, au centre, à voir), mais si M reste proche de 0 sur une grande gamme de r avant de monter assez brusquement, ça simulera assez bien une coquille.

Et tu saurais établir des formules qui décrivent ça ?

Cette collection a de particulier qu'aucune courbe de la collection n'en croise un autre (sauf en A=0, sinon cela génère une singularité "bizarre")

Sauf en A=0 ? Pourquoi des lignes d'univers se croiseraient ? Je ne te suis pas...

les courbes A=f(tau) sont des droites dans la zone de M=0, mais des courbes dans la zone de M non nulle, avec la concavité dans le mauvais sens qui plus est : il est impossible que les premières ne croisent jamais les secondes, à moins qu'il y ait un vide, une zone sans courbe, ce qui n'est pas admis.

Pourquoi une concavité inversée ?

Pour aller un peu plus loin dans cette réflexion :
(...)
L'objet qu'on regarde tantôt projeté dans r,tau, tantôt dans A,tau est une surface continue, sans trou

Oui, ça parait naturel quand on regarde Novikov/Newton+, vraisemblablement ça ne l'est pas sinon tu ne le mentionnerait pas...

C'est ce qu'on constate pour du Novikov/Newton+ : de part et d'autre de la cycloïde de culmination minimale, A augmente, elle est croissante avec r d'un côté, décroissante avec r de l'autre.

Tu parles de la région III ? On peut peut être faire sans pour commencer ?

Si A n'est pas monotone (A' peut changer de signe) en r, il faut donc que M ne soit pas monotone en r non plus (M' doit changer de signe en même temps que A', à moins que M' ne soit nul). Ce n'est encore qu'une conjecture (...)

Hihi

J'insiste quand même, est-ce que tu penses vraiment que ça vaut le coup de décrire des "coques de densité" et que ça nous apprendrait quelque chose avant de passer à la boule ? Vu ce que tu décris, la boule ne devient-elle l'étape précédente car plus simple ?

Merci

Mailou

[yves95210]

Salut,

Pourquoi est-ce qu'elle en auraient une ? On est donc pas totalement libres sur les conditions initiales

On n'est pas libre des conditions initiales si on veut que le modèle LTB reste applicable "assez longtemps", c'est-à-dire au moins sur l'intervalle de temps entre l'instant tau=0 correspondant à ces conditions initiales et l'époque à laquelle on observe le phénomène astronomique qu'on espère représenter approximativement à l'aide de ce modèle.
Et c'est vrai aussi pour des distributions radiales de matière dans lesquelles M'>0 pour tout r.

Il ne faut pas oublier que derrière ce modèle il y a de la physique. Si le modèle conduit à une singularité avant l'époque des observations, il ne peut pas prétendre représenter l'évolution d'une portion de l'espace entre une date antérieure à la singularité et la date à laquelle on fait ces observations.

Et tu saurais établir des formules qui décrivent ça ?

Quelle que soit la courbe continue et "sans aspérités" que tu traces avec r en abscisse et M en ordonnée, à condition qu'à une valeur de r corresponde une seule valeur de M, on peut toujours décider d'appeler M(r) la fonction représentée par cette courbe...

Si ta question est "est-ce qu'on peut trouver une fonction analytique qui présente les propriétés indiquées par mach3 ?", la réponse est oui. Même si on est obligé d'utiliser différentes fonctions analytiques connues sur différents intervalles de r, il suffit de faire en sorte que, à la limite entre deux de ces intervalles les deux fonctions concernées tendent vers une même valeur, et leurs dérivées aussi.

Par exemple tu peux prendre pour r<r₁, pour r compris entre r₁ et r₂ et pour r > r₂,
ça représentera bien une coquille de matière coincée entre deux régions vides, avec M continue et dérivable en tout point.
Et rien ne t'empêche de "créer" une deuxième coquille de matière au-delà de la première, etc.

J'insiste quand même, est-ce que tu penses vraiment que ça vaut le coup de décrire des "coques de densité" et que ça nous apprendrait quelque chose avant de passer à la boule ? Vu ce que tu décris, la boule ne devient-elle l'étape précédente car plus simple ?

C'est sûr que vous n'avez pas commencé par le plus simple...

[mach3]

Pourquoi est-ce qu'elle en auraient une ? On est donc pas totalement libres sur les conditions initiales

En plus de ce que Yves (que je salue au passage) a déjà répondu, j'ajouterais que dans le cas de figure que l'on envisage, si on donne initialement une "vitesse" radiale positive ou nulle à la face interne de la coquille, alors jamais elle ne s'effondrera au centre si on maintient que la métrique est LTB tout le temps (une démarche plus réaliste est de considérer qu'au delà d'une certaine densité la pression n'est plus négligeable et LTB plus applicable, cela rejoint le propos de Yves).

Et tu saurais établir des formules qui décrivent ça ?

voir la réponse de Yves.

Sauf en A=0 ? Pourquoi des lignes d'univers se croiseraient ? Je ne te suis pas...

Si on ne choisit pas convenablement les fonctions M(r), E(r) et tauB(r), alors il est possible que des courbes de la collection se croisent dans la projection A,tau. Se croiser dans cette projection veut dire se trouver au même rayon aréal. Un tel croisement coïncide avec soit A'=0 (donc une densité qui diverge à moins que M'=0 en même temps) soit pire, une discontinuité de A.

Je dois malheureusement m'arrêter là pour ce matin.

m@ch3

[yves95210]

En plus de ce que Yves (que je salue au passage) a déjà répondu,

Salut à toi aussi !

C'est vrai que je m'étais fait rare ces derniers temps...
(et votre discussion avec Mailou était partie dans une direction où je n'avais pas trop envie de vous suivre, je suis trop paresseux pour ça)

[mach3]

Sauf en A=0 ? Pourquoi des lignes d'univers se croiseraient ? Je ne te suis pas...

Donc, je reprends ce que je disais :
Si on ne choisit pas convenablement les fonctions M(r), E(r) et tauB(r), alors il est possible que des courbes de la collection se croisent dans la projection A,tau. Se croiser dans cette projection veut dire se trouver au même rayon aréal. Un tel croisement coïncide avec soit A'=0 (donc une densité qui diverge à moins que M'=0 en même temps) soit pire, une discontinuité de A.
Le croisement peut en revanche se produire en A=0 et cela figure la singularité "usuelle" (singularité passé du big bang par exemple, ou singularité d'un trou noir). Un croisement ailleurs qu'en A=0 serait surement aussi une singularité, mais avec une forme sphérique.
Je ne sais trop ce que cela signifie encore.
Conjecture : il semble vraisemblable que dans la réalité cette singularité sphérique n'arrive pas à cause l'apparition d'une pression (qui n'apparait pas avec notre modèle de poussières mais qui apparait forcément avec la matière réelle) qui s'opposera à l'effondrement, et comme il y a du vide à l'intérieur, il y a toujours moyen d'empêcher cette singularité sphérique d'arriver. Dans le cas où cela se produit en A=0, la pression peut s'y opposer également, mais cette fois comme il n'y a pas de région vide à l'intérieur, la pression peut ne pas suffire pour empêcher que la singularité survienne.

Pourquoi une concavité inversée ?

Imagine par exemple une collection de paraboles de différentes courbures qu'il faut empiler sans qu'aucune ne se croise mais dont l'empilement est continu. Si la première parabole est une droite (parabole dégénérée), il y a intérêt que la concavité des paraboles soit dans le bon sens pour qu'il n'y ait jamais d'intersection. Par exemple marche bien (mathématiquement hein, c'est pour l'exemple) car les fonctions sont de plus en plus convexes, mais ne marche pas car elles sont de plus en plus concaves.
Le cas d'un passage de M nul à M non nul, on va se retrouver dans le second cas.

La suite demain, ou plus tard...

m@ch3

[JPL]

Il faudra attendre demain pour que l’interpréteur Tex fonctionne à nouveau. C’est une victime collatérale de la migration vers un nouveau serveur.

[mach3]

Tu parles de la région III ? On peut peut être faire sans pour commencer ?

Ben je n'en sais rien, l'existence de cette région dépend surement du triplet M, E, tauB choisi. Il y a des solutions LTB clairement sans région III, celle qui sont proches de FLRW, mais il y a une solution avec région III, Schwarzschild. Je ne sais pas si cette dernière est un cas particulier unique ou si il y a d'autres solutions proches de Schwarzschild et présentant une région III. Ca fait partie des trucs que je n'ai pas eu le temps de fouiller.

J'insiste quand même, est-ce que tu penses vraiment que ça vaut le coup de décrire des "coques de densité" et que ça nous apprendrait quelque chose avant de passer à la boule ? Vu ce que tu décris, la boule ne devient-elle l'étape précédente car plus simple ?

Pareil, je n'en sais rien. Toujours est-il qu'en soulevant des difficultés, ce cas de figure peut nous apprendre des choses, il met en lumière des aspects que je n'avais pas encore considérés.

Mon prochain temps de réflexion sera consacré aux conditions qui permettent A'=0 et ce qu'elles impliquent. J'ai déjà identifié que cela impose M'=0 (pour éviter une divergence de densité), et également que cela impose E=-0.5 (pour éviter l'annulation du 2e coeff de la métrique). Deux conditions remplies sur la cycloide de plus faible culmination dans Novikov/Newton+.

m@ch3

[Mailou75]

Salut (salut Yves )

Merci pour vos réponses, j'ai au peu près tout compris (sauf l'histoire du "croisement en A=0" mais pas grave...)

pour r<r₁, pour r compris entre r₁ et r₂ et pour r > r₂

C'est une fonction M(r) pour une bosse sinusoïdale en masse "non cumulée" ? Pourquoi pas... on peut rester sur un seul anneau du coup

Je commence à me demander, compte tenu des liens qu'entretiennent M, E et tB "physiquement", si imposer M n'impose pas les autres, l'ensemble décrivant une seule réalité possible. En imposant M et des condition initiales (immobiles à t=0 me semble pas mal) on doit connaitre les autres. Le problème c'est que pour pouvoir écrire les formules de E et tB il faudrait déjà connaitre le résultat (description de la chute) ?

[yves95210]

Salut Mailou,

Je commence à me demander, compte tenu des liens qu'entretiennent M, E et tB "physiquement", si imposer M n'impose pas les autres, l'ensemble décrivant une seule réalité possible. En imposant M et des condition initiales (immobiles à t=0 me semble pas mal) on doit connaitre les autres. Le problème c'est que pour pouvoir écrire les formules de E et tB il faudrait déjà connaitre le résultat (description de la chute) ?

Effectivement, , , et sont reliées par l'équation .

(ce que tu peux voir comme l'expression de la conservation de l'énergie mécanique d'une particule de la coquille de rayon aréal r)

Donc si par exemple tu imposes , et à un instant quelconque , cela détermine la valeur de .