travail du champ de gravitation en relativité générale.

[mach3]

Je veux bien mais c’est quoi pour toi E et m ?

m c'est la norme de la 4-impulsion de la particule test que l'on étudie. C'est sa masse. Elle est évidemment négligeable devant M afin que la géométrie soit toujours en bonne approximation (d'autant plus bonne que m est petit devant M) celle de Schwarzschild. Dans l'absolu, la géométrie n'est plus celle de Schwarzschild : on n'est plus dans le vide, il y a au moins une particule de masse m. Mais à part faire tourner un super-calculateur pour suivre la dynamique de l'objet et celle de la métrique qui vont s'influencer l'un l'autre continuellement, on ne peut plus rien faire à part approximer à la géométrie de Schwarzschild (et ça marche vu qu'on arrive ainsi à prédire le résiduel de l'avance du périhélie de Mercure, c'est à dire tout autre influences que celle du soleil considéré comme sphérique et statique écartées).

E c'est l'énergie de la particule mesurée par un immobile de Schwarzschild situé arbitrairement loin. La définition est confortable quand E est supérieure à m (v>vlib), car l'immobile et la particule peuvent se croiser (au moins en principe) et E est donc simplement g(U,P) avec U la 4-vitesse de l'immobile (coordonnées arbitrairement proches de (1,0) car r est arbitrairement grand) et P la 4-impulsion de la particule de masse m. Dans le cas contraire (E<m) la particule ne peut pas rejoindre un immobile de Schwarzschild situé arbitrairement loin (au mieux ce sera celui en r_max), et cet immobile ne peut donc mesurer E directement, c'est donc moins confortable. E est alors g(u,P), avec u un 4-vecteur de coordonnées (1,0), comme la 4-vitesse de l'immobile situé arbitrairement loin, mais qui du coup n'est pas la 4-vitesse d'un immobile qui croise la particule (et qui mesurera une énergie différente de E, d'un facteur ). Je n'ai pas encore bien tout saisi à ce propos, à savoir est-ce qu'il y a un transport parallèle? de quel vecteur? suivant quel chemin? pour amener la 4-impulsion de l'objet en r quelconque jusqu'à l'immobile situé arbitrairement loin par exemple? Le seul truc net, c'est que E=g(u,P) avec u: (1,0) et P la 4-impulsion de l'objet et que u est une 4-vitesse pour un immobile situé arbitrairement loin et que cela coïncide alors avec l'énergie qu'il mesure.

Ok merci, c’est très clair. (La valeur de dr/dt traduisant l’effet Shapiro)
C’est le sens de «géodésique» qui m’échappait. Je croyais qu’une géodésique était toujours de genre temps ou lumière, à cause de la définition qui en est donnée en géneral. Zef n’a pas tort quand il parle de supraluminique pour le genre espace dans ce cas !

Géodésique veut dire que la ligne respecte l'équation des géodésiques, peu importe son genre (genre qui ne change pas le long d'une géodésique!).
La confusion vient peut-être du terme ligne d'univers, qui concerne uniquement les lignes (géodésiques ou non) de genre temps ou nul. Une ligne de genre espace n'est pas une ligne d'univers, mais peut être une géodésique (de genre espace).

J’aurais pensé que la **vitesse** entre Rs et r=0 diminuait pour finir quasi nulle, ou du moins faible. (Si on prend en compte que t est de l’espace et qu’on fait pivoter la région II, voir représentations d’Amanuensis).

Je pense que ce que présente zefram est totalement prématuré, voire faux. Je vais y revenir tout à l'heure.

m@ch3
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[Zefram Cochrane]

Je pense que ce que présente zefram est totalement prématuré, voire faux. Je vais y revenir tout à l'heure.

m@ch3

Bonjour, comme je le disais dans mon post précédent ce schéma n'est qu'une esquisse sans prétention, mais il faut bien commencer par quelque part.
et l'interprétation primaire qu'on pouvait en faire. Tout ce que je peux dire est que de Ro à Rs le schéma est juste et l'interprétation conforme à ce qu'on avait établi précédemment.
Au delà je suis ouvert à toute suggestion formellement argumentée.
Cordialement,
Zefram

[Zefram Cochrane]

On peut, il me semble, faire un parallèle intéressant avec ce qu'il se passerait pour un train accélérant continûment en RR.
soit un train de longueur Ro =c²/g . A T=0s le train accélère. Un contrôleur situé en Ro (le chuteur) reste sur le quai et voit défiler le train. Notre vitesse locale correspond à la vitesse acquise par un wagon situé en R<Ro à l'instant où il passe devant le contrôleur. lorsque le dernier wagon passe devant le contrôleur, sa vitesse est presque c ( horizon de Rindler).
Au delà , les wagons devraient avoir une accélération >oo et atteindre une vitesse spupraluminique pour que le contrôleur puisse voir un train plus grand que Ro défiler sous ses yeux.
Physiquement c'est impossible mais cette vitesse peut être calculée (amha)
par contre, le contrôleur voit le dernier wagon ( physique) du train s'éloigner de lui à c (avec une vitesse apparente de c/2)

( j'espère aider)

[mach3]

E c'est l'énergie de la particule mesurée par un immobile de Schwarzschild situé arbitrairement loin. La définition est confortable quand E est supérieure à m (v>vlib), car l'immobile et la particule peuvent se croiser (au moins en principe) et E est donc simplement g(U,P) avec U la 4-vitesse de l'immobile (coordonnées arbitrairement proches de (1,0) car r est arbitrairement grand) et P la 4-impulsion de la particule de masse m. Dans le cas contraire (E<m) la particule ne peut pas rejoindre un immobile de Schwarzschild situé arbitrairement loin (au mieux ce sera celui en r_max), et cet immobile ne peut donc mesurer E directement, c'est donc moins confortable. E est alors g(u,P), avec u un 4-vecteur de coordonnées (1,0), comme la 4-vitesse de l'immobile situé arbitrairement loin, mais qui du coup n'est pas la 4-vitesse d'un immobile qui croise la particule (et qui mesurera une énergie différente de E, d'un facteur ). Je n'ai pas encore bien tout saisi à ce propos, à savoir est-ce qu'il y a un transport parallèle? de quel vecteur? suivant quel chemin? pour amener la 4-impulsion de l'objet en r quelconque jusqu'à l'immobile situé arbitrairement loin par exemple? Le seul truc net, c'est que E=g(u,P) avec u: (1,0) et P la 4-impulsion de l'objet et que u est une 4-vitesse pour un immobile situé arbitrairement loin et que cela coïncide alors avec l'énergie qu'il mesure.

Je viens de percuter un truc là :
Soit la 4-impulsion de la particule test
Soit la 4-vitesse d'un immobile de Schwarzschild qui croise la particule, on a :



Or, on sait également qu'il s'agit d'une grandeur géométrique intrinsèque bien précise, le carré du cosinus hyperbolique de la rapidité entre la particule test et l'immobile de Schwarzschild (l' "angle" hyperbolique entre la ligne d'univers de l'immobile et la géodésique au moment où elles se croisent) :



donc, comme déjà trouvé par Zefram suivant un autre chemin :



bon, j'ai trouvé ça génial sur le coup, mais maintenant que je l'ai écrit je ne suis plus trop sûr de quoi en conclure... En tout cas ça permet de réécrire dr/dt d'une manière un peu plus "géométrique" :



m@ch3

[Mailou75]

Salut,

m c'est la norme de la 4-impulsion de la particule test que l'on étudie. C'est sa masse.
(...)
Le seul truc net, c'est que E=g(u,P) avec u: (1,0) et P la 4-impulsion de l'objet et que u est une 4-vitesse pour un immobile situé arbitrairement loin et que cela coïncide alors avec l'énergie qu'il mesure.

Ok merci, faudra que je teste des applications numériques pour comprendre vraiment...

La confusion vient peut-être du terme ligne d'univers

Oui, du genre... mais je n’ai pas de soucis avec cette «nouvelle» définition.

Merci a+

[mach3]

Bon, je crois que je le tiens, je ne sais pas pourquoi je ne l'ai pas vu avant, il semble que ce soit du transport parallèle le long d'une géodésique nulle radiale depuis la particule test vers l'immobile de Schwarzschild de r arbitrairement grand. En effet, ce transport nous donne le redshift gravitationnel le long d'une radiale : un photon reçu avec une énergie E par un immobile de Schwarzschild de r arbitrairement grand avait, quand il a été émis par un immobile de Schwarzschild situé en r, une énergie .
De même un corps en mouvement en r, perçu comme ayant une énergie E par un immobile de Schwarzschild de r arbitrairement grand a pour un immobile de Schwarzschild situé en r avec une énergie . Il faut que j'appréhende ce transport formellement.

Interprétation à la serpe : l'observateur de Schwarzschild de r arbitrairement grand voit le corps en chute libre comme possédant une énergie E plus petite que si il était à sa hauteur, plus petite du même facteur que pour le redshift. On pourrait penser qu'il y a un lien avec le fait qu'il voit alors le corps au ralenti (vitesse apparente plus petite, donc énergie "apparente" plus petite), mais ce n'est pas que cela car le facteur ne dépend pas de la vitesse du corps (par rapport aux immobiles de Schwarzschild), en particulier un corps à la culmination possède une vitesse nulle et son énergie "apparente" (pour l'immobile de r arbitrairement grand) est pourtant inférieure à la masse du corps (alors qu'elle est égale pour un immobile situé à la culmination), comme si c'était la masse "apparente" du corps était plus faible...
Toujours est-il que pour l'immobile de Schwarzschild de r arbitrairement grand, l'énergie doit être une grandeur conservée, donc il doit toujours percevoir la même quantité d'énergie E pour l'objet en chute libre. Si la masse de l'objet apparait comme diminuant quand r diminue (comme suggéré au paragraphe précédent), il faut donc que sa vitesse augmente pour compenser...

En relisant le paragraphe précédent, une autre interprétation me vient. Prenons un chuteur libre à sa culmination. Si l'immobile de Schwarzschild observe ce chuteur lors de sa culmination, il le voit avec un redshift, qu'il peut interpréter comme une vitesse : l'objet à beau être à vitesse nulle et donc avec E=m pour un immobile situé à la culmination, il parait avoir une vitesse pour l'immobile lointain et doit donc, selon lui, posséder une énergie supérieure. Cela étant dit, il y a un truc qui déconne avec cette interprétation, car un chuteur avec culmination situé à r<r_max ne serait pas vu avec le même redshift en phase ascendante et en phase descendante, donc devrait être vu comme ayant une vitesse différente et donc une énergie différente alors qu'elle est censée être constante...

Bref, à part les maths qui commencent à me venir, physiquement c'est pas ça... c'est peut-être une combinaison de tout cela, ou rien de tout cela...

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Pour moi c'est normal :
Le chuteur s'approche de l'immobile : blueschift RR
il s'éloigne de l'immobile redschift RR
le chuteur est plus haut que l'immobile : blueschift RG
le chuteur est plus bas que l'immobile : redschift RG
donc le schift est : (blueschift RR\redschift RR)*(blueschift RG\redschift RG)

nous en avons discuté dans le fil de Mailou
https://forums.futura-sciences.com/d...numerique.html

[mach3]

Concernant la région II maintenant...

On a montré que l'expression suivante pour une ligne d'univers satisfaisait l'équation des géodésiques d'une manière générale (que ce soit sur la région I ou la région II, les maths sont les mêmes bien que certains rôles soient différents) :


Un 4-vecteur P tangent à la géodésique sera de la forme :


Pour trouver le genre de P, et donc de la géodésique, il faut résoudre l'inéquation :









car le domaine de définition de la métrique, que ce soit en région I ou en région II, exclut r=2M. C'est donc le signe de K qui sélectionne le genre de la géodésique, quelque soit la région :
-K positif : genre temps (et du coup il vaut m²/E²)
-K nul : genre nul (et du coup il vaut toujours m²/E² mais m=0 ou E diverge)
-K négatif : genre espace

Autre point, repartons de :


En région I, , donc :



dr/dt doit être, respectivement strictement inférieur, égale ou strictement supérieur en valeur absolue à pour que la géodésique soit respectivement de genre temps, nul, espace.

En région II, par contre, , donc :



dr/dt doit être, respectivement strictement supérieur, égale ou strictement inférieur en valeur absolue à pour que la géodésique soit respectivement de genre temps, nul, espace.

Occupons nous de la rapidité par rapport à un immobile de Schwarzschild, de 4-vitesse U. Un immobile de Schwarzschild possède une propriété simple, ses coordonnées spatiales ne changent pas au cours du temps. En région I, donc, r ne change pas quand t varie, et les immobiles sont statiques les uns par rapport aux autres. Mais, en région II, c'est l'inverse, t ne change pas quand r varie, et, on ne va pas le démontrer maintenant, mais ils ne sont pas immobiles mais en fait comobiles : ils s'éloignent les uns des autres, il y a expansion suivant la coordonnée t.
La 4-vitesse d'un immobile de Schwarzschild de la région I aura comme coordonnées
La 4-vitesse d'un "immobile" (ou dirons nous d'un comobile) de Schwarzschild de la région II aura comme coordonnées . On note d'ailleurs que contrairement à l'immobile de la région I, le comobile voit les coordonnées de sa 4-vitesse changer au cours du temps (r).

Je dois m'arrêter là...

m@ch3

[Mailou75]

A mach3,

Bon, je crois que je le tiens, je ne sais pas pourquoi je ne l'ai pas vu avant, il semble que ce soit du transport parallèle le long d'une géodésique nulle radiale depuis la particule test vers l'immobile de Schwarzschild de r arbitrairement grand. En effet, ce transport nous donne le redshift gravitationnel le long d'une radiale : un photon reçu avec une énergie E par un immobile de Schwarzschild de r arbitrairement grand avait, quand il a été émis par un immobile de Schwarzschild situé en r, une énergie .

> Jusqu’ici rien de neuf, l’observateur à l’infini voit une énergie E, locale en r, divisée par (z+1)r. Ou comme tu le dis une énergie locale (z+1)r*E vue comme valant E par l’observateur éloigné.

De même un corps en mouvement en r, perçu comme ayant une énergie E par un immobile de Schwarzschild de r arbitrairement grand a pour un immobile de Schwarzschild situé en r avec une énergie . Il faut que j'appréhende ce transport formellement.

> Oui, localement en r il y a une energie (z+1)r*E, tout ceci est normal.

Interprétation à la serpe : l'observateur de Schwarzschild de r arbitrairement grand voit le corps en chute libre comme possédant une énergie E plus petite que si il était à sa hauteur, plus petite du même facteur que pour le redshift.

> Non, du carré. La particularité pour une chute depuis l’infini c’est que z+1=Y pour tout r. Au début de l’autre fil c’est l’énoncé : le shift perçu vaut z+1=(1+B)Y² soit le Doppler classique (1+B) «doublement relativiste» mais en fait l’un des Y est le shift gravitationnel (z+1)r. Le principe vaut aussi pour un observateur en Rmax.

Ou alors il faut préciser : (...)energie plus petite qui si il était à sa hauteur «avec la meme vitesse qu’en r». C’est peut etre ce que tu voulais dire...

On pourrait penser qu'il y a un lien avec le fait qu'il voit alors le corps au ralenti (vitesse apparente plus petite, donc énergie "apparente" plus petite), mais ce n'est pas que cela car le facteur ne dépend pas de la vitesse du corps (par rapport aux immobiles de Schwarzschild), en particulier un corps à la culmination possède une vitesse nulle et son énergie "apparente" (pour l'immobile de r arbitrairement grand) est pourtant inférieure à la masse du corps (alors qu'elle est égale pour un immobile situé à la culmination), comme si c'était la masse "apparente" du corps était plus faible...

> Perso j’imagine plutot un petit soleil qui rougit donc perd en énergie reçue à distance. Si tu veux que E soit de la masse tu peux toujours imaginer deux corps de masses connues entrant en collision, vu à distance l’énergie de la collision est moindre et tu as deux interprétations possibles : soit la vitesse de la collision vue au ralenti est «vraie» et l’énergie reçue est la bonne (voir question de papy-alain sur la réalité), soit fatalement, pour une vitesse de collision connue, c’est que les masses sont plus faibles ! (position du physicien?)

Toujours est-il que pour l'immobile de Schwarzschild de r arbitrairement grand, l'énergie doit être une grandeur conservée, donc il doit toujours percevoir la même quantité d'énergie E pour l'objet en chute libre. Si la masse de l'objet apparait comme diminuant quand r diminue (comme suggéré au paragraphe précédent), il faut donc que sa vitesse augmente pour compenser...

> N’est ce pas ce qu’il se passe ? Pourquoi l’obs eloigné devrait il percevoir un E constant ? Celui qui chute depuis l’infini voit l’infini avec un shift nul, oui, car le redshift Doppler Y et le blueshift 1/(z+1)r s’annulent continuellement, mais pas l’inverse.

En relisant le paragraphe précédent, une autre interprétation me vient. Prenons un chuteur libre à sa culmination. Si l'immobile de Schwarzschild observe ce chuteur lors de sa culmination, il le voit avec un redshift, qu'il peut interpréter comme une vitesse : l'objet à beau être à vitesse nulle et donc avec E=m pour un immobile situé à la culmination, il parait avoir une vitesse pour l'immobile lointain et doit donc, selon lui, posséder une énergie supérieure.

Si tu pars du principe que tes observateurs connaissent la RR mais pas la RG c’est vicieux

Cela étant dit, il y a un truc qui déconne avec cette interprétation, car un chuteur avec culmination situé à r<r_max ne serait pas vu avec le même redshift en phase ascendante et en phase descendante, donc devrait être vu comme ayant une vitesse différente et donc une énergie différente alors qu'elle est censée être constante...

Toujours pas d’accord avec cette énergie percue constante...

J’espere que ceci n’est qu’une suite de quiproquos

A+

[mach3]

> Non, du carré.*

Non, pas du carré, les maths sont formelles. Le facteur à appliquer est \sqrt{1-2M/r} pour avoir le redshift entre r et l'infini, et c'est le même facteur qui s'applique entre l'énergie d'un corps en chute libre mesurée au croisement par un immobile en r et celle mesurée au croisement par un immobile à l'infini.

> Perso j’imagine plutot un petit soleil qui rougit donc perd en énergie reçue à distance. Si tu veux que E soit de la masse tu peux toujours imaginer deux corps de masses connues entrant en collision, vu à distance l’énergie de la collision est moindre et tu as deux interprétations possibles : soit la vitesse de la collision vue au ralenti est «vraie» et l’énergie reçue est la bonne (voir question de papy-alain sur la réalité), soit fatalement, pour une vitesse de collision connue, c’est que les masses sont plus faibles ! (position du physicien?)

J'y ai pensé, c'est une interprétation séduisante. Mais il faut que j'y réfléchisse encore.

Toujours pas d’accord avec cette énergie percue constante...

Le fait est que E est une constante du mouvement d'une part. D'autre part il y a la conservation de la 4-impulsion et donc, dans un découpage 1+3 comme celui de Schwarzschild, conservation de l'énergie.

Je vais avoir très peu de disponibilité la semaine qui vient et peut-être la suivante, mais je vais continuer d'y réfléchir et aussi demander à mon petit doigt (en version numérique parce 3kg c'est pas pratique dans les bagages ).

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

Non, pas du carré, les maths sont formelles. Le facteur à appliquer est \sqrt{1-2M/r} pour avoir le redshift entre r et l'infini, et c'est le même facteur qui s'applique entre l'énergie d'un corps en chute libre mesurée au croisement par un immobile en r et celle mesurée au croisement par un immobile à l'infini.

Oui dit comme ça ok, c’etait un quiproquo...

Le fait est que E est une constante du mouvement d'une part. D'autre part il y a la conservation de la 4-impulsion et donc, dans un découpage 1+3 comme celui de Schwarzschild, conservation de l'énergie.

Donc pour toi un observateur éloigné verra un voyageur en chute libre pendant la phase d’ascension et de chute avec la même énergie ? Tu dis toi même que «ca deconne», pour moi c’est faux.

A bientot

[Zefram Cochrane]

J'y ai pensé, c'est une interprétation séduisante. Mais il faut que j'y réfléchisse encore.

Moi aussi
https://forums.futura-sciences.com/a...mporelles.html
j'étais parti du principe que la vitesse de la lumière variait physiquement dans un champ de gravitation selon la formule (actualisée)

de là elle devenait nulle en Rs et mc² apparaissait comme étant une énergie potentielle de gravitation.
Mais comme la vitesse de la lumière devenait nulle en 2M, il me semble que c'est contradictoire avec les TN en rotation.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fichie...Black_Hole.jpg
car si la vitesse de la lumière est physiquement nulle en 2M on ne devrait pas pouvoir mesurer la rotation d'un TN qu'ils soit prograde ou rétrograde.
Je pense que quel que soit le TN il devrait être de Schwarzschild.
(C'est pour ça que je ne me prends pas trop le chou avec ça mais si ça intéresse on peut ouvrir un fil là dessus. )

[Zefram Cochrane]

Sinon, sans prétendre à une quelconque validité eut-être cela donnera quelques idées utiles ?
https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post4652751

[Mailou75]

Salut,

J'ai essayé de regarder ce que tout ça donne en chiffres. Pour l'instant les formules de ce fil semblent cohérentes, mais je manque de billes pour aller plus loin dans l'analyse. A vrai dire, je voulais commencer par comparer les résultats avec la formule classique pour voir si les formules relativistes donnent bien la même chose en champ faible. Seulement voilà je n'ai pas les mêmes données pour chaque cas : j'ai une trajectoire en classique mais pas de vitesse et une vitesse en relativiste (formules de mach3) mais pas de trajectoire. J'ai du mal à comparer mes choux et mes carottes…

1) Je viens donc demander des infos complémentaires sur le cas relativiste : Peut on obtenir la formule de la trajectoire à partir de la vitesse liée à K (ou L)? Dans l'idéal il faudrait t(r) pour Schwarzschild et tau(r) pour "Newton" (pour avoir le temps propre le long des trajectoires).

2) Pour la version classique, la formule de Calvert donne ceci (Vo vitesse initiale > Vlib et Ro altitude de départ):

(c'est l'énergie mécanique spécifique)





Cette fois c'est la vitesse instantanée v(r) qu'il faudrait déduire de cette trajectoire.
J'ai bien essayé par moi même mais ça n'a pas été très concluant...

Cette question s'adresse plus ou moins à mach3 qui a suivi le fil mais si quelqu'un a la réponse il ne faut pas hésiter !

Merci d'avance

[mach3]

Salut,

Si tu as t en fonction de r, dérive par rapport à r, ça te donnera l'inverse de la vitesse.

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

2) Quand je dis que j'ai essayé par moi même ce n'est pas une blague, je suis allé voir des cours sur les dérivées et tout… j'ai même fait ce que tu as dit, la "dérivée de t(r)", mais quand je me suis rendu compte que ce n'était pas r(t) j'ai laissé tombé. A aucun moment je ne me suis dit que j'allais obtenir 1/v(r)…

J'avais trouvé qu'avec la dérivée de r(t) valait

Est ce que ça te semble juste ? Si oui je regarde ce soir en numérique si c'est plausible. Merci

1) Et pour les trajectoires relativistes, t'as une piste ou c'est tendu comme calcul ? Pour le coup je n'ai pas tenté l'intégrale...

Merci d'avance

Mailou

[mach3]

Aucune idée pour le 2). Après tu peux essayer de verifier numériquement, tu calcules r(t) pour une valeur t et pour une valeur t+h, puis tu calcules (r(t+h)-r(t))/h. A comparer avec ce que donne la formule analytique de v pour un h le plus petit possible.

Pour le 1) il faut intégrer. Le plus simple est de demander à Maxima ou à Wolfram.

m@ch3

[Mailou75]

Re,

1a) dr/dt

Pouah… j'ai du me creuser la tête pour tirer quelque chose de cette intégrale. Déjà elle est vilaine et elle fait 3km de long mais en plus elle ne donne pas du tout une durée, je m'explique… Quand on a un graph v(t), faire une intégrale (surface) revient à multiplier une durée (abscisse) par une vitesse (ordonnée) ce qui nous donne bien t x v = d une distance. Dans le cas présent on a dr/dt c'est à dire une vitesse en fonction d'une distance, donc l'intégrale de cette fonction donne une vitesse x une distance (v.d) qui n'est pas une durée ! C'est une "aire" qu'on va appeler A(r).

Concrètement, on choisis d'abord K (-0,000..1 cad une vitesse initiale en Ro à peine supérieure à Vlib pour pouvoir comparer) puis on calcule l'aire A(Ro) et l'aire A(r) et on fait la différence A(Ro)-A(r)=S puisque ce n'est que cette portion qui nous intéresse, entre Ro et r. Mais on a toujours des v.d alors qu'on voudrait du temps. On va donc prendre l'inverse de cette valeur et la multiplier par une distance au carré, l'intervalle entre Ro et r soit : (Ro-r)²/S et cette fois on a bien une durée (1/v.d x d² = d/v = t ). Enfin après avoir multiplié la valeur adimensionnée par Rs/c, on aura des secondes.

Bref, ça a l'air de marcher (en faisant varier K les résultats "suivent" la formule classique) mais c'est pas aussi pratique qu'une bonne fonction t(r)

1b) dr/dTau

L'intégrale contient des nombres imaginaires i. Je ne sais pas trop ce que ça veut dire, ni qu'en faire dans mon Excel...

2) v(r) classique

Wolfram trouve bien quelque chose (je m'étais un poil trompé, arf) mais c'est sans doute pareil, pour l'instant j'ai des chiffres incohérents, je vais essayer de faire le même travail que pour 1)...

A +

[Zefram Cochrane]

Bonjour Mailou,
Je pense qu’il faut faire un développement limité DL.
Tu as une formule du type

Un DL du premier ordre donne:



Quand un mobile qui a une vitesse v << c en Ri >> Rs arrive en Rj >> Rs avec une vitesse w << c, il a une énergie Ew telle que:
.
.
Ce qui est cohérent avec ce que dit Newton pour une chute libre de I en J avec une vitesse de départ V.

[mach3]

Pouah… j'ai du me creuser la tête pour tirer quelque chose de cette intégrale. Déjà elle est vilaine et elle fait 3km de long mais en plus elle ne donne pas du tout une durée, je m'explique… Quand on a un graph v(t), faire une intégrale (surface) revient à multiplier une durée (abscisse) par une vitesse (ordonnée) ce qui nous donne bien t x v = d une distance. Dans le cas présent on a dr/dt c'est à dire une vitesse en fonction d'une distance, donc l'intégrale de cette fonction donne une vitesse x une distance (v.d) qui n'est pas une durée ! C'est une "aire" qu'on va appeler A(r).

si tu as dr/dt, il faut intégrer par rapport à t pour obtenir entre deux valeurs de t (ce qui donne accès à r(t) à une constante près, reste à choisir les bornes d'intégration correctement). Intégrer dr/dt par rapport à r ne peut en aucun cas donner . Evidemment, si on n'arrive pas à écrire dr/dt comme une fonction explicite de t, l'intégration est problématique, par exemple si il n'y a que r qui apparait explicitement, la seule façon de faire apparaitre t, serait de connaitre r(t) qui est justement ce que l'on cherche... On peut cependant chercher des tricheries. Par exemple, on peut tenter d'intégrer l'inverse, dt/dr, par rapport à r, et obtenir entre deux valeurs de r (ce qui donne accès à t(r) à une constante près, reste à choisir les bornes d'intégration correctement).

m@ch3

[mach3]

1b) dr/dTau

L'intégrale contient des nombres imaginaires i. Je ne sais pas trop ce que ça veut dire, ni qu'en faire dans mon Excel...

Souvent c'est à cause de valeurs négatives là où il ne faut pas (dans les racines, les log). Faut tester avec des valeurs absolues, des fois ça marche, la primitive redonnant bien la fonction d'origine quand on la redérive.

m@ch3

[Mailou75]

Salut et merci à vous,

1a) dr/dt

Je pense qu’il faut faire un développement limité DL. (…)

Je ne sais pas trop ce qu'est un développement limité dsl… mais l'idée n'est pas d'approximer la RG, je compte bien utiliser ces formules en champ fort

……….

Evidemment, si on n'arrive pas à écrire dr/dt comme une fonction explicite de t, l'intégration est problématique (…) On peut cependant chercher des tricheries.

C'est un peu ce que j'ai fait au message 78. Une "bidouille cohérente" qui ne pourrait pas tomber juste si elle ne l'était pas, enfin je ne pense pas… pour moi ce point est résolu tant bien que mal. A moins que je ne trouve des problèmes avec les trous noir, on verra…


1b) dr/dTau

Souvent c'est à cause de valeurs négatives là où il ne faut pas (dans les racines, les log). Faut tester avec des valeurs absolues, des fois ça marche, la primitive redonnant bien la fonction d'origine quand on la redérive.

Ok, c'est ce que j'imaginais mais sans oser le penser
Pas encore essayé mais si elle tombe juste ça ne devrait pas poser de problème

2) v(r)

Aucune idée pour le 2)

Re pouah ! J'ai passé deux jours à batailler avec des fonctions inverses, dérivées, "surfaces" comme pour 1a et autres stratagèmes infructueux… puis j'ai du prendre du recul et la formule était déjà là, mdrrr… sniiif. Il faut partir de cette fameuse énergie mécanique spécifique A et supposer que c'est une constante, par conservation d'énergie. Du coup la formule de Calvert pour une vitesse initiale Vo à Ro



donne directement



et Ro peut être n'importe où ! Ca colle au poil de c.. avec tes formules de RG. Nickel, c'était le premier l'objectif !

Merci à vous

Mailou

[Mailou75]

De fait, la vitesse résiduelle à l'infini est et ça colle aussi avec ta formule RG

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
https://fr.wikipedia.org/wiki/Développement_limité
si l'objectif est de retrouver à partir de cette formule:



les formules classiques de Newton en champs faible, on peut utiliser les DL pour calculer l'énergie cinétique d'un chuteur situé à Rj >> Rs lorsqu'il chute depuis Ri >> Rs avec une vitesse v << c.




Quand un mobile qui a une vitesse v << c en Ri >> Rs arrive en Rj >> Rs avec une vitesse w << c, il a une énergie Ew telle que:
.

tu néglige ensuite tous les produits (beta²/2) * (Rs/2R) et tu trouves

.

Maintenant j'aimerais savoir ce que vous faites avec les formules de Calvert?

[Mailou75]

Salut,

si l'objectif est de retrouver à partir de cette formule (...) les formules classiques de Newton en champs faible (...)

Non, l’objectif était de comparer les formules de mach3 pour la RG avec celles de Calvert pour le cas classique. C’est fait et ça roule. Après il est heureux qu’en approximant la RG on retrouve Newton mais ce n’était pas l’exercice.

NB : pour le cas 1b finalement c’est comme 1a puisqu’on intègre «v(r)» et pas v(t).

Maintenant j'aimerais savoir ce que vous faites avec les formules de Calvert?

Des verifs croisées. Je ne sais pas qui valide qui mais le fait d’obtenir les mêmes résultats valide les deux. Les sources étant diamétralement opposées ce serait une coïncidence impossible.

A +

[Mailou75]

Bon…

Pour info, mes résolutions bidouillées de 1a (trajectoire de dr/dt) et 1b (trajectoire de dr/dT) ne fonctionnent pas. Elles marchaient en classique parce que je devais faire une sorte de "moyenne" mais quand je passe aux trous noirs ca devient n'imp (mais vraiment n'imp, aucun doute que ce soit faux). Donc je suis bloqué sur mon "bilan de fil" qui n'a que peu d'intérêt si on cherche à "voir" des vitesses sans la trajectoire de l'objet…

Je pose actuellement la question sur le fofo physique, wait and see…

[Mailou75]

Salut,

Voici le petit récap graphique promis. Ca n'a pas été facile d'obtenir les formules des trajectoires, mais ça y est : remerciements à Resartus, Opabinia, G.Smith (de StackExchange), Calvert pour la version classique et bien sur mach3 sans qui rien n'aurait été possible.

J'ai essayé de représenter des choses "comparables" pour faciliter la compréhension. Je ne donnerai ici que les "nouvelles" formules propres à ce fil pour ne pas flooder en latex et j'ai noté un minimum de valeurs utiles pour que ça reste lisible et digeste.

Newton

En classique on utilise les formules habituelles et pour un départ depuis Ro avec une vitesse initiale supérieure à Vlib on utilisera :







On se place dans le cas de la Terre de rayon Rt=6371km. Toutes les trajectoires partent de 1,5Rt (9556,5km)
On suppose toute la masse concentrée en un point pour faire pénétrer les trajectoires en dessous de Rt.

- La courbe Verte représente une chute libre avec une vitesse initiale nulle
- La courbe Rouge représente une chute libre avec vitesse initiale égale à la vitesse de libération Vlib (9,13km/s à 1,5Rt)
- La courbe Bleue représente une chute libre avec vitesse initiale valant le double de Vlib (18,27km/s à 1,5Rt)
- En jaune, la lumière est tellement rapide (relativement aux vitesses en jeu) qu'elle est confondue avec l'axe d'espace.

Vert met 27,39min à atteindre le centre de la Terre, Rouge 11,62min et Bleu 7,20min.

En dessous on a le graph des vitesses, on constate qu'en atteignant la surface (devenue théorique) de la Terre :
- Vert a une vitesse de 6,46km/s
- Rouge 11,19km/s (c'est la vitesse de libération bien connue à la surface de la terre)
- Bleu 19,38km/s.
- Si on devait représenter la vitesse lumière, elle serait horizontale (constante) et très loin au dessus de toutes ces courbes.

Pour Bleu on utilise la formule suivante (avec le même A que précédemment, l'énergie mécanique spécifique est conservée)




Laplace

J'aurais pu mettre Michell mais je suis un peu chauvin
C'est un trou noir qui a tout d'un "trou noir classique" au sens que les formules de Newton aboutissent à un objet à la surface duquel la vitesse de libération atteint c, la lumière ne peut s'en échapper.

Pour Vert et Rouge on utilise les formules habituelles de Newton (comme on le fait pour déterminer le temps propre le long des courbes de Schw) et pour Bleu on va utiliser la formule suivante pour la trajectoire :

pour Rs=1 où K appartient à ]-∞;0[

Et celle ci pour la "vitesse" dr/dT (qui n'est pas la vitesse locale, non représentée ici)



Il se trouve, et c'est ce que voulais vérifier en premier lieu, que TOUTES les courbes de ces quatre premiers graph sont strictement identiques ! (Moyennant qu'on adapte l'échelle de Newton pour que Rt=Rs et une graduation de l'axe de temps qui va bien…)

Ce n'est pas tellement étonnant pour Vert et Rouge puisqu'on continue d'utiliser les formules classique. Ca l'est plus pour Bleu compte tenu de la logique relativiste suivie (multiplication successive des gammas, voir contenu de ce fil). Je m'attendais à obtenir une toute petite différence avec Newton mais rien, c'est strictement la même courbe, d'où le fait que j'ai nommé ce repère Laplace.

On se place dans le cas d'un trou noir de rayon Rs. Toutes les trajectoires partent de 1,5Rs

- La courbe Verte représente une chute libre avec une vitesse initiale nulle
- La courbe Rouge représente une chute libre avec vitesse initiale locale égale à la vitesse de libération Vlib (0,816c à 1,5Rs)
- La courbe Bleue représente une chute libre avec vitesse initiale locale 0,943c à 1,5Rs (ce qui correspond à K=-2 exactement, ne me demandez pas pourquoi, c'est la valeur qui donnera la même courbe que la Bleue de Newton, pour comparaison et ce n'est bien sur pas le double de Vlib cette fois)
- En jaune, la lumière est toujours confondue avec l'axe d'espace mais pour une autre raison que précédemment : cette fois c'est parce qu'un photon n'a pas de temps propre, sa trajectoire est strictement horizontale dans un repère où l'ordonnée est T)

Vert met 2,886 Rs/c à atteindre le centre du trou noir (singularité), Rouge 1,225 Rs/c et Bleu 0,759 Rs/c.
Si vous connaissez le rayon de votre trou noir vous aurez une durée en secondes

En dessous, dans le graph des vitesses, on constate qu'en atteignant l'horizon du trou noir :
- Vert a une vitesse de 0,577c (c'est 1/(z+1) où z+1 est l'effet Enistein à l'altitude de départ)
- Rouge a une vitesse c (c'est la vitesse de libération bien connue sur l'horizon d'un trou noir)
- Bleu 1,732c (rappel : ce n'est pas une vitesse locale, on peut allègrement dépasser c)
- Si on devait représenter la vitesse lumière, elle serait horizontale (constante) et infinie ! (Dans ce repère elle se déplace le long de l'axe d'espace)

NB: Pour avoir la vitesse locale de Vert par exemple, il suffit d'étirer verticalement la courbe Verte jusqu'à ce qu'elle croise le point (Rs;c), avec la Rouge : la vitesse atteinte à l'horizon est c quelle que soit l'altitude de départ. Pour Rouge, cas particulier, c'est déjà la vitesse locale.

NB pour mach3 : Ceci n'est pas un système de coordonnées RG comme pourrait l'être Newton +, cette fois toutes ces courbes n'ont pas le droit de figurer dans le même repère, il est impossible de représenter des rayons lumineux entre évènements qui correspondraient à une réalité physique.


Schwarzschild

Cette fois la formule de la trajectoire est :



(en pensant à prendre l'inverse de l'argument dans l'atanh du deuxième membre pour r<Rs)

et la formule de la "vitesse" est :

(la partie en racines carrées est la vitesse locale)

Ce sont les mêmes valeurs de départ que pour Laplace mais on décrit cette fois ce qu'en verra un observateur à l'infini. Toutes les courbes sont asymptotiques verticalement en Rs, signe que l'observateur ne verra jamais les voyageurs franchir l'horizon. Je n'ai pas mis les valeurs de temps à l'arrivée parce que ce chiffre ne correspond sans doute à rien. A l'intérieur du trou noir t est un valeur d'espace, mais c'est un autre sujet…

Vous aurez sans doute du mal à zoomer sur les pixels, mais la courbe Bleue est toujours située entre la Rouge (Vlib) et la Jaune (lumière) et c'est ce qu'on cherchait. C'est plus lisible en vectoriel, il faudra me faire confiance sur ce point...

En dessous, le graph des vitesses. Ce qu'il faut comprendre c'est que l'observateur à l'infini verra la vitesse locale ralentie de l'effet Einstein au carré car il voit les choses : ralenties de (z+1)r, c'est à dire redshiftées et compressées radialement du même facteur, d'où le carré… Par exemple pour la lumière, la valeur n'est plus c à l'approche du trou noir mais bien inférieure, voire nulle au contact avec l'horizon, c'est ce qu'on nomme l'effet Shapiro.

On voit que toutes les vitesses sont nulles en Rs. En dessous de Rs, il faut interpréter les valeurs négatives de "vitesse" comme le fait que la courbe de la trajectoire est "lue à l'envers" : quand le temps augmente verticalement, l'objet se déplace vers l'extérieur, le sens opposé de la chute donc. J'ai bien sur vérifié que dr/dt correspondait à la pente locale de la trajectoire en Schw pour toute valeur de r.

……..

En conclusion, je dirais qu'on a vérifié ici que tout était cohérent :
- Les formules classiques donnent les mêmes résultat que les relativistes en champ faible
- Les formules des "vitesses" trouvées dans ce fil correspondent bien à des trajectoires cohérentes dans un repère de Schw

Il faut bien retenir que dr/dT et dr/dt ne sont absolument pas des vitesses locales mais des "pentes de trajectoire" du repère situé au dessus, respectivement.

Mais… ce qui me chagrine c'est ce qui est dit plus haut : compte tenu de la logique suivie pour obtenir ces vitesses par "multiplication de gammas" on aurait du obtenir une différence notable entre la Bleue de Newton et la Bleue de Laplace. Sans doute qu'on se trouve toujours dans le "cas particulier" de la chute radiale qui fait que Newton=RG, le fait d'avoir une vitesse supérieure à Vlib n'y change rien.

Voilà j'espère que ça vous va comme récap

Merci d'avance pour vos réponses

Mailou

[Mailou75]

PS : Un truc que je viens juste de remarquer. Dans le graph dr/dt la courbe de la "vitesse lumière" est une p..tain d'hyperbole ! Et ça quand on fait un peu de "relativité graphique", on se dit que ça ne peut pas être un hasard…

[yves95210]

Salut Mailou,

et bravo pour ton boulot (ça t'arrive de dormir ?).

Je n'ai pas tout lu, mais j'ai un petit souci avec ça :

En dessous de Rs, il faut interpréter les valeurs négatives de "vitesse" comme le fait que la courbe de la trajectoire est "lue à l'envers" : quand le temps augmente verticalement, l'objet se déplace vers l'extérieur, le sens opposé de la chute donc.

Dans le système de coordonnées de Schwarzschild, quand t (le temps propre de l'observateur "à l'infini"), l'objet se déplace vers l'intérieur.
Ce que tu as représenté dans la partie r < Rs de ton graph, ça ressemble plutôt à des géodésique sortantes (enfin, qui n'arrivent pas à sortir puisque c'est un TN...)

D'autre part (mais je n'ai pas regardé les formules), dans ton graph (r, dr/dt), s'il s'agit de géodésiques entrantes, ce n'est pas normal que dr/dt prenne des valeurs positives pour r > Rs. D'ailleurs ton autre graph montre bien que r décroît quand t croît, et donc que dr/dt doit être négative.

En fait, en regardant les autres graph (Newton et Laplace), tu as le même problème :
tu représentes une courbe t(r) de pente négative, donc dt/dr < 0, et bien sûr dr/dt < 0. Alors que dans le graph du dessous ta "vitesse" est positive - ce qui est forcément faux pour un objet qui tombe vers l'origine (r=0) du système de coordonnées.

Bref, j'ai l'impression que tu as systématiquement inversé le signe de tes dr/dt (ou dr/dtau)

[Mailou75]

Salut,

et bravo pour ton boulot (ça t'arrive de dormir ?)

Merci (bof, je suis plutôt du genre insomniaque...)

Dans le système de coordonnées de Schwarzschild, quand t (le temps propre de l'observateur "à l'infini"), l'objet se déplace vers l'intérieur.
Ce que tu as représenté dans la partie r < Rs de ton graph, ça ressemble plutôt à des géodésique sortantes (enfin, qui n'arrivent pas à sortir puisque c'est un TN...)

Non, c’est bien une géodésique entrante discontinue. Voir par exemple ici https://physics.stackexchange.com/qu...al-coordinates un graph extrait du MTW. Pour ne rien te cacher c’est précisément celui ci qui m’avait permis, il y a quelque temps maintenant, de faire le lien entre Schw et Kruskal.

D'autre part (mais je n'ai pas regardé les formules), dans ton graph (r, dr/dt), s'il s'agit de géodésiques entrantes, ce n'est pas normal que dr/dt prenne des valeurs positives pour r > Rs. D'ailleurs ton autre graph montre bien que r décroît quand t croît, et donc que dr/dt doit être négative.
(...)

C’est juste. C’est une convention que je prends, je parle de vitesse positive pour la chute. Mais si tu veux être rigoureux mathématiquement il faut en effet mettre des - partout et faire un mirroir des courbes de vitesse. Il est même possible que certaines des formules citées donnent un resultat négatif, je n’y prette pas attention, ça ne change rien a l’ensemble.

A bientôt

Mailou