travail du champ de gravitation en relativité générale.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Dans le cadre de cette discussion-ci : ( https://forums.futura-sciences.com/d...numerique.html )
j'étais tombé sur un os concernant les vitesses lors d'une chute libre notamment quand l'observateur plonge radialement vers un TN après avoir accéléré par lui-même jusqu'à atteindre une vitesse en R supérieure à Vlib.
J'ai alors considéré ceci :
Si un chuteur , commence à chuter librement depuis la coordonnée Ro avec une vitesse initiale nulle en Ro, il atteindra la vitesse w à la coordonnée R telle que :

soit un coeff de Lorentz de

Le travail du champ de gravitation est donc
et
Remarquant que pour une vitesse de libération en R de v et une vitesse de libération en Ro de u on a :
et
on remarque que si le chuteur atteint Ro avec la vitesse u et R à la vitesse v alors on a :

je voudrais savoir pouquoi nous avons une telle relation et non pas quelque chose du genre :

???????
-----

[Mailou75]

Salut,

on remarque que si le chuteur atteint Ro avec la vitesse u et R à la vitesse v alors on a :

je voudrais savoir pouquoi nous avons une telle relation (...)

Tout simplement parceque ton Yw est exactement la différence de potentiel entre Ro et R
Du coup pour une energie au repos E (=mc2)
Tu trouves une énergie totale Eu=Yu.E en Ro
et une energie totale Ev=Yv.E en R
comme Yw=Yv/Yu par définition tu trouves ta relation : Ev=Yw.Eu

[Zefram Cochrane]

Oui mais ma question c'est pourquoi avons nous Ev = Yw.Eu plutôt que, ce qui parait plus logique au regard de la dynamique, Ev = Eu + ( Yw - 1)mc² ?

[Mailou75]

Re,

(...) ce qui parait plus logique au regard de la dynamique, Ev = Eu + ( Yw - 1)mc² ?

Une écrite proche mais juste donne Ev = E + (Yw - 1/Yu).Eu
qui dit la même chose que Ev = E + (Yv - 1).E

Ta formule n’est pas si logique que ça car elle dit :

Energie totale en R = Energie totale en Ro + Energie cinétique acquise en R pour une chute sans vitesse initiale depuis Ro

...or il n’y a aucune raison pour que les vitesses de chute depuis une altitude quelconque aient un lien avec une vitesse entre Ro(max) et R fixés. C’est même sur que non puisque tu as déjà proposé cela sur l’autre fil et tu as toi même constaté que c’etait faux. Ensuite, même si c’était le cas ta formule oublie de mentionner la perte d’énergie potentielle entre Ro et R et tu as l’air d’essayer d’equilibrer les énergies

Tu peux toujours pondre des formules au hasard (et je te remercie d’avoir ouvert un fil différent...) mais tu as peu de chances de faire mouche. Es tu allé voir Mizony, Martel et Poisson ? Ils ont proposé des solutions à ce que tu cherches et ça n’a pas l’air trop complexe. Je ne crois pas que ce soit «officiellement validé» mais il n’y a rien d’autre sur le marché

[A voir en vidéo sur Futura]

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Je n'ai pas trouvé leurs discussions donc si tu as des liens, cela m'intéresse.
Pour ce qui est du Ev= (Yu + Yw - 1).mc² = , la formule est logique au contraire parce que (Yw - 1).mc² correspond, théoriquement, au travail de la force gravitationnel entre Ro et R, ce travail étant indépendant de la vitesse d'arrivée en Ro du mobile; c'est ce qu'on devrait trouver à partir du théorème de l'énergie cinétique.
Le problème est que numériquement, on trouve que lorsqu'on part de R à Vlib on arrive en Ro avec une vitesse U > Ulib; d'où la contradiction :
Là, on a une relation Ev = Eu * Yw . Si mathématiquement cette relation se justifie et lève la contradiction , j'aimerai bien savoir comment physiquement, on peut interpréter cette relation.

[Mailou75]

Salut,

Là, on a une relation Ev = Eu * Yw . Si mathématiquement cette relation se justifie et lève la contradiction , j'aimerai bien savoir comment physiquement, on peut interpréter cette relation.

Pour moi c’est parce que :

Tout simplement parceque ton Yw est exactement la différence de potentiel entre Ro et R.

Et ça marche pour Vlib mais ça ne marcherait pas pour une vitesse quelconque.

Je vais laisser le soin à d’autres de répondre de manière plus pertinente.

A+

[Zefram Cochrane]

Bonjour

Ton Yw est simplement la différence entre Ro et R

Sans ce que cela remette en cause ton analyse ci-dessus

Et ça marche pour Vlib mais ça ne marcherait pas pour une vitesse quelconque.

Je vais laisser le soin à d’autres de répondre de manière plus pertinente.

A+

Si ça marche pour des vitesses autre que Vlib :
J'ai testé le cas où le chuteur part de Rmax avec une vitesse nulle il passe en Ro avec une vitesse u et arrive en R avec une vitesse v.
J'au calculé la vitesse acquise u du fait du champ de gravitation entre Rmax et Ro



J'ai calculé la vitesse acquise w du fait du travail du champ de gravitation entre Ro et R



J'ai calculé la vitesse acquise v du fait du travail du champ de gravitation entre Rmax et R



J'ai vérifié l'égalité :


à partir de cette dernière formule, j'ai regardé le cas ou le chuteur part de Ro avec une vitesse U> Ulib et celui ou le chuteur part de R vers Ro avec une vitesse V>Vlib.
On trouve dans tous les cas de figure les choses suivantes :
V>Vlib et U>Ulib et V<U ()

[Zefram Cochrane]

Correction V>U
ce que je voulais dire c'est que

[Mailou75]

Salut,

Si ça marche pour des vitesses autre que Vlib :

Ok vu, tu marques un point

C'est même extrêmement intéressant !

On a vu que la différence de "potentiel" entre deux altitudes Rmax et R (delta z+1) valait le gamma Y qu'acquiert en R un voyageur parti de Rmax avec une vitesse initiale nulle. On peut donc empiler les "delta z+1" comme une somme de "petits chuteurs" et la multiplications de leurs Y respectifs donnera toujours le Y' d'une chute libre sur un intervalle plus grand. Il est tout à fait naturel que multiplier les "delta z+1" donne un z+1 total au regard des maths de Schw et il est naturel aussi que si l'intervalle est infini ça fonctionne toujours et que le Y local d'une chute libre depuis l'infini soit le z+1 local (effet Einstein). Rien de neuf donc, mais une excellente façon de voir le choses, merci !

......

(Les pointillés c'est parce que j'estime que c'est un sujet différent)

à partir de cette dernière formule, j'ai regardé le cas ou le chuteur part de Ro avec une vitesse U> Ulib
et celui ou le chuteur part de R vers Ro avec une vitesse V>Vlib.
On trouve dans tous les cas de figure les choses suivantes :
V>Vlib et U>Ulib et V<U ()

Pô compris (réessaye en imaginant que je ne suis pas dans ta tête ^^)

Correction V>U
ce que je voulais dire c'est que

La différence entre la Vlib et ta vitesse de chute supérieure s'accroit au cours de la chute ?
Pourquoi pas... mais là je ne suis pas capable de te répondre. Il faudrait tester déjà si ça colle en champs faible, au minimum, après...

A+

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
J'ai fait le test pour les champs faibles, ça fonctionne très bien.


C'est plutôt l'inverse
Cela peut paraître étrange que si je tire une balle verticalement vers le haut avec une vitesse V>Vlib que la vitesse résiduelle de la balle à l'oo .
C'est logique quand on prend le problème à l'envers et qu'on tire une balle verticalement vers le bas avec une vitesse U > Ulib puisque la vitesse de libération V converge vers c quand R est proche de Rs.

[Mailou75]

Salut,

Si tu pouvais decrire un peu ce que tu fais :
- Que sont U et V et comment fixes tu leur valeur et leur evolution ?
- Comment compares tu avec le meme probleme en champ faible (6e chiffre apres la virgule, formules) ?
- Quel est le sens des < et > pourquoi c’est logique, ou pas, pour toi ?
Bref expliquer ce tu cherches et fais, ca sera plus facile d’avancer en evitant les hors sujet ou les questions de décryptage

Pour moi il y a un probleme de fond. Arriver à l’infini avec une vitesse non nulle c’est pouvoir aller plus loin que l’infini (comme le captain Flam ^^). L’observateur de Schw definit qq chose de bien précis et c’est pour ça que Mizonny et compagnie et maintenant Zef se cassent les dents sur un sujet qui, conceptuellement, n’a peut être pas de réponse. Pour obtenir une vitesse de chute superieure a Vlib d’où est parti le chuteur, quelle géodesique a t il suivi ? Aucune puisqu’il aura du accélérer ce qui l’extrait comme possibilité de la solution «vide» de Schw. Bref, ce n’est pas tant les calculs qui me dérangent que leur sens. Tu t’attaques à un sujet épineux, sois en concient, et pour lequel tu n’obtiendra peut etre pas de réponse sure.

Bon courage, a+

[Zefram Cochrane]

sur le tableur on prend Rs = 1 :
Colonne A : Rmax = ALEA.ENTRE.BORNES( 1 ; 100000000 )
Colonne B : Ro = ALEA.ENTRE.BORNES (1 ; Rmax)
Colonne C : R = ALEA.ENTRE.BORNES ( 1; Ro)
Colonne D : u = 1/RACINE(Ro)*RACINE((Rmax - Ro)/(Rmax-1))
Colonne E : Yu = 1/RACINE (1-u^2)
Colonne F : w = 1/RACINE(R)*RACINE((Ro - R)/(Ro-1))
Colonne G : Yw = 1/RACINE (1-w^2)
Colonne H : Y = Yu * Yw
Colonne I : v = 1/RACINE(R)*RACINE((Rmax - R)/(Rmax-1))
Colonne J : Yv = 1/RACINE (1-v^2)
Colonne K : VERIF = Yv - Y = 0.000000000

[Zefram Cochrane]

Pour moi il y a un probleme de fond. Arriver à l’infini avec une vitesse non nulle c’est pouvoir aller plus loin que l’infini (comme le captain Flam ^^).

Tu tires au fusil verticalement vers le haut une balle avec une vitesse de départ V>Vlib , elle atteindra l'oo avec une vitesse résiduelle U c'est à dire que plus elle s'éloignera radialement du TN plus sa vitesse d'éloignement tendra vers cette vitesse résiduelle.
Dans le cas inverse ou tu tires une balle verticalement vers le bas avec une vitesse de départ U> Ulib plus elle s'approche du TN et plus a vitesse V à la coordonnée R tend vers c.
Tu peut également partir à bord d'une fusée en R_max avec une vitesse nulle, accélérer vers le TN et passer la coordonnée Ro avec une vitesse U > Ulib .

[Mailou75]

Re,

sur le tableur on prend Rs = 1 :
Colonne A : Rmax = ALEA.ENTRE.BORNES( 1 ; 100000000 )
(...)

Ok ça c’est vu et j’ai donné une conclusion «généralisée» au message 9.

J’attendais le sens et le calcul de U et V, leur variation pendant la chute, leur comparaison au cas classique et les incongruités que tu relevées. Tout ce dont tu parlais il me semble, mais de façon plus construite.

Ensuite tu tentes de répondre a mes inquiétudes, pas à mes questions

Tu tires au fusil verticalement vers le haut une balle avec une vitesse de départ V>Vlib , elle atteindra l'oo avec une vitesse résiduelle U c'est à dire que plus elle s'éloignera radialement du TN plus sa vitesse d'éloignement tendra vers cette vitesse résiduelle.

C’est bien le problème. Quand une balle tirée à Vlib finira par s’arreter à l’infini, à coté de l’observateur de Schw... avec tout son arsenal mathématique cohérent, ta balle ira plus loin et reculera la position de l’infini, ruinant l’edifice de Schw. [Intuition personnelle non fondée]

Dans le cas inverse ou tu tires une balle verticalement vers le bas avec une vitesse de départ U> Ulib plus elle s'approche du TN et plus a vitesse V à la coordonnée R tend vers c.

Toujours le même problème, la balle ne suit pas une géodésique. La balle la plus rapide partie en chute libre depuis l’infini va à Vlib, si la tienne a une vitesse supérieure c’est : soit qu’elle est partie de plus loin, soit qu’elle a subi une accélération. Le deuxième cas n’est pas plus compatible avec un modèle «vide» car suppose une énergie suplémentaire [demande confirmation...]

Tu peut également partir à bord d'une fusée en R_max avec une vitesse nulle, accélérer vers le TN et passer la coordonnée Ro avec une vitesse U > Ulib .

Pareil, accélération = consomation d’energie = pas géodésique de chute, or ce qu’on cherche est une chute.
Bref je ne suis pas pertinent sur le sujet donc je vais arrêter...

Bon courage A +

[Zefram Cochrane]

Bonjour,

C’est bien le problème. Quand une balle tirée à Vlib finira par s’arreter à l’infini, à coté de l’observateur de Schw... avec tout son arsenal mathématique cohérent, ta balle ira plus loin et reculera la position de l’infini, ruinant l’edifice de Schw. [Intuition personnelle non fondée]

Je distingue une erreur dans ta représentation de Vlib.
La Vlib ce n'est pas la vitesse à laquelle la balle doit être tirée verticalement vers le haut depuis une coordonnée R pour atteindre l'oo avec une vitesse nulle; la vitesse de libération c'est la vitesse à laquelle la balle doit être tirée verticalement vers le haut depuis une coordonnée R pour s'éloigner indifiniment de l'astre avec une vitesse tendant à devenir nulle.
Ton observateur de Schwarzschild est soit un observateur situé à Roo >> R, mais à Roo fini dans une station qui doit accélérer de manière infime pour se maintenir stationnaire à Roo, soit un observateur situé à Roo qui s'éloigne de l'astre à une Vlib appoximativement nulle.

Pour une vitesse initiale en R: V>Vlib, la balle s'éloignera indifiniment de l'astre avec une vitesse résiduelle Uoo non nulle.

Toujours le même problème, la balle ne suit pas une géodésique. La balle la plus rapide partie en chute libre depuis l’infini va à Vlib, si la tienne a une vitesse supérieure c’est : soit qu’elle est partie de plus loin, soit qu’elle a subi une accélération. Le deuxième cas n’est pas plus compatible avec un modèle «vide» car suppose une énergie suplémentaire [demande confirmation...]

Prenons le cas ou l'observateur de Schwarzschild est un observateur qui s'éloigne de l'astre avec une vlib approximativement nulle ( je préfère cette définition parce que l'observateur de Schwarzschild est en apesanteur tandis que dans l'approxiamation Roo = OO , il n'est qu'approxiamativement en apesanteur). Il tire une balle verticalement vers le TN à une vitesse Uoo>0
on a [B]Ev=Eu*Yw[B]
avec
pour R > Rs , Yw sera fini et dont Ev sera fini aussi même s'il devient énorme et donc V < c. Ce ne sera que lorsque R=Rs que Yw = +oo et donc que Ev = +oo et que V=c .

Pareil, accélération = consomation d’energie = pas géodésique de chute, or ce qu’on cherche est une chute.
Bref je ne suis pas pertinent sur le sujet donc je vais arrêter...

https://fr.wikipedia.org/wiki/Géodésique
<< en physique, les géodésique décrivent le mouvement des particules libres >>
Donc si j'accélère depuis R_max pour avoir une vitesse U ( peu importe la valeur de U) en Ro et qu'en Ro, j'ai cessé d'accélérer, alors de Ro à R je suis en chute libre et donc je suis une géodésique.

Les problèmes que tu évoques ( par exemple : <<La balle la plus rapide partie en chute libre depuis l’infini va à Vlib>> ce qui est faux) vient de l'erreur de représentation de la vitesse de libération.
J'espère que ma correction te seras utile pour tes recherches perso.
......................
est peut-être un détail sans importance.

Je pense qu'il vaut mieux se concentrer sur la formule Ev = Eu*Yw parce qu'elle pose la question de savoir si on peut encore parler d'énergie potentielle de gravitation puisque ne semble plus être valide en RG.
????????????

[Mailou75]

Salut,

J'espère que ma correction te seras utile pour tes recherches perso.

Non malheureusement, tu eludes les problèmes soulevés et tes arguments sont aussi peu etayés que les miens... Avec une formule «juste» je pourrais toujours m’asseoir sur mes convictions mais là, on est sur de rien. Et très honetement, si la solution était aussi simple il n’y aurait pas de litige sur le probleme. Désolé mais même si je comprends ta logique pour moi le sujet n’est pas clos.

Un argument qui te touchera peut etre : Si l’origine d’un trou noir est un trou blanc (sans aucun apport d’énergie extérieure) alors les trajectoires que tu proposes ne correspondent pas aux géodésiques d’une extension maximale mais isolée.

Bref, sans l’intervention de plus compétent que nous on ne tranchera pas ici

[Zefram Cochrane]

Je ne comprends pas très bien ce que tu entends pas << tu éludes les problèmes soulevés >> ???
Nous sommes sûrs des formules pour U <= Ulib.
donc pour les formules du message 7 :
d'où :

on a :

il est facile de vérifier que Yv = Yu * Yw

......
Il n'y a pas de raison pour que la vitesse de départ de U soit nulle en Roo parce que Rmax peut être très très grand :
Si tu prend l'hypothèse d'un observateur de Schwarschild dans une station spatiale stationnaire en Roo , soit ta station accélère légèrement pour se maintenir stationnaire en Roo, soit elle est en chute libre.
on part du principe que la station maintient une accélération verticale pour se maintenir stationnaire en Roo.
Si ton observateur de schwarzschild lâche une balle celle-ci commencera une chute libre et arrivera en Ro avec une vitesse approximativement égale à Ulib.
par contre rien n'empêche l'observateur de schwarzschild de lancer une balle depuis Roo avec une vitesse de chute nettement supérieur à 0.
La question litigieuse qu'il faudrait trancher est : l'énergie d'un chuteur de masse m est elle en Ro et celle en R ???
et je te rejoins sur la nécessité d'une confirmation de la part d'une tierce personne compétente.

[Mailou75]

Nous sommes sûrs des formules pour U <= Ulib.
donc pour les formules du message 7 :
d'où :

on a :

il est facile de vérifier que Yv = Yu * Yw

Oui, pour la troisième fois, ceci est vu. Je t’en felicite et remercie mais le sujet n’est plus là.

......

Je ne comprends pas très bien ce que tu entends par << tu éludes les problèmes soulevés >> ???

Tu n’entends pas ce que je te dis : un TN de Schw c’est une source d’énergie ponctuelle, centrale et basta. A l’affirmation «rien n'empêche l'observateur de Schwarzschild de lancer une balle depuis Roo avec une vitesse de chute nettement supérieure à 0» je dis si, tout l’empêche ! Rien ne l’autorise a user de moyen de propulsion ni même à exister autrement que comme une particule test (sans masse sans pour autant aller à c). Il ne peut pas lancer qq chose ou accélérer lui même, sinon tu n’es plus dans la solution de Schw. [enfin j’en sais rien mais je ne le sens pas]

On s’autorise à simuler des voyageurs mais il n’apportent aucune énergie sous aucune forme. Quand on parle des immobiles à r constant (accélérés) c’est en fait une somme d’objets en apesanteur (chute libre) à leur point d’apoastre, dans une situation identique à un accéléré qui de façon infinitésimale n’accélère pas, un inertiel : deux situations pour un même vecteur unitaire, ils sont confondus (on suppose que la géodésique d’ascension provient du trou blanc). Ca n’apporte pas grand chose, ça permet juste d’etre cohérent : aucune énergie autre que M. C’est aussi pour ça que je m’intéresse à ceux qui tournent en rond, ce sont des r constant crédibles.

.....

A nouveau ce ne sont que mes inquiétudes. Le travail que tu dois effectuer porte sur la définition de tes vitesses de chute, de leur evolution, puis les comparer au cas classique et en tirer des conclusions. Ce que je pense importe peu. J’ai l’impression de radoter... ah non c’est pas une impression.

Bon courage A +
(ça aussi je l’ai déjà dit ^^)

[Zefram Cochrane]

Bonjour Mailou,

Deux remarques par rapport à ton dernier message.

Si j'ai bien compris, selon toi :
Un observateur de Schwarzschild ( particule ponctuelle ) ne pouvait lancer de balles en direction du TN parce que la vitesse de la balle la plus rapide provenant depuis l'oo est en R égale à Vlib.

il me semble que :
On ne peut peut-être pas assimiler le noyau d'un atome à une particule ponctuelle mais des radionucléideshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Radioactivité situés à Roo du TN peuvent engendrer des produits de désintégration chutant radialement vers le TN à une vitesse supérieure à Vlib.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sursaut_gamma
par ailleurs l'inverse ne devrait pas être possible non plus ; c'est-à-dire qu'aucune particule ne devrait pouvoir remonter radialement les gradients de gravitation à une vitesse supérieure à Vlib ce qui ne semble pas être le cas pour ce qui est des électrons émis par les jets relativistes des TN (https://fr.wikipedia.org/wiki/Jet_(astrophysique))
Bien sûr ces remarques demandent confirmation.

Je ne comprends pas pourquoi tu dis que je dois définir les vitesses de chute puisque nous avons une vitesse locale de chute ( < Vlib c'est vrai) parfaitement définie me semble-t'il ?
de là le calcul du facteur de Lorentz correspondant l'est aussi et l'énergie d'une particule Ev=Yv*mc² ou Eu=Yu*mc² l'est aussi
que te faudrait-il de plus?

[Mailou75]

Salut,

il me semble que :
On ne peut peut-être pas assimiler le noyau d'un atome à une particule ponctuelle mais des radionucléideshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Radioactivité situés à Roo du TN peuvent engendrer des produits de désintégration chutant radialement vers le TN à une vitesse supérieure à Vlib.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Sursaut_gamma
par ailleurs l'inverse ne devrait pas être possible non plus ; c'est-à-dire qu'aucune particule ne devrait pouvoir remonter radialement les gradients de gravitation à une vitesse supérieure à Vlib ce qui ne semble pas être le cas pour ce qui est des électrons émis par les jets relativistes des TN (https://fr.wikipedia.org/wiki/Jet_(astrophysique))
Bien sûr ces remarques demandent confirmation.

Pas d’accord. La solution de Schw est MATHEMATIQUE sans aucune énergie/matière autre que la M centrale. Tous tes exemples supposent autre chose.

Je ne comprends pas pourquoi tu dis que je dois définir les vitesses de chute puisque nous avons une vitesse locale de chute ( < Vlib c'est vrai) parfaitement définie me semble-t'il ?
de là le calcul du facteur de Lorentz correspondant l'est aussi et l'énergie d'une particule Ev=Yv*mc² ou Eu=Yu*mc² l'est aussi que te faudrait-il de plus?

Bon... si je te suis, tu supposes que pour une vitesse de chute suppérieure a Vlib en Ro on aurrait disons un Y donné. Que pour une chute libre entre Ro et R on a un Y’ acquis pendant la chute ET que la règle précedement edicitée continue de fonctionner soit : en R un gamma total Y*Y’ qui correspondrait à une vitesse de chute (a priori supérieure a Vlib). C’est ça que j’appelle la règle d’évolution des vitesses mais pour moi rien ne garantis qu’elle soit juste (je pense même que c’est faux).

Pour convaincre le minimum est de comparer avec le cas classique, ensuite aux solutions de Mizony, Martel & Poisson. Montrer que ta solution est juste/meilleure et en faire une démonstration rigoureuse par les équations de la RG (voir avec mach3..?). D’où le :

Bonne chance

[mach3]

Salut, je suis de loin et j'ai pour l'instant trop de lacunes pour intervenir. Je travaille à combler les manques. Première étape, etablir la formule générique de la vitesse radiale dr/dt de toute geodesique radiale. Je trouve :

Cela vérifie bien l'équation des geodesiques. Cela couvre tous les cas, même le genre espace. Il suffit de choisir une valeur pour K. On voit tout de suite que K=0 est le cas de la chute libre depuis l'infini sans vitesse initiale, et que K=1/r_max est le cas d'une chute libre avec culmination en r_max. Il y a une valeur de K qui donne le genre nul et des intervalles de valeurs pour K qui couvrent d'une part le genre espace et d'autres part les chutes libres depuis l'infini avec vitesse initiale (je ne les ai pas encore déterminés).
Ensuite je pourrais étudier la 4-vitesse dans tous les cas de chute et enfin je m'intéresserais à l'aspect énergétique en étudiant la 4-impulsion.

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Merci beaucoup Mach3 pour ton aide
Il sera intéressant d'étudier tous les genres et si on peut t'aider ( schéma ou autres) n'hésites pas. De mon coté je vais tâcher de déterminer rigoureusement en fonction de r pour tout type de vitesses initiales au départ de r.
Sinon voici la comparaison, dans l'hypothèse ou Ev = Eu*Yw soit juste, avec la gravitation newtonienne.

Le travail que tu dois effectuer porte sur la définition de tes vitesses de chute, de leur evolution, puis les comparer au cas classique et en tirer des conclusions. Ce que je pense importe peu. J’ai l’impression de radoter... ah non c’est pas une impression.

En gravitation newtonienne tout comme dans la métrique de Schwarschild , la vitesse de libération est à la coordonnée R : et tout comme dans le cadre d'un TN de Schwarzschild on peut définir dans le cadre de la gravitation le rayon d'un astre noir (AN) avec une différence notable est que dans le cadre de la gravitation newtonienne, si le Soleil était un astre noir, le Soleil serait visible depuis la Terre, parce que la Terre n'est pas à l'oo du Soleil.
Mais en gravitation newtonienne on retrouve qualitativement les même choses selon que V soit inférieure, égale ou supérieure à la vitesse de libération :
V<Vlib : la trajectoire est une parabole, et après avoir atteint une altitude Rmax fini avec une vitesse nulle retombe vers R à V
V=Vlib : le mobile s'éloigne indéfiniment de l'AN et sa vitesse résiduelle tend à devenir nulle
V>Vlib : le mobile s'éloigne indéfniment de l'AN et sa vitesse résiduelle tend à se stabiliser.

[mach3]

la formule générique de la vitesse radiale dr/dt de toute geodesique radiale. Je trouve :

Cela vérifie bien l'équation des geodesiques. Cela couvre tous les cas, même le genre espace. Il suffit de choisir une valeur pour K. On voit tout de suite que K=0 est le cas de la chute libre depuis l'infini sans vitesse initiale, et que K=1/r_max est le cas d'une chute libre avec culmination en r_max. Il y a une valeur de K qui donne le genre nul et des intervalles de valeurs pour K qui couvrent d'une part le genre espace et d'autres part les chutes libres depuis l'infini avec vitesse initiale (je ne les ai pas encore déterminés).

On a (en se restreignant à la région I, c'est à dire r>2M, je n'ai pas résolu pour la région II):
du genre temps pour , qui se subdivise en 3 cas
-, chute radiale avec culmination en 1/K
-, chute radiale avec vitesse nulle à l'infini
-, chute radiale avec vitesse non nulle à l'infini (vitesse à l'infini qui vaut alors )

du genre nul si K diverge
du genre espace pour
de l'indéfini si , en fait cela donne un dr/dt infini et il s'agirait des géodésiques de genre espace horizontales (de t constant) dans les représentation (r,t).

m@ch3

[mach3]

Variante (peut-être plus sympa, simple changement de variable) :



du genre temps pour , qui se subdivise en 3 cas
-, chute radiale avec culmination en
- , chute radiale avec vitesse nulle à l'infini
-, chute radiale avec vitesse non nulle à l'infini (vitesse à l'infini qui vaut alors )

du genre nul si
du genre espace pour
Enfin, si L diverge, dr/dt diverge et il s'agirait des géodésiques de genre espace horizontales (de t constant) dans les représentation (r,t).

m@ch3

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
je préfère la seconde forme avec L parce que pour L=0 on trouve de dr/dt =( 1 - 2M/r)
pour le reste j'ai fait le calcul pour Rmax = 2ML /(2M+L)
on retrouve bien
donc c'est bonheur.
comment as-tu fait pour ?

Qu'entends-tu par :
<<Enfin, si L diverge>> ?

[mach3]

comment as-tu fait pour ?

Je suis parti des dr/dt qu'on connait déjà bien, ceux pour la chute libre avec culmination et pour la chute libre avec vitesse nulle à l'infini, et j'ai remarqué qu'en réarrangeant la première elle pouvait ressembler encore plus à la seconde, (1-2M/r) multiplié par un radical. Au départ, j'avais des 1/rmax dedans (pratique, ce terme devient nul quand rmax diverge, donc on retombe sur le cas vitesse nulle à l'infini qui équivaut à une culmination à l'infini), que j'ai remplacé par une variable K. C'est psychologique, mais le fait qu'on ne voit plus rmax fait oublier le sens physique et on peut alors s'amuser à voir ce qui se passe pour toute valeur de K, même celle qui donnent un rmax "débile" (inférieur à 2M, ou négatif). J'ai fait l'hypothèse que ma nouvelle expression avec des K était l'expression générale pour toute géodésique radiale. J'ai vérifié que l'équation des géodésiques était bien vérifiée pour toute valeur de K (même les "débiles"). Donc toute ligne de l'espace-temps qui est décrite par ce dr/dt est bien une géodésique. Enfin, on voit bien que toutes les valeurs possibles de dr/dt (même celles supérieures à (1-2M/r) donc supraluminique, c'est à dire du genre espace) sont couvertes pour un évènement donné, donc toutes les géodésiques radiales qui passent en un évènement sont décrites par l'expression de dr/dt.
On a donc une vraie expression générale pour toutes les géodésiques radiales de Schwarzschild, chute avec culmination, avec vitesse nulle à l'infini, vitesse non nulle à l'infini, genre nul, genre espace.

Qu'entends-tu par :
<<Enfin, si L diverge>> ?

ça tend vers l'infini

m@ch3

[mach3]

Je trouve comme coordonnées pour une 4-vitesse (donc genre temps, donc L<0) :


Si on considère la 4-vitesse d'un immobile en r, de coordonnées , alors le facteur gamma est de, sauf erreur :


à suivre...

[Zefram Cochrane]

Bonsoir,
affaire suivie , J'ai faits quelques calculs de mon côté
Je prends la formule de la vitesse résiduelle ( vitesse à l'oo) :

cela me donne le facteur de Lorentz correspondant :

je calcule la contribition du champ de gravitation entre l'oo et Ro ; c'est-à-dire le facteur de Lorentz correspondant à la vitesse de libération Ulib :

soit :
Je fais le produit :
c'est-à-dire :
ce qui me donne la vitesse u en Ro :

Je calcule la contribution du champ de gravitation entre Ro et R; c'est-à-dire le facteur de Lorentz corresponant à la vitesse w en R en partant d'une vitesse nulle en Ro

soit
je calcule
c'est-à-dire :
soit la vitesse v en R :

Nous avons bien
Je n'ai qu'un seul mot à dire : MERCI.
J'ai deux questions :
Pouvons-nous dire pour autant que Ev = Eu * Yw ?
Quel sens physique donnerais-tu à L?
Cordialement,
Zefram

[Mailou75]

Salut,

On a (en se restreignant à la région I, c'est à dire r>2M, je n'ai pas résolu pour la région II):
du genre temps pour , qui se subdivise en 3 cas
-, chute radiale avec culmination en 1/K
-, chute radiale avec vitesse nulle à l'infini
-, chute radiale avec vitesse non nulle à l'infini (vitesse à l'infini qui vaut alors )

du genre nul si K diverge
du genre espace pour
de l'indéfini si , en fait cela donne un dr/dt infini et il s'agirait des géodésiques de genre espace horizontales (de t constant) dans les représentation (r,t).

Joli travail

Par contre j’ai toujours du mal avec l’interprétation, voilà comment je vois les choses (je prefère conserver K pour ma part) :

K=1/Rmax, K est donc toujours positif compris entre K=0 (départ de l’infini) et K=oo départ de r=0. Les K négatifs sont à mon sens les «débiles», car avec cette définition de K ils n’ont aucun sens.*

- Pour K=0 on a un Rmax=oo
- Pour 0>K>1/Rs on a Rs<Rmax<oo (le cas standard)
- Pour K=1/Rs on a la chute «limite» Rmax=Rs (pas indéfini, mais Le genre temps en region II )

Je m’arrêterais bien ici mais on peut peut être ajouter :
- Pour 1/Rs<K<oo on a 0<Rmax<Rs, soit des objets qui chutent depuis l’intérieur du TN. A nouveau, ce qui est de genre espace en (r;t) de Schw devient de genre temps en region II. Mais... le problème c’est que ce type de trajectoire (Rmax<Rs à t=0) n’est pas couvert ** par les coordonnées de Schw (ou autre), tu te trouves dans l’amande d’un Newton+...

*je vais quand même essayer d’y réfléchir mais ça me fait un peu mal :
** pas du tout, même du genre espace

Merci

[Mailou75]

Arf, ça marche trop bien pour etre faux, je vais devoir m’inclinder : l’objet a une énegie supplémentaire Y à l’infini (il part avec Y.E, pas seulement E)

GG à vous

PS : @mach3, peux tu preciser le changement de variable de K vers L stp ? mci
PS2 : bravo Zef pour ce calcul «expliqué»