Jamais rien ne tomba dans un trou noir ?

[bernarddo]

Certes, mais rho, (comme alpha qui, lui, est une constante vraie), existe sur tout le domaine couvert par le système de coordonnées.

Le fait qu'il prenne une valeur fixe pour x1 (ou r) =0, n'en fait pas une constante sur le domaine, et sert juste à préciser son expression par rapport à r.

Ce qui le rend dépendant de x1, ou de r, comme vous voulez.
-----

[mach3]

C'est inexact. Rho prend la même valeur sur tout l'espace-temps. On n'en reparle quand j'aurais le temps.

m@ch3

[bernarddo]

Bonjour,

ce ne sera pas la peine, il suffisait d'ailleurs de lire l'expression (13) de Schwarzschild, je me suis viandé en précipitant ma réponse, ce qu'on me reprochait déjà en primaire

Le bonneteau reste cependant d'actualité:

L'existence de rho (vraie constante), revient à créer une translation sur la coordonnée x1 (ou r) , que Karl met en oeuvre pour redonner à x1 sa valeur de définition initiale r^3/3.

Votre passage par la dérivée, qui "évite" ou "efface" la translation, couplée à l'utilisation de A comme coordonnée radiale, m'avait fait perdre le fil, et empêché de goûter toute la subtilité de la manip

[mach3]

Commentaires sur le message du 26 octobre :

J’en déduis donc que le calcul de Schwartzschild, que nul à ma connaissance n’a mis en défaut, est impeccable (et continûment astucieux) jusqu’à son obtention des expressions f1, f2 (f3) et f4, et qu’il est dans le vrai lorsqu’il en tire la conclusion qu’elles remplissent toutes les conditions de départ, excepté la condition de continuité (4) qu’il avait seul posée au départ (pour devoir être respectée partout sauf, nécessairement, au point x1 = 0, pour lequel les caractéristiques physiques de la masse ponctuelle deviennent indéterminées, induisant obligatoirement une indétermination mathématique quelque part dans les expressions en ce point)).

Oui, la résolution est sans erreur, et on abouti à l'expression suivante pour la métrique



Mais cette expression présente des problèmes, car les coefficients de la métrique ne doivent pas s'annuler ou diverger en un quelconque endroit de la carte. Si c'est le cas, les endroits en question doivent être exclus de la carte, et si cela coupe la carte en plusieurs morceaux disjoints, on se retrouve avec plusieurs cartes et non plus une seule. Un exemple en cartographie est la projection orthogonale, l'expression de la métrique utilisant les coordonnées de cette projection y est singulière le long d'un équateur et on a donc deux cartes, une pour chaque hémisphère défini par l'équateur.

Karl souhaite que la carte qu'il a choisi pour représenter la situation, c'est à dire R⁴ privé d'une droite, soit valide, c'est à dire qu'aucune divergence ou annulation d'un coefficient de la métrique n'y apparaissent. Si cela se produisait, il serait obligé de revoir son choix de carte.

Le constat que l’expression f1 recèle un tel problème d’indétermination, valide l’affirmation (et l’exception qui s’y attache) de son exigence de continuité, lui permet, en ramenant cette indétermination au point (origine des coordonnées) où elle était attendue, de fixer de façon univoque la seconde constante d’intégration du calcul, sur ce qui doit être considéré comme une seconde condition aux limites, (la première ayant été fixée par la première condition aux limites, celle existant à l’infini), et assure ainsi l’unicité de sa solution. Calcul on ne peut plus banal, accessible au plus grand nombre

La fixation de la constante par Karl répond justement à cette exigence d'avoir comme carte R⁴ privé d'une droite.

Bien que Karl n’ait pas éprouvé le besoin de justifier l’établissement de cette condition de continuité, (tellement elle est sous-tendue par l’ensemble des observations de notre monde et des présupposés de la science),

Il n'a pas besoin de justifier, c'est une pratique normale, l'expression de la métrique au sein d'une carte ne doit pas avoir de divergence, sinon il faut exclure des points de la carte ou découper la carte en cartes plus petites.

elle peut (et à mon sens, doit) être comprise comme la condition mathématique du plongement de sa solution dans l’espace-temps physique, son unicité mathématique indiquant clairement que tout autre mode de fixation de la seconde constante d’intégration (par exemple celui de Hilbert), expulse la solution de cet espace-temps (physique, pour le territoire, et R4 en mathématiques), pour entrer dans un espace de représentation, (celui des cartes), avec toutes les distorsions et ruptures de continuités imaginables.

C'est amusant, car c'est un peu le contraire. Karl veut représenter l'espace-temps physique (ou au moins un morceau de celui-ci), le territoire, dont la géométrie n'est pas connue a priori, dans une carte qui est R⁴ privé d'une droite. Seulement, si on impose que t soit temporel (*), alors la solution qu'on trouve avant la fixation de la constante convient pour une carte qui est R⁴ privé d'un cylindre sphérique plein si , R⁴ privé d'une droite si avec en plus l'absence de divergence au centre si (une partie de l'espace-temps "extérieur" n'est pas cartographié). Cela ne change rien au niveau physique, l'espace-temps décrit est toujours le même, mais on change la carte qui sert à le décrire.

*: condition nécessaire si on veut se limiter à une unique carte

Commentaire sur le message du 29 octobre :

l’ensemble des 4 posts précédents donne une vision complète et explicative du calcul de Schwarzschild, et qui le valide mathématiquement, ce qui me remplit encore plus d’admiration pour lui, maintenant que vous avez exposé toutes les finesses de son calcul, à moi, simple utilisateur, même averti, des mathématiques de l’ingénieur, qui n’en avais même pas saisi toutes les arcanes.

Nous avons probablement tous appris des choses en faisant ce décortiquage, et c'était un des objectifs de celui-ci, que chacun (moi-même, les autres participants et les lecteurs silencieux) apprenne des choses au-delà des désaccords entre participants. Heureux d'apprendre que cet objectif n'est pas rempli que pour moi-même.

C'est sur le dernier post qu'on trouve les 2 gros problèmes:

1 Le premier est la constatation d'une curieuse absence: aucun commentaire fonctionnel n'est fait sur la justification de l'exigence de continuité qui fait la singularité de calcul de Karl. Pour une querelle tournant autour de la validité physique de la solution, il me semble anormal de ne faire aucune évaluation de ce pilier (quoique passé sous silence dans sa démonstration, tant il s'impose physiquement), de l'argumentaire de Karl

Il semble que ce problème ci est maintenant adressé.

2 Le second est plus factuel et mathématique: après avoir repéré le point crucial comme purement opératoire, la fixation d'une valeur de constante d'intégration, il me semble avoir repéré un tour de bonneteau dans le calcul ayant permis de trouver la métrique standard sans avoir à la fixer.

En effet, il ne vous a pas échappé que la constante "rho" fixée par Karl, n'était pas une constante au sens arithmétique.

Ce qui rend fautive l’expression de dA !

Et ce problème là aussi

Ce second problème implique que:

- si l'erreur est avérée, l'avantage décisif est à Schwarzschild,

-si elle n'existait pas, il serait au moins nécessaire de démontrer que ce qui aurait constitué un choix arbitraire dans le calcul de Karl, jugé irréprochable, ne serait pas tout aussi arbitraire dans un calcul d'Hilbert, sachant que ce calcul implique forcément la fixation de deux constantes d'intégration.

Après examen, l'erreur n'existe donc pas. Que ce soit chez Schwarzschild ou Hilbert, la fixation de rho est arbitraire, mais sans importance physique (c'est un peu comme choisir quel méridien doit apparaitre au centre d'une projection de Mercator...).

Plus globalement:

Contrairement à ce qui est affirmé au premier des 4 posts. Karl ne veut pas réduire « la sphère » à un point, il veut simplement se placer sur l’espace-temps réel, celui qui n’a aucune rupture de continuité, et trouver une métrique décrivant sa topologie, ce qui supprime la nécesité de passer par la notion de carte.

Il part avec l'impératif d'un point masse en x=y=z=0, c'est son hypothèse de départ, et la carte doit couvrir tout R⁴, sauf la droite x=y=z=0, sans qu'il n'y ait aucune singularité (sinon la carte ne couvre pas tout R⁴ moins une droite comme exigé). Ces impératifs forcent le choix d'une valeur précise pour , et ce choix, à la lumière de l'expression obtenue pour la métrique, revient à représenter une sphère physique de surface par une sphère de surface , étant arbitrairement petit.
C'est l'impératif du point masse qui est critique. Si au lieu d'un point, on considère par exemple une sphère de matière dont le rayon est supérieur ou égal à , choisir est "naturel" (bien que tout autre choix ne soit pas invalide pour autant, c'est juste une question de commodité), car la surface de la sphère de matière dans la carte sera fidèle à sa surface réelle. Toute sphère de matière de rayon inférieur pose la question du choix de la valeur de , car si on la prend à 0, alors on a une singularité de coordonnée sur une sphère dont la représentation est de rayon , et des difficultés pour comprendre ce qu'il y a entre cette sphère et la surface de la sphère de matière dans l'espace-temps réel, car cette partie là n'est pas dans cette carte là, mais dans une autre où t n'est plus une coordonnée temporelle. Choisir n'est alors qu'une manière de cacher le problème sous le tapis

Au pire, comme il sait que son cas de figure diffère localement de l’ET physique puisque, en 1916 (et c’est encore le cas aujourd’hui), on ne connaît rien de densité infinie, dans sa volonté de respecter la continuité spatiale (et temporelle), il s’attend à rencontrer, et il est prêt à accepter une solution mathématique présentant une discontinuité pour la situer à ce point physiquement indéfini (et seulement à ce point), ... en plus des deux divergences pathologiques connues, dont il ne fait évidemment pas état dans un papier entre pairs du plus haut niveau.

Il cache le problème sous le tapis, involontairement je pense, parce qu'il a décidé à l'avance de la forme du tapis. Sa disposition d'esprit est telle qu'il n'envisage même pas autre chose.

Ayant pu réaliser tout cela, il en déduit qu’il a donc trouvé ce qu’il cherchait, une métrique valable pour un espace-temps continu, comme le nôtre, et donc représentative des caractéristiques topologiques de cet espace-temps.

Il a trouvé une expression de la métrique dans une carte étant R⁴ privé d'une droite, avec les symétries requises. C'est tout.

Et, cerise sur le gâteau, et pour faire plaisir à Mailou, le calcul apporte de plus la preuve que la courbure d’espace possède une limite

mais où est donc cette preuve?

C’est la solution de Hilbert, qui est incapable de représenter topologiquement l’espace-temps, et donc est réduite au statut de carte d’un atlas formé avec le diagramme de l’extension de Kruskal (et ses cartes « régionales »).

Quand est fixé à 0, et qu'il n'y pas d'astre sphèrique de rayon supérieur à , alors on a (au moins) deux cartes, dans lesquelles l'expression de la métrique est la même, mais où les champs scalaires servant de coordonnées n'ont pas tous le même sens physique.
La première carte contient les évènements de rayon aréal supérieurs à ne pose pas de problème particulier, si ce n'est la singularité de coordonnée (elle ne pose pas plus de problème qu'elle soit sphérique ou ponctuelle, aucune ligne d'univers ne l'atteint pour une valeur fini de la coordonnée t de toutes manières) qui nous prive (au moins temporairement) d'un outil pour décrire jusqu'au bout les observations d'un observateur qui s'en approcherait.
La deuxième carte contient les évènements de rayon aréal inférieurs à et elle est problématique car sans plus d'investigations, elle ne semble pas répondre au problème posé : la symétrie de l'espace est cylindro-sphérique et non pas sphérique comme exigée, quelque chose qui nous est totalement inconnu pour nous humains, et difficilement concevable, et il n'y a plus de symétrie temporelle, que ce soit en translation ou inversion. La seule chose qui est respectée est le fait que l'espace-temps correspondant est vide. Pire, le tenseur de Riemann diverge quand le rayon aréal est nul. Sans examen plus approfondi, cette carte semble être un artefact et la considérer comme décrivant une situation physique réelle semble bien déraisonable, on peut le concéder.

Le gros problème, mathématiquement, c’est que l’extension suppose un ds^2 négatif , donc un déplacement imaginaire, chose qu’il est très courant de réaliser entre les cartes d’un atlas, mais impensable à imaginer dans notre monde réel.

Non, un ds^2 négatif ne signifie pas un déplacement imaginaire. Le signe de ds^2 donne le genre temps ou espace. Dans toutes les métriques, même celle de Minkowski, il y a des ds^2 positifs, ds^2 négatifs et des ds^2 nuls. Et avec toutes les métriques de signature +---, on a un ds^2 positif le long d'une ligne d'univers (c'est ce qui définit une ligne d'univers). Il y a vraiment des bases à revoir ne serait-ce qu'en relativité restreinte.

On reviendra sur le "bonneteau" plus tard, car il mérite peut-être un peu plus de développement.

m@ch3

[mach3]

Rien n'indique qu'elle est valide partout :

- En cosmo (expansion) il manque des cases, trop pour qu'une autre théorie ne la supplante pas
- An astro (galaxies) il en manque aussi, et Newton flipperait s'il savait qu'on se sert de sa formule pour traiter les galaxies
- Aux fortes densités, on peut toujours ignorer la MQ mais bon...

En fait il semblerait qu'elle soit loin de tout expliquer et qu'on vient de passer un siècle à découvrir tous les domaines où elle ne marche pas.
On peut encore en passer un autre à l'aise, vu comme c'est parti... car elle continue de faire loi et d'être la base d'autre lois. Vertigineuse abysse.

Affirmations péremptoires et hors-sujet. Toi comme moi sommes incompétents pour juger de cela. Laissons cela à ceux dont c'est le métier, ils ne se privent pas d'explorer tous azimuts et de confronter théories et observations.

Et même Schw, avec tout le respect que je lui dois, ça ne marche pas avec plus d'une dimension* (Pour ça que Kruskal, Penrose et compagnie s'en sortent bien)
* Jusqu'à preuve du contraire mais je ne l'attends plus

Qu'est ce que cela veut dire que ça ne marche pas pour plus d'une dimension ? Que cela soit difficile ou impossible à se représenter (ce qui est le cas pour la majorité des personnes) ne signifie pas que cela ne marche pas. Ce qui compte c'est les prédictions et l'accord avec l'observation et ça ça se fait avec les équations, pas avec les images. Bon, je concède que concernant ce qu'il y a après l'horizon, faudra attendre une éternité pour avoir des observations :-p, mais ce n'est pas une raison pour jeter le bébé, il y a des observations qui peuvent discriminer entre une surface matérielle à un rayon aréal arbitrairement proche de rs et une absence d'une telle surface (donc la formation inéluctable d'un horizon même si non observable).

Ce qui me chagrine c'est qu'on retrouve la notion de "point culminant" dans ton discours même quand tu ne parles que des régions I et II. Pour culminer il faut bien une origine, une symétrie de la trajectoire, réversible dans le temps. Je ne vois même pas comment la région II peut exister sans la IV, après avoir longtemps milité contre...

Pour culminer, il suffit qu'une particule n'ait pas l'énergie suffisante pour monter "plus haut", et elle peut être partie de n'importe où "en-dessous", pas nécessairement du rayon aréal 0. En dehors de la solution d'extension complète et entièrement vide qui ne comporte donc aucune particule, une particule en mouvement a une origine physique, par exemple ejectée de la surface de l'astre, ou par colision avec une autre particule. Quand une portion de l'espace-temps réel peut s'approximer par un morceau de la géométrie de Schwarzschild, les lignes d'univers de particules réelles qu'il contient ont toutes une origine causale. Les processus physiques connus excluent qu'une particule puisse émerger d'une région IV (elle-même incréée et sans cause). A l'inverse on ne connait pas de processus physique qui empêche la formation d'une région II dans tous les cas et donc qui empêche des lignes d'univers d'y entrer, mais c'est un domaine de recherche actif (démontrer que la région II ne peut jamais se former permettrait d'éviter d'expliquer ce qui s'y passe, surtout compte-tenu que cela n'est pas observable, la région II serait alors vraiment un artefact, mais on n'en est pas là...), variantes du rayonnement Hawking, Firewall, tout ça...

Quant aux graphiques d’effondrement en Penrose, peuvent ils faire s'effondrer autre chose qu'un fil (1D) ça c'est la question lol.

Ce n'est pas parce que la représentation présente des lacunes que les équations présentent les mêmes lacunes. D'ailleurs certaines lacunes ne sont pas due à la représentation mais une lecture incomplète de la représentation (qui est quand même loin d'être simple). Chaque point de cette représentation est une sphère physique, donc un fil dans la représentation, c'est une coquille physique.

Dommage que l'on ai pas pu explorer plus avant LTB, on en aurait sans doute appris un peu plus sur la "réalité" qu'avec Schw.

J'espère y revenir un jour ou l'autre...

m@ch3

[mach3]

Détaillons un peu le "bonneteau".

On repart de l'expression suivante pour la métrique :

, avec comme domaine de définition

cette spécification de domaine définition est capitale : elle exclu les singularités de coordonnées, et au passage garanti que reste toujours temporelle tandis que les restent toujours spatiaux

On va remettre dedans les coordonnées initiales , et , via les définitions :



et leurs différentielles :




Ce qui nous donne l'expression générale dans le système de coordonnée avant choix de la valeur de :

, avec comme domaine de définition

ou encore, avec une écriture un peu plus élégante (enfin cela dépend du gout pour la racine cubique) :



On peut démontrer la propriété suivante à partir de cette expression : soit un cercle dont les points sont de t et r constant, et variable, son périmètre physique est . Si tend vers (le cercle est rétréci jusqu'à être arbitrairement proche de la limite du domaine de définition), alors ce périmètre physique tend vers . On peut même aller plus loin et considérer la surface physique d'une sphère dont les points sont de t et r constant : en général et si tend vers
On note que cette propriété est indépendante de la valeur de

On remarque dans l'expression de la métrique la présence répétée d'un même terme, et il est intéressant de noter que :


cela donne donc :



A ce stade il est opportun de définir un nouveau champ scalaire, , ce qui mène à une expression de la métrique dans un nouveau système , toujours avant d'avoir choisi :

, avec comme domaine de définition

expression dans laquelle n'apparait plus, plus précisément expression invariante par changement de valeur de .

La singularité de coordonnées se présente pour , autrement dit ou encore .

Si comme Karl nous posons , ce qui situe la singularité en , on aura donc et correspond donc au "" dans la publication de Schwarzschild. Cela est compatible avec l'exigence de R⁴ privé d'une droite comme carte.
Si comme David (implicitement, car sa résolution passe par les équations du champ non simplifiées, donc sans obligation d'avoir un déterminant unité, en posant d'emblée que , ce qui fait que cette constante d'intégration n'apparait nulle part, vu que les équations différentielles à résoudre sont différentes), nous posons , cela situe la singularité en et on aura . Cela n'est pas compatible avec l'exigence de R⁴ privé d'une droite comme carte, mais cette exigence est un "caprice".

La solution est unique, peu importe la carte, peu importe la valeur de . Toute la physique de la zone d'espace-temps ainsi cartographiée est inscrite dans cette expression de la métrique.
L'erreur de Hilbert, s'il y en a une, semble être de prendre par-dessus la jambe la bizarrerie de la même écriture de la métrique sur un domaine de définition différent, c'est à dire , en ne notant même pas le changement de genre de A et t que cela implique (l'écriture est la même, mais l'expression est fondamentalement différente), et en localisant sans vergogne la masse en , comme si cela pouvait correspondre à la ligne d'univers du point masse, ce qui est erroné (une telle ligne, si elle pouvait être incluse dans la variété, serait de genre espace, pas de genre temps, et c'est idem pour A arbitrairement proche de 0). Mais bon, on ne peut pas vraiment présumer car seul un extrait de sa publication est fourni par Antoci et Liebscher.

En définitive, il s'agit bien d'un faux débat basé sur de mauvais arguments. L'un comme l'autre trouvent la même géométrie pour une région située au-dela d'une sphère de surface . Il n'y a rien d'objectif dans leurs écrits qui interdit ou autorise l'existence d'autres cartes et la prolongation des géodésiques en-deça de cette sphère. La seule différence est dans leur disposition d'esprit.

Si on souhaite démontrer l'inexistence d'autres cartes, démontrer l'inexistence d'une prolongation des géodésiques, ce n'est pas en exhumant ces vieux travaux fondateurs que l'on peut réussir.

m@ch3

[mach3]

En passant, j'ai trouvé des documents sur le travail de Painlevé, avec, entre autres choses des informations intéressantes sur la perception de la singularité en au début des années 1920.

J'ai créé un fil à ce propos : https://forums.futura-sciences.com/a...-generale.html , et j'invite à la lecture de la publication citée dans le 2e post : https://journals.openedition.org/bibnum/851 c'est très instructif, notamment sur ce que pense Einstein de cette singularité à l'époque.

m@ch3

[yves95210]

Salut,

J'ai parcouru (très en diagonale...) la thèse de J. Fric au sujet de laquelle mach3 a ouvert un autre fil.
J'y ai trouvé un passage (page 592) qui concerne directement votre discussion :

C’est dans ce contexte, à partir de la première version des équations d’Einstein (avec g = -1) qu’en janvier 1916, depuis le front russe où il s’est porté volontaire, Karl Schwarzschild, un des fondateurs de l’astrophysique moderne, astronome à l’observatoire de Postdam, élabore la première solution exacte aux équations d’Einstein dans le vide, celle relative au champ gravitationnel généré par une masse unique à symétrie sphérique (à l’extérieur de la masse).
Schwarzschild est parti peut-être un peu trop tôt, car la publication restrictive d’Einstein impose quelques contraintes.
Les coordonnées sphériques, pourtant naturelles dans un problème manifestement à symétrie spatiale sphérique, posent problème (elles ne satisfont pas à la condition de déterminant -1 du fait de la partie spatiale).

Le choix de coordonnées fait par Schwarzschild était donc contraint par la première version des équations d'Einstein (puisque la version définitive n'était pas encore publiée), et ne résultait probablement pas d'une réflexion personnelle - si ce n'est sur le fait qu'il simplifiait les calculs.

[mach3]

Le choix de coordonnées fait par Schwarzschild était donc contraint par la première version des équations d'Einstein (puisque la version définitive n'était pas encore publiée), et ne résultait probablement pas d'une réflexion personnelle - si ce n'est sur le fait qu'il simplifiait les calculs.

Etrange, car quand on lit le papier d'Einstein ( https://en.wikisource.org/wiki/Trans...of_Gravitation ), celui même cité par Schwarzschild, il est bien question de l'authentique (qu'il appelle et qu'il découpe en deux morceaux (qui ne sont pas des tenseurs), et , le 2e s'annulant si g=-1) et il est posé égal à , ce qui est l'une des formes de l'authentique équation du champ (sans le terme de constante cosmologique bien sûr).

m@ch3

[yves95210]

J. Fric a peut-être fait un "raccourci" dans le passage que j'ai cité : juste au-dessus il écrit

A partir de ce résultat, peu de temps après, [Einstein] publie fin 1915 ses équations dont la première version est restrictive, avec la condition g = -1.
Il publie aussi celle correspondant à la covariance générale, mais comme il n’est pas très sûr de lui, il recommande de respecter si possible la condition g = -1.

Je n'ai fait que parcourir votre discussion en diagonale et n'ai pas lu le papier de Schwarzchild, donc je ne sais pas s'il parle explicitement de cette condition comme d'une contrainte théorique ou comme une simple règle à respecter pour simplifier les calculs (en utilisant l'équation (3) établie par Einstein dans sa deuxième publication, celle que tu cites).

[mach3]

Deux hypothèses :
-Schwarzschild ne parle pas de ce papier là, mais d'un papier qui le précède de peu. Cela justifierait sa démarche. Je n'ai pas le temps de chercher aujourd'hui (et s'il n'a pas été traduit, ce sera peine perdue car je ne pratique plus l'allemand depuis plus de 20 ans et que je n'étais pas particulièrement brillant...)
-Fric à connaissance d'autres écrits de cette période (par exemple des correspondances d'Einstein) qui replacent ce papier dans un contexte qui justifie la démarche, qu'on pourrait qualifier alors de prudente, de Schwarzschild (si ça se trouve c'est même sourcé dans sa thèse).

On pourrait aussi envisager que Fric se plante, mais bon, c'est gonflé voire désagréable étant donné le temps qu'il a dû passer à éplucher de la bibliographie pour rédiger sa thèse.

m@ch3

[yves95210]

J'ai trouvé le papier de Schwarzschild en allemand, dont mes souvenirs sont aussi lointains que les tiens... Mais avec l'aide d'un traducteur en ligne, ça donne :

Selon la théorie d'Einstein, il s'agit du mouvement d'un point sans masse dans le champ gravitationnel d'une masse située au point x1=x2=x3=0, si les "composantes du champ gravitationnel" partout, à l'exception du point x1=x2=x3=0, satisfont les "équations du champ" (...)
et si, en même temps, la condition sur le déterminant |g_munu| = -1 est remplie.
Les équations de champ en relation avec l'équation du déterminant ont la propriété fondamentale de conserver leur forme lorsqu'on substitue toutes autres variables à la place de x1,x2,x3,x4 seulement si le déterminant de substitution est égal à 1.

Donc visiblement Schwarzschild n'avait pas connaissance de la publication où Einstein généralise sa solution au cas d'une métrique de déterminant non nécessairement égal à -1.

[mach3]

Ok, il nous faut le "Sitzungsberichte vom 18. November 1915" pour confirmer. La traduction de https://en.wikisource.org/wiki/Trans...of_Gravitation ne correspondrait pas il y est indiqué "Session from November 25, 1915; published December 2, 1915", donc c'est peut-être un papier qui serait sorti une à deux semaines après...

m@ch3

[mach3]

J'ai celui du 11 novembre : https://archive.org/details/sitzungs...e/798/mode/2up
et celui du 18 novembre : https://archive.org/details/sitzungs...e/830/mode/2up

en allemand... mais a priori, pas d'équation du champ authentique dans ces papier là ! Donc ça tient. Schwarzschild a utilisé ces équations simplifiées avec la condition g=-1 non pas par astuce, mais parce qu'il n'avait pas le choix avec les informations dont il apparait qu'il disposait. Il cite la session du 18 novembre qui ne contient que les équation simplifiées avec la conditions g=-1. J'imagine que si il avait eu connaissance de la session du 25 novembre avec l'équation complète, il l'aurait au moins citée, voire il aurait utilisé... Après le wiki français sur Schwarzschild prétend qu'il aurait travaillé sur ce papier du 25 novembre, mais on ne retrouve pas cette information dans le wiki anglais ou allemand :

Engagé sur le front russe par l'armée allemande en tant qu'artilleur (il obtiendra le grade de lieutenant), il lut pour la première fois la formulation de la relativité générale d'Einstein dans l'édition de 25 novembre 1915 des Comptes rendus de l'Académie de Prusse. Aussitôt, il se mit à chercher les conséquences que pouvaient avoir ces lois sur la gravitation des étoiles.

Après, la session du 18 aurait été publié le 25 (vu qu'apparemment la session du 25 novembre aurait été publiée le 2 décembre)... confusion possible...

Donc, si on exclu l'information ambiguë donnée par le wiki francais, cela confirmerait les propos de Fric, et cela meriterait de placer quelques avertissements sur certains de mes messages précédents prétendant qu'il s'agit d'une astuce pour simplifier les calculs.

m@ch3

[yves95210]

En cherchant les publications d'Einstein de novembre 2015 je suis tombé sur une thèse sur l'histoire de la RG, dont la section 5.1.2 Equations de champ généralement covariantes, pages 123 et suivantes (= page 148 du pdf) apporte quelques éclaircissements sur la chronologie :

Le choix d'Einstein des équations de champ semble avoir été motivé par son intention initiale de postuler que √−g = 1 (qui est un choix naturel étant donné que la relativité restreinte est supposée être valide localement) car dans ce cas Sim = 0. Plus tard, toutefois, il trouva qu'il ne pouvait pas postuler √−g = 1 et décida alors d'introduire les équations de champ sans justification. Einstein devait retirer l'objection contre l'utilisation de la condition √−g = 1 dans son article suivant, et devait adopter cette condition de façon permanente ensuite

Plus précisément :
1) C'est dans un article présenté le 4 novembre à l'académie prussienne des sciences qu'il donne la première version, dont le postulat fondamental est la "covariance de toutes les équations par rapport aux transformations de Jacobien égal à 1"; mais dans cet article il conclut qu'il est impossible de choisir un système de coordonnées tel que √−g = 1, ce qui rend impossible de rendre nul le scalaire du tenseur d'impulsion-énergie (j'ai trouvé l'article pages 778 à 785 des annales de l'académie prussienne des sciences dont tu as donné le lien).

2) C'est dans un addendum présenté à l'académie des sciences le 11 novembre qu'il "[retire] l'objection contre l'usage de systèmes de coordonnées tels que √−g = 1", mais au prix de "l'introduction d'une hypothèse osée, à savoir le postulat que le tenseur d'impulsion-énergie contracté Tµµ s'annule pour la matière"...

3) ... avant de retirer cette hypothèse dans son article "Die Feldgleichungen der Gravitation" présenté à la session du 25 novembre.

Entre temps Einstein avait déduit la précession résiduelle du périhélie de Mercure dans son article du 18 novembre (où il fait référence à celui du 11), dans lequel il écrit "Si nous faisons également l'hypothèse (...) que le scalaire du tenseur d'énergie de la matière disparaît toujours, alors l'équation du déterminant |gµν|=-1 entre en jeu" (traduit par Deepl, à partir du lien que tu viens de donner).

Il est donc assez logique que Schwarzschild, qui cherchait à établir une solution exacte du problème qu'Einstein n'avait résolu que par approximation, s'en soit tenu à cette hypothèse (qui ne pose pas de problème dans le cas d'un espace vide...), même s'il avait connaissance de l'article du 25 novembre.

[bernarddo]

Bonjour à tous,

J’ai mis du temps à répondre car,effectivement, nous en sommes au point crucial.

Aussi avais-je préparé un argumentaire mathématique complet et long, auquel j’ai finalement renoncé pour une démonstration plus concise, dont l’argumentaire physique et mathématique est unique et indiscutable, montre qu’il n’a pas été perçu par mes contradicteurs matheux, et parle physiquement aux malheureux qui phosphorent inutilement sur les bizarreries de l’horizon et de l’extension de Kruskal, démonstration qu'il fait disparaître tous deux du paysage

La seule chose importante, c’est de rappeler que l’hypothèse n°1 de Karl pour établir sa métrique, c’est qu’il pose un espace temps indépendant du temps, et donc que, physiquement, tout se passe dans le domaine spatial.

Et, mathématiquement, que le coefficient de dt2 est nul, ce qui entraîne que ds2 devient un déplacement purement spatial et ne peut physiquement être négatif (chose que j’avais exposé, certes sans en expliciter la raison ) et qui avait été rejeté sans examen dans le post suivant (par ailleurs factuellement exact).

Envoyé par bernarddo
Le gros problème, mathématiquement, c’est que l’extension suppose un ds^2 négatif , donc un déplacement imaginaire, chose qu’il est très courant de réaliser entre les cartes d’un atlas, mais impensable à imaginer dans notre monde réel.

Non, un ds^2 négatif ne signifie pas un déplacement imaginaire. Le signe de ds^2 donne le genre temps ou espace. Dans toutes les métriques, même celle de Minkowski, il y a des ds^2 positifs, ds^2 négatifs et des ds^2 nuls. Et avec toutes les métriques de signature +---, on a un ds^2 positif le long d'une ligne d'univers (c'est ce qui définit une ligne d'univers). Il y a vraiment des bases à revoir ne serait-ce qu'en relativité restreinte.
m@ch3

La négativité de ds2 entre r = 0 et r = α résultant de l’évidence (il suffit de poser θ et φ constants) on en déduit immédiatement l’absence d’espace temps, sur cet intervalle de l’axe, d’abord, puis, par raison de symétrie, sur la sphère aréale.

D’où la disparition sur la sphère de l’ « horizon », remplacé par un bord intérieur de l’espace temps, et du trou noir censé être derrière cet horizon.

Et, corrélativement, de l’extension de Kruskal, avec ces voyages incompréhensibles dans le temps entre ses régions, simplement parce que le temps est fixe par hypothèse , (#60) !!
N’est-ce pas Mailou, être une buse en math, n’empêche pas de raisonner correctement.

Pour le fun, Penrose s’en sort bien, simplement parce qu’il inventé le i*décamètre

[mach3]

La seule chose importante, c’est de rappeler que l’hypothèse n°1 de Karl pour établir sa métrique, c’est qu’il pose un espace temps indépendant du temps, et donc que, physiquement, tout se passe dans le domaine spatial.

Non. Schwarzschild pose qu'exprimée dans le système de coordonnée , , , qu'il se donne, la métrique a des coefficients, les , qui doivent être indépendants de considérée comme coordonnée temporelle.
Cela signifie juste que pour un évènement se situant en des coordonnées spatiales , , données, la physique ne dépend pas de sa coordonnée temporelle . Par exemple le rythme apparent d'une horloge se maintenant constamment en , , pour un observateur à l'infini sera toujours affecté par le même redshift gravitationnel, peu importe la valeur de . Autre exemple, plus "intégral", l'orbite ou la trajectoire balistique d'une masse test ne dépendra pas de l'intervalle de "dates"
choisies pour son étude.

Cela ne veut pas du tout dire que "l'espace-temps est indépendant du temps", sans compter que cette expression n'a strictement aucun sens. Et donc ça ne veut certainement pas dire que "tout se passe dans le domaine spatial", expression sans aucun sens non plus.

Cela d'autant plus que par exemple en espace-temps plat, quand on utilise les coordonnées de Lorentz, les coefficients de l'expression de la métrique sont indépendant de la coordonnée temporelle, alors que si on utilise d'autres coordonnées plus exotique (pourquoi? ben pourquoi pas), ces coefficients peuvent être dépendant de la coordonnée temporelle, alors qu'il s'agit pourtant toujours de la même métrique du même espace-temps plat.

Si on prend une variété Lorentzienne quelconque "au hasard", il n'est pas évident qu'il y existe, au moins pour une région, un système de coordonnée 3+1 (trois coordonnées de genre espace, une de genre temps) tel que les coefficients de la métrique soient indépendant de la coordonnée de genre temps. Schwarzschild, en imposant cela, ne retient que les variétés pour lesquelles cela est possible.

Et, mathématiquement, que le coefficient de dt2 est nul, ce qui entraîne que ds2 devient un déplacement purement spatial et ne peut physiquement être négatif (chose que j’avais exposé, certes sans en expliciter la raison ) et qui avait été rejeté sans examen dans le post suivant (par ailleurs factuellement exact).

Phrase très difficile à comprendre...
-Le coefficient de dt² ne s'annule que pour , hors pour , le coefficient de dR² diverge, donc c'est exclu. Il n'y a aucun évènement où le coefficient de dt² s'annule dans la carte définie par Schwarzschild, dont le domaine de définition est
-ds² n'est pas un "déplacement". C'est un intervalle. Intégré sur une ligne, il donnera un longueur réelle positive ou une durée réelle positive, en fonction du signe de ds² et de la convention de signe (+--- ou -+++).
-Dans le domaine de définition de la carte défini par Schwarzschild ( ), t est une variable temporelle, donc le long d'une ligne où toutes coordonnées sont constantes sauf t, une ligne d'univers donc, on mesure une durée, et le long d'une ligne où la coordonnée t est constante, on mesure une longueur (une distance, un périmètre...).

La négativité de ds2 entre R = 0 et R = α résultant de l’évidence (il suffit de poser θ et φ constants) on en déduit immédiatement l’absence d’espace temps, sur cet intervalle de l’axe, d’abord, puis, par raison de symétrie, sur la sphère aréale.

Ca c'est une autre carte. Une carte d'une région d'espace-temps qui ne répond pas aux exigence de Karl : la coordonnée t N'EST PAS temporelle dans cette carte. C'est le signe du coefficient devant dt² qui le dit. Les coefficients sont indépendant de t, mais t n'est pas temporel. Par contre ils sont dépendant de R, et R est temporel. C'est le signe du coefficient devant dR² qui le dit. L'exigence d'avoir des coefficients de la métrique indépendant de la coordonnée temporelle du système de coordonné 3+1 considéré N'EST PAS respectée. Donc cette région d'espace-temps (peu importe à quel espace-temps elle appartient, osef) n'est pas une solution au problème que Schwarzschild veut résoudre, à moins de trouver un autre système de coordonnée où cette exigence serait respectée (et il n'y a pas d'obligation a priori pour que cela existe). Sans plus d'examen, comme déjà dit, c'est juste un artefact. On n'a pas à s'en occuper, ni à le critiquer. Ca ne fait pas partie de la solution au problème posé, notamment parce qu'une symétrie par renversement du temps est exigée. D'ailleurs dans les années 20 Einstein lui-même rejetait cette région, et la solution proposée par Painlevé qui n'exigeait pas de symétrie par renversement du temps par la même occasion.

Le faux débat basé sur de mauvais arguments se poursuit, on n'en sortira pas car il est accompagné par une mauvaise compréhension qui semble incurable (la lecture d'anciens fils le démontre amplement), malgré les efforts déployés.

C'est le rejet (par Schwarzschild ou Einstien) ou l'acceptation (par Painlevé, Gullstrand ou Eddington) d'un terme rectangle en drdt qui devrait être centre de la discussion. Pas des arguments moisis sur base d'incompréhension de ce qu'est une métrique.

m@ch3

[bernarddo]

Non. Schwarzschild pose qu'exprimée dans le système de coordonnée , , , qu'il se donne, la métrique a des coefficients, les , qui doivent être indépendants de considérée comme coordonnée temporelle.
Cela signifie juste que pour un évènement se situant en des coordonnées spatiales , , données, la physique ne dépend pas de sa coordonnée temporelle . Par exemple le rythme apparent d'une horloge se maintenant constamment en , , pour un observateur à l'infini sera toujours affecté par le même redshift gravitationnel, peu importe la valeur de . Autre exemple, plus "intégral", l'orbite ou la trajectoire balistique d'une masse test ne dépendra pas de l'intervalle de "dates"
choisies pour son étude.
m@ch3

Nous disons la même chose, cela signifie que rien, l'orbite ou la trajectoire balistique d'une masse test si vous voulez, ne dépendra de l’intervalle de date, ce qui revient à figer le temps, ce qui mathématiquement, revient à dire que sa dérivée seconde en particulier est nulle, et donc que le terme en dt2 est nul, exactement ce que j’indiquais.

Cela ne veut pas du tout dire que "l'espace-temps est indépendant du temps", sans compter que cette expression n'a strictement aucun sens. Et donc ça ne veut certainement pas dire que "tout se passe dans le domaine spatial", expression sans aucun sens non plus.
m@ch3

Mon expression est effectivement impropre et peut heurter le puriste que vous êtes. Mea culpa, nous sommes sur les discussions libres pour profanes. Et je le reconnais volontiers, comme mes erreurs.

C'est le rejet (par Schwarzschild ou Einstien) ou l'acceptation (par Painlevé, Gullstrand ou Eddington) d'un terme rectangle en drdt qui devrait être centre de la discussion. Pas des arguments moisis sur base d'incompréhension de ce qu'est une métrique.

m@ch3

Je vais m’avancer aussi sur ce terrain en regrettant que sa présentation soit un peu biaisée, pour deux raisons :

1 - L’oubli (involontaire, ou manquant un peu de fair play) de la présence de Hilbert dans le camp des réfractaires. Après tout, il s’agit d’arbitrer entre David et Karl, et cette irruption de tiers pourrait être considérée un peu comme botter en touche.

2 – D’autant qu’il est passé sous silence le fait que Eddington proposait une définition du temps différente de celle de Karl et de David.
Le terme en drdtE peut fort bien découler de cette différence, je n’ai pas la compétence pour l’affirmer ou le rejeter. Par contre, son existence signifie que l’on ne se situerait plus dans la géométrie fixe, mais stationnaire, et la « respiration » d’un point matériel est quelque chose qui m’interpelle.
Les travaux de Painlevé et Gullstrand me sont étrangers.

[mach3]

Nous disons la même chose, cela signifie que rien, l'orbite ou la trajectoire balistique d'une masse test si vous voulez, ne dépendra de l’intervalle de date,

oui

ce qui revient à figer le temps,

non, pourquoi donc? En espace-temps plat avec des coordonnées de Lorentz, c'est pareil et on ne fige pas le temps pour autant. Si ? Alors que veut dire "figer le temps", formellement ?

ce qui mathématiquement, revient à dire que sa dérivée seconde en particulier est nulle,

la dérivée seconde de quoi ?

et donc que le terme en dt2 est nul, exactement ce que j’indiquais.

que signifie "le terme en dt2 est nul".

Je vais m’avancer aussi sur ce terrain en regrettant que sa présentation soit un peu biaisée, pour deux raisons :

1 - L’oubli (involontaire, ou manquant un peu de fair play) de la présence de Hilbert dans le camp des réfractaires. Après tout, il s’agit d’arbitrer entre David et Karl, et cette irruption de tiers pourrait être considérée un peu comme botter en touche.

2 – D’autant qu’il est passé sous silence le fait que Eddington proposait une définition du temps différente de celle de Karl et de David.
Le terme en drdtE peut fort bien découler de cette différence, je n’ai pas la compétence pour l’affirmer ou le rejeter. Par contre, son existence signifie que l’on ne se situerait plus dans la géométrie fixe, mais stationnaire, et la « respiration » d’un point matériel est quelque chose qui m’interpelle.
Les travaux de Painlevé et Gullstrand me sont étrangers.

1) Il n'y a rien à arbitrer en David et Karl, comme déjà démontré, et on ne reviendra pas dessus, ils trouvent la même expression de la métrique sur le domaine . David s'interroge certes sur la signification de la même expression de la métrique dans le domaine , contrairement à Schwarzschild, mais je n'ai pas connaissance de ses écrits hormis l'extrait donné par Antoci, donc je ne sais pas trop ce qu'il en fait (et il n'a pas l'air de bien comprendre), mais peu importe, en l'état, il n'y a pas grand chose à en faire.

2) Lorsqu'on relaxe l'exigence sur le terme rectangle drdt, on abouti à une famille d'expressions de la métrique que Painlevé avait découverte. Les différentes expressions de la métrique obtenues par Schwarzschild, Gullstrand (et indépendamment par Painlevé avant qu'il ne trouve cette famille) et Eddington (redécouverte par Finkelstein) font partie de cette famille. Cette découverte de Painlevé était tombée dans l'oubli (à tel point que pour Misner, Thorne et Wheeler, dans les années 60-70 donc, c'est Eddington qui a l'antériorité pour ce type d'expression avec terme rectangle : ils ignoraient les travaux antérieurs de Painlevé), avant de réapparaitre dans les années 90 (Lake) puis les années 2000 (Martel-Poisson et peut-être aussi Gautreau-Hofman, à vérifier). On démontre aisément que les expressions de cette famille se déduisent les unes des autres par simples changements de coordonnées, ce qui mène à la conclusion qu'elles décrivent toutes (un morceau de) la même variété.

m@ch3

[bernarddo]

Bonjour à tous,

Le faux débat basé sur de mauvais arguments se poursuit, on n'en sortira pas car il est accompagné par une mauvaise compréhension qui semble incurable (la lecture d'anciens fils le démontre amplement), malgré les efforts déployés.
m@ch3

Ce qui ne veut pas dire que l’argumentaire que je défends, est incorrect, et que ma compréhension de ce qu’est une métrique serait « moisie ».

Pour éviter des quiproquos de langage, et du fait que notre divergence de vue ne porte manifestement pas sur les calculs exposés jusqu’ici, sauf sur celui du #96, et dont je n’ai pas fait état, (sauf pour y ajouter aujourd'hui qu’on y trouve une « pseudo constante » fonction de r, ce que vous m’interdisiez fort justement au #92, erreur que j’avais d'ailleurs reconnue), je donnerai ici le calcul, « trivial », qui expliquera clairement, mathématiquement et physiquement toutes les bizarreries, et pourquoi la bonne métrique est celle de Karl.
D’abord, mettons-nous d’accord sur le fait que de mon côté, ce ne pourrait être que ma conception « pourrie » de la métrique, ou la fausseté de mon calcul, qui pourraient m’attribuer l’entière responsabilité de la « mauvaise compréhension qui semble incurable », (mais il faudra alors expliciter pourquoi), la première qui me forcerait à revenir directement au b a ba de la RR, la seconde qui m’enverrait réétudier illico ce qu’il advient de penser de la réalité des racines de l’équation du second degré.
Mais qu'il peut aussi y avoir une autre issue.

D’abord ma vision d’une métrique, en deux points, suffisamment développés pour justifier tout le calcul qui suivra :

1 Le ds^2 de toute métrique d’espace temps, donne mathématiquement le carré des intervalles infinitésimaux d’espace temps entre deux évènements successifs sur cet ET, le ds^2 nul venant « physiquement » du fait que ces intervalles ont été parcourus « à dos de photon », photon auquel la mesure de ces intervalles de temps a mathématiquement échappé du fait qu’il n’existe aucun écoulement du temps pour lui, qui a un temps propre nul.

2 On notera que c’est le ds qui est une grandeur physique élémentaire (et locale), et donc, dans les deux champs, que ce sont les dr, dθ, dφ et dt, (et non leurs carrés qui figurent dans la métrique ds^2), qui sont seuls capables d'amener à représenter physiquement la topologie de cet espace temps.

Et que, en toute logique, parcourir une trajectoire réelle « à dos de photon », de temps propre nul, revient à postuler mathématiquement que dt est nul (et à fortiori dt^2), et, physiquement, qu'il s’agit d’un « gel du temps), qui donne aux dr, dθ, et dφ la capacité de décrire localement le champ des lignes d’univers puisque la métrique est valable sur tous les intervalles, et quel que soit le système de coordonnées .

Quand on passe au niveau global, cette métrique, pour être physiquement représentative du réel, doit prouver la continuité de celui-ci, et donc doit exprimer concrètement cette exigence de continuité sur toute l’étendue reconnue « physique » du système de coordonnées spatiales: r, θ, φ, chez David, R, θ, φ, chez Karl. r et R sont différents, c’est là tout notre débat !
J’affirme donc que la solution de David ne répond pas à cette condition puis qu’elle présente manifestement cette discontinuité (sur la sphère aréale), condition que remplit celle de Karl qui choisit le côté « réel » de cette discontinuité, l’autre côté étant imaginaire, ce qu’il s’git de démontrer mathématiquement

Premier point : nous nous plaçons sur la coordonnée radiale r choisie par Karl et David, postulons que θ et φ sont nuls, leur variation ne faisant, par symétrie sphérique, qu’étendre notre conclusion à la sphère aréale.

Ce qui nous permet d’écrire la métrique (ds^2 =0) sous la forme :

A*dt^2 = 1/A*dr^2 avec A= (1-α/r)

Que nous pouvons écrire 4 fois quand on revient aux termes (physiques) : dt et dr

D'abord en respectant la signature +---:

{ A dt* dt = 1/A dr*dr }
{- A d(it)* d(it)* = - A d(ir)* d(ir) }

Ces deux formes respectent la signature de la métrique et la seconde, la bizarre permutation spatio temporelle.

On voit tout de suite que la métrique de David fait l’addition des deux, la première pour α > r, la seconde pour α < r, sans remarquer que la seconde correspond à un temps et un espace imaginaires, que ce calcul élémentaire met en évidence.

Je n’écrirai pas les deux autres qui mélangent un domaine réel et un autre imaginaire, ne respecte donc pas la métrique avec pour conséquence que tous ses termes sont de même signe, ce qui avait troublé DeeDee81 au #36 !!, et venait d’un calcul de quelqu’un qui avait probablement touché de près la résolution du mystère.

La conséquence évidente est que la signature du réel est forcément +--- et que l’on n’a pas d'autre choix.

Additif : si j’étais (prudence) bien dans le vrai, (mais ce dont en fait je ne doute pas), je fais remarquer qu’il ne s’agit pas ici d’une théorie personnelle, mais d’un calcul concernant un document historique de valeur incontestable du niveau collège, associé à une vision des métriques que vous m'avez permis d'approfondir dans nos discussions, et qui ne viole donc en rien la charte, venant d’un échange libre avec un amateur juste un peu plus têtu que la moyenne, qui a beaucoup apprécié d’avoir pu mener cette discussion à son terme, grâce à laquelle il a beaucoup appris et dont il remercie ses interlocuteurs, mach3 en particulier dans ce fil.
Et qui ne doute pas que Futura saurait (encore prudence) s’associer au plaisir, sinon à l'honneur, de vulgariser la solution à quelque chose qui semble perturber la cosmologie académique depuis plus d’un siècle .

[mach3]

Le message qui précède est une magnifique démonstration de mauvaise compréhension qui appuie le propos précédent selon lequel "Le faux débat basé sur de mauvais arguments se poursuit, on n'en sortira pas car il est accompagné par une mauvaise compréhension qui semble incurable (la lecture d'anciens fils le démontre amplement), malgré les efforts déployés"

Premier morceau (les autres viendront, je n'ai pas plus de temps) :

1 Le ds^2 de toute métrique d’espace temps, donne mathématiquement le carré des intervalles infinitésimaux d’espace temps entre deux évènements successifs sur cet ET, le ds^2 nul venant « physiquement » du fait que ces intervalles ont été parcourus « à dos de photon », photon auquel la mesure de ces intervalles de temps a mathématiquement échappé du fait qu’il n’existe aucun écoulement du temps pour lui, qui a un temps propre nul.

En fait voir le ds² comme le carré d'un intervalle infinitésimale, c'est carrément simpliste. La métrique c'est une forme bilinéaire symétrique qui permet en premier lieu de faire des produits scalaires entre vecteurs, ce qui permet de définir des normes (longueurs si variété Riemannienne, longueurs ou durées, suivant le genre du vecteur si variété Lorentzienne), l'orthogonalité et les angles. En particulier, dans une variété Lorentzienne, si la signature est +--- (resp. -+++), le carré scalaire d'un vecteur de genre temps donne le carré (resp. l'opposé du carré) de la durée propre qu'il représente et le carré scalaire d'un vecteur de genre espace donne l'opposé du carré (resp. le carré) de la longueur propre qu'il représente. C'est une propriété hyper importante, à la base de tout le reste.

C'est ensuite, via la définition de vecteurs tangents aux courbes, un outil pour mesurer la longueur des courbes (si on est dans une variété Riemannienne), ou soit leur longueur soit leur durée en fonction de leur genre (si on est dans une variété Lorentzienne). Une explication détaillée du cas Riemannien est donné ici : https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post6866679
Pour le cas Lorentzien, il faut adapter en ajoutant une valeur absolue et le résultat est soit une longueur, soit une durée, en fonction du genre (en lien direct avec la propriété "hyper importante" précédente). Pour un segment de courbe paramétrée par allant de à , on a :

en notation "coordinate-free"
, avec un vecteur tangent à la courbe

en notation avec coordonnées
(somme implicite sur et )

Si on choisit la convention de signature +--- (resp. -+++), l'intégrale donne une durée (resp. une longueur) si tout le long de la courbe, et une longueur (resp. une durée) si c'est strictement négatif.

En effet, le temps propre est, pour une courbe de genre temps, le seul paramètre pour lequel (resp. ) si la convention de signature est +--- (resp. -+++). Cela donne donc l'intégration triviale :



On peut raisonner de même avec la longueur propre le long d'une courbe de genre espace.
Bien-sûr, s'il s'agit d'une courbe de genre nul, l'intégrale donne 0.

La notation simplifiée, qu'on voit fréquemment, correspond au carré scalaire d'un vecteur arbitrairement petit, , censé coïncider, localement, avec un morceau arbitrairement petit d'une courbe dont il est tangent. On a :



étant une notation un peu malheureuse, car correspondant, en convention +--- (resp. -+++), soit au carré (resp. à l'opposé du carré) d'une durée arbitrairement petite, soit à l'opposé du carré (resp. au carré) d'une longueur arbitrairement petite. Mise à part à l'époque de Hilbert, où c'était la mode, et dans certains papiers qui trainent par-ci par-là, il n'y a que peu d'intérêt à introduire des nombres imaginaires ici. C'est une convention d'écriture simplement basée sur la propriété "hyper importante" donnée au-dessus. Si on veut vraiment introduire des nombres imaginaires, alors il doivent être interprétés comme des longueurs (resp. des durées) multipliées par i en convention +--- (resp. -+++). Il n'y a pas de longueurs ou de durée imaginaires. Jamais.
L'expression donne l'intervalle infinitésimal correspondant à une variation infinitésimale des coordonnées. C'est assez pratique et permet pas mal de raccourcis, mais peu mener à des confusions si on méconnait la mécanique qu'il y a derrière. L'usage remplace généralement improprement le en , normalement réservé aux différentielles, statut auquel les coordonnées peuvent prétendre, mais certainement pas l'intervalle. Elle est le pendant d'une expression plus complexe, mais rigoureuse, faisant intervenir des 1-formes et des produits tensoriels, l'expression du tenseur métrique dans un système de coordonnées :



m@ch3

[Avatar10]

Le message qui précède est une magnifique démonstration de mauvaise compréhension qui appuie le propos précédent selon lequel "Le faux débat basé sur de mauvais arguments se poursuit, on n'en sortira pas car il est accompagné par une mauvaise compréhension qui semble incurable (la lecture d'anciens fils le démontre amplement), malgré les efforts déployés"

Cela rejoint mon post #31 malheureusement...

Pour ma part, je ne pense pas qu'un forum soit fait pour prendre un cours complet

C'est pourtant bien ce qui est en train de se passer, "l'étudiant Bernardoo" manque de prérequis, ceci dit, vous pouvez continuer à lui donner un cours, mais ça ne lui profite même pas (suffit de lire ces posts...ça tourne en rond) et cela ne doit que très peu profitez à ceux comprenant vos échanges, ça donne l'impression de voir un cours particulier, sans effets bénéfiques pour Bernardoo.
Ne serait-il pas temps de fermer? Il me semble vain de vouloir apprendre à quelqu'un le fonctionnement d'un moteur à turbo compresseur alors qu'il a du mal à démonter une roue de vélo...en tout cas lui apprendre ça sur un forum...même si on ne peut qu'apprécier vos efforts...

[mach3]

2 On notera que c’est le ds qui est une grandeur physique élémentaire (et locale), et donc, dans les deux champs, que ce sont les dr, dθ, dφ et dt, (et non leurs carrés qui figurent dans la métrique ds^2), qui sont seuls capables d'amener à représenter physiquement la topologie de cet espace temps.

C'est limite incompréhensible...

Et que, en toute logique, parcourir une trajectoire réelle « à dos de photon », de temps propre nul, revient à postuler mathématiquement que dt est nul (et à fortiori dt^2), et, physiquement, qu'il s’agit d’un « gel du temps), qui donne aux dr, dθ, et dφ la capacité de décrire localement le champ des lignes d’univers puisque la métrique est valable sur tous les intervalles, et quel que soit le système de coordonnées .

Mais pas du tout. Si le long d'une ligne de genre nul, s'il n'y a aucun accroissement de s, c'est parce que les accroissements des 4 coordonnées se compensent parfaitement. Si on est en 3+1 (coefficient positif devant dt^2 et coefficients negatifs devant les 3 autres), l'accroissement de la coordonnée temporelle ne peut pas être nul. Pire si l'accroissement de la coordonnée temporelle est nul, la ligne considérée est de genre espace, pas de genre nul.

Quand on passe au niveau global, cette métrique, pour être physiquement représentative du réel, doit prouver la continuité de celui-ci, et donc doit exprimer concrètement cette exigence de continuité sur toute l’étendue reconnue « physique » du système de coordonnées spatiales: r, θ, φ, chez David, R, θ, φ, chez Karl. r et R sont différents, c’est là tout notre débat !
J’affirme donc que la solution de David ne répond pas à cette condition puis qu’elle présente manifestement cette discontinuité (sur la sphère aréale), condition que remplit celle de Karl qui choisit le côté « réel » de cette discontinuité, l’autre côté étant imaginaire, ce qu’il s’git de démontrer mathématiquement

Comme déjà dit, chez David il y a (au moins) deux cartes disjointes, pas une carte discontinue. Il y a l'extérieur, qui est exactement ce que Schwarzschild a déjà décrit, et autre chose, qui à ce stade tient plus de l'artefact et que David traite par-dessus la jambe. David bacle en ne mentionnant pas le(s) domaine(s) de définition de son expression, on est à la limite de l'erreur.

Premier point : nous nous plaçons sur la coordonnée radiale r choisie par Karl et David, postulons que θ et φ sont nuls, leur variation ne faisant, par symétrie sphérique, qu’étendre notre conclusion à la sphère aréale.

Il faut prendre , sinon on est la singularité du pôle, détail.

Ce qui nous permet d’écrire la métrique (ds^2 =0) sous la forme :

A*dt^2 = 1/A*dr^2 avec A= (1-α/r)

Non, ce n'est pas une écriture de la métrique, mais c'est en revanche une relation entre accroissement de t et accroissement de r sur ligne radiale de genre nul. En l'occurrence, quand , elle mène à la vitesse radiale coordonnée de la lumière.

Que nous pouvons écrire 4 fois quand on revient aux termes (physiques) : dt et dr

D'abord en respectant la signature +---:

{ A dt* dt = 1/A dr*dr }
{- A d(it)* d(it)* = - A d(ir)* d(ir) }

Ces deux formes respectent la signature de la métrique et la seconde, la bizarre permutation spatio temporelle.

Là on part dans le délire complet. Pourquoi introduire des imaginaires?
La seule chose à tirer de la relation précédente c'est

Et cela signifie que sur une radiale de genre nul, r s'accroit +A ou -A fois plus vite que t, suivant qu'il s'agit d'une radiale dite entrante ou dite sortante.
C'est valable dans les deux domaines et , bien que r et t n'y ait pas le même sens.

On voit tout de suite que la métrique de David fait l’addition des deux, la première pour α > r, la seconde pour α < r, sans remarquer que la seconde correspond à un temps et un espace imaginaires, que ce calcul élémentaire met en évidence.

On voit tout de suite que c'est n'importe quoi. D'où sortent ces imaginaires ? Pourquoi les faire apparaître de nulle part ?

La conséquence évidente est que la signature du réel est forcément +--- et que l’on n’a pas d'autre choix.

Mais la signature est +--- dans les deux domaines et .

Additif : si j’étais (prudence) bien dans le vrai, (mais ce dont en fait je ne doute pas), je fais remarquer qu’il ne s’agit pas ici d’une théorie personnelle, mais d’un calcul concernant un document historique de valeur incontestable du niveau collège, associé à une vision des métriques que vous m'avez permis d'approfondir dans nos discussions, et qui ne viole donc en rien la charte, venant d’un échange libre avec un amateur juste un peu plus têtu que la moyenne, qui a beaucoup apprécié d’avoir pu mener cette discussion à son terme, grâce à laquelle il a beaucoup appris et dont il remercie ses interlocuteurs, mach3 en particulier dans ce fil.
Et qui ne doute pas que Futura saurait (encore prudence) s’associer au plaisir, sinon à l'honneur, de vulgariser la solution à quelque chose qui semble perturber la cosmologie académique depuis plus d’un siècle .

Avatar10 a raison, il vaut mieux fermer. Vous n'y connaissez rien, vous n'y comprenez rien, vous ne faites aucun effort pour progresser et vous avez la prétention de remettre en cause un consensus scientifique.
La discussion n'a plus d'intérêt pour moi. Elle en aurait eu si on était parti sur le terrain de Painlevé, mais vous ne souhaitez pas parler d'autre chose que Schwarzschild et Hilbert et vous finissez par lâcher des énormités.

Une chose m'échappe, quand on n'y connait rien dans un domaine, comment se fait-il qu'on prenne parti pour la frange minoritaire (les abrutis de la RG comme Abrams ou Antoci qui étalent leur ignorance crasse sur des torchons qui parfois sont acceptés on ne sait trop comment), plutôt que pour le consensus qu'on trouve dans les ouvrages de référence ? Idéologie ? Raisonnement motivé ?
Avec une démonstration moisie comme celle dont vous venez de nous gratifier, si si, on est totalement dans la théorie personnelle : vous inventez des choses !
Moi j'arrête là, on a fait le tour.

m@ch3

[Pio2001]

La métrique c'est une forme bilinéaire symétrique qui permet en premier lieu de faire des produits scalaires entre vecteurs, ce qui permet de définir des normes (longueurs si variété Riemannienne, longueurs ou durées, suivant le genre du vecteur si variété Lorentzienne), l'orthogonalité et les angles. En particulier, dans une variété Lorentzienne, si la signature est +--- (resp. -+++), le carré scalaire d'un vecteur de genre temps donne le carré (resp. l'opposé du carré) de la durée propre qu'il représente et le carré scalaire d'un vecteur de genre espace donne l'opposé du carré (resp. le carré) de la longueur propre qu'il représente. C'est une propriété hyper importante, à la base de tout le reste.

C'est ensuite, via la définition de vecteurs tangents aux courbes, un outil pour mesurer la longueur des courbes (si on est dans une variété Riemannienne), ou soit leur longueur soit leur durée en fonction de leur genre (si on est dans une variété Lorentzienne). Une explication détaillée du cas Riemannien est donné ici : https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post6866679
Pour le cas Lorentzien, il faut adapter en ajoutant une valeur absolue et le résultat est soit une longueur, soit une durée, en fonction du genre (en lien direct avec la propriété "hyper importante" précédente).

En lisant cela, j'ai presque eu l'impression de comprendre !
Alors que dans le seul cours de relativité auquel j'ai assisté, je n'ai jamais eu cette impression.

Merci donc pour cette petite étincelle qui a clignoté dans ma tête, de la part d'un lecteur silencieux

[Pio2001]

Ne serait-il pas temps de fermer?

Je ne sais pas, mais à la base, c'était un sujet ouvert par OllivierBreme sur les trous noirs.
Cela fait bien longtemps qu'il n'est plus là.

[mach3]

En lisant cela, j'ai presque eu l'impression de comprendre !
Alors que dans le seul cours de relativité auquel j'ai assisté, je n'ai jamais eu cette impression.

Merci donc pour cette petite étincelle qui a clignoté dans ma tête, de la part d'un lecteur silencieux

Heureux que ça serve. Peut-être ouvrir un nouveau fil si besoin d'eclaircir plus, mais l'étincelle suffira peut-être.

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

Affirmations péremptoires et hors-sujet.

Mwai... je trouvais ça plutôt objectif mais passons.

Qu'est ce que cela veut dire que ça ne marche pas pour plus d'une dimension ?

Qu'en ajoutant une dimension pour avoir de la 2D+t ça ne marche plus.

Ce qui compte c'est les prédictions et l'accord avec l'observation et ça ça se fait avec les équations, pas avec les images.

Ok, je ne te link pas de schéma, je te le rédige :

Problème

Un observateur A éloigné (qu'on considérera comme à l'infini) regarde un objet C en orbite circulaire à une coordonnée r.
Il lit sur sa montre qu'entre deux passages à l'alignement visuel Lui-Objet-TN la durée (période orbitale) est de T.
Il peut en déduire s'il le souhaite une vitesse orbitale coordonnée.

Il voit aussi un observateur témoin B situé au point d’alignement à la même altitude r et immobile avec un redshift X.
L'observateur B quant à lui mesure directement la vitesse orbitale locale au passage de l'objet C devant lui.

La logique nous dit que si la durée d'un tour est T pour l'observateur A, alors vaudra T/X pour l'observateur B.

Comparer la vitesse locale mesurée par B, la durée d'un tour et la longueur propre d'un grand cercle aréal de rayon r.
Comparer, pour B, la vitesse lumière locale radiale et orthoradiale.

Conclure.

Vous avez 2h. Euh non, tout votre temps...

Pour culminer, il suffit qu'une particule n'ait pas l'énergie suffisante pour monter "plus haut", et elle peut être partie de n'importe où "en-dessous"

Humm, une énergie empruntée comme ça pour monter bof. Pas pire que pour rester sur place, j'avoue...

La règle de symétrie d'un mouvement par inversion du temps valable chez Newton ne l'est plus en RG ?

Ce n'est pas parce que la représentation présente des lacunes que les équations présentent les mêmes lacunes.

Faut voir, suivant ta conclusion au problème posé.

A+

Mailou

[Mailou75]

En fait laisse tomber. Reposer là question m’a permis de m’y replonger en de comprendre ou je me trompais. Mon changement de repère modifiait le rayon areal. Je crois que j’ai trouvé la soluce, à vérifier. Le principe doit pouvoir s’appliquer à tout système présentant r en abscisse. Je n’en dis pas plus avant d’avoir vérifié tout ça...
a+
Mailou

[bernarddo]

…comment se fait-il qu'on prenne parti pour la frange minoritaire (les abrutis de la RG comme Abrams ou Antoci qui étalent leur ignorance crasse sur des torchons qui parfois sont acceptés on ne sait trop comment), plutôt que pour le consensus qu'on trouve dans les ouvrages de référence ? Idéologie ? Raisonnement motivé ?
m@ch3

Je peux y répondre (sans d'ailleurs avoir recours aux imaginaires mathématiques ) grâce à votre dernier post :

La seule chose à tirer de la relation précédente c'est
m@ch3

J’ai délibérément choisi de ma placer dans un consensus beaucoup plus indiscutable, celui de ceux qui, dans le réel, considèrent à la fois:
comme non physique un déplacement élémentaire écrit : ds = - (dx^2 + dy^2 +dz^2)^1/2,
comme fictionnelle une flèche du temps allant du futur vers le passé,
...et qui les réservent à la littérature de fiction et au cinéma!
Je vous laisse le soin de trouver pourquoi ces gens-là rejettent votre formule.

[Deedee81]

Salut,

J’ai délibérément choisi de ma placer dans un consensus beaucoup plus indiscutable, celui de ceux qui, dans le réel, considèrent à la fois:
comme non physique un déplacement élémentaire écrit : ds = - (dx^2 + dy^2 +dz^2)^1/2,
comme fictionnelle une flèche du temps allant du futur vers le passé,
...et qui les réservent à la littérature de fiction et au cinéma!
Je vous laisse le soin de trouver pourquoi ces gens-là rejettent votre formule.

Je suis de ceux là et :
- je ne rejette pas la formule
- et je ne vois aucun rapport entre ces deux remarques et la formule (qui ne parle ni de ds ni de flèche du temps).

Essaie d'être plus clair quand tu as une critique. Sinon, ça part dans le vide. Ca n'a absolument aucun intérêt.
(ma remarque ne porte pas sur Abrams et Antoci que je ne connais pas mais sur l'usage de la formule de mach3 pour donner une justification)
Les messages qui parlent pour ne rien dire ce n'est pas vraiment apprécié ici (encore plus quand c'est une critique).