Utiliser le tenseur métrique pour calculer des distances sur une sphère

[legagoux]

Bonjour cela fait un petit moment que j'essaye de comprendre les tenseurs métriques maintenant cependant une notion fondamentale m'm'échappe toujours et j'espère que vous pourrez m'aider. En fait lorsque nous souhaitons étudier un exemple concret avec un vecteur ne comprenant que des variables de distances cela se résout simplement cependant lorsque je souhaite calculer la distance entre deux points sur une sphère (comme la distance entre deux villes sur Terre) je n'arrive pas a savoir par quoi remplacer téta et phi sachant que les remplacer directement par des longitude et latitudes ne fonctionne pas. J'espère avoir été clair car j'avoue que ceci est assez dur a exprimer et que vous pourrez m'aider car après plusieurs recherche sur internet je ne sais plus vers ou me tourner.
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[Sethy]

Bonjour cela fait un petit moment que j'essaye de comprendre les tenseurs métriques maintenant cependant une notion fondamentale m'm'échappe toujours et j'espère que vous pourrez m'aider. En fait lorsque nous souhaitons étudier un exemple concret avec un vecteur ne comprenant que des variables de distances cela se résout simplement cependant lorsque je souhaite calculer la distance entre deux points sur une sphère (comme la distance entre deux villes sur Terre) je n'arrive pas a savoir par quoi remplacer téta et phi sachant que les remplacer directement par des longitude et latitudes ne fonctionne pas. J'espère avoir été clair car j'avoue que ceci est assez dur a exprimer et que vous pourrez m'aider car après plusieurs recherche sur internet je ne sais plus vers ou me tourner.

Dans ce cas, il faut intégrer et repartir de la définition du tenseur métrique :

dl^2 = dr^2 + r^2.dtheta^2 + r^2.sin^2(theta).dphi^2

donc dl = ....

donc l =

Dans le cas le plus général écrire les angles theta et phi, dr, dphi et dtheta comme des fonctions d'un paramètre arbitraire disons u et intégrer ou u varie par exemple de 0 à 1 et u = 0 représente le départ et u=1 l'arrivée.

Ici, si seule la longueur d'un arc est recherché, on peut "faire tourner" la sphère pour que (par exemple) la ville de départ soit sur l'équateur de la sphère et qu'il ne faille que faire varier un seul angle ce qui simplifie fortement le calcul.

[mach3]

Pour connaitre la longueur d'un chemin sur une variété Riemannienne de dimension n, il faut effectuer une intégration le long de ce chemin. Considérons que ce chemin est une courbe de paramètre , qui varie de 0 (début du chemin) à 1 (fin du chemin), c'est à dire que, dans un système de coordonnées qu'on aura défini, ( n'étant pas un exposant mais un indice haut qui numérote les coordonnées), le chemin se décrit par n fonctions de , , qui donnent la valeur de chaque coordonnée le long du chemin, pour chaque valeur de entre 0 et 1.

En chaque point de la variété, il y a un espace tangent qui contient des vecteurs (dans le cas d'une variété plane comme le plan euclidien, on confond souvent la variété et l'espace tangent, mais ce n'est pas possible en général), un espace cotangent qui contient les formes linéaires agissant sur les vecteurs, ainsi que tous les produits tensoriels de ces espaces qui contiennent tous les tenseurs d'ordre 2,3, etc.

Le tenseur métrique est une forme bilinéaire symétrique qui pour deux vecteurs en entrée, fourni un scalaire en sortie. Les vecteurs que nous allons utiliser sont un peu inhabituels quand on n'a connu que ceux de la géométrie euclidienne : ce sont des opérateurs de dérivée directionnelle. En effet, dans une variété Riemannienne, on ne peut pas traiter les vecteurs comme des bipoints comme on le fait en géométrie euclidienne. Une courbe décrite par un paramètre , définit en chacun de ces points un vecteur , tangent à la courbe (il appartient à l'espace tangent à la variété en ce point). L'application du tenseur métrique deux fois à ce vecteur donne le carré de la dérivée de la distance parcourue le long de la courbe par rapport à lambda (si était le temps, on obtiendrait alors le carré de la vitesse en ce point du chemin). Pour connaitre la longueur du chemin, il faut donc prendre la racine carré, puis intégrer par rapport à entre 0 et 1 :



Pour ce faire, il faut décomposer le vecteur sur une base, celle formée par les opérateurs de dérivée partielle, , définis par les coordonnées que l'on souhaite utiliser :

(somme implicite sur )

Ces opérateurs, si on les fournit en entrée au tenseur métrique, nous donnent en sortie les composantes de ce tenseur métrique dans ce système de coordonnées :



Du coup l'intégrale précédente peut se réécrire :

(somme implicite sur et )

En général, on connait les , ce sont les coefficients qui apparaissent dans l'expression de la métrique, qu'on écrit souvent :
(somme implicite sur et )
Par exemple

On connait aussi le chemin, qu'on peut encoder par n fonctions de , puis on calcule les dérivées, et ensuite il n'y a plus qu'à intégrer (souvent il faut faire une intégration numérique, car les coefficients dépendent généralement des et donc de , ce qui peut donner des fonctions dont on ne peut pas trouver de primitive à la main)

On peut avec ceci calculer la longueur d'un chemin donné entre deux points.

Cependant, la question peut être de connaitre la longueur du chemin le plus court entre ces deux points, et là il y a une étape supplémentaire, déterminer ce chemin le plus court avec l'équation des géodésiques. Nous verrons cela au prochain épisode, si nécessaire.

m@ch3

[jacknicklaus]

Bonjour,

un ouvrage remarquable et accessible, qui privilégie l'approche géométrique : https://www.amazon.fr/Geometric-Appr.../dp/0817683038

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

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Merci pour ce partage, voilà un bel ouvrage qui va me permettre d'approfondir certaines notions qui sont qui ne le sont pas assez dans Gravitation.

m@ch3