Vitesse expansion et vitesse de la lumière

[Archi3]

Il me faudrait trop de temps pour effectuer les calculs et les recherches.

C'est juste pour l'idée phénoménologique

Je vais essayer de parler simplement car les termes techniques me manquent.

Là "dans mon maintenant" il y a des galaxies situées 14 milliards d'années-lumière dont la vitesse de "fuite" égale C.

"ton maintenant" n'existe pas en Relativité générale (il suffit de commencer à marcher à quelques m/s pour que le "présent" soit décalé de quelques jours sur la Galaxie d'Andromède ) . Mais bon on comprend que tu parles "à un temps cosmique constant" dans un modèle de cosmologie idéale et simplifié.

Mais leur "vitesse" dépend de comment tu définis la vitesse. Newton a fait progresser la physique quand il a commencé à définir précisément ce qu'il appelait vitesse et accélération, donc c'est une bonne habitude.

Je (je suis immortel) n'en verrai leur "image photonique" que dans 45 milliards d'années.

j'ai pas fait ce calcul mais c'est probablement plus. Les 45 milliards d'années-lumière sont la distance actuelle des galaxies dont la lumière a voyagé pendant 12 milliards d'années dans le passé donc ce n'est pas les galaxies que tu décris.

Je vais continuer de recevoir les images du passé (de la galaxie) en continu. La vitesse fuite ne devrait pas cesser d'être accélérée. A partir de quelle distance (valeur limite) on pourrait considérer que nous reverrons plus aucune image de la galaxie compte-tenu du décalage de vitesse ?

en théorie tu ne les vois jamais disparaitre, comme tu ne vois jamais un objet franchir l'horizon d'un trou noir. En effet si leur image disparait c'est que leur fréquence Doppler tend vers zéro, mais du coup tout est ralenti y compris le franchissement de l'horizon qui est reporté à l'infini , mais néanmoins elles disparaitront "en pratique" en devenant inobservable par aucun instrument. Le temps dépend de leur distance et du rythme de l'expansion.

Autre question toujours sur cette galaxie (située à 14 milliards d'années-lumière) dans mon maintenant les images de son passé que je reçois de la galaxie peuvent-elles être estimées à - 6 milliards d'années environ . Suis-je loin du calcul ?


Hélas je suis confus mais tenace et le pire je n'ai ni Ho, ni z pour les calculs.

le problème est qu'il existe des formules pour répondre à ces calculs, mais qu'elles ne correspondent pas à des images mentales simples, or toi tu veux les réponses avec des images mentales simples, donc forcément tu comprends mal ...
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[pm42]

"ton maintenant" n'existe pas en Relativité générale

Les 45 milliards d'années-lumière sont la distance actuelle

Comment définit-on "actuelle" si son "maintenant" n'existe pas ?

Parce que à part qu'il a été précisé "à temps cosmologique constant" ce qui pour un débutant n'apprend pas grand chose, on est dans le "tu n'as pas le droit de faire ça mais moi oui".

Ceci dit, un peu plus haut, on a eu une chouette intégrale pour quelqu'un qui se bat avec les concepts élémentaires et ne donne pas l'impression d'avoir une formation mathématique donc on est sauvés.

[yves95210]

Ceci dit, un peu plus haut, on a eu une chouette intégrale pour quelqu'un qui se bat avec les concepts élémentaires et ne donne pas l'impression d'avoir une formation mathématique donc on est sauvés.

Le but était de montrer que sans un minimum de maths on parle dans le vide et à force d'utiliser des mots sans comprendre les concepts qu'ils représentent ils finissent par être vides de sens. Et même la lecture de milliers de pages de vulgarisation (bonne, vu les auteurs que Daniel cite) ne suffit pas à combler ce vide.

On peut ne pas avoir de formation mathématique universitaire mais en avoir quand-même fait suffisamment au lycée pour savoir ce qu'est une intégrale (et si on ne s'en rappelle pas faute d'avoir utilisé les maths depuis, pouvoir faire l'effort de se replonger dans un cours de maths pour se rafraîchir les idées).
D'autant plus quand il s'agit "juste" de comprendre le concept et pas forcément d'être capable de faire le calcul (surtout que, en l'occurrence, cette intégrale n'a pas de solution analytique et qu'il faut la résoudre numériquement. Mais à condition de comprendre ce que signifient les résultats qu'ils produisent, il existe des outils qui font le boulot).

Ce n'est pas pour rien que j'avais proposé un petit exercice qui, pour le coup, ne demandait pas de connaissances en maths au-delà du niveau terminale scientifique, mais qui permettait (peut-être) de mieux toucher du doigt les concepts au sujet desquels Daniel se fait des nœuds au cerveau. S'il s'y était intéressé, j'aurais posté la solution (avec un graphique) en faisant le lien avec les concepts utilisés en cosmologie (plusieurs notions de distance, l'existence d'un horizon, etc.); et j'aurais pu proposer des compléments à cet exercice, permettant d'aller un peu plus loin.
Mais bon, je me suis planté (comme souvent quand j'essaie de faire de la pédagogie) en pensant que ça pourrait être utile : ça ne correspond manifestement pas aux attentes de Daniel, qui n'a que mépris pour des choses aussi simples (sauf que la cosmologie de l'"après big-bang", ce n'est pas tellement plus compliqué, du moins tant qu'on s'en tient aux généralités et au modèle standard; et pourtant...).

[pm42]

On peut ne pas avoir de formation mathématique universitaire mais en avoir quand-même fait suffisamment au lycée pour savoir ce qu'est une intégrale (et si on ne s'en rappelle pas faute d'avoir utilisé les maths depuis, pouvoir faire l'effort de se replonger dans un cours de maths pour se rafraîchir les idées).

Je suis désolé mais c'est typique de l'élitisme français, de la sélection par les maths et de l'incapacité de se mettre à la place des gens qui posent des questions (ou des élèves).
A la fin, on a la plupart des élèves qui ne savent pas faire une règle de trois, une population qui se bat avec les pourcentages mais des gens formés qui pensent que puisqu'eux y sont arrivé pendant leurs études, on peut se replonger dans les cours pour comprendre ce qu'est une intégrale...

[yves95210]

Je suis désolé mais c'est typique de l'élitisme français, de la sélection par les maths et de l'incapacité de se mettre à la place des gens qui posent des questions (ou des élèves).
A la fin, on a la plupart des élèves qui ne savent pas faire une règle de trois, une population qui se bat avec les pourcentages mais des gens formés qui pensent que puisqu'eux y sont arrivé pendant leurs études, on peut se replonger dans les cours pour comprendre ce qu'est une intégrale...

Je n'ai parlé d'études que jusqu'au niveau bac (scientifique, certes).
Bon, je ne sais pas quel est le bagage de Daniel, et c'était peut-être inapproprié, mais c'est à lui de nous le dire. Parce qu'en l'occurrence, j'ai plutôt l'impression qu'il cherche à contourner le problème en espérant pouvoir parler physique au-delà de ce qu'il a lu dans des bouquins de vulgarisation - au point de s'intéresser aux "querelles entre experts" (?) - sans commencer par les bases, ce à quoi certains ici pourraient éventuellement l'aider. Et parmi ces bases, il y a un minimum de maths.
Minimum qu'on peut sans-doute expliquer en partie "avec les mains" (et des petits dessins), pas forcément au point de lui permettre de faire les calculs lui-même mais au moins de comprendre à quoi ils servent et de faire le lien avec les phénomènes physiques qu'il voudrait "visualiser" mentalement.

Avec mon premier message dans cette discussion je voulais faire un test pour voir où se situait le niveau d'incompréhension de Daniel et quelles étaient les notions mathématiques qui lui manquaient éventuellement pour aller au-delà s'il le souhaite vraiment (donc je cherchais justement à "me mettre à la place des gens qui posent des questions", dans le but de pouvoir y répondre pas à pas). Mais il n'a pas jugé utile d'y répondre, sans-doute parce que c'est bien trop éloigné de ses préoccupations...

[pm42]

Parce qu'en l'occurrence, j'ai plutôt l'impression qu'il cherche à contourner le problème en espérant pouvoir parler physique au-delà de ce qu'il a lu dans des bouquins de vulgarisation - au point de s'intéresser aux "querelles entre experts" (?) - sans commencer par les bases, ce à quoi certains ici pourraient éventuellement l'aider. Et parmi ces bases, il y a un minimum de maths.

Sur ce point, on est parfaitement d'accord.

[Daniel1958]

Bon vous avez raison de vouloir évaluer mon niveau et c'est dans la logique des choses.

J'ai eu mon bac et scientifique (c’est très vieux) j'ai eu de bonnes notes math (programme très condensé niveau licence et physique) en 1er année de médecine (profs de sciences super pédagogues). Non je ne suis pas devenu médecin mais retraité de la Banque (la voiture balais pour les gens qui ne s’intéressaient à rien comme moi). Je sais que je vais me prendre "une volée" de bois vert méritée. Mais même si je comprends la rigueur, je trouve que les débats sur XXXX auraient dû être plus apaisés. Même s'ils disaient des con...... au moins le grand public avait une appetence plus grande pour la science (même sans grande rigueur)

Cela dit j'ai quasiment fini

l'excellent livre de Steven Strogatz Puissance Infini (sans e).

.

Cela m’a reboosté. Tu vois si on en comprend le sens des choses c’est tout de suite plus agréable

Mais faire un calcul d'intégrale ordinaire (je déteste ce mot) mais complexe (surtout le dénominateur) comme celle que tu m'as adressée nécessite des supports matériels et pour moi des efforts. Je pense que je dois essayer de la décomposer, simplifier, calculer et la reporter du papier millimétré pour positionner sur un graph de 0 à z. Comment puis-je le faire sur un micro (Win 11) ou sur ma calculette Ti83.

Après c'est un peu idiot de ma part je ne suis pas familiarisé avec les forums. Dès que je voulais poster et revenir en arrière (via la flèche) je perdais mes écrits non validés. C'est une de des raisons pour laquelle je n'ai pas encore utiliser le calculateur
Maintenant je travaille avec Word qui me sert de tampon.

[Lansberg]

Il me faudrait trop de temps pour effectuer les calculs et les recherches.

Je rejoins ce que d'autres ont pu dire. Sans se plonger un peu dans le formalisme, il est compliqué de saisir le Baba de la cosmologie. En vrac : distances angulaire, comobile et de luminosité ; temps de voyage de la lumière, cône de lumière passé, horizon des particules, horizon des événements, redshift, sphère de Hubble.

Là "dans mon maintenant" il y a des galaxies situées 14 milliards d'années-lumière dont la vitesse de "fuite" égale C. Je (je suis immortel) n'en verrai leur "image photonique" que dans 45 milliards d'années.

Le "maintenant" correspond au temps cosmique de 13,8 milliards d'années et les galaxies situées à 14 milliards d'années lumière nous fuient avec une vitesse de récession égale à c.
Ces galaxies ne sont pas visibles. La lumière qui en part "maintenant" ne nous parviendra que dans 45 milliards d'années environ. Tout ça n'est qu'une construction mathématique obtenue à partir du modèle d'univers actuel.

[U]Je vais continuer de recevoir les images du passé (de la galaxie) en continu.

À partir du moment où on commencera à recevoir sa lumière qui sera fortement décalée vers le rouge.
Comme cela a déjà été dit, à partir du moment où un objet entre dans notre cône de lumière passé, on le voit pour toujours, dans le sens où sa lumière même fortement décalée vers le rouge et très atténuée, nous parviendra.

Autre question toujours sur cette galaxie (située à 14 milliards d'années-lumière) dans mon maintenant les images de son passé que je reçois de la galaxie peuvent-elles être estimées à - 6 milliards d'années environ . Suis-je loin du calcul ?

Cette galaxie n'est pas dans notre cône de lumière passé. On ne la voit pas. Elle "n'existe" pas pour nous !

[Archi3]

Comment définit-on "actuelle" si son "maintenant" n'existe pas ?

Parce que à part qu'il a été précisé "à temps cosmologique constant" ce qui pour un débutant n'apprend pas grand chose, on est dans le "tu n'as pas le droit de faire ça mais moi oui".

ça serait un peu long de réécrire toute la cosmologie ici , mais bien sur il y a une réponse à cette question : le principe cosmologique suppose qu'il existe un système de coordonnées spatio-temporelles telle que à t = cte, les "hypersurfaces" (volumes 3D) sont homogènes et isotropes. C'est bien sur faux en toute rigueur (l'univers n'est manifestement pas homogène à petite échelle, il y a des galaxies, des amas de galaxies, etc ..) mais si on fait cette approximation, la coordonnée t joue le rôle d'un temps cosmique. Ce sera le temps propre d'un observateur au repos dans ce référentiel, c'est à dire pour lequel l'Univers parait isotrope. Note bien que ce n''est pas vraiment le cas de la Terre, par exemple le rayonnement cosmologique à 2,7 K n'apparaît pas complètement isotrope, il y a un "dipôle" un peu plus chaud d'un coté et un peu moins de l'autre (http://public.planck.fr/outils/astro...e-cosmologique ) ce qui veut dire que la Terre a un mouvement propre par rapport à ce référentiel cosmologique.

Dans le cas général, avec un espace-temps quelconque et un mouvement quelconque, il n'est pas possible de définir une simultanéité dans tout l'espace, mais c'est possible dans certain cas (dont celui des observateurs au repos dans le référentiel moyen). Bon en réalité ça ne changerait pas grand chose de prendre en compte des décalages temporels dus à des petits mouvements, mais juste pour le principe, ça peut etre important de comprendre qu'un observateur "quelconque" ne peut pas définir l'ensemble des évènements "simultanés avec lui" (ce qui n'a rien de trivial). Par exemple le simple fait d'être en co-rotation avec la Terre empêche de synchroniser rigoureusement toutes les horloges à sa surface (Effet Sagnac : https://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Sagnac )

[Daniel1958]

Merci

C'est rigoureux et clair. Je pensais que l'on pouvait extrapoler mais c'est une fausse idée. C'est dur pour moi qui fonctionne de manière inductive.
Je pense avoir compris le cône de lumière. Donc je reçois sa lumière maintenant d'il y a peut-être 6 Milliards d'années. Je continuerai à recevoir sa lumière au fil du temps. Elle (la lumière) est dans mon maintenant mais n'a jamais été dans le passé.



Demande de conseil : en dehors des livres sur la RG quel est livre de cours (accessible si possible complet et à jour) est à acheter sur l'introduction à la Cosmologie.

[yves95210]

Mais faire un calcul d'intégrale ordinaire (je déteste ce mot) mais complexe (surtout le dénominateur) comme celle que tu m'as adressée nécessite des supports matériels et pour moi des efforts.

Mais justement je ne t'ai pas proposé de faire ce calcul "à la main". D'autant moins qu'il n'y a pas de solution analytique et qu'il faut donc faire ça numériquement (et je t'ai indiqué le lien d'un outil en ligne qui fait ça très bien).

Et le petit exercice que j'avais proposé au début ne nécessitait pas de calculer une intégrale compliquée mais seulement de connaître les fonctions exponentielle et logarithme (et leurs dérivées). Même sans faire de calcul (ce que j'avais suggéré), il suffisait de constater que la croissance de la longueur de la route est exponentielle pour en déduire que, si elle est initialement assez longue, la voiture n'arrivera jamais au bout puisque la croissance de la distance qu'elle parcourt est linéaire.

Mais j'avais quand-même prévu de poster la solution détaillée permettant de répondre précisément à la dernière question. La voici, si ça t'intéresse, au moins pour voir si tu arrives à suivre la démarche, ce qui doit être possible avec tes souvenirs du lycée (les miens étaient aussi anciens puisqu'on a à peu près le même âge et que je n'ai pratiquement jamais utilisé mes connaissances en maths ou en physique durant ma vie professionnelle; je ne m'y suis remis qu'il y a quelques années).

 Cliquez pour afficher

à chaque seconde la longueur L(t) de la route augmente de L(t)/10000 .
On a donc dL/dt=L/10000, ce qui s'intègre en ln(L/L₀) = t/10000 , avec t=0 lors du départ de la voiture et L₀ la longueur de la route à t=0.
Donc L(t) = L₀ exp(t/10000).

En une durée t la voiture (de vitesse constante V) parcourt une distance Vt .
Elle arrive donc au bout de la route lorsque Vt = L₀ exp(t/10000), soit t = L₀/V exp(t/10000)

On peut tracer les deux fonctions X(t)=Vt et L(t)=L₀ exp(t/10000) dans un graphique avec le temps en abscisse et la distance en ordonnée.
La courbe représentant X(t) est une droite de pente V partant de l'origine.
La courbe représentant L(t) est une exponentielle partant de L(0)=L₀.
Sa pente est L₀exp(t/10000)/10000. Elle devient supérieure à V lorsque exp(t/10000)>10000.V/L₀, soit quand t > T=10000 ln(10000.V/L₀)
Il faut donc que la voiture arrive au bout de la route avant l'instant T puisque, ensuite, le bout de la route s'éloigne de la voiture plus vite que celle-ci avance.
La valeur limite de L₀ pour que la voiture puisse arriver au bout de la route est donc telle que
T = L₀/V exp(T/10000) = L₀/V exp[10000 ln(10000.V/L₀)/1000] = L₀/V exp[ln(10000.V/L₀)] = 10000 s.
Comme VT = L₀ exp(T/10000), avec V=100 km/h=100000/3600 m/s, cela donne (100000/3600).10000 = L₀ exp(1),
et L₀ = (100000/3600).10000 / exp(1) ~ 102188 m = 102,188 km.
Lorsque la voiture arrive au bout de la route, la longueur de celle-ci est L(T) = 1,0001^T L₀ = 277,764 km.

Je n'avais pas fait le calcul, mais je n'étais pas loin de cette limite en posant L₀=100 km dans l'énoncé de l'exercice. A peu de chose près, il n'aurait pas eu de solution...

Mais oublions cet exercice, sauf si tu veux y revenir.

Je pense que je dois essayer de la décomposer, simplifier, calculer et la reporter du papier millimétré pour positionner sur un graph de 0 à z. Comment puis-je le faire sur un micro (Win 11) ou sur ma calculette Ti83.

Sous Windows, tu peux utiliser un tableur, Excel ou autre, même sans être un expert de la programmation.

Après c'est un peu idiot de ma part je ne suis pas familiarisé avec les forums. Dès que je voulais poster et revenir en arrière (via la flèche) je perdais mes écrits non validés.

Si tu utilises la fonctionnalité de prévisualisation (bouton en bas à droite de la fenêtre du message, à côté du bouton 'Envoyer la réponse'), ça enregistre ton message sur le serveur (sans le poster dans la discussion). Du coup, si tu utilises malencontreusement le bouton flèche vers la gauche de ton navigateur (retour à la page précédente) alors que tu es en train de saisir un message, en utilisant ensuite le bouton flèche vers la droite pour revenir à la page de saisie, le texte que tu avais commencé à saisir réapparaît.

[yves95210]

Demande de conseil : en dehors des livres sur la RG quel est livre de cours (accessible si possible complet et à jour) est à acheter sur l'introduction à la Cosmologie.

Pas complètement à jour puisqu'il date de 2002, mais bien assez pour débuter, il y a le cours de James Rich, "Fundamentals of cosmology" en anglais ou "Principes de la cosmologie" en français.
Aussi accessible que peut l'être un cours de cosmologie, ce qui demande quand-même d'avoir un niveau bac+2 (de notre époque) en maths et en physique, plus quelques notions de RG (même si ce n'est pas complètement indispensable pour les utiliser ensuite, c'est quand-même plus sympa de comprendre comment on établit les équations de Friedmann qui sont à la base du modèle cosmologique standard).
Mais s'attaquer à un cours de cosmologie quel qu'il soit sans avoir ces prérequis, c'est un peu mettre la charrue avant les bœufs - une démarche possible est d'en commencer la lecture, et dès qu'on bute sur une question à cause d'un manque de connaissance en maths (ou en physique), d'ouvrir le cours qui va bien.

Il y a quelques années je l'avais trouvé téléchargeable gratuitement (et légalement m'avait-il semblé, peut-être à tort) dans les deux langues, mais apparemment ce n'est plus le cas.

[Daniel1958]

Donc un livre (qui peut être en plusieurs tomes et en français) qui présente des concepts avec un cours à différents niveaux cela n'existe pas ?

Bon j'ai suivi sur internet les cours d'initiation de A Barreau sur la RR et la RG. Je n'ai pas eu trop de difficultés à suivre. Mais pour simplifier il a fait des raccourcis. J'ai les livres de Penrose mais les twisters très peu pour moi.

Y a un truc que je n'ai pas bien compris à la base c'est delta de S au carré. Bon l'équation n'est pas difficile au comprendre mais pourquoi au carré . Est-ce pour éviter des coordonnées négatives ?

[yves95210]

Y a un truc que je n'ai pas bien compris à la base c'est delta de S au carré. Bon l'équation n'est pas difficile au comprendre mais pourquoi au carré . Est-ce pour éviter des coordonnées négatives ?

Si tu parles du ds² qui représente le carré de l'intervalle d'espace-temps (une distance), dans l'expression de la métrique de l'espace-temps dans un système de coordonnées, pense à l'expression du carré d'une distance dans un repère orthonormé en géométrie euclidienne dans un espace à 2 ou 3 dimensions (celle que tu as apprise au lycée), ou au théorème de Pythagore (que tu as dû apprendre au collège).

En relativité (restreinte ou générale) la géométrie de l'espace-temps n'est pas euclidienne, puisque le signe du terme dt² (le carré d'un déplacement dans le temps) est l'opposé du signe des termes dx_i² (le carré d'un déplacement dans l'espace suivant l'axe des x_i).
Pour faire simple, passons sur le fait que, suivant le choix de coordonnées effectué, il peut y avoir des termes croisés, par exemple en dt.dx.

La métrique de Minkowski (qui représente la géométrie de tout l'espace-temps de la relativité restreinte, ou de l'espace-temps de Minkowki tangent en un évènement à la variété d'espace-temps de la RG) s'écrit ds²=-c²dt²+dx²+dy²+dz² (dans ce cas ds² est toujours négatif ou nul, le cas nul correspondant au déplacement d'une particule de masse nulle et le cas négatif au déplacement d'une particule massive dans le référentiel choisi) ou ds²=c²dt²-dx²-dy²-dz² (dans ce cas ds² est toujours positif ou nul).
Le choix des signes (-,+,+,+) ou (+,-,-,-) (la signature de la métrique) est arbitraire, mais doit évidemment être respecté tout au long des calculs.

Dans le sous-espace 3D à t constant (donc dt nul) ds² représente bien le carré d'une distance dans cet espace. Rien de troublant à part l'éventuel signe négatif.

Pour une particule massive immobile dans l'espace dans le référentiel choisi, ds² représente le carré de son déplacement dans le temps (à l'éventuel signe près), autrement dit le carré de l'intervalle de temps propre de la particule (celui que mesurerait une horloge entraînée par cette particule). Rien de troublant non plus à part le fait que ce carré est négatif si on fait le choix de la signature (-,+,+,+).
C'est probablement la raison pour laquelle beaucoup de relativistes préfèrent l'autre choix, dans lequel ds² est toujours positif ou nul puisque dx²+dy²+dz²≤c²dt².

[Daniel1958]

Je te remercie de m'avoir prodigué tes explications.
Mais je fais partie d'une génération où hélas l'enseignement des mathématiques a été dicté par l'école ENS de Bourbaki.
En clair in fallait apprendre, par cœur, les formules, les équations de base sans explications.
La géométrie a été largement négligée au profit de la théorie des ensembles les maths modernes quoi (beurk)
Ce qui fait que nous avons (ma génération) un déficit en géométrie. Cette grave erreur pédagogique a vite été corrigée.

Donc cette notion Ds au carrée est liée (à la base) à A2 +B2 =C2 et à la géométrie Euclidienne. J'avais plus l'habitude des simples repères cartésiens en X et y. Mais cela ne me gêne pas d'y ajouter Z pour obtenir un volume en 3D
J'ai pris ton petit exercice sur Word. Je vais le faire simplement sur une feuille de papier et comparer les résultats.

L'air de rien c'est formateur. Mais je comprends vite si on m'explique très longtemps. Je suis beaucoup plus "globaliste" qu'analytique.

[pm42]

Mais je fais partie d'une génération où hélas l'enseignement des mathématiques a été dicté par l'école ENS de Bourbaki.
En clair in fallait apprendre, par cœur, les formules, les équations de base sans explications.
La géométrie a été largement négligée au profit de la théorie des ensembles les maths modernes quoi (beurk)
Ce qui fait que nous avons (ma génération) un déficit en géométrie. Cette grave erreur pédagogique a vite été corrigée.

Tu nous as déjà expliqué ce que tu en pensais. C'est totalement HS et cela n'explique clairement pas pourquoi tu as des difficultés à comprendre ce qui t'a été expliqué ici par beaucoup de gens, de beaucoup de façons différentes et avec beaucoup de patience.

Par exemple, tu utilises systématiquement ton vocabulaire à toi pour décrire des concepts non pertinents même quand on t'a expliqué plusieurs fois pourquoi c'est trompeur et inefficace.
Alors Bourbaki a bon dos parce que lire calmement, prendre le temps de comprendre au lieu de rebondir de question en question en s'accrochant à des représentations déjà existantes mais fausses n'a rien à voir avec la façon dont on a enseigné les maths dans ton enfance.

P.S : "l'école ENS" est bizarre. Le E dans ENS est déjà là pour Ecole. Et tu fais un contresens historique sur ce qui s'est passé, Bourbaki n'ayant rien dicté mais influencé malgré lui. C'est expliqué ici par exemple : http://images.math.cnrs.fr/Influence...-Bourbaki.html

[Archi3]

Je te remercie de m'avoir prodigué tes explications.
Mais je fais partie d'une génération où hélas l'enseignement des mathématiques a été dicté par l'école ENS de Bourbaki.
En clair in fallait apprendre, par cœur, les formules, les équations de base sans explications.

c'est marrant, je suis de la même génération à quelques années près et j'ai suivi les mêmes maths, mais ce n'est pas du tout comme ça que je décrirais les maths modernes : au contraire il me semble qu'elles étaient caractérisées par une grande précision dans les démonstrations, et une grande abstraction, et on leur reprochait plutot de sacrifier les maths "utiles" mais à apprendre par coeur (avec effectivement peu de géométrie descriptive pour le coup) .
Par exemple on construisait explicitement les nombres négatifs ou les vecteurs comme des classes d'équivalence de couples de nombres positifs ou de points , ce qui est correct mathématiquement mais quand même assez loin de l'intuition.

Moi j'aimais bien mais je reconnais qu'il fallait un certain goût pour l'abstraction que manifestement tu ne partages pas.

Donc cette notion Ds au carrée est liée (à la base) à A2 +B2 =C2 et à la géométrie Euclidienne. J'avais plus l'habitude des simples repères cartésiens en X et y. Mais cela ne me gêne pas d'y ajouter Z pour obtenir un volume en 3D

la formule en 3D ne donne pas un volume mais une distance. Par exemple si tu veux calculer la distance entre deux coins opposés d'une pièce de ta maison (grande diagonale entre le point en haut au fond à droite et en bas devant à gauche ) , tu fais comment ?

tu arriveras peut etre avec un peu de réflexion à réaliser que ça revient à appliquer deux fois le théorème de Pythagore, une fois pour calculer une "petite diagonale" sur le plancher a^2 = x^2 + y^2 , puis une deuxième fois en prenant la petite diagonale et la hauteur pour trouver la distance d^2 = a^2+z^2 = x^2 +y^2+z^2. Le théorème de Pythagore se généralise sans probleme à N dimensions.

Cependant si tu veux calculer les distances sur une sphère comme la Terre, ou plus généralement sur une surface courbe, tu t'aperçois que ce n'est pas aussi simple parce que tu n'as pas de coordonnées cartésiennes... et là tu entres dans le monde de la géométrie non euclidienne.

J'ai pris ton petit exercice sur Word. Je vais le faire simplement sur une feuille de papier et comparer les résultats.

L'air de rien c'est formateur. Mais je comprends vite si on m'explique très longtemps. Je suis beaucoup plus "globaliste" qu'analytique.

on peut etre globaliste et précis. Dans ton cas je dirais plutot que tu es comme la grande majorité des gens "intuitiste" et que tu te reposes plus sur tes images mentales que sur l'exigence de précision, exigence qui conduit à se demander à chaque fois "quand j'emploie un mot est ce que je sais précisément de quoi je parle et comment calculer une valeur si on me la demande ?".

La plupart des gens ne font pas ça et détestent qu'on le leur demande. Par exemple c'est très courant de parler "d'énergie psychique" mais personne n'a jamais défini d'unité ni chercher à mesurer combien on en avait, contrairement à l'énergie physique. L'emploi de notions intuitives peut etre créatif mais permet aussi de raconter à peu près n'importe quoi sans être contredit, ce qui limite son utilité, mais offre une protection psychologique narcissique de pouvoir dire ce qui nous passe par la tete, sans qu'on nous embête trop.

L'esprit scientifique en acceptant de passer par les fourches caudines de la rigueur et de la vérification est plus contraignant et plus dangereux parce qu'on peut se prendre plus facilement des "baffes" en se trompant, mais si tu le maitrises, ça te donne bien plus.de puissance et de compréhension du monde - justement parce que la tu ne peux PAS dire ce qui te passe par la tete.

Par exemple sur la notion de distance qui parait intuitivement simple, elle peut se formaliser facilement dans un cadre euclidien (les coins de ta pièce), moins facilement mais encore précisément sur une géométrie courbe statique (la Terre), mais disparait de façon univoque dans une géométrie mouvante comme l"'Univers. Si tu comprends ça, tu deviens bien plus prudent quand tu parles de "distance".

Mais bon encore une fois il faut avoir le gout de l'exactitude et de la précision, goût que tu ne sembles pas vraiment avoir. Ce n'est pas un reproche, chacun vit sa vie et tous les gouts sont dans la nature, on peut juste trouver curieux que tu ailles chercher des questions très compliquées alors que tu as déjà manifestement des problèmes avec des questions simples genre théorème de Pythagore à 3 dimensions ... tu cherches quoi au juste en posant ces questions ?

[yves95210]

Bonjour,

le petit exercice que j'avais proposé au début ne nécessitait pas de calculer une intégrale compliquée mais seulement de connaître les fonctions exponentielle et logarithme (et leurs dérivées). Même sans faire de calcul (ce que j'avais suggéré), il suffisait de constater que la croissance de la longueur de la route est exponentielle pour en déduire que, si elle est initialement assez longue, la voiture n'arrivera jamais au bout puisque la croissance de la distance qu'elle parcourt est linéaire.

Mais j'avais quand-même prévu de poster la solution détaillée permettant de répondre précisément à la dernière question. La voici,

La solution que j'ai postée hier est fausse. En utilisant implicitement un système de coordonnées dans lequel la coordonnée d'espace représente la distance physique, je suis tombé dans un piège : j'ai oublié de tenir compte de l'allongement de la partie de la route déjà parcourue par la voiture.
Personne n'a relevé cette erreur (mais peut-être que personne n'a regardé le calcul...) mais je préfère quand-même la signaler.

Je posterai (peut-être) la solution correcte quand je serai sûr de mon coup...

[Archi3]

j'avoue que je n'avais pas regardé
il faut prendre comme coordonnée la fraction de la route parcourue par la voiture (entre 0 et 1). Si la croissance de la route est exponentielle, et la vitesse de la voiture constante, la fraction parcourue par la voiture est une exponentielle décroissante et la série converge vers une valeur finie donc effectivement la limite peut etre < 1 et la voiture n'atteint jamais le bout de la route.

En revanche et de façon moins intuitive, si le bout de la route croit linéairement mais plus vite que la voiture (par exemple toutes les secondes, la voiture parcourt 10 m et la route s'allonge de 1000 km), la fraction parcourue par la voiture décroit en 1/t, mais ça fait une série harmonique qui diverge logarithmiquement à l'infini, donc le cumul finit toujours par dépasser 1, et donc la voiture arrive toujours au bout de la route (mais avec un temps exponentiellement long).

[yves95210]

j'avoue que je n'avais pas regardé
il faut prendre comme coordonnée la fraction de la route parcourue par la voiture (entre 0 et 1).

Autrement dit une coordonnée comobile, ce qui est évidemment le meilleur choix

Je voulais faire le calcul en utilisant la distance physique (par rapport au début de la route) comme coordonnée, car je pensais que ça serait peut-être plus parlant pour Daniel, mais ça complique un peu les choses...

Si la croissance de la route est exponentielle, et la vitesse de la voiture constante, la fraction parcourue par la voiture est une exponentielle décroissante et la série converge vers une valeur finie donc effectivement la limite peut etre < 1 et la voiture n'atteint jamais le bout de la route.

Oui.

En revanche et de façon moins intuitive, si le bout de la route croit linéairement mais plus vite que la voiture (par exemple toutes les secondes, la voiture parcourt 10 m et la route s'allonge de 1000 km), la fraction parcourue par la voiture décroit en 1/t, mais ça fait une série harmonique qui diverge logarithmiquement à l'infini, donc le cumul finit toujours par dépasser 1, et donc la voiture arrive toujours au bout de la route (mais avec un temps exponentiellement long).

C'est pour ça que je n'avais pas choisi une croissance linéaire dans l'énoncé du problème...

Pour en revenir à la cosmologie, le premier cas (croissance exponentielle) correspond à un modèle d'espace-temps spatialement "plat" et vide de matière mais avec constante cosmologique positive, ce à quoi ressemblera notre univers dans un lointain futur si Lambda>0 est vraiment constante.
Le deuxième cas (croissance linéaire) correspond à un modèle d'espace-temps vide de matière avec courbure spatiale négative et Lambda nulle, ce à quoi pourrait ressembler notre univers dans un lointain futur si le modèle préféré par beaucoup de cosmologistes dans les années 1990 n'avait pas été réfuté.

[yves95210]

Autrement dit une coordonnée comobile, ce qui est évidemment le meilleur choix

Je voulais faire le calcul en utilisant la distance physique (par rapport au début de la route) comme coordonnée, car je pensais que ça serait peut-être plus parlant pour Daniel, mais ça complique un peu les choses...

Comme je suis têtu, voici quand-même la solution, avec x(t) la distance de la voiture par rapport au début de la route :

Chaque seconde la longueur L(t) de la route augmente de k.L(t), où k est une constante (k=1/10000 dans l'énoncé du problème).
On a donc dL/dt=k.L, ce qui s'intègre en ln(L/L₀) = k.t , avec t=0 lors du départ de la voiture et L₀ la longueur de la route à t=0.
Donc L(t) = L₀ exp(k.t)

Si à un instant t, la voiture se trouve en x(t), à t+dt elle se trouvera en x(t+dt)=x(t)exp(k.dt)+Vdt, le premier terme représentant l'allongement de la partie de la route que la voiture a déjà parcourue et le deuxième terme le déplacement de la voiture à vitesse constante V par rapport à la route, pendant la durée infinitésimale dt.

On a donc dx = x(t+dt)-x(t) + Vdt = x(t)[exp(kdt)-1] + Vdt ≈ x(t)kdt + Vdt =[kx(t) + V]dt, d'où dx/dt = kx + V
Cette équation différentielle s'intègre en x(t) = C exp(kt) - V/k, avec C constante (voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Équati...e_d%27ordre_un).
Comme x(0)=0, C=V/k, et x(t) = V/k [exp(kt) -1]

La voiture arrive donc au bout de la route au bout d'une durée T telle que V/k [exp(kT) -1] = L₀exp(kT), soit exp(kT) = (V/k)/(V/k-L₀),
d'où T = 1/k ln[V/(V-k.L₀)].
Pour que cette équation ait une solution il faut que V > k.L₀. Alors L(T) = L₀V/(V-k.L₀).

Avec L₀ = 100 km, V = 100 km/h = (100/3600) km/s et k = 1/10000 s^-1, on a k.L₀ = (100/10000) km/s < V, et
T = 10000 ln[(100/3600)/(100/3600 - 100/10000)] = 10000 ln(100/64) = 4463 s,
L(T) = 100.(100/3600)/(100/3600 - 100/10000) = 100 (100/64) = 156,25 km.
Le compteur kilométrique de la voiture affiche 124 km.

Mais il suffit que L₀ soit supérieur ou égal à (10000 x 100/3600) = 277,777 km pour que la voiture n'atteigne jamais le bout de la route.

[Daniel1958]

C'est vrai, je manque de rigueur. Après chacun ses faiblesses. Néanmoins je pense que les maths ne font pas tout. Je cherche à comprendre. L'abstraction n'est pas mon mode de fonctionnement. Cela dit l'enseignement des maths basé sur la réflexion du Groupe Bourbaki a été reformé car trop il était trop abstrait. Le groupe "Bourbaki" faisait partie de mathématiciens frondeurs, réformateurs de l'ENS.

Ce je recherche peut-être défini par un petit exemple.
Je prends une quantité (positive) égale à 100 dont je déduis 10% et que j'augmente ensuite le résultat de 10%, on inverse j'augmente et ensuite je déduis. Bon dans tous les cas la quantité sera inférieure (99) à celle du départ. Bon c'est facile. Pour vous cela ne pose pas de problème. Moi je recherche la propriété (le pourquoi du comment qui peut l'expliquer).

Après les maths sont un support. Je ne veux pas critiquer les équations de la RG. Mais elles ont pu aussi conduire à des univers improbables comme par ex celui de Godel (ont on sait qu'il n'existe pas). Moi je n'ai ce niveau abstraction pure.

[Deedee81]

Salut,

Néanmoins je pense que les maths ne font pas tout.

Non, certainement pas. Pas en physique. Mais elles sont souvent indispensables. Pour construire une maison, les briques ne sont pas tout mais difficile de construire sans brique.

Et akuna matata, personne ici ne suit vraiment Bourbaki (sinon ce serait bien plus lourd !)

Je prends une quantité (positive) égale à 100 dont je déduis 10% et que j'augmente ensuite le résultat de 10%, on inverse j'augmente et ensuite je déduis. Bon dans tous les cas la quantité sera inférieure (99) à celle du départ. Bon c'est facile. Pour vous cela ne pose pas de problème. Moi je recherche la propriété (le pourquoi du comment qui peut l'expliquer).

Parce que le 10% ne s'applique pas à la même quantité à chaque fois, donc forcément....

C'est la même histoire qu'un type qui court sur un tapis roulant, une fois dans le même sens que lui une fois dans l'autre. Il mettra toujours plus de temps que celui qui court sans le tapis (pour la même distance). Il y avait eut un jeu pour les lecteurs dans Pilote Sélection avec ça Un cas extrême le montre : si le tapis va aussi vite que lui, au retour il fait du surplace et n'arrive jamais à destination.

Idem ici, fait un peu l'essai avec 100%. Le pourquoi va te sauter aux yeux.

Après les maths sont un support. Je ne veux pas critiquer les équations de la RG. Mais elles ont pu aussi conduire à des univers improbables comme par ex celui de Godel (ont on sait qu'il n'existe pas).

Comme on l'a dit plus haut, les maths ne sont pas tout. Et évidemment même avec des maths en RG on ne doit pas faire n'importe quoi. C'est comme la maison, si tu mets les briques n'importe comment ça s'écroule

Moi je n'ai ce niveau abstraction pure.

Ca c'est un énorme handicap même en physique car la physique s'éloigne du quotidien (mécanique quantique, relativité). Parfois de manière si extrême que toute image, toute intuition, tout raisonnement simple .... échoue. Faut bien faire avec. Comprendre pourquoi le spin des particules est quantifié en 0, 1/2, 1, 3/2,.... ne peut se faire sans abstraction (on peut comprendre le comportement du spin à l'aide d'expériences comme Stern-Gerlach, on peut comprendre la composition du spin "dans une certaine mesure", mais pourquoi ces valeurs.... faut accepter qu'il en est ainsi ou se plonger dans l'abstraction).

A moins d'être un pur expérimentateur. Il y en a et c'est même un métier remarquable (j'en serais bien incapable). La physique est même une des rares disciplines (si pas la seule ?) où théoriciens et expérimentateurs sont très souvent nettement séparés (pas les mêmes personnes). Sinon, au niveau théorique, sans capacité d'abstraction, tu ne pourras jamais comprendre, en tout cas pas autant que tu le voudrais. Essayer de vraiment comprendre un trou noir sans capacité d'abstraction c'est vouloir peindre la Joconde en étant aveugle.

[pm42]

Cela dit l'enseignement des maths basé sur la réflexion du Groupe Bourbaki a été reformé car trop il était trop abstrait. Le groupe "Bourbaki" faisait partie de mathématiciens frondeurs, réformateurs de l'ENS.

C'est la 3ème fois au moins que tu nous sors ton obsession de "Bourbaki, c'est le mal" basé sur ton ignorance complète de l'histoire des maths.
C'est carrément lourd surtout dans un fil qui s'appelle "Vitesse expansion et vitesse de la lumière".

Si tu veux comprendre la physique, il faut un minimum de maths et plus on va loin, plus il faut de maths. C'est comme ça depuis toujours, depuis l'antiquité au moins.
Alors, tu arrêtes de de trouver des excuses parce que tu n'as pas compris quand tu étais gosse et que c'est de la faute des méchants Normaliens...

[yves95210]

Ce je recherche peut-être défini par un petit exemple.
Je prends une quantité (positive) égale à 100 dont je déduis 10% et que j'augmente ensuite le résultat de 10%, on inverse j'augmente et ensuite je déduis. Bon dans tous les cas la quantité sera inférieure (99) à celle du départ. Bon c'est facile. Pour vous cela ne pose pas de problème. Moi je recherche la propriété (le pourquoi du comment qui peut l'expliquer).

Mais pour "nous" comme pour toi, l'explication est la même : enlever 10% à une quantité quelconque, ce n'est pas lui enlever 10 mais son dixième, donc la multiplier par 0,9 (autrement dit 1 moins 0,1); et lui ajouter 10%, cela revient à la multiplier par 1,1 (autrement dit 1 plus 0,1). Et quel que soit l'ordre dans lequel tu fais ces opérations, le résultat est le même puisque la multiplication est commutative (1,1*0,9=0,9*1,1=0,99). C'était vrai bien avant Bourbaki...

Après les maths sont un support. Je ne veux pas critiquer les équations de la RG. Mais elles ont pu aussi conduire à des univers improbables comme par ex celui de Godel (ont on sait qu'il n'existe pas). Moi je n'ai ce niveau abstraction pure.

Mais c'est bien une démarche de physicien (qui a d'ailleurs eu besoin d'aide pour la formalisation mathématique de sa théorie en germe) qui a conduit Einstein à établir ces équations.
Après, la RG ce n'est qu'une théorie, permettant de construire une infinité de modèles. Pour passer à la pratique il faut construire un modèle basé mathématiquement sur cette théorie ET sur des hypothèses physiques basées sur les résultats expérimentaux déjà connus. Ce modèle doit permettre de reproduire mathématiquement l'ensemble de ces résultats, et (sinon il ne sert à rien) d'en prédire de nouveaux qui pourront confirmées (ou réfutées) expérimentalement (ou en astronomie, astrophysique, cosmologie par des observations).

Je ne vois pas le rapport avec de l'"abstraction pure"... Si ça amuse des mathématiciens de construire des modèles d'univers improbables basés sur la RG, tant mieux pour eux, mais ce n'est pas de la physique. Mais les physiciens ont besoin de la théorie (et de ses maths) pour construire leurs modèles "réalistes" bien que généralement simplificateurs.
Et ce n'est pas notre faute ni celle d'Einstein, ni celle des mathématiciens de son époque dont il a utilisé les travaux, et encore moins celle de Bourbaki (qui n'était pas encore "né" et dont, très sincèrement, je ne vois pas le rapport avec la choucroute) si les maths de la RG sont plus compliquées que celles de la physique que tu as pu apprendre au lycée.

[Daniel1958]

Pour la quantité là tu as mais tu raison en mathématicien. Moi je cherche cette propriété bizarre qui fait que deux "operateurs" égaux en apparence donnent (même en les commutant) la même valeur inférieure à celle du départ. Les calculs sont indubitables
En fait en bourse en négligeant les frais de courtage, tu te dis bon la hausse va compenser ma baisse. Et bien non.

Pour ton exercice je dirais bêtement que la loi de composition de vitesse ne peut pas marcher. Car le tapis à toujours un temps d'avance il est à vitesse constante ce qui n'est pas notre cas nous sommes en accélération au départ. En fait il gène plus qu'il ne profite
d'oû l'avantage au coureur sans tapis. Mais c'est une image.

[Archi3]

Pour la quantité là tu as mais tu raison en mathématicien. Moi je cherche cette propriété bizarre qui fait que deux "operateurs" égaux en apparence donnent

en quoi enlever 10 % et ajouter 10 % peuvent etre qualifiés d'opérateur "égaux" ?
à la rigueur tu pourrais les qualifier "d'inverses", pas d'égaux... sauf que ce ne sont pas des inverses. Parce que ton "intuition" raisonne comme si c'était des opérations additives (on "rajoute" 10 % et on "enlève" 10 % ) alors qu'en réalité on ajoute 10 % de la valeur initiale ce qui est en fait comme t'a dit Yves une opération multiplicative car A + 10 A /100 = A*1,1 et A - 10 A/100 = A*0,9 ... et 1,1 * 0,9 ça ne fait pas 1.

C'est très facile à comprendre si tu admets que les mathématiques rigoureuses sont supérieures à l'intuition, et c'est impossible à admettre si tu penses le contraire.

[yves95210]

Bonjour,

Toujours pour Daniel, je reviens sur le petit exercice que j'avais proposé et dont j'avais donné une première solution hier :

avec x(t) la distance de la voiture par rapport au début de la route :

Chaque seconde la longueur L(t) de la route augmente de k.L(t), où k est une constante (k=1/10000 dans l'énoncé du problème).
On a donc dL/dt=k.L, ce qui s'intègre en ln(L/L₀) = k.t , avec t=0 lors du départ de la voiture et L₀ la longueur de la route à t=0.
Donc L(t) = L₀ exp(k.t)

Si à un instant t, la voiture se trouve en x(t), à t+dt elle se trouvera en x(t+dt)=x(t)exp(k.dt)+Vdt, le premier terme représentant l'allongement de la partie de la route que la voiture a déjà parcourue et le deuxième terme le déplacement de la voiture à vitesse constante V par rapport à la route, pendant la durée infinitésimale dt.

On a donc dx = x(t+dt)-x(t) + Vdt = x(t)[exp(kdt)-1] + Vdt ≈ x(t)kdt + Vdt =[kx(t) + V]dt, d'où dx/dt = kx + V
Cette équation différentielle s'intègre en x(t) = C exp(kt) - V/k, avec C constante (voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Équati...e_d%27ordre_un).
Comme x(0)=0, C=V/k, et x(t) = V/k [exp(kt) -1]

La voiture arrive donc au bout de la route au bout d'une durée T telle que V/k [exp(kT) -1] = L₀exp(kT), soit exp(kT) = (V/k)/(V/k-L₀),
d'où T = 1/k ln[V/(V-k.L₀)].
Pour que cette équation ait une solution il faut que V > k.L₀. Alors L(T) = L₀V/(V-k.L₀).

Avec L₀ = 100 km, V = 100 km/h = (100/3600) km/s et k = 1/10000 s^-1, on a k.L₀ = (100/10000) km/s < V, et
T = 10000 ln[(100/3600)/(100/3600 - 100/10000)] = 10000 ln(100/64) = 4463 s,
L(T) = 100.(100/3600)/(100/3600 - 100/10000) = 100 (100/64) = 156,25 km.
Le compteur kilométrique de la voiture affiche 124 km.

Mais il suffit que L₀ soit supérieur ou égal à (10000 x 100/3600) = 277,777 km pour que la voiture n'atteigne jamais le bout de la route.

Comme Archi3 l'a judicieusement fait remarquer, le même problème peut être traité en utilisant une coordonnée spatiale "comobile", chaque valeur de x étiquetant un point de la route, avec x=0 au point de départ de la voiture et x=1 à l'autre bout de la route. Par exemple on peut disposer une borne tous les 1/1000 de la longueur de la route (la distance entre deux bornes consécutives est initialement L₀/1000); ces bornes sont solidaires de la route, donc mobiles avec elle, autrement dit "comobiles".

A l'instant t deux points de la route de coordonnées x et x+dx sont séparés par une distance physique [L₀exp(kt)]dx puisque dx représente toujours la même fraction de la longueur de la route, qui s'est allongée conformément au calcul ci-dessus.

Entre t et t+dt, la voiture parcourt une distance physique Vdt, correspondant à une "distance comobile" V/[L₀exp(kt)] dt = (V/L₀) exp(-kt) dt.

Elle atteint éventuellement le bout de la route lorsque l'intégrale de t=0 à t=T de (V/L₀)exp(-kt)dt vaut 1, soit -V/(kL₀)[exp(-kT)-1] = 1,
d'où exp(-kT) = 1-kL₀/V = (V-kL₀)/V, ou exp(kT) = V/(V-k[L₀).

On retrouve T = 1/k ln[V/(V-kL₀)] et L(T) = L₀V/(V-k.L₀), et le fait que ce n'est possible que si V > kL₀.
Les résultats numériques sont évidemment les mêmes que dans la solution précédente.

(à suivre)

[Deedee81]

Salut,

en apparence

Il faut se méfier des apparences Surtout quand l'expression est incomplète (il en va ainsi souvent en langage naturel), ici c'est "10% de quelque chose". Et c'est ce quelque chose qui est différent.

100 moins 10% ça fait 90, 100 plus 10% ça fait 110, c'est totalement symétrique.
Mais dans l'exemple que tu donnais ça ne l'est pas (forcément !) car ce n'est pas "10% de 100" à chaque fois.

Mais c'est une image.

Non c'est bon bien que pas du tout justifié (*) et c'est exactement la même chose avec les pourcents. Les calculs sont semblables.
(mais l'accélération n'a rien à voir, on peut parfaitement envisager une petite plage d'accélération pour les deux personnes et n'avoir que des vitesses constantes sur les tapis).

(*) Reste que tu n'as pas expliqué (sans accélération) pourquoi " il gène plus qu'il ne profite". C'est vrai mais pourquoi ? La raison est particulièrement élémentaire. Je vais donc te laisser y réfléchir. Un indice : la vitesse c'est pas qu'une longueur Deuxième indice : curieusement c'est la même raison qui fait que rouler trop vite sur l'autoroute ne fait pas gagner tellement de temps ! Un grand classique que nous rappelle souvent la sécurité routière (sauf qu'ils ne disent pas pourquoi, ça t'aurait aidé)

[Archi3]

Un autre exemple analogue et plus proche de l'expansion de l'Univers car en 2D au lieu de 1D (donc plus proche de 3D). Supposons que par un phénomène cosmique bizarre la Terre se mette à enfler et que son rayon augmente au cours du temps. Là encore on peut supposer différentes lois d'expansion, linéaires, exponentielles.... Et supposons qu'une voiture veuille aller à 100 km/h d'une ville A à une ville B. Les villes sont "immobiles" sur la Terre au sens que leurs coordonnées angulaires, latitude et longitude, restent constantes (ce sont des coordonnées comobiles) , mais c'est le rayon de la Terre qui augmente.

Pour simplifier le calcul on peut supposer que les villes sont sur l'équateur et séparées simplement par une longitude différente ∆ . Si on l'exprime en radians (donc ∆o = ∆* π / 180 si ∆ est en degré) la géométrie élémentaire montre que la distance entre les villes est simplement R ∆o : elle n'est pas constante parce que c'est le facteur d'échelle R(t) qui dépend du temps, alors que la différence de longitude ∆o reste constante.

Si on considère la distance parcourue par la voiture, on voit que pendant le temps dt elle parcourt vdt , et donc sa variation de longitude est v dt /R(t) : bien que la vitesse soit constante, la vitesse ANGULAIRE d phi /dt n'est pas constante parce que si R(t) augmente, un même trajet correspond à une variation de longitude de plus en plus faible. Or pour rejoindre A à B il faut bien évidemment parcours une longitude ∆o, donc le temps mis par la voiture est solution de l'équation implicite ∆o = ∫ vdt /R(t) qui dépend de la loi de l'expansion. La distance "parcourue par la voiture" sera toujours sa vitesse v fois le temps du trajet, mais ce n'est ni la distance des villes au départ de A, ni celle à l'arrivée en B : on retrouve les "différentes définitions de distance" qui gênent tant Daniel, sur un exemple simple qui ressemble complètement à celui de la cosmologie.

De même on peut montrer par un calcul analogue à celui d'Yves que si la croissance de R(t) est exponentielle, la voiture ne parcourra finalement qu'une longitude limitée et elle ne pourra jamais atteindre les villes au delà d'une certaine distance angulaire. Si la croissance de R(t) est linéaire, en revanche, elle pourra finir par atteindre toutes les villes.