Vitesse expansion et vitesse de la lumière

[Deedee81]

Pfhoryan sort de ce corps ! Non, je plaisante.

Très bel exemple.
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[yves95210]

(la suite)

Pour revenir à la cosmologie : la distance comobile y est définie comme étant égale à la distance propre à t₀ (où t₀=aujourd'hui).
Par "distance propre" on entend celle que pourrait mesurer un observateur parcourant l'espace qui sépare deux objets à temps cosmologique constant (donc avec une vitesse infinie). Cela n'aurait évidemment pas de sens de considérer la distance propre à t=0, puisque selon le modèle cosmologique toutes les distances physiques entre deux objets quelconques tendent vers 0 lorsque t tend vers 0 (le modèle présente une singularité initiale, non physique).

Deux objets entraînés par l'expansion (on parle du flux comobile) sont séparés par une distance comobile constante. Pour des objets suffisamment distants l'un de l'autre, leur vitesse propre (la différence entre la vitesse de l'objet et celle d'un point strictement comobile) est très faible par rapport à la vitesse à laquelle l'expansion les éloigne l'un de l'autre. Par exemple la vitesse propre des amas de galaxies ne dépasse en général pas quelques centaines de km/s alors que deux amas distants d'un milliard d'années-lumière (~300 Mpc) s'éloignent l'un de l'autre à environ 20000 km/s à cause de l'expansion.

Le facteur d'échelle a(t) est le facteur par lequel il faut multiplier la distance comobile pour calculer la distance propre entre deux objets entraînés par l'expansion à la date t. La valeur du facteur d'échelle à t₀ (aujourd'hui) est notée a₀ et on pose habituellement a₀=1.

NB : dans un modèle d'espace-temps spatialement plat, ce choix est arbitraire; on peut choisir un système de coordonnées dans lequel les coordonnées d'espace ont la dimension d'une longueur (qu'on peut exprimer en mètres) et a(t) est sans dimension.
En revanche, dans un modèle de courbure spatiale non nulle il y a une relation entre la valeur du scalaire de courbure à t₀, de dimension L^-2 et la valeur de a₀ (ou à n'importe quelle date t, entre la valeur du scalaire de courbure à cette date et a(t)); a(t) doit avoir la dimension d'une longueur et les coordonnées spatiales sont sans dimension.

Mais, quel que soit le choix effectué, ce qui est mesurable n'est pas le facteur d'échelle mais le rapport entre la valeur a(t) du facteur d'échelle à la date t où les photons qu'on reçoit aujourd'hui ont été émis par une galaxie lointaine et sa valeur a₀ aujourd'hui :
en effet, a(t)/a₀ = 1/(1+z), où z est le redshift (le décalage vers le rouge de la fréquence des photons entre leur émission et leur réception) de la galaxie observée.

Ce qu'on appelle le taux d'expansion est le taux d'accroissement du facteur d'échelle : H = (da/dt)/a
En se rappelant que la dérivée du logarithme d'une variable x est 1/x et celle du logarithme d'une fonction x(t) est donc (dx/dt)/x, on obtient


Avec H constant (comme dans un modèle d'espace-temps spatialement plat, vide de matière et avec constante cosmologique non nulle), cela donne H.(t-t₀) = ln(a(t)/a₀), autrement dit : a(t)/a₀ = exp(H.(t-t₀)).
Exactement comme pour la longueur de la route dans le petit exercice ci-dessus.
Mais attention aux notations : dans la solution de l'exercice j'ai utilisé l'indice 0 pour la valeur de L à t=0, alors qu'en cosmologie on l'utilise pour la valeur de a ou de H à t=t₀. Pour retrouver cette, il faut poser a₀=L(T), T étant l'instant où la voiture arrive à notre extrémité de la route, et a(t)=L₀, t étant l'instant où la voiture part de l'autre extrémité de la route.

Evidemment c'est (un peu) plus compliqué dans le modèle cosmologique standard, où H n'est pas constant puisque, en plus du terme Lambda (constant) il dépend de la densité de matière, elle-même fonction du temps puisqu'elle est inversement proportionnelle à a(t)³.

Mais la distance comobile d'un objet de redshift z s'exprime aussi sous la forme d'une intégrale (celle que j'avais donnée dans un message ici il y a quelques jours), en exprimant H(t) à l'aide de H₀ et des paramètres de densité (c'est l'équation de Friedmann) et en passant de t et a(t) à z par un simple changement de variable.
(cela reste à la portée de quelqu'un qui a obtenu un bac scientifique il y a quelques décennies, à condition qu'il se donne la peine de rouvrir un cours et de faire quelques exercices pour se rafraîchir la mémoire; et rien n'empêche de se faire aider, par exemple en utilisant la section mathématique du forum Futura)
Le reste est du "bête" calcul, de préférence sur ordinateur puisque cette intégrale n'a pas de solution analytique et qu'il faut donc de toute façon la résoudre numériquement.

De manière analogue on peut calculer la date (en temps cosmologique) correspondant à l'émission du rayonnement qu'on reçoit avec un redshift z, la distance de l'horizon cosmologique, etc.

[Archi3]

pour reprendre l'analogie avec la Terre (les expressions d'Yves sont bien sur correctes mais j'essaie d'en donner une image plus intuitive pour ceux qui sont un peu rétifs aux intégrales), la propagation d'un photon serait analogue à celle des vagues sur l'océan, si on supposait que la longueur d'onde des vagues suit l'expansion du rayon terrestre : le "décalage vers le rouge" (augmentation de longueur d'onde) mesure simplement la variation du rayon de la Terre entre l'émission et la réception des vagues. On peut comprendre que si on connait R(t) et la longueur d'onde d'émission des vagues, on peut déduire de leur longueur d'onde à la réception le temps auquel elles ont été émises.

[yves95210]

pour reprendre l'analogie avec la Terre (les expressions d'Yves sont bien sur correctes mais j'essaie d'en donner une image plus intuitive pour ceux qui sont un peu rétifs aux intégrales), la propagation d'un photon serait analogue à celle des vagues sur l'océan, si on supposait que la longueur d'onde des vagues suit l'expansion du rayon terrestre : le "décalage vers le rouge" (augmentation de longueur d'onde) mesure simplement la variation du rayon de la Terre entre l'émission et la réception des vagues. On peut comprendre que si on connait R(t) et la longueur d'onde d'émission des vagues, on peut déduire de leur longueur d'onde à la réception le temps auquel elles ont été émises.

Pour mon petit problème, j'avais également pensé à une route à la surface d'une Terre qui grossit (analogue en 2D à un modèle d'un modèle d'espace-temps de Friedmann avec courbure spatiale positive, dont l'analogue en 2D est une sphère de rayon égal au facteur d'échelle). Mais j'ai préféré simplifier, peut-être à tort...

Pour en revenir à l'exemple de la route, l'idée que j'avais pour aller plus loin (si la question avait été posée ) était la suivante : on positionne des capteurs solidaires de la route tout les N mètres de sa longueur initiale, qui émettent un signal lorsque la voiture les atteint. Bien sûr la fréquence de ce signal diminue à mesure que la route s'allonge. Plus un observateur est éloigné du début de la route, plus il observe un signal "décalé vers le rouge".
Mais tes vagues, c'est plus poétique .

[Lansberg]

Bonjour,

quelques analogies entre la cosmo. et la voiture.
Le rayon de la sphère de Hubble, Rs, distance à partir de laquelle la vitesse de récession des galaxies est égale à c est égale à :
Rs = c/Ho (si Ho reste constante, la lumière des galaxies en question, à partir de Rs, ne nous parviendra jamais).

Pour la voiture qui se déplace avec une vitesse c=v=100 km/h ~27,78 m/s et H = 0,1 m/s/km (chaque km de la route s'allonge de 0,1m chaque seconde), on trouve Rs = v/H = 27,78 /0,1 = 277,8 km. À partir de cette distance, la voiture n'atteindra jamais le bout de la route.

Si on appelle x, la distance qui sépare un observateur de la voiture alors la vitesse de récession, Vr, de la voiture est proportionnelle à x (ce qu'implique la loi de Hubble) : Vr = H.x = v.x / Rs avec v / Rs = 1/10000

La vitesse de la voiture par rapport à l'observateur est v - Vr = v.(1 - x/10000)

On obtient l'équation différentielle du mouvement de la voiture en exprimant dt en fonction de dx :
dt = dx / (v - Vr) = dx / (v - v.x/Rs)

Pour une distance 0< x <Rs, le "temps de voyage" de la voiture est donné par l'intégrale :
t=

Pour v = 0,02778 km/s et x = 100 km, un calculateur d'intégrale donne t = 4462 s

[yves95210]

quelques analogies entre la cosmo. et la voiture.
Le rayon de la sphère de Hubble, Rs, distance à partir de laquelle la vitesse de récession des galaxies est égale à c est égale à :
Rs = c/Ho (si Ho reste constante, la lumière des galaxies en question, à partir de Rs, ne nous parviendra jamais).

Pour la voiture qui se déplace avec une vitesse c=v=100 km/h ~27,78 m/s et H = 0,1 m/s/km (chaque km de la route s'allonge de 0,1m chaque seconde), on trouve Rs = v/H = 27,78 /0,1 = 277,8 km. À partir de cette distance, la voiture n'atteindra jamais le bout de la route.
(...)
Pour une distance 0< x <Rs, le "temps de voyage" de la voiture est donné par l'intégrale :
t=

Pour v = 0,02778 km/s et x = 100 km, un calculateur d'intégrale donne t = 4462 s

Autre façon d'arriver aux mêmes résultats (le contraire aurait été embêtant).
Mais tu as triché : tu est parti d'une notion issue de la cosmologie (l'existence de la sphère de Hubble, et son rayon) alors que mon objectif était de montrer que quelqu'un n'ayant aucune connaissance en cosmologie peut retrouver cette notion (et d'autres comme les différentes notions de distance, ou le décalage vers le rouge) à partir de l'exemple de la voiture et d'une route en expansion, à l'aide de maths censées avoir été assimilées en terminale scientifique.

[Lansberg]

Mais tu as triché : tu est parti d'une notion issue de la cosmologie...

C'était l'objectif (pas de tricher !) de faire un lien avec la cosmo. !

[yves95210]

C'était l'objectif (pas de tricher !) de faire un lien avec la cosmo. !

Et c'était le mien aussi, évidemment. Cf. le message #62 qui venait en conclusion (provisoire, en attendant la réaction éventuelle de Daniel) de ma démarche...

[Lansberg]

Et c'était le mien aussi, évidemment. Cf. le message #62 ...

Lu !
Tu fais bien de préciser "bac S d'il y a quelques décennies", comme notre bac C des années 70.
Ceci dit, pour les lycéens qui suivent actuellement la spécialité maths il faudrait voir.

[yves95210]

Lu !
Tu fais bien de préciser "bac S d'il y a quelques décennies", comme notre bac C des années 70.

C'était bien à ça que je me référais : vu l'âge de Daniel, il a dû passer son bac (scientifique mais il n'a pas précisé si c'était C, c'est peut-être plutôt D vu son allergie aux maths) deux ans après moi, ce qui explique que, contrairement à moi, il n'a pas échappé à la réforme de l'enseignement des maths dès le collège...

Ceci dit, pour les lycéens qui suivent actuellement la spécialité maths il faudrait voir.

J'ai regardé le programme de terminale S (avant la réforme) et les calculs de dérivées et d'intégrale et les fonctions exponentielle et logarithme y figuraient. Cela ne garantit évidemment pas que tout ça a été bien assimilé. Mais bon, même sans être capable de faire des calculs compliqués, à condition d'avoir compris à quoi il servent les outils en ligne de calcul d'intégrale ou de dérivée, ça marche pas mal (il m'arrive de m'en servir quand je bute sur une intégrale - c'est fréquent car je suis bien rouillé).

Et d'après ce que j'ai pu lire, la spécialité maths d'après la réforme est plus exigeante que l'ancienne terminale S.
J'aurai l'occasion de voir ça de plus près dans 3 ans, quand le premier de nos petits-enfants sera en terminale, probablement spécialité maths vu son niveau actuel et ses centres d'intérêts (et vu leur parcours, s'il a besoin d'un coup de main en maths ce ne sont pas ses parents qui pourront le lui donner)...

[Daniel1958]

Tu as raison j'ai eu mon bac D mon épouse un bac C mais pourtant j'ai encore des restes surtout en Proba. J'aime la quantification des choses

Moi quand je vois que mes fils ont eu il y a 11 et 13 ans 20 et 19,5 en terminale S. On peut douter du niveau.
De mon vieux temps 16 au bac c'était Polytechnique Direct ou l'ENS. Mais je n'aime pas l'abstraction pour l'abstraction. Les maths sont issues de la pensée humaine avec des inventions. On nous les vend comme un langage universel. Mais uniquement à condition d'en accepter les conventions. Elles ont évolués au fil du temps.
Je n'aimais que l'on écrive une formule sans l'expliquer (je n'ai pas dit la démontrer). Le language et les opérateurs utilisés sont trop ésotériques (congruence bijection affine). Cela dit j'aime bien les maths appliquées.

[Daniel1958]

Bonjour
Concernant ma vision de la science, j’ai pour ça la vision de mon fils.
Etant il rêvait d’être une personne écrivant, à la craie, sur un tableau noir des équations au CERN.
Mon fils a eu la chance de faire une thèse de doctorat sur la detection des nuages de Gaz et les super-amas (these généraliste non spéculative). Bien sûr il a utilisé tous les outils mathématiques. Il m’avait dit

la physique c’est que des maths

Ce que je trouve triste c’est que sa these (dont accent était sur effacement du bruit) ait été comme tant d’autres gerbée sur un étagère sans suivi. Il a plus faire de la planétologie sur l'expérience Mars Express. Il a fini par dire que la physique théorique ne intéressait plus car elle était trop abstraite. Il était content de faire de la planétologie. Il avait continué à faire des maths. Bon comme souvent pour les post docs ''en stand-by"
Moi je suis pareil mais sans les maths.

Concernant le problème que m’a soumis Deedee. Je pense avoir la réponse.

Il a fait un parallèle avec le slogan de la sécurité routière.
Ben je ne me rappelle de que

plus vite vous roulez en voiture plus vite vous avez de chances d’aller au cimetière.

.

Pour le Tapis Roulant il y a plusieurs solutions (je n’ai pas les données précises)
Bon j’imagine le tapis roulant de la station de Métro Montparnasse

Je prends une distance de 100 mètres le tapis va à 20 Km/h constant A/R 200 mètres
Si je vais à +100% de ma vitesse de 10 Km/h ma vitesse initiale sera de 20 Km/h avec la loi de composition de vitesse soit 40 Km/h je mettrai 9 secondes pour faire les 100 mètres.
Maintenant le tapis va en sens inverse j’irai à 20Km/h-20Km/h soit 0 pour faire du surplace et serai bloqué avec une belle division par zéro
Je fais l’aller-retour sur tapis arrêté je mettrai 36 secondes mais j’arriverai
Soit un delta avec une limite infini

Autre solution tapis roulant 10 Km distance 100 mètres A/R 200 mètres
Si je vais à +100% de ma vitesse de 10 Km/h ma vitesse initiale sera de 20 Km/h avec la loi de composition de vitesse soit 30 Km/h je mettrai 12 secondes pour faire les 100 mètres.
Maintenant le tapis va en sens inverse j’irai à 10 Km/h je mettrai 36 secondes pour faire les 100 mètres.
Soit un total de 48 secondes
Je fais l’aller-retour sur tapis arrête je mettrai 36 secondes
soit un delta de 12 secondes
Dans le premier cas ma vitesse avec celle du tapis augmente de + 50%
Et dans le deuxième cas ma vitesse diminue de 100%

Le problème ne m’a pas sauté aux yeux. Ce n’est pas intuitif. Mais pour un matheux et un physicien c'est quasiment réflexif. Ici c’est la vitesse constante du tapis qui représente une proportion non égale des deux vitesses totales

Derniere solution avec une vitesse de tapis arriérée supérieure la vitesse propre. Là c’est la cata. Aller-retour impossible.

[Lansberg]

C'était bien à ça que je me référais : vu l'âge de Daniel, il a dû passer son bac (scientifique mais il n'a pas précisé si c'était C, c'est peut-être plutôt D vu son allergie aux maths) deux ans après moi, ce qui explique que, contrairement à moi, il n'a pas échappé à la réforme de l'enseignement des maths dès le collège...

De cette époque, j'ai conservé les fameux Queysanne-Revuz dont les définitions très "axiomatiques" feraient frémir aujourd'hui. La fameuse définition de la droite en classe de quatrième est éloquente :

Soit Π un ensemble dont les éléments sont appelés points et D un ensemble de parties de Π. On dira que Π est un plan mathématique et que tout élément de D est une droite mathématique, quand les axiomes suivants, appelés axiomes d’incidence sont vérifiés.
- i) D est non vide et toute droite Δ de D est une partie propre [2] non vide de Π¸
- ii) Toute paire de points distincts est incluse dans une droite et une seule.
- iii) Pour toute droite Δ et tout point A n’appartenant pas à Δ, il existe une droite unique contenant A et dont l’intersection avec Δ est vide. (axiome d'Euclide).

Et d'après ce que j'ai pu lire, la spécialité maths d'après la réforme est plus exigeante que l'ancienne terminale S.
J'aurai l'occasion de voir ça de plus près dans 3 ans, quand le premier de nos petits-enfants sera en terminale, probablement spécialité maths vu son niveau actuel et ses centres d'intérêts (et vu leur parcours, s'il a besoin d'un coup de main en maths ce ne sont pas ses parents qui pourront le lui donner)...

La réforme élimine beaucoup de lycéens (surtout les filles) de l'enseignement des maths. L'actualité en parle en ce moment. Un petit enfant en spé maths, c'est l'occasion de se remettre dans le bain !