Trous noirs back to basics : lettre ouverte à Mach3

[pachacamac]

Bonjour Mach3, bonjour les autres,

J'ai été très surpris par tes deux notes sur les TN, en bas de page du post sur les courbures.

note 1 : le paramètre M, qui correspond à la masse du trou noir, ne correspond à aucune matière car ces solutions sont entièrement vides (même au "centre", voir plus bas).

J' aimerai bien des précisions sur le pourquoi cette masse du TN ne correspond à aucune masse/energie.
Ces quoi ces solutions qui sont entièrement vides?

Dans un trou noir stellaire où serait passé la matière résultant de l'effondrement de l'étoile qui lui a donné naissance et celle qu'il a absorbé depuis?
Comment un trou noir supermassif comme M87* de masse = 6 Milliards de masse solaire qui absorbe sans arrêt de la matière pourrait ne pas contenir de matière/énergie ??
Note : j'écarte les hypothèses où cette matière/énergie pourrait disparaitre via un trou de vers vers un autre univers )

La correspondance de ce paramètre avec une masse vient du fait que les orbites lointaines vont être très bien approximées par les orbites newtonniennes autour d'un astre de masse M.

C'est pas une preuve que le TN contient de la matière ou de la masse/énergie ?

note 2 : parler de centre pour un trou noir, comme on le ferait pour le centre de tout autre astre est problématique. Par centre on entend normalement un "lieu", un endroit où on peut se tenir immobile durant un certain temps et qui serait à égale distance de la surface d'une chose dont on serait au centre. La singularité centrale d'un trou noir n'est pas un endroit où on peut se tenir immobile et il est difficile de parler de sa distance à la surface du trou noir étant donné que l'horizon non plus n'est pas un endroit où on peut se tenir immobile...

Là, j'avoue que si ce n’étais pas toi qui avais écrit ça j'aurai pensé que c'est n' importe nawak

Si on considère que l'horizon des événements d'un trou noir est une sphère, il y a un centre non ?
Je sais que pour l' intervalle d'espace- temps à l’intérieur du TN , les coordonnées d'espace et de temps permutent, mais la singularité même si on sait rien sur elle ( dimension structure forme etc...) devrait bien être au centre géométrique du trou noir non?

Si une masse se trouve à la surface d'un océan, elle pourra pas rester immobile, c'est pas une raison pour dire que celle ci n'avait pas une position avant de couler.


Merci.
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[mach3]

Salut,

Quelques mises au points.

La géométrie de Schwarzschild est une solution de l'équation d'Einstein :
-de symétrie sphérique
-stationnaire
-vide
-asymptotiquement plate

Le point important est le fait qu'il s'agit d'une solution du vide. Le tenseur énergie-impulsion est partout nul dans la région d'espace-temps décrite par la solution de Schwarzschild. Cela simplifie l'équation d'Einstein qui se limite alors à nullité du tenseur de Ricci.

On peut considérer qu'il s'agit de la géométrie de l'intégralité de l'espace-temps. Celui-ci ne contient alors absolument rien mais il est quand même courbé et présente des géodésiques qui reproduisent les mouvements kepleriens.
En fait quand on effectue la résolution, la solution contient un paramètre libre mais constant, le fameux rayon de Schwarzschild (parfois noté rs). Lorsqu'on étudie les géodésiques dans des régions de rayon aréal très supérieur à rs, on y trouve des trajectoire kepleriennes (coniques), les mêmes que celles qu'on trouve en mécanique classique autour d'un astre dont la masse M vaut la moitié du paramètre libre (*). On peut noter que quand le paramètre libre est nul, on retrouve la métrique de Minkowski, l'espace-temps est plat.

Evidemment, un espace-temps courbé entièrement vide, pour autant qu'il soit parfaitement correct du point de vue mathématique ne correspond à rien dans le monde réel (qui n'est ni de symétrie sphérique, ni stationnaire, ni vide). Pour se rapprocher un peu du monde réel, on peut donc considérer que ce n'est pas l'intégralité de l'univers qui est vide, mais une région de celui-ci. Si on a toujours la symétrie sphérique, la stationnarité, le vide et la platitude asymptotique (c'est toujours hypothétique, mais plus proche d'une situation réelle), la géométrie de cette région est toujours celle de Schwarzschild (c'est le théorème de Birkhoff). C'est pour cela qu'il a été dit plus haut "dans la région d'espace-temps décrite par la solution de Schwarzschild". Il reste alors de la place pour une région sphérique non vide, un astre, dont la géométrie doit être telle qu'elle s'accommode parfaitement avec la géométrie de Schwarzschild qui l'entoure (il y a des contraintes de continuité et dérivabilité importantes). Il se trouve que si l'astre est de masse M, la géométrie de Schwarzschild qui peut s'y raccommoder est justement de paramètre .

Pour aller plus loin, l'astre n'est pas forcément statique, il peut très bien osciller en taille ou s'effondrer, du moment que la symétrie sphérique est respectée, la géométrie à l'extérieur est toujours celle de Schwarzschild (et de même valeur de paramètre, encore Birkhoff).

Tant que l'astre possède un rayon aréal supérieur au rayon de Schwarzschild (fixé par sa masse donc), il n'y a aucune difficulté à parler de centre. Il s'agit du centre de l'astre. Les choses se compliquent quand il y a un horizon.

D'abord, une digression sur la symétrie sphérique. La symétrie sphérique, c'est grosso-modo considérer qu'on peut décrire une variété 3D comme un empilement de sphères concentriques.
Pour faciliter le raisonnement, enlevons une dimension d'espace, et considérons une surface ayant une symétrie de révolution, donc constituée de cercles concentriques. Les exemples les plus simples qui viennent d'abord à l'esprit, le cône, le bol, le chapeau mexicain, ou même le plan possèdent un centre, c'est à dire que parmi les cercles concentriques, il y en a un de rayon nul, et on trouve des cercles de rayons de plus en plus grand au fur et à mesure qu'on s'éloigne de ce centre. Mais on trouve vite des exemples avec 2 centres, comme la sphère ou l'ellipsoïde de révolution (le rayon des cercles augmente quand on s'éloigne du centre puis diminue jusqu'à s'annuler à nouveau), et surtout, des exemples sans centre, comme le cylindre, le tore, ou le diabolo (le fameux paraboloïde de Flamm). Attention, je parle ici du centre de la surface elle-même, pas du centre du volume plongé dans l'espace 3D.
C'est pareil avec 3 dimensions d'espace (mais juste plus compliqué visuellement), il y a des variétés 3D de symétrie sphérique qui ont un centre (une sphère de rayon nulle, entourée de sphères dont le rayon est croissant), d'autres qui en ont plus d'un et enfin certaines n'en ont aucun.
Le but de cette digression est bien-sûr de montrer qu'on peut avoir une symétrie sphérique sans qu'il y ait de centre.

Parlons maintenant de la première résolution historique de la géométrie de Schwarzschild, faites par... Karl Schwarzschild lui-même bien-sûr. Dans son raisonnement préliminaire, pour poser les bases avant de résoudre, Karl postule que l'espace-temps est entièrement vide, sauf en un point de coordonnées x=y=z=0 où se trouve un "point-masse". Ce point est donc considéré comme un centre. Karl considère dans ses hypothèses un espace-temps symétrique par inversion temporelle (statique ce qui est plus fort que stationnaire), cela le pousse à poser d'embler que les termes rectangles temps-espace de la métrique doivent être nuls (pas de termes en dtdx, dtdy, dtdz).
Après être passé des x,y,z aux coordonnées sphériques , (le point masse se situant alors en r=0), karl déroule sa démonstration et se retrouve contraint d'introduire une "quantité auxiliaire", qu'il note , avant d'écrire l'expression finale de la métrique :
. Il finit ensuite par montrer que en étudiant brièvement les géodésiques, et donc M est la masse du point-masse si on se raccorde avec Newton.
Et là, Karl n'a pas tiqué. C'était sans doute prématuré vu l'époque. Que nous dit la métrique qui vient d'être démontrée? que l'ensemble des points de même coordonnée R et avec forment un cercle de périmètre . Si on considère le "point-masse", donc r=0, que vaut R? il vaut . Donc, R ne devrait pas pouvoir descendre en-dessous de et donc le plus petit cercle concentrique est de périmètre : le point-masse n'est pas un point, mais une sphère de surface . La prémisse de départ était donc erronée (sans remettre en cause la validité de la solution) et il semble que Karl ne l'ait pas remarqué (et on ne lui en voudra pas pour ça, il s'en serait surement rendu compte s'il n'était pas mort peu de temps après).
A ce stade, il n'est pas possible de considérer un objet plus petit que son rayon de Schwarzschild. En plus l'expression de la métrique est singulière en .

Quelques auteurs ont ensuite tâtonné autour de la solution originelle de Schwarzschild, ne sachant trop que faire de cette singularité et ne comprenant pas vraiment ce que décrit l'expression si . C'est Painlevé qui le premier trouve une expression plus générale qui n'est pas forcément singulière en en s'autorisant des termes rectangles temps-espace non nul (il y a un dtdr dans son expression), mais cela tombera dans l'oubli (publié en français..., Gullstrand fera une trouvaille similaire quasiment en même temps et elle ne fera pas date non plus, publié en allemand dans un journal suédois), c'est pourquoi on parle de coordonnées de Gullstrand-Painlevé pour désigner un cas particulier de l'expression générale trouvée par Painlevé depuis qu'elle a été assez récemment exhumé des archives). Eddington trouvera une autre expression sans singularité en , également avec des termes rectanges, qui elle fera date. Kruskal, puis Szekeres finiront d'enfoncer le clou en révélant l'extension complète de la solution.

Les systèmes de coordonnées de Painlevé ou d'Eddington révèlent que la région est particulière. En effet, autant il est possible de se maintenir à une valeur constante de R quand il est supérieur à (que ce soit en accélérant ou sur une orbite circulaire quand c'est possible), autant cela n'existe pas si R est inférieur à . Les particules tests, libres ou non, sont contraintes de changer de valeur de R au cours de leur temps propre. Dans les versions dites "entrantes" de ces systèmes, quand R devient inférieur à , il ne peut cesser de diminuer, même pour la lumière. Cette zone est dynamique et non statique, ce qui peut laisser perplexe vu qu'au départ l'hypothèse était que la solution était statique. Autoriser des termes rectangles temps-espace non nuls fait en fait passer de "statique" à "stationnaire" (le premier exige une symétrie par inversion de la coordonnée temporelle, le second seulement une symétrie par translation temporelle, mais, bien que semblant un peu magique, c'est ici équivalent).

Formulé autrement, quand R est supérieur à , il étiquette des lieux (un lieu possède des coordonnées spatiales constantes au cours du temps), mais quand il est inférieur, il étiquette des dates. Du coup, R=0 n'est pas un lieu, mais une date, un futur ultime. On ne peut donc pas dire qu'il s'agit d'un centre. Par ailleurs dans cette région, la coordonnée t de Schwarzschild s'avère étiqueter des lieux : on peut se maintenir en un t constant (ce qui est impossible quand ), et ces lieux sont tous équivalents, comme le sont les points d'un cylindre (qui n'a pas de centre). Dernier point, par rapport à un observateur qui chute, l'horizon, c'est à-dire , se déplace à la vitesse de la lumière quand il le traverse. Se maintenir sur l'horizon nécessiterait de se déplacer à la vitesse de la lumière, les points de l'horizon ne peuvent donc pas être des lieux.
Ces aspects, très contre-intuitifs, sont particulièrement mis en valeur par les diagrammes de Kruskal-Szekeres, ou ceux de Penrose.

m@ch3

*: attention, ici G=c=1, question d'habitude. c'est 2GM/c² si on veut l'écrire complétement

[pachacamac]

Merci pour ce très beau et long développement historico-scientifique.
Effectivement ces aspects sont très contre intuitifs et perso c'est pas les diagrammes de Penrose qui vont m'aider car ils sont définitivement trop compliqués pour moi malgré leur simplicité apparente.

Je vais prendre le temps de digérer tout ça.
Merci encore.

[mach3]

Effectivement ces aspects sont très contre intuitifs et perso c'est pas les diagrammes de Penrose qui vont m'aider car ils sont définitivement trop compliqués pour moi malgré leur simplicité apparente.

Il vaut mieux commencer par celui de Kruskal, car Penrose combine plus de difficultés. Il faut bien saisir que ces différents diagrammes c'est comme les projections utilisés pour la carte du monde (Mercator, Peters, etc), c'est-à-dire différentes représentations d'un même objet pour lequel aucune représentation fidèle n'est possible (les projections cartographiques ne peuvent pas être fidèle à la fois sur les formes, sur les aires, sur les distances, etc). Selon l'aspect sur lequel on veut une fidélité, on choisi tel ou tel diagramme. Chez Kruskal et Penrose, on souhaite que les rayons lumineux soient partout à 45°, comme dans un diagramme de Minkowski, on dit que ce sont des représentations conformes (qui respectent les angles, même si angle est ici à prendre au sens large).

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[pachacamac]

Rebonjour,

Merci.
J'ai compris une grande partie de ta réponse, mais deux morceaux restent difficiles à digérer...

Je commence par le plus facile : la géométrie sphérique

...mais on trouve vite des exemples avec 2 centres, comme la sphère... Attention, je parle ici du centre de la surface elle-même, pas du centre du volume plongé dans l'espace 3D.

Une sphère avec deux centres, je serai curieux de voir ça ou de savoir où ils se trouvent...

Maintenant le gros morceau : La géométrie de Schwarzschild

...Le point important est le fait qu'il s'agit d'une solution du vide.
On peut considérer qu'il s'agit de la géométrie de l'intégralité de l'espace-temps. Celui-ci ne contient alors absolument rien mais il est quand même courbé et présente des géodésiques qui reproduisent les mouvements kepleriens.

Si on ne tient pas compte de la suite du message, et si c'est vrai même sans l'ajout du point -masse, alors je considérerais que c'est un des deux plus grands sommets de la contre intuitivité en physique théorique. ( l'autre étant la non localité de l'intrication quantique)

Dans mon intuition, si l'espace et/ou l'espace-temps sont complètement vide, et si on tient pas compte des fluctuations quantiques du vide ( inconnues par Karl à son époque et inutilisées en RG) alors je vois pas pourquoi ni comment les équations d'Einstein pourraient faire apparaitre des géodésiques Képlériennes. et je dirai : passer votre chemin il n'y a rien a voir et même pas besoin d'équations pour cela.

Donc, à mon avis, soit il faut dire : La géométrie de Schwarzschild est une solution du vide sauf en un point de masse M et le reste bien que pas facile devient compréhensible soit ça dépasse mon entendement.


N.B.

Ces aspects, très contre-intuitifs, sont particulièrement mis en valeur par les diagrammes de Kruskal-Szekeres, ou ceux de Penrose... Il vaut mieux commencer par celui de Kruskal

Je vais jeter un œil sur les diagrammes de Kruskal pour voir s'ils sont plus compréhensibles pour moi que ceux de Penrose.

[Deedee81]

Salut,

Une sphère avec deux centres, je serai curieux de voir ça ou de savoir où ils se trouvent...

Attention, insistons : c'est la sphère (la surface) et non la boule. Et c'est un cas extrême : il y a une infinité de centres (sauf cas avec rotation, là c'est les deux pôles) sur la surface à partir de n'importe quel point, tous les autres points sont disposés parfaitement symétriquement.

Je n'ai pas bien compris ton "gros morceau". De fait, dans la géométrie de Schwartzchild, à grande distance, l'espace-temps est asymptotiquement plat = tend vers Minkowski. Et les trajectoires sont alors newtonienne/keplerienne.

Je vais jeter un œil sur les diagrammes de Kruskal pour voir s'ils sont plus compréhensibles pour moi que ceux de Penrose.

Je les trouve kif. Mais ça peut être une question d'appréciation personnelle (je ne trouve pas ceux de Penrose si compliqués)

[mach3]

Si on ne tient pas compte de la suite du message, et si c'est vrai même sans l'ajout du point -masse, alors je considérerais que c'est un des deux plus grands sommets de la contre intuitivité en physique théorique. ( l'autre étant la non localité de l'intrication quantique)

Dans mon intuition, si l'espace et/ou l'espace-temps sont complètement vide, et si on tient pas compte des fluctuations quantiques du vide ( inconnues par Karl à son époque et inutilisées en RG) alors je vois pas pourquoi ni comment les équations d'Einstein pourraient faire apparaitre des géodésiques Képlériennes. et je dirai : passer votre chemin il n'y a rien a voir et même pas besoin d'équations pour cela.

Donc, à mon avis, soit il faut dire : La géométrie de Schwarzschild est une solution du vide sauf en un point de masse M et le reste bien que pas facile devient compréhensible soit ça dépasse mon entendement.

Le fait est que l'équation d'Einstein ne fixe qu'une partie de la courbure, celle qu'on trouve dans le tenseur de Ricci. Annuler le tenseur de Ricci ne veut pas dire annuler le tenseur de Riemann. Il reste ce qu'on appelle la courbure de Weyl, et ça ça n'est pas conditionné par l'équation d'Einstein mais par les conditions aux limites. Ici les conditions aux limites sont d'une part la platitude asymptotique, et d'autre part la géométrie de l'espace-temps dans la masse de l'astre central, conditionnée par sa valeur M... si cet astre est présent. S'il n'y a pas d'astre central, il reste un paramètre libre qui n'est pas fixé, le M. Et mathématiquement, on a le droit de choisir ce qu'on veut pour M (mais alors il faut bien se souvenir qu'on est en train de faire des maths).

Une analogie qui vaut ce qu'elle vaut. On considère une calotte sphérique (surface courbe donc) et on souhaite la prolonger par une surface de courbure intrinsèque nulle, de façon lisse (la surface doit être continue et dérivable à la jonction, pas de trous, pas d'angles). Une calotte sphérique est un morceau de sphère qu'on a coupé le long d'une certaine latitude. La surface sans courbure qui va bien pour prolonger une calotte de façon lisse est un cône tronqué. En fonction de la calotte sphérique, il faudra choisir le cône tronqué parfaitement ajusté.
La géométrie sur le cône tronqué est un peu spéciale, elle ressemble à celle du plan par certains égard, mais il existe des parallèles qui peuvent être sécantes, ou des droites deux fois sécantes (ce qui donne lieu à un digone, un polygone inconnu dans le plan), ou même, dans certains cas, des droites qui se coupent elles-mêmes (ce qui donne lieu à des monogones), tout cela alors que la courbure intrinsèque est parfaitement nulle (cela peut faire l'objet d'un TP de géométrie). On peut remarquer que la géométrie observée sur le cône tronqué (l'ensemble de ses droites et de leurs relations) varie suivant le cône, mais ne dépend que de l'ouverture du cône (l'angle entre la surface du cône et son axe de révolution).
Cette ouverture dépend elle-même de la calotte sphérique qu'on a voulu prolonger de façon lisse avec ce cône tronqué, elle dépend plus précisément de la latitude à laquelle la calotte est découpée, mais pas du rayon de la calotte. Ainsi, on peut considérer que la latitude de coupure (=la masse de l'astre central) est responsable de la géométrie sur le cône tronqué (=les géodésiques képleriennes). Peu importe le rayon de la calotte (=la taille de l'astre central), du moment que la latitude de coupure (=la masse de l'astre central) est la même, alors le cône tronqué possède la même ouverture et donc la même géométrie (=les mêmes orbites képleriennes).
Mais alors, si on fait tendre le rayon de la calotte vers 0, pour obtenir un cône non tronqué (=un espace-temps sans astre central), qu'est-ce qui est responsable de la géométrie sur le cône non tronqué ? Si la calotte est réduite à un point, on peut choisir l'ouverture que l'on veut pour le cône, c'est un paramètre libre.

Je les trouve kif. Mais ça peut être une question d'appréciation personnelle (je ne trouve pas ceux de Penrose si compliqués)

la compactification des Penrose est un obstacle non nécessaire à la compréhension de l'aspect conforme. Vaut mieux commencer par Kruskal pour comprendre l'idée d'une carte conforme. Une fois qu'on sait s'y repérer, on peut le compactifier pour travailler sur le Penrose.

m@ch3

[Deedee81]

la compactification des Penrose est un obstacle non nécessaire à la compréhension de l'aspect conforme. Vaut mieux commencer par Kruskal pour comprendre l'idée d'une carte conforme. Une fois qu'on sait s'y repérer, on peut le compactifier pour travailler sur le Penrose.

Ca ne m'a jamais posé de difficulté mais en effet il y a ça en plus qui demande de la gymnastique mentale

[ordage]

Bonjour

Au départ la solution de Schwarzschild avait été faite pour le système solaire, les scientifiques se demandant ce que la nouvelle théorie (la RG) allait en dire (sur l'avance du périhélie de Mercure par exemple).

On s'intéressait au champ à l'extérieur des astres. Le cas de l'horizon est apparu quand Droste a généralisé la solution de Schwarzschild

Le paramètre M de la métrique doit être considéré comme un paramètre qu'on peut associer à la masse newtonienne à grande distance.

La manière dont on calcule ce paramètre (son énergie) en RG c'est par un flux, à travers une 2-sphère à l'infini, (il est conservatif) du vecteur de Killing associé à l'énergie en RG: Intégrale de Komar. On contourne la notion de masse "singulière" pour un TN, (singularité qui n'appartient pas à la variété, donc à l'espace temps, il est un "ouvert", par ce moyen.
Cordialement

[pachacamac]

1) Pour la sphère je parlais bien de la surface et pas de la boule qu'elle délimite. Si chacun de ses points est un centre il n'y a plus de problème, c'est même plutôt trivial.

2) pour la géométrie de Schwartzchild, avec les nouvelles explications de mach3, surtout le premier paragraphe ça c'est bien éclaircit. Pour son analogie c'est une très grande séance de gymnastique mentale, faut que je travaille ça petit à petit sinon ça fait vite des nœuds dans mes neurones.

Note : sur wikipedia il y a deux petites pages sur les digones et les monogones. Sur la très courte page sur les monogones ou hénagones il en représente un qui ressemble à un point sur un cercle. ça fait pas vraiment avancer le smilblick je trouve.

J'allais poser une question sur la signification du M en l'abscence d'astre central, mais pendant que j’écrivais ordage y a répondu, faudrait que j'aille voir du coté de l'intégrale de Komar...

Donc pour conclure sur la géométrie de Schwartzchild, j' ai l'impression qu'elle a du sens pour du vide entourant un astre de masse M, avec les conditions citées, mais que pour un vide total (sans masse ) ça n'a pas vraiment de sens physique.


en ce qui concerne les diagrammes de Kruskal et de Penrose , c’était l'objet de mon premier post sur futura sciences
mais comme je n'est pas suivi les liens que m'avait proposé Gilgamesh j'ai pas progressé du tout.

Bon je vais jeter un œil sur ces diagrammes puis voir les liens proposés pour continuer ma gymnastique neuronale.

En tout cas encore merci à tous pour vos réponses savantes et éclairantes.

[pachacamac]

En fait malgré vos réponses, j'ai encore un doute par rapport à mes deux questions initiales.

Donc pour terminer ce poste je repose ces deux questions autrement, une réponse par oui ou non me suffirait.

1) Considérez vous qu' un trou noir de Schwarzschild contient de la masse ou de la matière/énergie sous quelque forme que ce soit ?
2) Considérez vous que la singularité (si elle existe ) se trouve plutôt vers le "centre" du TN que proche de l'horizon ou réparti partout ?

Note sur le 2) Je sais que Deedee n'aime pas trop qu'on justifie les choses par de la lecture vulgarisée, mais c'est pourtant ce que disent de très grands savants dans les livres de vulgarisation que j'ai lu.

[mach3]

Pour le point 1, ca dépend. Si on considère la géométrie complète de Schwarzschild (vide partout), alors il n'y a aucune matière, aucune énergie-impulsion nulle part. Si on considère qu'il y a un astre central qui s'est effondré, alors il y a la masse de l'astre qui est contenue dans le trou noir (avec des subtilités, comme le fait qu'on pourra trouver des tranches spatiales qui ne contiennent pas de matière, mais il y aura toujours de la matière dans le cône passé de tout événement, ce qui est suffisant dans optique de causalité, on pourra revenir dessus).

Pour le point 2, la singularité étant une époque, elle se produit partout dans le trou noir. L'espace sous l'horizon peut être découpé en tranches qui sont des cylindres sphériques (comme un cylindre mais dont la base est une sphère et non un cercle). Notons qu'un tel espace n'a pas de centre. Vu de cette façon, entre l'horizon et la singularité ce cylindre grandit et maigrit en même temps. La singularité advient quand le rayon du cylindre atteint 0.

m@ch3

[pachacamac]

Merci. C'est très clair et très étrange à la fois.

[pachacamac]

N.B. je vois l'espace sous l'horizon découpé en cylindres sphériques mais je vois pas pourquoi entre l'horizon et la singularité ce ou ces cylindres grandissent et grossissent en même temps.

[mach3]

Le coup du cylindre sphérique, c'est clair que c'est très étrange, mais quand on le découvre en étudiant les équations, c'est assez délectable.

La métrique peut être exprimée de la manière suivante, volontairement remaniée :



Quand on a r<2M, r est une coordonnée temporelle et t un coordonnée spatiale (cela se voit aux signes des coefficients, on peut jeter un oeil à ce fil à ce sujet : https://forums.futura-sciences.com/d...physiques.html , sans faire trop attention aux messages de bernarddo). Si on s'intéresse à une tranche spatiale de r constant, la métrique induite dans cette tranche est :



La tranche d'espace est le produit cartésien d'une droite (variation de t à et constant) sur laquelle la métrique induite est , et d'une sphère (variation de et à t constant) de rayon r ( est la métrique d'une sphère de rayon r)
Le produit d'une droite (la génératrice) par une sphère (la directrice) peut donner différentes choses, en fonction de comment varie le rayon de la sphère le long de la droite. Ici le rayon est constant, c'est donc un cylindre sphérique.
La distance entre deux points d'une même droite (de même et ) est (on intègre entre les deux points)
Le périmètre d'une sphère de rayon r est (pour trouver ce résultat, on peut fixer et intégrer de 0 à )

Entre l'horizon et la singularité, r évolue de 2M jusqu'à 0. Au cours de cette évolution, la distance entre deux points d'une même droite ne cesse d'augmenter (elle va de 0 à l'infini, comme ) : le cylindre est en expansion le long de sa génératrice. Dans le même temps, le périmètre d'une sphère va varier de à 0, le cylindre se contracte le long de sa directrice. Il est de plus en plus long et de plus en plus fin.

m@ch3

[pachacamac]

Mille fois Merci pour tes commentaires explicites et cette très belle histoire.

Je trouve fabuleux et presque "magique" de voir comment la RG associée avec les math qui vont bien avec est capable de nous dire ce qui ce passe à l'intérieur des trous noirs.

J'ai plus aucune question à ce sujet, car j'ai maintenant l'impression très satisfaisante de quasi tout savoir sur ce qu'on peut connaitre actuellement de l'intérieur des T.N.

Encore un grand Merci de plus et bon dimanche.

Gérard

[ordage]

Bonjour

Il faut rappeler que la solution de Schwarzschild, comme les autres, dans d'autres coordonnées (Painlevé, Kruskal, etc.), est une solution d'une situation "éternelle" dont, pour le cas du TN (mais elle ne s'applique pas qu'à cela, elle est aussi valide pour des astres stationnaires), s'il y a eu une masse qui s'est effondrée cela se serait produit à l'infini du passé (autrement dit, cela ne serait pas produit, cela a toujours et sera toujours comme cela)!

Concernant des "pseudo TN", ceux qu'on peut observer, qui résultent d'un effondrement de supernova, par exemple il y a quelques milliards d'années, il y a une singularité en formation, de même pour l'horizon (qui n'est pas une surface mais ce que Penrose a appelé "région piégée" qui évolue). Pour aboutir aux situations décrites par la solution de Schwarzschild, cela prendra un temps infini!

Donc les TN qu'on observe n'ont pas de singularité centrale (même si la situation doit être gigantesque elle n'est pas infinie) et l'horizon n'est pas achevé, mais point intéressant le phénomène de piégeage par le pseudo-horizon est déjà actif (voir un théorème de Penrose à ce sujet) mais pas exactement comme le décrit la solution de Schwarzschild.

Cordialement

[ordage]

Bonjour

les références vers l'article de Penrose:

https://journals.aps.org/prl/pdf/10....sRevLett.14.57

et un commentaire

https://www.researchgate.net/publica...larity_theorem

Cordialement

[pachacamac]

Bonjour ordage,

Par rapport à ton avant dernier message #17, j'ai depuis visionné un cours sur les diagrammes de Penrose, après une introduction pas vraiment facile (pour moi) sur la manière donc on les construit (en utilisant entre autre des arcs tangentes)
le prof à dessiné le diagramme pour un espace-temps de Schwarzschild dans lequel avant le trou noir il met directement sans explications un trou blanc...=> image.

J'ai compris ce que signifie les i+, i- et i° mais pas les J+ et J-
sinon no comment.




Pour tes deux liens, j'ai parcouru le deuxième que je vais classer dans mon tiroir " semble intéressant mais trop difficile pour moi" (comme les autres textes de Penrose)

Déjà faudrait au minimum que je comprendre un peu les hypersurfaces de Cauchy les hypersurface-orthogonal geodesic time-like, le théorème de Komar et les identités de Bianchi, c'est pas gagné...

Aussi dans les premières équations (par exemple dans le paragraphe 2.1 ) je sais pas ce que signifie et que représente le symbole qui ressemble à un x( grec?)...donc les bras sont arrondis aux extrémités.

[mach3]

Aussi dans les premières équations (par exemple dans le paragraphe 2.1 ) je sais pas ce que signifie et que représente le symbole qui ressemble à un x( grec?)...donc les bras sont arrondis aux extrémités.

Il s'agit d'un khi ou chi . Ici c'est une coordonnée spatiale, plus précisément la 3e coordonnée angulaire d'une hypersphère (les 2 autres étant les usuels et , planqués ici dans le ). Des fois cette coordonnée angulaire est notée psi () , comme ici par exemple : https://en.wikipedia.org/wiki/3-sphe...al_coordinates )

le prof à dessiné le diagramme pour un espace-temps de Schwarzschild dans lequel avant le trou noir il met directement sans explications un trou blanc...=> image.

Je reviens là-dessus tout à l'heure, quand j'aurais plus de temps

m@ch3

[yves95210]

Salut,

Aussi dans les premières équations (par exemple dans le paragraphe 2.1 ) je sais pas ce que signifie et que représente le symbole qui ressemble à un x( grec?)...donc les bras sont arrondis aux extrémités.

C'est effectivement une lettre grecque, le khi.
Dans le cas dont il est question, les hypersurfaces spatiales à t constant sont des hypersphères (des 3-sphères), et le système de coordonnées choisi pour en exprimer la métrique est l'analogue de celui utilisé lorsqu'on utilise deux coordonnées angulaires (θ et φ), la latitude et la longitude, pour repérer les points sur une sphère de dimension 2 (par exemple la surface de la Terre) dans un espace de dimension 3. ꭓ représente donc un angle, compris entre 0 et π.

On retrouve aisément le système de coordonnées usuel (r, θ, φ) en posant r = sin ꭓ : alors dr = cos ꭓ dꭓ , et dꭓ² = dr²/cos²ꭓ = dr²/(1-r²)
Pour plus de rigueur, voir par exemple les § 7.2.2 et 7.5.1 du cours de Gourgoulhon.

PS : croisement avec mach3...

[mach3]

le prof à dessiné le diagramme pour un espace-temps de Schwarzschild dans lequel avant le trou noir il met directement sans explications un trou blanc...=> image.

La géométrie complète de Schwarzschild (celle où il n'y a que du vide partout) contient un trou noir, avec son horizon et sa singularité future et un "trou blanc", avec son horizon et sa singularité passée. Dans cette géométrie, le trou blanc est le symétrique du trou noir par inversion temporelle.
On peut entrer dans le trou noir, mais jamais en sortir, on peut sortir du trou blanc, mais jamais y entrer.
On ne peut pas voir dans le trou noir, alors qu'on peut voir dans le trou blanc.
Dans le trou noir on peut voir l'extérieur, alors que dans le trou blanc on ne peut pas voir l'extérieur.
Le trou blanc et le trou noir sont le même "astre", le premier étant le passé du second. La difficulté est que pour les observateurs à l'extérieur, la transition entre les deux n'est observable qu'en franchissant l'horizon du trou noir.

Notons bien que pour les trous noirs astrophysiques, issus d'un effondrement, il y a l'astre en effondrement à la place du trou blanc.

Mais d'où vient ce trou blanc mathématiquement parlant ?

Quand on résoud le problème de Schwarzschild (symétrie sphérique, stationnarité, vide, platitude asymptotique) en s'interdisant les termes rectangles en drdt (l'expression résultante étant diagonale) comme l'a fait Schwarzschild, on se retrouve avec la description d'un morceau d'espace-temps qui va de r=2M à l'infini, une carte qu'on dira "extérieure". La partie allant de r=0 à r=2M, qui est une carte disjointe qu'on dira "intérieure", peut alors sembler accidentelle (d'ailleurs elle ne parait pas stationnaire cette partie, donc elle n'est pas solution au problème posé a priori) et on va la mettre de côté. Cependant, il y a un truc gênant. Les géodésiques qui arrivent en r=2M sur la carte extérieure ne sont pas complètes, elles doivent se prolonger plus loin, en dehors de la carte (un peu comme si on regardait une carte de France, il y a des routes qui continuent en dehors de la carte). On n'a en fait qu'une carte limitée de l'espace-temps entier, c'est la région I du diagramme de Kruskal.

En s'autorisant un terme rectangle en drdt (comme Painlevé ou Eddington), on a cette fois-ci une description qui va de r=0 à l'infini. Le passage de l'horizon est sur la carte obtenue. Mais il y a quand même un truc gênant. Le signe du terme en drdt peut être choisi arbitrairement et selon le signe le comportement en r=2M s'inverse. Dans un cas on a une carte qu'on appelera entrante, il y a des géodésiques qui peuvent aller de r>2M vers r<2M, mais pas l'inverse, et dans l'autre cas on a une carte qu'on appellera sortante, les géodésiques peuvent aller de r<2M vers r>2M, mais pas l'inverse. L'intersection des cartes entrantes et sortantes est la carte extérieure du paragraphe précédent. La partie r<2M n'est pas commune aux deux cartes en revanche, ce n'est pas la même région de l'espace-temps. Dans la carte entrante c'est le trou noir, région II dans le diagramme de Kruskal, et dans la carte sortante c'est ce qu'on appellera trou blanc, région IV dans le diagramme de Kruskal, l'inverse du trou noir par symétrie temporelle.
Il est intéressant de constater qu'en effectuant un changement de coordonnées adéquat, les expressions de Painlevé ou d'Eddington, avec leur terme en drdt, redonnent l'expression de Schwarzschild sans terme rectangle, ce qui permet d'identifier les zones r<2M des cartes entrantes et sortantes à la carte intérieure qu'on avait mise de côté au paragraphe précédent. Cette carte décrit à la fois le trou noir, et le trou blanc, en fait elle est deux cartes selon comment on oriente le temps, soit vers les r croissants, soit vers les r décroissants.

Mais l'histoire n'est pas finie. Il y a toujours des géodésiques qui ne sont toujours pas complètes. C'est là qu'intervient justement Kruskal pour finir le travail en introduisant la "mystérieuse" région III.

m@ch3

[pachacamac]

Merci à vous deux.

Pour le khi ou le chi (la 3e coordonnée angulaire d'une hypersphère ) sa compréhension pourrait être dans mes cordes après beaucoup de travail...

Pour le reste (explications de mach3) c'est bizarre il y a une sorte de dédoublement ou de complémentarité dans ma compréhension : à la fois je comprend les explications et à la fois c'est incompréhensible.

Donc pour les TN je vais me contenter des TN astrophysiques dans lesquels l'astre en effondrement remplace les trous blancs.

Pour les Trous Blancs (existent t'il "réellement" ou pas ? ) je vais les ranger aussi dans mon tiroir des choses très probablement définitivement incompréhensibles pour moi.

Parce que quand on regarde mathématiquement d'où viennent ces trous blancs je distingue plus si on fait des math ou de la physique et je trouve que cela ressemble bougrement à de la science fiction (malgré tout le respect que je dois aux grands savants qui ont trouvé ça )



Aussi il y des animations sur ce qu'on pourrait voir en voyageant vers un trou de vers de Schwarzschild sur le très bon site astrosurf/luxorion mais il est probable que vous connaissez déjà ce site.

[mach3]

Parce que quand on regarde mathématiquement d'où viennent ces trous blancs je distingue plus si on fait des math ou de la physique et je trouve que cela ressemble bougrement à de la science fiction (malgré tout le respect que je dois aux grands savants qui ont trouvé ça )

Oui, la solution complète de Schwarzschild c'est surtout des maths, mais ça reste de la physique au même titre que le champ magnétique d'un fil rectiligne infini, ou qu'une onde électromagnétique plane, deux choses qui, comme le trou blanc, ne se trouvent vraisemblablement pas dans la nature bien qu'étant des solutions à des équations qui prédisent par ailleurs des phénomènes que l'on observe effectivement. Ils n'en sont pas moins intéressants, tant qu'on sait faire la part des choses entre les situations physiques réelles qui peuvent être approximées par ces modèles simples et des situations hypothétiques plus ou moins fantasques.

m@ch3

[ordage]

Bonjour

Le trou "blanc" n'existe que dans la solution "éternelle". La variété comporte 4 régions. Dans le cas résultant d'un effondrement le trou blanc n'existe pas. La variété a 2 régions. voir par exemple pour les diagrammes de Penrose correspondants:

https://preposterousuniverse.com/wp-...otes-seven.pdf, p.198-199.

Les cordonnées de Painlevé, ou Finkelstein, par exemple, nécessitent 2 systèmes de coordonnées pour décrire la variété complète à 4 régions ne différant que par le signe du terme dr.dt, (cf Mach3) les coordonnées de Kruskal (entre autres) décrivent les 4 régions par un seul système de coordonnées.

A noter que quand on calcule, par l'intégrale de Komar, l'énergie E avec (c =1) du TN seul on trouve E =M, pour le trou blanc E = -M, l'énergie du système complet 4 régions vaut E = 0.

La solution apparaît alors comme une "dissociation" du néant en 2 entités symétriques.

Cordialement

[pachacamac]

Merci.

Après plusieurs tentatives de lecture de la page de Sean Caroll citée par ordage, je dois avouer que j 'ai été vite dépassé par sa complexité mathématique.
( calculs sur les variétés, vecteurs et tenseurs de Killing etc..) Néanmoins j'en ai compris un très faible pourcentage qui m'éclaire sur les lignes directrices suivies.

Pour éviter de vous demander de m'expliquer toute la RG, j'aurai juste une petite question.

Pourriez vous m'expliquer ce que signifie le I+ ( I + = future null infinity (η = π − χ , 0 < χ < π)) dans le diagramme de Penrose ci -dessous ?




Sinon j'ai bien aimé la phrase d'ordage " une "dissociation" du néant en 2 entités symétriques."
et aussi quand Sean Caroll dit :

How much of this is science, as opposed to science fiction? Probably not much. If you
think about the world as seen from an observer inside the black hole who is about to cross the
event horizon at r − , you will notice that they can look back in time to see the entire history

[pachacamac]

Postulat de Gérard : Quand on coupe le néant en deux ou si on le "dissocie" en deux entités le résultat est encore le néant

[ordage]

Bonjour
Le cours de S. Carroll est de niveau Master 2, c'est celui qu'il donnait au MIT à la fin du siècle dernier.
Pour comprendre, si vous n'avez pas de connaissance de base sur le sujet, il est recommandé de le lire depuis le début, car il introduit les notions nécessaires à la compréhension au fur et à mesure. C'est un travail important, la relativité n'est pas très intuitive et le sujet n'est pas très simple, mais je le trouve très pédagogique.
Le terme "null" s'adresse aux géodésiques de type nul qui sont celles suivies, par exemple, par la lumière.
Cordialement

[Mailou75]

Salut,

N.B. je vois l'espace sous l'horizon découpé en cylindres sphériques mais je vois pas pourquoi entre l'horizon et la singularité ce ou ces cylindres grandissent et grossissent en même temps.

Ceci pourra peut être t'aider https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6766033 à visualiser ce dont il est question.

La suite (partie 2) que je n'ai pas encore publiée traduit graphiquement ce que dit Ordage au message 25. J'essayerai de la finaliser si ça t’intéresse.

Pour les systèmes de coordonnées, je pense que tu brûles les étapes qui te permettraient d'y comprendre quelque chose. Ceci t'aidera à faire le lien entre Schw et Kruskal https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post5810148. Et ceci te permettra de faire le lien entre Kruskal et Penrose https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post5943633.

Il faut tout de même garder en tête que tous les systèmes représentent exactement la même chose. Aucun ne comporte plus d'information qu'un autre, c'est juste des façons différentes de représenter des évènements de coordonnée (r;t) ou r et t sont les données de la solution de Schw. Accessoirement, Penrose n'a pas beaucoup d’intérêt sinon montrer les infinis. En tout cas cas il ne t'aidera pas à comprendre...

A+

Mailou

[pachacamac]

@ordage : j'ai été voir le début du cours, le hic c'est que dés le début il y a des passages trop difficiles pour moi.

@Mailou : j'ai été voir les 3 posts que tu m'as conseillés. Pour faire simple j'ai rien compris ce sont les posts les plus compliqués que j'ai vu sur le forum astro.

Déjà toi qui est incontestablement le roi des graphiques en ce domaine, qui connait les bonnes formules et sais les calculer il te faut discuter et batailler des pages et des pages avec Amanuensis, mach3, ordage, Zefram Cochrane et d'autres...pour trouver le bon chemin...alors moi en lisant ces posts je me ressens comme un élève de seconde qui devrait suivre un cours de math/physique sup..

Donc inutile d' écrire pour moi une partie 2, par contre une partie 0 avec un seul graphique expliqué pas à pas pourquoi pas

En tout cas Merci à tous pour ces infos et pour votre aide.