0,999... = 1 et 0/0 = 1

[Petithassane]

Je suis persuadé que nos désaccords viennent d' une erreur de notation.

0,9| n' est pas un nombre fixe, mais la limite d' une suite.
De même que r(n) est une suite.

Quand on écrit l' infini en utilisant comme symbole un "8" allongé, croyez vous que l' on a fixé ce nombre ?
non !
C' est juste une manière d' écrire pour indiqué quelque chose, mais c' est approximatif et non pas parfaitement exact.

Exemple :
1/3 est un nombre fixe
mais 0,3| est la limite d' une suite
donc pour être rigoureux 1/3 n' est pas égal à 0,3|
Ecrire que 1/3=0,3| est un abus de langage, une commodité
Pareil pour 0,9|=1

LeLama, dans ta démonstration qui dit que la distance qui sépare 0,9| de 1, est nulle, tu te trompes.
Elle n' est pas nulle, elle tend vers zéro, c' est la limite d' une suite, ce n' est pas un nombre fixe. Pour preuve, essaies de trouver plus petit que la limite de f(x)=1/x quand x tend vers l' infini et cette limite de f(x) on peut toujours l' intercaler entre 0,9| et 1.

Autre question, j' ai entendu dire que des mathématiciens travaillaient sur cette proposition :
" il n' y a pas assez d' entiers naturels pour remplir l' ensemble N"
En avez vous entendu parler ?
-----

[invitebe0cd90e]

Bien. Alors comment se fait-il que l'on puisse mettre un 1 et pas un 2 (voir plus haut)?

non, c'est lécriture de LeLama qui prete a confusion, mais dans son cas il y a un nombre fini de 0.

[invite94988033]

non, c'est lécriture de LeLama qui prete a confusion, mais dans son cas il y a un nombre fini de 0.

Dans le mien aussi.

[invitebe0cd90e]

ben s'il y a un nombre fini de 0, il n'y a aucune raison pour que ce nombre soit egal a 0.

par contre, un nombre positif qui est plus petit que n'importe lequel de ces nombres, quelque soient le nb de decimales qu'on prend, alors ce nombre est nul.

[invitebe0cd90e]

J
0,9| n' est pas un nombre fixe, mais la limite d' une suite.
De même que r(n) est une suite.

mais scrogneugenu de bon sang de bonsoir, ca veut dire quoi un "nombre pas fixe" ?? OUI c'est une limite, et une limite EST UN NOMBRE !!! fixe, figé, bloqué...

Quand on écrit l' infini en utilisant comme symbole un "8" allongé, croyez vous que l' on a fixé ce nombre ?
non !
C' est juste une manière d' écrire pour indiqué quelque chose, mais c' est approximatif et non pas parfaitement exact.

mais ca ne veut rien dire !!! ca n'est pas approximatif, c'est l'infini, ca n'est pas "a peu pres l'infini", ca ne veut rien dire !!!

Exemple :
1/3 est un nombre fixe
mais 0,3| est la limite d' une suite
donc pour être rigoureux 1/3 n' est pas égal à 0,3|
Ecrire que 1/3=0,3| est un abus de langage, une commodité

et parce que 1/3 est pas limite de ta suite, peut etre ? donc 1/3 non plus n'est pas "fixe" ?

LeLama, dans ta démonstration qui dit que la distance qui sépare 0,9| de 1, est nulle, tu te trompes.
Elle n' est pas nulle, elle tend vers zéro, c' est la limite d' une suite, ce n' est pas un nombre fixe. Pour preuve, essaies de trouver plus petit que la limite de f(x)=1/x quand x tend vers l' infini et cette limite de f(x) on peut toujours l' intercaler entre 0,9| et 1.

encore une fois, une distance c'est un nombre fixe !!!ca ne peut pas "tendre" vers quoi que ce soit ca ne bouge pas. tu confonds tout

Autre question, j' ai entendu dire que des mathématiciens travaillaient sur cette proposition :
" il n' y a pas assez d' entiers naturels pour remplir l' ensemble N"
En avez vous entendu parler ?

non, et je ne suis pas sur que ca en vaille la peine.

[invite94988033]

ben s'il y a un nombre fini de 0, il n'y a aucune raison pour que ce nombre soit egal a 0.

par contre, un nombre positif qui est plus petit que n'importe lequel de ces nombres, quelque soient le nb de decimales qu'on prend, alors ce nombre est nul.

LeLama écrit "En effet, je choisis un nombre 0.000..000001 avec suffisamment de decimales pour que ce nombre soit plus petit que x". On peut faire exactement la même chose avec 0.000..000002.

[invitebe0cd90e]

LeLama écrit "En effet, je choisis un nombre 0.000..000001 avec suffisamment de decimales pour que ce nombre soit plus petit que x". On peut faire exactement la même chose avec 0.000..000002.

pfffouuuu... oui, on peut faire exactement la meme chose, et alors. ces nombres ne sont pas egaux a 0. par contre, le seul nombre positif qui est plus petit que tout ces nombres c'est 0. c'est ce qu'on appelle une limite, une limite c'est un nombre, 0 est un nombre.

[LeLama]

Je suis persuadé que nos désaccords viennent d' une erreur de notation.

0,9| n' est pas un nombre fixe, mais la limite d' une suite.

Contradiction. La limite d'une suite est un nombre fixe.

Exemple :
1/3 est un nombre fixe
mais 0,3| est la limite d' une suite
donc pour être rigoureux 1/3 n' est pas égal à 0,3|
Ecrire que 1/3=0,3| est un abus de langage, une commodité
Pareil pour 0,9|=1

Non, ce n'est pas une commodité de langage. C'est égal, vraiment égal.

LeLama, dans ta démonstration qui dit que la distance qui sépare 0,9| de 1, est nulle, tu te trompes.
Elle n' est pas nulle, elle tend vers zéro, c' est la limite d' une suite, ce n' est pas un nombre fixe. Pour preuve, essaies de trouver plus petit que la limite de f(x)=1/x quand x tend vers l' infini et cette limite de f(x) on peut toujours l' intercaler entre 0,9| et 1.

Je ne peux pas repondre a cette question. La distance entre les deux nombres 0.9| et 1 ne tend vers rien du tout. C'est un nombre. Il est nul ou pas nul, mais c'est un nombre bien fixé.

" il n' y a pas assez d' entiers naturels pour remplir l' ensemble N"
En avez vous entendu parler ?

Je ne comprends pas bien ce que ca voudrait dire. Par definition de N, c'est l'ensemble des entiers naturels. Donc les entiers naturels remplissent N par definition.

EDIT: doublon, avec Jobh, memes reponses

[invite94988033]

pfffouuuu... oui, on peut faire exactement la meme chose, et alors. ces nombres ne sont pas egaux a 0.

Si on considére des nombres répondant aux même critères mais dans une dimension infinie, il le seraient tous les deux.

par contre, le seul nombre positif qui est plus petit que tout ces nombres c'est 0. c'est ce qu'on appelle une limite, une limite c'est un nombre, 0 est un nombre.

Oui, mais une limite n'est pas un résultat. D'où mon désacord avec 0.9|=1.

[Médiat]

Après tout...
0,9 comme tout nombre réel est la limite d'une suite (facile à définir, et dont il a déjà été question ici plusieurs fois), c'est à dire d'une fonction de dans .
Pourquoi ne pas imaginer un nouvel ensemble (ce ne sont clairement plus des réels) constitué des limites de fonctions de dans (note aux matheux : je sais que cette définition n'est pas rigoureuse, et qu'il faudrait passer par une relation d'équivalence et ses classes, mais cela compliquerait un peu l'exposé). Ce serait une façon de mettre des décimales après une infinité de décimales, non ? Mais du coup l'algorithme de la multiplication par 10 serait à revoir.

Je me demande (pas le temps pour le démontrer) si cela permettrait de décrire les réels non standards (toute la partie après les premières décimales représentant le halo du nombre réel défini par les premières



PS j'écris pour éviter toute confusion entre et

[invitebe0cd90e]

Si on considére des nombres répondant aux même critères mais dans une dimension infinie, il le seraient tous les deux.

une dimension infinie ??? mais on ne peut pas mettre un chiffre derriere une infinité de 0 le nombre 0.(une infinité de 0)2 n'existe pas !!!!!

Oui, mais une limite n'est pas un résultat. D'où mon désacord avec 0.9|=1.

?? c'est quoi un resultat ? une limite est un nombre, un nombre et rien d'autre !!!

la limite d'une suite ca n'est PAS la même chose que cette suite.

[Médiat]

Autre question, j' ai entendu dire que des mathématiciens travaillaient sur cette proposition :
" il n' y a pas assez d' entiers naturels pour remplir l' ensemble N"
En avez vous entendu parler ?

IN étant une notation pour l'ensemble des entiers naturels, je ne vois même pas ce que veut dire cette proposition.

EDIT : doublon avec LeLama (on va faire un club avec jobherzt )

[LeLama]

Pourquoi ne pas imaginer un nouvel ensemble (ce ne sont clairement plus des réels) constitué des limites de fonctions de dans (note aux matheux : je sais que cette définition n'est pas rigoureuse, et qu'il faudrait passer par une relation d'équivalence et ses classes, mais cela compliquerait un peu l'exposé).

J'essaie de reformuler. Les fonctions de dans {0..9} modelisent les nombres entre 0 et 1 et l'ensemble des fonctions de dans {0..9} fournit une description des nombres dans [0,1]x[0,1].

C'est en fait implicitement ce que fait Javel. Il manie des nombres dans ce produit sans se rendre compte que ce ne sont pas des reels.

Ce serait une façon de mettre des décimales après une infinité de décimales, non ? Mais du coup l'algorithme de la multiplication par 10 serait à revoir.

Surtout, 10 n'est pas un element de l'ensemble produit que tu as construit.

Je me demande (pas le temps pour le démontrer) si cela permettrait de décrire les réels non standards (toute la partie après les premières décimales représentant le halo du nombre réel défini par les premières

Non, la description des entiers par l'analyse non standard n'est pas reformulable avec du vocabulaire "standard" telle que celle que tu proposes.

[invite94988033]

une dimension infinie ??? mais on ne peut pas mettre un chiffre derriere une infinité de 0 le nombre 0.(une infinité de 0)2 n'existe pas !!!!!

Dans ce cas, on ne peut pas non plus démontrer que la différence entre 0.9| et 1 est nulle, puisqu'on continue à travailler dans le flou.

?? c'est quoi un resultat ?

Pour moi, en tout cas, c'est ce qu'il reste d'une expression lorsque l'égalité a atteint un stade d'irréductibilité.

une limite est un nombre, un nombre et rien d'autre !!!

Un nombre fictif, alors, qui ne correspond que sensiblement au résultat.

[invitebe0cd90e]

Dans ce cas, on ne peut pas non plus démontrer que la différence entre 0.9| et 1 est nulle, puisqu'on continue à travailler dans le flou.
Pour moi, en tout cas, c'est ce qu'il reste d'une expression lorsque l'égalité a atteint un stade d'irréductibilité.
Un nombre fictif, alors, qui ne correspond que sensiblement au résultat.

Lim (7+1/n)=7, j'en deduis donc que 7 est un nombre fictif, comme 3, Pi, e ou n'importe quel autre reel...

et si, on peut demontrer que la difference entre 0.9! et 1 est nulle, ca n'a absolument rien a voir.

manipuler la notion d'infini demande de la rigueur. si on pose

x=0.99999...

ca veut dire "quel que soit N un entier, la decimale N est un 9". il y a donc une infinité de decimales puisque il y a une infinité d'entier.

par contre, parler d'une infinité de 0 suivie d'un 2 ou d'un 1 ca n'a pas de sens, il faudrait pouvoir definir un entier plus grand que tous les autres ce qui est impossible.


et quant a ta "definition" du mot resultat, qui reste assez floue mais admettons : dans ce cas une limite est bien un resultat. une limite est un nombre. la limite d'une suite c'est le nombre vers lequel tend cette suite.

[LeLama]

Dans ce cas, on ne peut pas non plus démontrer que la différence entre 0.9| et 1 est nulle, puisqu'on continue à travailler dans le flou.
.

On n'est pas dans le flou. Je repete. Un nombre est bien defini par son ecriture decimale si je peux enoncer une phrase comme celle la: pour toute position x, le chiffre qui apparait a la place numero x apres la virgule est n(x).

Par exemple, le nombre 0.9|=0.999999... est bien defini par son ecriture decimale parce que je peux dire: pour tout x, je mets le nombre n(x)=9 a la place numero x apres la virgule.

Il n'y a donc aucune ambiguite. C'est bien defini.

[invite94988033]

Lim (7+1/n)=7, j'en deduis donc que 7 est un nombre fictif, comme 3, Pi, e ou n'importe quel autre reel...

Dans son égalité oui, dans le sens où il s'agit d'un nombre qui n'appartient pas à l'ensemble des résultats de la suite.

par contre, parler d'une infinité de 0 suivie d'un 2 ou d'un 1 ca n'a pas de sens, il faudrait pouvoir definir un entier plus grand que tous les autres ce qui est impossible.

C'est pourtant une nécessité pour légitimier un résultat.

et quant a ta "definition" du mot resultat, qui reste assez floue mais admettons : dans ce cas une limite est bien un resultat. une limite est un nombre. la limite d'une suite c'est le nombre vers lequel tend cette suite.

Oui, et non pas le résultat, fruit d'une égalité.

[LeLama]

De meme, le nombre 1.000000.... est bien defini parce que je peux dire: a toute place x apres la virgule, je mets la decimale n(x)=0.

Il se trouve que les deux nombres 0.99999999.... et 1.00000000....... sont egaux. Il y a donc deux representations decimales differentes pour le meme nombre. Ca peut paraitre bizarre mais c'est comme ca.

De meme, 0.345=0.3449999999999......... ..... Plus generalement, si un nombre peut s'ecrire avec un nombre fini de decimales, je peux enlever 1 a la derniere decimale et ajouter des 9 derriere, j'obtiens le meme nombre.

Dans tous les autres cas, l'ecriture decimale est unique. Par exemple, 0,12121212..... ne s'ecrit pas d'une autre facon parce qu'il a un nombre infini de decimales qui ne finissent pas par une infinite de 9. De meme, pi a une ecriture decimale unique.

En termes mathematiques et plus precis, les nombres reels de la forme p/10^n, ou p et n sont entiers admettent 2 ecritures decimales differentes. Les autres reels admettent une ecriture decimale unique.

[piwi]

Citation:
Posté par jobherzt Voir le message
une limite est un nombre, un nombre et rien d'autre !!!

Un nombre fictif, alors, qui ne correspond que sensiblement au résultat.

Je suis cette discussion depuis le début et il y a certains arguments que je ne parviens pas à comprendre. Le dernier en date est celui ci.

Qu'est ce que vous voulez dire au juste?


Cordialement,
piwi

[invitebe0cd90e]

Dans son égalité oui, dans le sens où il s'agit d'un nombre qui n'appartient pas à l'ensemble des résultats de la suite.

?????

C'est pourtant une nécessité pour légitimier un résultat.

be non, pas du tout. je ne vois pas ou on a besoin de cette ecriture.

Oui, et non pas le résultat, fruit d'une égalité.

On reprend caaaaaaaaaaaalmement.

- une limite est un nombre
- c'est le nombre vers lequel tend une suite qui converge
- 0.9999...... est la limite de la suite qu'on a definie 10000 fois. c'est bien la limite de cette suite.
- donc 0.999.... est un nombre
- comme il est evident que cette suite converge aussi vers 1, et que la lmite d'une suite est unique, on a 0.9999....=1


point barre. s'il y a une seule petite chose qui ne te convient pas dans ce raisonnement, c'est que ta comprehension des maths et de la notion de limite est insuffisante. c'est tout. mais precise quand meme le point precis de ce raisonnement qui te choque.

[ABN84]

bonjour,
d'un coté on a au moins 3 demonstrations que 0,9l=1 avec des ordres de rigueur diffenrents. de l'autres que des convictions personnelles.


.............................. ..............................



.............................. ..............................



.............................. ..............................

est ce que ceux qui refusent cette egalité peuvent enancé une demonstration de li'negalité, une demonsration avec toute la riguer mathematique nececcaire?
à quoi est egale 1-0,9l ?

[ABN84]

EDIT:
à propos: l'increment d'une suite (n) tend vers un nombre
la limite d'une suite est un nombre
et il n'y a pas de nobre fictif
et l'infini est bien connu et non approximatif (dans les mathematiques)

[Médiat]

J'essaie de reformuler. Les fonctions de dans {0..9} modelisent les nombres entre 0 et 1 et l'ensemble des fonctions de dans {0..9} fournit une description des nombres dans [0,1]x[0,1].

Pas tout à fait, je ne pensais pas la fonction qui associe à n la nième décimale, mais qui associe à n l'approximation à près ; ce qui ne change rien dans le fond .

Surtout, 10 n'est pas un element de l'ensemble produit que tu as construit.

Mais qui a quand même une image canonique, de la même façon que je peux construire IR à partir de IQ, avec les suites de Cauchy, dans cet ensemble des suites de Cauchy (quotienté) tu ne dirais pas que je ne peux pas multiplié par 10 parce que 10 n'est pas une classe de suite de Cauchy mais un rationnel.

Non, la description des entiers par l'analyse non standard n'est pas reformulable avec du vocabulaire "standard" telle que celle que tu proposes.

Là par contre tu as raison (mais ce ne sont pas des entiers non-standards).

[Médiat]

je vois toujours la différence, aussi minime soit-elle existant supposément entre deux nombres "conjoints", disparaître purement et simplement pour le confort de la démonstration. Quand ça n'est pas par une multiplication, c'est par un changement de base, etc...

Explique moi quel détail de ma démonstration utilisant un changement de base n'est pas probante ? L'écriture d'un nombre dans une base n'est qu'une façon de désigner un nombre mais ne le change en aucune manière, et que tu le veuilles ou non 1/3 (en base 10) = 0,1 (en base 3), et là il n'y a pas de suite, pas de limite, pas d'infini...

[Petithassane]

Jobhertz,
caaaaaaalmes-toi.
Si ce qu' on dit est faux, tu n' as aucune raison de t' énerver. Maintenant si tu ne peux pas t' empécher de t' énerver, c' est peut être qu' on tourne autour de quelque chose de subtil et intéressant sans pouvoir mettre le doigt précisément dessus.
Si tu es vraiment sûr qu' on a tort, fait comme Gwydon, une intervention pour dire : toujours les mêmes arguments bidons qui reviennent.

Voilà autre chose de ma part:
La limite d' une suite convergente semble être un nombre fixe, mais non c' est un nombre indéterminable malgré tout.

J' ai cité une suite de rationnels : r(1), r(2), r(3),.....
Quand n tend vers l' infini, r(n) devrai être égal à r(1) et alors là, finie la discrétion et la densité de Q.
La réponse qu' on a donnée à cet argument ne m' a pas satisfait.

Cependant, y a-t-il un lien où l' on explique comment on construit R à partir de Q.
Merci.

[invitebe0cd90e]

Jobhertz,
caaaaaaalmes-toi.
Si ce qu' on dit est faux, tu n' as aucune raison de t' énerver. Maintenant si tu ne peux pas t' empécher de t' énerver, c' est peut être qu' on tourne autour de quelque chose de subtil et intéressant sans pouvoir mettre le doigt précisément dessus.
Si tu es vraiment sûr qu' on a tort, fait comme Gwydon, une intervention pour dire : toujours les mêmes arguments bidons qui reviennent.

Voilà autre chose de ma part:
La limite d' une suite convergente semble être un nombre fixe, mais non c' est un nombre indéterminable malgré tout.

J' ai cité une suite de rationnels : r(1), r(2), r(3),.....
Quand n tend vers l' infini, r(n) devrai être égal à r(1) et alors là, finie la discrétion et la densité de Q.
La réponse qu' on a donnée à cet argument ne m' a pas satisfait.

Cependant, y a-t-il un lien où l' on explique comment on construit R à partir de Q.
Merci.

je ne suis pas enervé, rassure toi je trouve juste qu'on tourne en rond... le probleme quand tu dis "La limite d' une suite convergente semble être un nombre fixe, mais non c' est un nombre indéterminable malgré tout.", c'est d'une part que c'est mal defini (que veux dire indeterminable), d'autre part non justifié (c'est une impression que tu as, mais il faut le prouver). en un mot ca n'est pas des maths.

pareil quand tu dis "Quand n tend vers l' infini, r(n) devrai être égal à r(1)", la encore je ne vois pas d'ou tu sors ca.

et oui, c'est subtil. personne n'a dit que c'etait simple a appréhander. mais malheureusement tu ne met pas le doigt sur quelque chose, tu n'acceptes pas qu'on puisse parler d'un nombre ayant reellement une infinité de decimales, c'est tout. or, l'existence de ce genre de nombre est fondamentale pour la construction de R, c'est meme la nature profonde de la difference entre R et Q.

tu peux regarder la : http://fr.wikipedia.org/wiki/Constru...ites_de_Cauchy

une definition informelle de R pourrait etre "l'ensemble des nombres ayant une infinité de chiffres derrieres la virgule, que cette suite de chiffre soit periodique ou non".

[Petithassane]

Merci pour le lien sur la construction de R, grâce aux suites de Cauchy.
Et arrêtons de déconner 5 minutes, si vous me passez l' expression.

Il s' agit de suites convergentes vers un irrationnel et cet irrationnel est la limite de cette suite. Donc quand n tend vers l' infini, ou même quand "n" atteint l' infini.
Or "n" est un entier naturel.
Tout repose sur la question de savoir si l' infini appartient à N.
Car N n' a pas de plus grand élément, ou n' est pas borné vers le haut.
Au collège, le prof de maths, avait dit qu' a proprement parler l' infini n' appartient pas à N.
Et si l' infini n' appartient pas à N, d' une certaine manière, il n' existe pas. Tout ça pour dire que "n" ne peut jamais atteindre l' infini.
Ce qui voudrait dire que les irrationnels n' existent pas. Où qu' il faut trouver une autre méthode pour les construire.
Mais après tout, philosophiquement parlant, existent-ils vraiment ces irrationnels. Notez tout de même qu' on ne peut pas les écrire avec des chiffres et uniquement des chiffres, ni même en utilisant les symboles de l' addition, de la soustraction, de la multiplication et de la division. On ne peut pas les écrire avec exactitude dans ces conditions.
Alors on est en droit de se poser la question:
Existe-t-ils vraiment les irrationnels ?

Bien sûr, avec des symboles comme celui de "racine carrée" on y arrive. Mais "racine carrée" ce n' est pas une opération de base nécessaire à la définition de structure de corps.
Enfin, ils doivent bien exister tout de même. Cela voudrait-il dire que l' infini appartient à N ?

Mais je reste interrogatif...

[invitebe0cd90e]

la question de savoir si les rationnels existent n'a pas vraiment de sens... un carré, le nombre 2, un corps quelquonque, ca "n'existe" pas non plus. ce sont des constructions logiques, formelles, symboliques.

a ce titre, les irrationnels ont exactement la meme "valeur d'existence" que les entiers, pas plus et pas moins...

et au passage : la question de savoir si l'infini appartient a N ou pas n'a aucune importance : les suites servent a construire R. la notion de limite est parfaitement definie, peut importe que la suite "n'atteigne pas" sa limite, ca n'empeche aucunement de la manipuler, les irrationnels sont donc parfaitement definis sans que l'infini appartienne a N. il s'agit d'une definition, je prends une suite qui converge et je dis "voila, j'appelle schtroumpf la limite de cette suite". peut importe que la suite atteigne ce nombre ou non, schtroumpf est bien defini en tant que limite. plus exactement, schtroumpf est identifiée a la classe d'equivalence des suites qui convergent vers lui, il est donc bien construit en ne manipulant QUE des choses auquelle tu accorde le droit d'exister.

[inviteea6fd0dc]

Bonsoir,

Il est d'ailleurs évident que schtroupf est une limite, ..... de taille !


Ok, ok, -> -> -> Poussez pas, je connais le chemin

[piwi]

Tout repose sur la question de savoir si l' infini appartient à N.

C'est curieux cette façon d'envisager l'infini comme appartenant à un ensemble et pas à un autre. Y a une véritable justification mathématique à ca?
Mais peut être que la question était mal posée. Il aurait mieux valu se demander si |N est borné.

Dés lors je ne comprends pas comment on peut concevoir que |N soit borné.
Comment concevoir que pour tout nombre appartenant à |N on ne puisse pas en créer un nouveau supérieur.


Cordialement,
piwi