La logique mathématique est-elle vraiment cohérente ?

[interferences]

Pour donner un autre exemple que celui de Mediat car il semble assez mal comprit :
Si la théorie des ensembles est cohérente alors on peut lui ajouter l'hypothèse du continue à savoir l'axiome "il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre celui de ℕ et celui de ℝ" qui sera tout aussi cohérente.
De la même façon on peut aussi ajouter à la théorie des ensembles l'axiome ""il existe des ensembles dont le cardinal est strictement compris entre celui de ℕ et celui de ℝ".

Par contre si on ajoute les deux axiomes précédents à la théorie des ensembles là ce n'est plus cohérent.

Oui, je vois. Je suis resté sur la définition euclidienne d'un axiome alors qu'en logique mathématique cela peut désigner une hypothèse de travail.
Cette hypothèse peut être fausse et peut même être contradictoire avec une autre hypothèse (on examine ainsi les 2 cas de figure), il n'en reste pas moins que l'on peut construire des théories cohérentes avec elle. J'ai bien compris ?

Je commence à comprendre pourquoi les mathématiques ne sont pas une science expérimentale ^^'
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[invitea4732f50]

Je commence à comprendre pourquoi les mathématiques ne sont pas une science expérimentale ^^'

Mais si, le choix des axiomes, est la composante expérimentale, des mathématiques.
Un axiome choisi de manière pertinente, peut se révéler très fécond.

D'ailleurs le choix de certains axiomes ne font pas nécessairement l’unanimité au sein de la communauté des mathématiciens.

Cordialement,

[Zefram Cochrane]

La logique ne repose pas sur le langage (sans "u" en français), on utilise le langage pour l'exprimer mais les règles de logique sont des concepts qui existent indépendamment de la manière dont on les exprime. Les mathématiques se construisent à partir de la logique mathématique, sans règle de logique on ne fait pas de maths.

je crois que les définitions du lien de Pathinder démontrent que sans les mots il serait difficile d'argumenter sur quoi que ce soit, et donc d'établir des règle sur l'exactitude ou non de l'argimatation. N'est ce pas?

L’argument n’est pas « logique ».
Ce n’est pas parcequ’un raisonnement logique peut être formalisé mathématiquement, Que celles-ci sont indispensables au raisonnement.
( implication ou équivalence ? )
Quand je pense :
Si A alors B ou C ou les deux par exemple.
Je n’ai pas besoin de l’écrire en « maths » pour m’en faire une représentation mentale « logique ».

Je considère plutôt les maths dans ce cas comme l’expression la plus propre ( réduisant au maximum toute ambiguité ) pour traduire un enchainement logique.

Amha,je dirais plutôt qu'on fait des maths sans le savoir.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_logique

Il n'y a rien à démontrer, c'est une définition. C'est comme ça qu'on construit factoriel.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Factorielle

Pas logique si j'ai bien compris le lien ci dessus.
Je prends n! = (n-1)!*n
Pour n = 1 ; 1! = (1-1)!*1
ce qui implique puisque 1! = 1 , que 0! = 1/1 = 1 donc 0! = 1
cela se démontre facilement en fait

Non pas du tout. Il faudrait définir correctement ce que vous entendez par "petit", mais de base j'aurai tendance à dire que le plus petit de tous les ensembles c'est l'ensemble vide.

A partir de l'ensemble des nombre premier, je peux construire l'ensemble des entiers naturels et donc ceux qui suivent. Et il n'existe pas de relation qui à partir entiers naturels me permette de construire l'ensemble des nombre premier.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier

Cordialement,
Zefram

[Médiat]

Prenons l'axiome de choix de la théorie des ensembles, par exemple. Cet axiome est-il démontré ?

Bien sûr, et très facilement : , une démonstration n'a de sens que dans une théorie, il suffit de choisir la théorie dont le seul axiome est l'axiome du choix, et il est démontré (comme dans toutes théorie le contenant). En fait le seul résultat important c'est d'avoir démontré que AC est indécidable dans ZF.

Il existe en mathématique des vérités choisies qu'on ne cherche pas à démontrer, qui ne sont pas nécessairement démontrables (et pour cause...),
mais qui sont nécessairement des vérités mathématiques.

En contradiction absolue avec votre affirmation précédente sur le sens de "vérité mathématique"

Certaines conjectures, peuvent-être également choisies en tant qu'axiome.

Et si cette conjecture est fausse, que devient la théorie à laquelle on a ajouté ce nouvel axiome ?

On peut donc affirmer qu'en Mathématique certaines vérités sont choisies...C'est aussi à mon sens un autre aspect de l'incomplétude.

On peut affirmer qu'en mathématique, l'usage du vocabulaire de la "vérité" est dangereux.

[Médiat]

Et il n'existe pas de relation qui à partir entiers naturels me permette de construire l'ensemble des nombre premier.

Il en existe de nombreuses (dont la suite de Minac et Willans, mais ce n'est pas la seule)

[Médiat]

Cette hypothèse peut être fausse

Non, un axiome ne peut pas être "faux"

et peut même être contradictoire avec une autre hypothèse

Oui, un axiome peut être inconsistant dans un système axiomatique (une théorie), c'est à dire avec les autres axiomes.

[Médiat]

Les maths étant un language j'aurais tendance à dire qui oui la logique repose sur les math.

C'est le contraire, la bonne "preuve", c'est qu'avant de faire la moindre démonstration mathématique, on devrait préciser quelle logique on utilise (par défaut et dans ce cas on ne le précise pas, la logique classique du premier ordre), puisque c'est la logique utilisée qui détermine les règles d'inférences sans lesquelles la notion de démonstration n'existe pas.

Pourquoi?

Parce l'un des axiomes affirment que tous les couples vérifient une formule et l'autre affirme qu'il y en a un qui ne la vérifie pas

[inviteaf48d29f]

Prenons l'axiome de choix de la théorie des ensembles, par exemple. Cet axiome est-il démontré ?
Il existe en mathématique des vérités choisies qu'on ne cherche pas à démontrer, qui ne sont pas nécessairement démontrables (et pour cause...),
mais qui sont nécessairement des vérités mathématiques.

Non un axiome supplémentaire n'est pas "nécessairement une vérité mathématique". L'hypothèse du continue est-elle une vérité mathématique au sens ou tu l'entends ? Après tout ZFC+HC est équicohérente à ZFC ce qui d'après ton argumentation devrait faire de HC une "vérité".
Sauf qu'on peut dire la même chose de non(HC), est-ce aussi une "vérité mathématique" ?

En mathématiques les choses ne sont pas vraie ou fausse de manière absolue. Une proposition est vraie dans une théorie si elle admet une démonstration dans cette théorie et une théorie ça suppose forcément des axiomes qui eux se passent de démonstration dans la théorie.

je crois que les définitions du lien de Pathinder démontrent que sans les mots il serait difficile d'argumenter sur quoi que ce soit, et donc d'établir des règle sur l'exactitude ou non de l'argimatation. N'est ce pas?

Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme donc Socrate est mortel.

Sans le langage je ne pourrais pas te dire ça ni faire le raisonnement, mais la logique de cette affirmation n'en serait pas moins valable. Que je le dise ou non le modus ponens s'applique quand même et la mortalité de Socrate est conséquence de son humanité et de la mortalité des hommes.
Le langage nous permet d'appréhender la logique, mais les règles de la logiques sont indépendantes de la manière dont on les exprime.

Pas logique si j'ai bien compris le lien ci dessus.
Je prends n! = (n-1)!*n
Pour n = 1 ; 1! = (1-1)!*1
ce qui implique puisque 1! = 1 , que 0! = 1/1 = 1 donc 0! = 1
cela se démontre facilement en fait

Personnellement je définis le factoriel par :
0!=1
(n+1)!=(n+1)*n!

Mais bon initialiser à 1 est aussi valable dans ce cas en effet il faut bien une démonstration. Ça me semble quand même plus naturel d'initialiser une suite à son début et pas à son deuxième terme ^^.

A partir de l'ensemble des nombre premier, je peux construire l'ensemble des entiers naturels et donc ceux qui suivent. Et il n'existe pas de relation qui à partir entiers naturels me permette de construire l'ensemble des nombre premier.

Quand on fait de l'arithmétique la première chose qu'on construit c'est les entiers naturels, les premiers ne viennent que bien après. Je serais d'ailleurs curieux de savoir comment vous définissez les nombres premiers sans avoir recours aux entiers naturels.

[interferences]

Re,

Bon alors, l'hypothèse du continu n'est pas un axiome au sens euclidien. En revanche on peut la considérer comme un axiome local dans une théorie axiomatique où il est démontré indécidable.

On peut donc séparer les axiomes en deux :

-Les axiomes généraux : Tout le temps vrai (Dans la tribu des théorie axiomatiques cohérentes et incohérentes, il n'est jamais en contradiction avec un autre axiome). Donc il n'est jamais la cause d'une incohérence.
-Les axiomes locaux : On sait que l'axiome est ni vrai ou ni faux dans certaines théories axiomatiques vu qu'il a été démontré indécidable. Donc on peut très bien rajouter cet axiome ou son contraire dans ces théories. On traitera ainsi le cas vrai et le cas faux qui sont tous les 2 cohérents. C'est un axiome quantique

Vous êtes d'accord ?

[inviteaf48d29f]

Re,

Bon alors, l'hypothèse du continu n'est pas un axiome au sens euclidien. En revanche on peut la considérer comme un axiome local dans une théorie axiomatique où il est démontré indécidable.

On peut donc séparer les axiomes en deux :

-Les axiomes généraux : Tout le temps vrai (Dans la tribu des théorie axiomatiques cohérentes et incohérentes, il n'est jamais en contradiction avec un autre axiome). Donc il n'est jamais la cause d'une incohérence.
-Les axiomes locaux : On sait que l'axiome est ni vrai ou ni faux dans certaines théories axiomatiques vu qu'il a été démontré indécidable. Donc on peut très bien rajouter cet axiome ou son contraire dans ces théories. On traitera ainsi le cas vrai et le cas faux qui sont tous les 2 cohérents. C'est un axiome quantique

Vous êtes d'accord ?

Non pas du tout, il n'y a pas "d'axiome tout le temps vrai". Si une proposition est indépendante des autres axiomes de la théorie alors on peut choisir cette proposition ou sa négation comme axiome.

Il faut que vous abandonniez cette idée de vérité absolue. Il n'y aucun axiome qui ne génère d'incohérence dans aucune théorie.

Bon alors, l'hypothèse du continu n'est pas un axiome au sens euclidien

L'hypothèse du continue peut être rajoutée en tant qu'axiome à la théorie des ensembles, ce n'est pas négociable ça.

De toutes façons ça fonctionne aussi pour les postulats d'Euclide. En particulier le cinquième postulat d'Euclide : "Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée".
Je ne sais pas trop ce que tu entends par axiome au sens euclidien mais j'imagine que les axiomes d'Euclide doivent en faire partie. Et pourtant on peut faire une théorie géométrique tout à fait cohérente en admettant à la place de ce cinquième axiome une proposition qui lui est contradictoire.
Par exemple en géométrie sphérique par un point donné on peut mener une infinité de parallèle à une géodésique donnée. Dans ce contexte admettre le cinquième postulat d'Euclide en plus sera contradictoire.

[Médiat]

Bonjour,

Ce que vous dites n'a pas de sens ( désolé): "Vrai" pour un axiome n'a pas de sens en dehors d'une théorie, qui est justement définie par ses axiomes, et un axiome est toujours incohérent avec l'axiome .

Un axiome n'est rien d'autre qu'une formule comme les autre simplement au gré d'une théorie, ou d'une autre on lui donne un statut spécial et parfaitement anecdotique : une théorie admet toujours de nombreuses définitions axiomatiques, et un théorème dans un système axiomatique peut devenir axiome dans un autre système axiomatique et vice versa, pour la même théorie.

Il suffit d'ajouter n'importe quel théorème d'une théorie à sa liste d'axiome, avec le statut d'axiome, le statut de la formule a changer, mais la théorie est toujours la même

[interferences]

Oui c'est vrai que maintenant que j'y pense, il ne peut-y avoir que des axiomes locaux.
Mais si on rajoute un axiome à une théorie il faut qu'il soit démontrer indécidable par rapport aux autres axiomes de la théorie non ?
Est-ce là la seule règle absolue ?

En fait prendre un axiome seul n'a aucun intérêt.

[Médiat]

Si vous ajoutez la formule à la théorie ,
vous pouvez vous retrouver dans 3 situations (le symbole signifie "démontre") :

ce qui correspond à
est inconsistante ce qui correspond à
et sont toutes les deux consistantes ce qui correspond à et ( est indécidable dans ).

[invitea4732f50]

Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme donc Socrate est mortel.

L'assertion A : "Socrate est mortel" est-elle vraie ? A
Si la prémisse B : " Tous les hommes sont mortels" est vraie, alors L'assertion est vraie.

A -> B

L'axiome, a un statut comparable à la prémisse, dans le raisonnement ci-dessus.

Wiki - dit :En mathématiques, le mot axiome désignait une proposition qui est évidente en soi dans la tradition mathématique grecque, comme dans les Éléments d'Euclide. L'axiome est utilisé désormais, en logique mathématique, pour désigner une vérité première, à l'intérieur d'une théorie. L'ensemble des axiomes d'une théorie est appelé axiomatique ou théorie axiomatique. Cette axiomatique doit être non contradictoire ; c'est sa seule contrainte. Cette axiomatique définit la théorie ; ce qui signifie que l'axiome ne peut être remis en cause à l'intérieur de cette théorie, on dit alors que cette théorie est consistante. Un axiome représente donc plutôt un point de départ dans un système de logique et il peut être choisi arbitrairement. La pertinence d'une théorie dépend de la pertinence de ses axiomes et de son interprétation. En réalité, c'est de la non cohérence de son interprétation que vient la réfutation de la théorie non contradictoire et, par voie de conséquence, de son axiomatique.

L'axiome peut donc bien être considéré comme "vérité première", et critère de vérité, même si c'est une vérité choisie.

Cordialement,

[invitea4732f50]

Correction....

B --> A

[Médiat]

L'axiome peut donc bien être considéré comme "vérité première", et critère de vérité, même si c'est une vérité choisie.

Si c'est votre choix d'avoir 2500 ans de retard sur ces notions ...

[interferences]

Merci Mediat c'est beaucoup plus clair à présent.