La logique mathématique est-elle vraiment cohérente ?

[invitea4732f50]

Source Wiki : En calcul des prédicats classique du premier ordre une théorie est cohérente si et seulement si elle a un modèle : c'est le théorème de complétude. Les théories utilisées en mathématiques sont supposées cohérentes, même si, dès que ces théories permettent de développer suffisamment d'arithmétique, il ne peut y avoir de démonstration de cette cohérence sans supposer la cohérence d'une théorie plus forte, comme le montre le second théorème d'incomplétude de Gödel.

Moralité : Pour démontrer la cohérence d'un ensemble d'axiomes supposés cohérents, il faut faire d'autres suppositions.

Il est uniquement possible de prouver qu'un ensemble d'axiomes est incohérent, pas que les axiomes sont cohérents.

Autrement dit : On ne peut jamais être sûr qu'un ensemble d'axiomes ne renferme pas de contradiction cachée.

Dés lors on peut se demander pourquoi les mathématiques accordent tant d'importance aux démonstrations, et à la méthode axiomatique...

Cordialement,
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[Deedee81]

Salut,

J'ai lu que la consistance de certaines théories a été démontrée, non en interne (comme tu le signales c'est impossible), mais par le biais de la métalogique. Ce serait le cas de l'arithmétique, de l'algèbre linéaire,...

A expliquer et/ou confirmer par les mathématiciens du forum.

Pour répondre à la dernier question, la démonstration et la méthode axiomatique permet la rigueur, indépendamment des difficultés soulevées. Donc, il est normal qu'on y accorde de l'importance !!!!

[Médiat]

Bonjour,

Le théorème de complétude (bien plus important que les théorèmes d'incomplétudes), et d'ailleurs cité ci-dessus, dit exactement le contraire : toute théorie pour laquelle on peut trouver un modèle est cohérente.

Exemple : la théorie des groupes est cohérente, puisque ({0}, +) vérifie les axiomes de la théorie des groupes.

[inviteaf48d29f]

Autrement dit : On ne peut jamais être sûr qu'un ensemble d'axiomes ne renferme pas de contradiction cachée.

A mon avis c'est prendre les choses à l'envers. Une théorie ne permet en général pas de démontrer sa propre cohérence, mais ça ne veut pas non plus dire qu'elle n'est pas cohérente, c'est juste trop lui demander.
C'est un concept général qui ne s'applique pas qu'aux mathématiques, une chose n'est généralement pas extrêmement qualifiée pour parler d'elle-même et c'est demander énormément à une théorie mathématique que d'être capable de trancher toutes les affirmations la concernant elle-même.

Dés lors on peut se demander pourquoi les mathématiques accordent tant d'importance aux démonstrations, et à la méthode axiomatique...

Ça me semble assez extrême. Le fait que dans le cadre d'une axiomatique on ne soit pas capable de trancher toutes les questions justifie-t-il qu'on abandonne l'idée de trancher quelque question que ce soit ? Les démonstrations mathématiques et la méthode axiomatique restent justes. Tout ce que disent les mathématiques c'est : "Si on admet tel jeu d'axiomes et les règles de logique alors on est obligé d'admettre aussi tous les théorèmes qui en découlent".
Ceci reste vrai qu'on soit dans une théorie cohérente ou non d'ailleurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Le théorème de complétude (bien plus important que les théorèmes d'incomplétudes), et d'ailleurs cité ci-dessus, dit exactement le contraire : toute théorie pour laquelle on peut trouver un modèle est cohérente.
Exemple : la théorie des groupes est cohérente, puisque ({0}, +) vérifie les axiomes de la théorie des groupes.

Merci pour cette excellente précision.

[invite936c567e]

Bonjour

A mon avis c'est prendre les choses à l'envers. Une théorie ne permet en général pas de démontrer sa propre cohérence, mais ça ne veut pas non plus dire qu'elle n'est pas cohérente, c'est juste trop lui demander.
C'est un concept général qui ne s'applique pas qu'aux mathématiques, une chose n'est généralement pas extrêmement qualifiée pour parler d'elle-même et c'est demander énormément à une théorie mathématique que d'être capable de trancher toutes les affirmations la concernant elle-même.

Tout-à-fait.

Je pense qu'il y a une confusion entre le concept mathématique de cohérence, qui est une propriété propre aux théories indépendamment de leur application au monde réel, et la notion que recouvre ce terme dans d'autres domaines où on les utilise.

Dès lors qu'une théorie est cohérente, elle est applicable pour ce qu'elle est, et il n'y a plus d'autre question à se poser que de la pertinence de son choix dans le traitement de tel ou tel problème, mathématique ou autre. La résolution du problème risque de ne pas être satisfaisante si au départ la théorie n'est pas cohérente mathématiquement : il est nécessaire qu'on ait un outil avec des fondations solides, d'où l'importance des démonstrations, de la méthode axiomatique...

En revanche, c'est ce choix qui risque de ne pas être cohérent, et cela, la théorie ne dispose pas des éléments pour le prouver.

En d'autres termes, mathématiquement parlant, la cohérence d'une théorie n'implique pas la cohérence des théories qui la contiennent.

[Matmat]

C'est un concept général qui ne s'applique pas qu'aux mathématiques, une chose n'est généralement pas extrêmement qualifiée pour parler d'elle-même et c'est demander énormément à une théorie mathématique que d'être capable de trancher toutes les affirmations la concernant elle-même.

Comme le serpent Ouroboros ne peut pas complétement se manger d'ailleurs.

[invitea4732f50]

Je pense qu'il y a une confusion entre le concept mathématique de cohérence, qui est une propriété propre aux théories indépendamment de leur application au monde réel, et la notion que recouvre ce terme dans d'autres domaines où on les utilise.

Bonjour,
Pouvez-vous expliciter cette remarque car la question initiale, ne faisait pas référence au monde réel, ni à ses applications dans le monde réel ?

Cordialement,

[invite6754323456711]

Pouvez-vous expliciter cette remarque car la question initiale, ne faisait pas référence au monde réel, ni à ses applications dans le monde réel ?

De plus c'est quoi le monde réel ? Le monde des mathématiques, de l'art, des ressentis/émotions, ... ne ferait pas parti de ce monde dit réel ?

Patrick

[Médiat]

Bonjour,

Merci de ne pas dériver : Ouroboros pose une question portant sur les mathématiques, et PA5CAL fait un rapprochement entre théories mathématiques et théories physiques, bien que cela ne me semble pas inclus dans la question initiale, c'en est une extension naturelle, par contre les digressions sur "la réalité" sont tout à fait hors sujet.

Merci de rester dans le sujet

Médiat, pour la modération

[invite6754323456711]

,
Pouvez-vous expliciter cette remarque car la question initiale, ne faisait pas référence au monde réel, ni à ses applications dans le monde réel ?
,

A vu des censures je demande aussi explication sur le terme "monde réel" . Je continuerais à le demander en tout respect de la charte de FS et on toute honnêteté intellectuelle qutte à me faire radier de FS.

Patrick

[Zefram Cochrane]

La logique , c'est le discours de la raison; les maths sont la grammaire ce de discours.

[invite6f9dc52a]

Ce n'est pas une dérive ni une censure: PA5CAL exprime le fait qu'il y a peut être confusion avec autre chose et il désigne cette autre chose (qui serait alors ipso facto dans le sujet, si ce n'est la réponse à la question).
En ce qui concerne le monde réel, jusqu’à plus ample informé, c'est ce que signifient ces mots au sens communément employé entre les gens qui se comprennent.

[PPathfindeRR]

Bonjour,

La logique , c'est le discours de la raison; les maths sont la grammaire ce de discours.

Tout à fait d'accord avec cette définition !
Très courte et très belle analogie !

[Médiat]

La logique , c'est le discours de la raison; les maths sont la grammaire ce de discours.

Bonjour,

Donc pour vous, la logique repose sur les mathématiques et non le contraire ?

[interferences]

Bonjour,

Il est uniquement possible de prouver qu'un ensemble d'axiomes est incohérent, pas que les axiomes sont cohérents.

Tout à fait d'accord. Mais la cohérence se définit par l'absence de contradiction. Or tous les axiomes étant définit comme cohérent. Ne peut-on pas faire reposer le tout sur un axiome qui dirait que la somme de 2 théories axiomatiques cohérente est une théorie cohérente ? (PS : J'ai jamais fait de logique mathématique ^^')

[invitea4732f50]

Bonjour

Peut-on dire, que l'incomplétude mathématique résulte du fait, que le seul critère de validité mathématique considéré est la cohérence logique ?

Par exemple en physique, les théories obéissent à un double critère : Les théories sont non-contradictoires, mais ce qui valide toute théorie physique est sa validité expérimentale qui est un critère décisif.Existe-t-il aussi une dimension expérimentale en mathématique ? Je suppose que c'est le cas avec le développement de l'informatique, et qu'une conjecture peut-être soupçonnée valide, bien qu'aucune preuve logique n'existe.
On peut aussi se demander si dans l'avenir, l'aspect expérimental en mathématique, ne prendra pas plus d'importance, puisqu'il existe certainement un nombre important de vérités mathématiques indémontrables.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Mais la cohérence se définit par l'absence de contradiction.

C'est correct, une autre définition : un système d'axiome est consistant (anglicisme passé dans le langage usuel de la logique) si il ne peut pas démontrer toutes les formules du langage.

Or tous les axiomes étant définit comme cohérent.

Que voulez-vous dire ? Si vous voulez dire qu'il serait idiot de choisir un axiome incohérent à lui tout seul, je suis d'accord.

Ne peut-on pas faire reposer le tout sur un axiome qui dirait que la somme de 2 théories axiomatiques cohérente est une théorie cohérente ?

Non, la cohérence d'une théorie ne se décrète pas. Pour prendre un exemple : la théorie des groupes abéliens est consistante, la théorie des groupes non abéliens est consistante, la somme des deux (que je comprends comme l'union des axiomes) est inconsistantes.

[Médiat]

Bonjour

Peut-on dire, que l'incomplétude mathématique résulte du fait, que le seul critère de validité mathématique considéré est la cohérence logique ?

Quelle incomplétude ? Je vous ai cité le théorème de complétude, au contraire.

Par exemple en physique, les théories obéissent à un double critère : Les théories sont non-contradictoires, mais ce qui valide toute théorie physique est sa validité expérimentale qui est un critère décisif.Existe-t-il aussi une dimension expérimentale en mathématique ?

D'une certaine façon, oui, les modèles joue un peu ce rôle (si on en trouve un la théorie est consistante, si on n'en trouve pas, c'est peut-être parce qu'on a mal cherché.

Je suppose que c'est le cas avec le développement de l'informatique, et qu'une conjecture peut-être soupçonnée valide, bien qu'aucune preuve logique n'existe.

Deux choses : il existe des assistants de preuve, qui font des démonstrations. Par contre montrer qu'une conjecture sur les entiers est valide jusqu'à 10^654654654654564 ne démontre rien (mais un seul contre-exemple suffit)

il existe certainement un nombre important de vérités mathématiques indémontrables.

Qu'est-ce que c'est qu'une "vérité mathématique".

[interferences]

Re,

Que voulez-vous dire ? Si vous voulez dire qu'il serait idiot de choisir un axiome incohérent à lui tout seul, je suis d'accord.

Oui je voulais bien dire cela.

Non, la cohérence d'une théorie ne se décrète pas. Pour prendre un exemple : la théorie des groupes abéliens est consistante, la théorie des groupes non abéliens est consistante, la somme des deux (que je comprends comme l'union des axiomes) est inconsistantes.

Cela veut dire qu'il y a des axiomes en contradiction directe ou indirecte ?
Lesquels ?

[Médiat]

Cela veut dire qu'il y a des axiomes en contradiction directe ou indirecte ?
Lesquels ?

Un groupe abélien vérifie :
Un groupe non-abélien vérifie :

Ces deux formules sont contradictoires.

[interferences]

Ce sont des définitions pas des axiomes non ?

[invitea4732f50]

Qu'est-ce que c'est qu'une "vérité mathématique".

Il me semble qu'en mathématique la vérité coïncide avec le démontrable, et que le concept d'incomplétude
en découle.

J'entends par là qu'il n'y a pas d'autre critère de vérité, que le démontrable.

Cordialement,

[Médiat]

Ce sont des définitions pas des axiomes non ?

Ce sont bien des axiomes ... qui permettent de définir des structures

[Médiat]

Il me semble qu'en mathématique la vérité coïncide avec le démontrable,
...
J'entends par là qu'il n'y a pas d'autre critère de vérité, que le démontrable.

Un platonicien ne serait pas d'accord avec cela, moi, ça me va très, très bien, mais alors que veut dire votre phrase précédente :

il existe certainement un nombre important de vérités mathématiques indémontrables.

le concept d'incomplétude en découle.

Quel concept d'incomplétude, je connais les théorèmes d'incomplétudes qui s'appliquent dans des cas bien précis, et ils ne découlent pas de votre définition de la "vérité mathématique"

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
La logique repose sur le language. Les maths étant un language j'aurais tendance à dire qui oui la logique repose sur les math.
Je n'ai pas à l'esprit de raisonnement logique que je ne pourrais formaliser mathématiquement.
un exemple de vérité mathématique non démontrée me semble t'il:
0! = 1
et l'ensemble des nombres premier est le plus petit ensemble mathématique.

Un groupe abélien vérifie :
Un groupe non-abélien vérifie :

Ces deux formules sont contradictoires.

Pourquoi?

Cordialement,
Zefram

[inviteaf48d29f]

Cela veut dire qu'il y a des axiomes en contradiction directe ou indirecte ?
Lesquels ?

Pour donner un autre exemple que celui de Mediat car il semble assez mal comprit :
Si la théorie des ensembles est cohérente alors on peut lui ajouter l'hypothèse du continue à savoir l'axiome "il n'existe aucun ensemble dont le cardinal est strictement compris entre celui de ℕ et celui de ℝ" qui sera tout aussi cohérente.
De la même façon on peut aussi ajouter à la théorie des ensembles l'axiome ""il existe des ensembles dont le cardinal est strictement compris entre celui de ℕ et celui de ℝ".

Par contre si on ajoute les deux axiomes précédents à la théorie des ensembles là ce n'est plus cohérent.

Bonjour,
La logique repose sur le language. Les maths étant un language j'aurais tendance à dire qui oui la logique repose sur les math.

La logique ne repose pas sur le langage (sans "u" en français), on utilise le langage pour l'exprimer mais les règles de logique sont des concepts qui existent indépendamment de la manière dont on les exprime. Les mathématiques se construisent à partir de la logique mathématique, sans règle de logique on ne fait pas de maths.

un exemple de vérité mathématique non démontrée me semble t'il:
0! = 1

Il n'y a rien à démontrer, c'est une définition. C'est comme ça qu'on construit factoriel.

et l'ensemble des nombres premier est le plus petit ensemble mathématique.

Non pas du tout. Il faudrait définir correctement ce que vous entendez par "petit", mais de base j'aurai tendance à dire que le plus petit de tous les ensembles c'est l'ensemble vide.

[PPathfindeRR]

La logique, c'est le discours de la raison;
les maths sont la grammaire ce de discours.

Pour la première phrase c'est un peu vague
pour la seconde, je suis d'accord !

Donc pour vous, la logique repose sur les mathématiques et non le contraire ?

Heu...

On pourrait dire qu'avec la logique on fait des mathématiques et donc comme tu dis Médiat, que les mathématiques repose bien sur la logique...
Mais comment fait-on pour dire si quelque chose est logique sans faire appel à cet outil (les mathématiques)... pour vérifier que c'est bien logique ? !!!

je dirais donc plutôt que la logique et les mathématiques sont les deux faces d'une même pièce...
et c'est ce qui donne la raison.

Et si on se référait à leurs définitions :

La logique, (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme utilisé pour la première fois par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche l'étude des règles formelles que doit respecter toute argumentation correcte.

Les mathématiques sont un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à divers objets tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.
Les mathématiques se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel. Elles sont de nature entièrement intellectuelle, étant fondées sur des axiomes déclarés vrais (c'est-à-dire que les axiomes ne sont pas soumis à l'expérience, même s'ils en sont souvent inspirés) ou sur des postulats provisoirement admis.

La grammaire est l'étude systématique des éléments constitutifs d'une langue.
Par extension, on nomme aussi grammaire un manuel ou un ensemble de documents décrivant des règles grammaticales.

La raison est généralement considérée comme une faculté propre de l'esprit humain dont la mise en œuvre lui permet de fixer des critères de vérité et d'erreur, de discerner le bien et le mal et aussi de mettre en œuvre des moyens en vue d'une fin donnée. Elle permet donc de diriger (par exemple la volonté). Cette faculté a donc plusieurs emplois, scientifique, éthique et technique.

[invite51d17075]

Bonjour,
La logique repose sur le language. Les maths étant un language j'aurais tendance à dire qui oui la logique repose sur les math.
Je n'ai pas à l'esprit de raisonnement logique que je ne pourrais formaliser mathématiquement.

L’argument n’est pas « logique ».
Ce n’est pas parcequ’un raisonnement logique peut être formalisé mathématiquement, Que celles-ci sont indispensables au raisonnement.
( implication ou équivalence ? )
Quand je pense :
Si A alors B ou C ou les deux par exemple.
Je n’ai pas besoin de l’écrire en « maths » pour m’en faire une représentation mentale « logique ».

Je considère plutôt les maths dans ce cas comme l’expression la plus propre ( réduisant au maximum toute ambiguité ) pour traduire un enchainement logique.

[invitea4732f50]

Un platonicien ne serait pas d'accord avec cela, moi, ça me va très, très bien, mais alors que veut dire votre phrase précédente :

il existe certainement un nombre important de vérités mathématiques indémontrables.

Quel concept d'incomplétude, je connais les théorèmes d'incomplétudes qui s'appliquent dans des cas bien précis, et ils ne découlent pas de votre définition de la "vérité mathématique"

il existe certainement un nombre important de vérités mathématiques indémontrables.

Prenons l'axiome de choix de la théorie des ensembles, par exemple. Cet axiome est-il démontré ?
Il existe en mathématique des vérités choisies qu'on ne cherche pas à démontrer, qui ne sont pas nécessairement démontrables (et pour cause...),
mais qui sont nécessairement des vérités mathématiques.

Certaines conjectures, peuvent-être également choisies en tant qu'axiome.

Wiki dit : En mathématiques, une conjecture est une assertion pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration, mais que l'on soupçonne d'être vraie, en l'absence de contre-exemple. Afin de simplifier le travail de vérification, il est classique de formuler des variantes d'une conjecture, soit sous une forme plus faible (a priori plus facile à démontrer), soit sous une forme plus forte (plus facile à réfuter). En attendant, la conjecture peut être choisie comme hypothèse ou postulat pour étudier d'autres énoncés.

Si une conjecture se révèle indécidable relativement au système d'axiomes dans laquelle elle s'insère, elle peut être érigée en nouvel axiome (ou rejetée par la mise en place [...choix] d'un nouvel axiome).

On peut donc affirmer qu'en Mathématique certaines vérités sont choisies...C'est aussi à mon sens un autre aspect de l'incomplétude.

Cordialement,