Modèles mathématiques assez puissants ?

[curiosss]

Bonjour,

Il m'est arrivé de me demander si nos modèles mathématiques ne sont pas par nature limités dans la tentative d'expliquer le monde physique.

Imaginons un espace (simple expérience de pensée) qui se déformerait en fonction de beaucoup de paramètres, de façon beaucoup plus radicale que celui de la RG, et aussi sur des distances de l'ordre de l'atome. Les axes des 3 dimensions spatiales ne seraient pas du tout normés, de même que l'axe du temps (faudrait utiliser des intégrales de ligne partout, pour calculer une simple distance ou une durée. Le cauchemar donc...).

Nos mathématiques seraient-elles encore capables de modéliser le cas ? (heureusement il restera toujours la simulation informatique, mais là je parle des modèles mathématiques expliquant le monde physique)

Question indirecte : Cette idée que les Mathématiques sont l'outil ultime de la Physique n'est-elle pas une (belle) utopie ?


PS : on est d'accord que même en modélisation informatique il faudra utiliser les maths, et que de toutes façons sans maths on ne fait rien.
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[myoper]

Bonjour.
Je ne sais pas si les mathématiques représentent l'outil ultime de la physique, j'en doute mais c'est un de ses outils, par contre, si les mathématiciens sont limités par le monde réel, ce n'est pas le cas de leurs mathématiques qui ne sont limité que par leur imagination et leur capacités.
En ce qui concerne l'expérience de pensée, je suis sur qu'un outil "aurait" été trouvé pour modéliser ou décrire ces attracteurs divers et variés à partir du moment ou ils auraient été découverts.

[Deedee81]

Salut,

Les exemples où les solutions analytiques sont impossibles et où il faut faire appel à des simulations numériques sont pléthores en physique (et/ou diverses approximations). Que ce soit en hydrodynamique, en physique du solide, en astrophysique, eh chimie quantique, etc.... Et dans chacun de ces domaines il y a des dizaines et des dizaines de telles situations.

L'idée qu'au niveau fondamental les mathématiques soient l'outil "idéal" (*) pour décrire le monde a plutôt bien réussi jusqu'ici, même si on n'a pas la preuve que cet outil soit parfait. Mais il est vrai aussi qu'on n'a rien pour le remplacer. D'autant que la physique est une science quantitative : des observations, des mesures,.... Le tout mis dans des tableaux, des graphes,.... Où on peut y observer diverses régularités et décrire mathématiquement ces résultats. La mathématisation est donc assez naturelle.

(*) Il semble assez difficile d'écarter l'idée que les lois physiques doivent être consistantes. De plus, expliquer le monde, c'est le décrire. Et une description rigoureuse se doit d'être formelle. Description formelle + logique formelle => mathématiques. Bon, c'est un peu rapidement dit Mais ce n'est de tout façon qu'une opinion, je serais incapable de prouver que les mathématiques sont incontournables. Inutile de creuser plus cette approche à moins de vouloir en faire une thèse

[curiosss]

Oui Deedee, les simulations numériques sont pléthore, et le seul moyen pour trouver une solution concrète à des problèmes de physique. Et c'est bien la raison pour laquelle je me pose la question s'il ne serait pas utile de tenter aussi des approches différentes, basées sur le test numérique (simulation informatique) de toutes sortes d'hypothèses pour vérifier si une d'elles aboutirait aux effets observés. Une sorte de recherche en brute force, comme celle pour casser les algorithmes de cryptage...

On passerait outre l'étape d'une formulation mathématique complexe aboutissant à des formules inutilisables (je caricature, mais c'est pour le besoin de l'exposé) pour tenter de trouver directement des algorithmes qui simuleraient correctement la réalité mesurée... (un algorithme tout simple peut aboutir à un effet très très difficile à formaliser mathématiquement)

PS : Je suis malgré tout conscient que la simulation numérique est très difficile dans certains domaines où une toute petite erreur d'arrondi dans les premières itérations génère des erreurs inacceptables à l'arrivée. Je ne suis donc pas moi même du tout convaincu que cette méthode de recherche soit la panacée. Reste qu'avec un peu de chance on pourrait découvrir quelque chose d'essentiel par cette méthode de recherche (force brute).

[A voir en vidéo sur Futura]

[pseudoarallonge]

Bonjour,

Parmi les différentes citations pour dire la déraisonnable efficacité des mathématiques pour décrire le monde, ma préférée est celle due à Leibniz (peut-être la connaissez-vous déjà) :
Quand Dieu se parle à lui-même, il chante en algèbre !

Sur la question de la simulation, Feynman déjà en son temps disait (moins poétique mais tout aussi profond):

Cela m'ennuie toujours qu'il faille à une machine à calculer, un nombre infini d'opérations pour trouver ce qui se passe dans une toute petite région de l'espace...

[pseudoarallonge]

Bonjour.
Si les mathématiciens sont limités par le monde réel, ce n'est pas le cas de leurs mathématiques qui ne sont limité que par leur imagination et leur capacités.

Votre phrase me rappelle une célèbre phrase de Wittgenstein à propos du langage: Les limites de votre langage sont les limites de votre monde.
Pourrait-on dire en parodiant Wittgenstein : Les limites de votre imagination sont les limites de vos mathématiques. ?

[ansset]

on fait ce qu'on peut avec ce qu'on a ! ( pauvres humains )
l'avantage des mathémathiques , c'est qu'elles sont peu ou prou consistantes.
et il me semble qu'elles ont prouvées leurs apports à la physique, qui reste, il est vrai , avec de nombreuses zones d'ombres.
après , on peut s'amuser à jeter le bébé avec l'eau du bain.
et chercher "ailleurs".
avis personnel : ce n'est que de la fuite vers des "solutions faciles" !

[pseudoarallonge]

on fait ce qu'on peut avec ce qu'on a ! ( pauvres humains )

Un peu comme si on avait une Ferrari mais sans savoir ou est la seconde vitesse (pour moi ce serait plutôt de pouvoir la mettre en marche...).

Sinon, un peu plus sérieusement, il y a deux ou trois phrases de Feynman,à propos du lien entre Mathématiques et Physiques, qui m'ont toujours interloqué :
La beauté de la nature, sa beauté la plus profonde ne peut se transmettre que par les mathématiques
Il y a deux catégories de gens : ceux qui ont et ceux qui n'ont pas une compréhension suffisante des mathématiques pour apprécier la nature

Outre le fait que je trouve ces phrases d'une arrogance infinie, je les crois en même temps vraies.
Est-ce que des mathématiciens comprennent ce sentiment dont parle Feynman ?

[ansset]

je ne connaissais pas cette citation.
mais il est fréquent que les grands mathématiciens ou physiciens aient des points de vue philosophiques ( rien ne leur interdit ) qui sont à prendre en dehors de leurs propres travaux.
ce serait une erreur de les mettre sur le même plan ( me semble t-il )

[Deedee81]

Oui Deedee, les simulations numériques sont pléthore, et le seul moyen pour trouver une solution concrète à des problèmes de physique. Et c'est bien la raison pour laquelle je me pose la question s'il ne serait pas utile de tenter aussi des approches différentes, basées sur le test numérique (simulation informatique) de toutes sortes d'hypothèses pour vérifier si une d'elles aboutirait aux effets observés. Une sorte de recherche en brute force, comme celle pour casser les algorithmes de cryptage...
[...]

Mais ça se fait aussi, couramment. Très couramment. Cela s'intitule souvent "modèle", "heuristique", "phénoménologie".

La seule chose qui ne se fait pas est ta suggestion de force brute pour chercher les paramètres. Tout simplement parce que c'est hors de notre portée. Même en rassemblant tous les ordinateurs du monde tu n'aurais pas le milliardième du pouillème de la puissance nécessaire. Tout au plus essaie-t-on quelques valeurs de paramètres. On ajuste, on règle, on chipote... jusqu'à ce que ça marche (ou comme disait un spécialiste d'un laminoir bien connu que je ne citerai pas : "des calculs ? Non ! On tourne le bouton jusqu'à ce que ce soit bon" ). Mais balayer l'ensemble des valeurs de paramètres en paramétrant au maximum, holàlàlà, peut-être pour nos arrière-petits enfants ?

[ansset]

@curioss:
celà fait des années qu'on fait de la simulation ( j'en sais qcq chose )
après comme la précisé Deedee, c'est une question de puissance de calcul par rapport au temps que l'on s'accorde.
ce n'est pas ce que j'appelerai "une autre voie" !

[Amanuensis]

UOutre le fait que je trouve ces phrases d'une arrogance infinie,

Marrant. J'y vois au contraire une belle humilité: Feynman accepte les limitations de l'espèce humaine.

A contrario, penser qu'on peut "apprécier la Nature" avec le seul "sens commun" (traduction libre de "sans la compréhension des mathématiques avancées utilisées par la physique actuelle") est une forme d'aveuglement aisément vue comme de l'arrogance inconsciente.

Maintenant, plutôt que apprécier la beauté on pourrait parler de "awe" (mot anglais sans équivalent en français), et ça, oui il serait arrogant de le réserver à un petit groupe d'initiés au maths (même si mieux on comprend les maths en question, plus le sentiment de "awe" augmente!).

[Deedee81]

Autre détail important. J'avais lu il y a pas si longtemps un très bon article là-dessus. Supposons que pour un domaine encore très très mal compris ont ait réussi à faire un modèle numérique reproduisant très bien ce qui se passe.

Alors :
- Absolument rien ne dit que le modèle utilisé soit une bonne image de ce qui se passe physiquement, surtout qu'on veille à mettre beaucoup de paramètres libres afin de bien ajuster aux résultats réels.
- Les équations qu'on pourrait tirer du modèle seraient probablement de nature phénoménologique plus qu'autre chose (ça en fait un super méga puissant programme d'analyse statistique des données). Ca ne peut être qu'un point de départ pour la théorie. Pas une finalité. On peut écrire un programme calculant les éphémérides sans que les équations de Newton soient codées dans le programme ! Juste avec des tas de chiffres et des formules ad hoc.

Donc, même à supposer qu'on puisse employer la force brute comme proposé, ça ne serait certainement pas une "autre voie" intéressante. Sauf peut-être pour l'usage pratique du modèle numérique, sans plus.

[curiosss]

@curioss:
celà fait des années qu'on fait de la simulation ( j'en sais qcq chose )
après comme la précisé Deedee, c'est une question de puissance de calcul par rapport au temps que l'on s'accorde.
ce n'est pas ce que j'appelerai "une autre voie" !

Pour effectuer une simulation d'un simple atome d'hydrogène il a fallu déployer les gros moyens. Je sais bien qu'il faut une puissance de calcul phénoménale pour pouvoir faire de la prospection par simulation. Malgré cela la voie me parait prometteuse à long terme.

La continuité pose un problème insurmontable en simulation. Mais peut-être qu'aux niveaux fondamentaux il faut raisonner en termes de quanta, et dans ce cas les calculs seraient beaucoup plus accessibles (je veux dire, l'espace et le temps ne seraient pas continus).

[ansset]

je ne comprend pas ta dernière phrase.

[curiosss]

je ne comprend pas ta dernière phrase.

Si on peut décomposer l'espace et/ou le temps en un ensemble de points sans avoir à gérer la continuité entre ces points, les simulations numériques s'en trouveraient facilitées.

[Amanuensis]

Si on peut décomposer l'espace et/ou le temps en un ensemble de points sans avoir à gérer la continuité entre ces points, les simulations numériques s'en trouveraient facilitées.

La liste des conditions qui "faciliteraient", au conditionnel, est infinie ; cette propriété n'a donc, en elle-même, aucun intérêt. Qu'est-ce que cette "discrétisation" du continuum des événements a de particulier pour être citée? Serait-ce une théorie bien étudiée, avec une vraisemblance non négligeable appuyée sur des observations, des indices indirects ou autre?

[curiosss]

La liste des conditions qui "faciliteraient", au conditionnel, est infinie ; cette propriété n'a donc, en elle-même, aucun intérêt. Qu'est-ce que cette "discrétisation" du continuum des événements a de particulier pour être citée? Serait-ce une théorie bien étudiée, avec une vraisemblance non négligeable appuyée sur des observations, des indices indirects ou autre?

On est au coeur du problème : l'utilisation de la 'force brute' pour tester des hypothèses est destinée à ne pas attendre une confirmation d'une hypothèse pour entreprendre la simulation. La théorie viendrait se construire à partir de résultats obtenus par simulations numériques.

Et à bien y réfléchir ce n'est pas idiot : nos instruments de mesure sont macroscopiques, et ne pourront jamais descendre aux niveaux les plus fondamentaux. Nos théories modélisent donc les ombres observées de la réalité sous-jacente. Tenter de partir du bas vers le haut avec l'espoir (tenu) de se raccrocher aux observations est une possibilité de recherche. Et pour ce qui est de la discrétisation du continuum c'est bien le cas parfait comme voie de recherche.

[pseudoarallonge]

Marrant. J'y vois au contraire une belle humilité: Feynman accepte les limitations de l'espèce humaine.

Oui, et en même temps il scinde l'espèce en deux.
Le problème, pour mon cas personnel, c'est de ne pas être du bon côté de la ligne de crête...
Feynman, qui n'appréciait guère les philosophes, est pour le coup nietzschéen!

(même si mieux on comprend les maths en question, plus le sentiment de "awe" augmente!).

Deleuze définit 3 façon d'appréhender le réel : par le Concept, l'Affect et le Percept.
Les mathématiques relèvent a priori de la première catégorie : le Concept.
Or il semble y avoir, d'après Feynman, une communication du Concept au Percept (la perception du monde est augmentée grâce au Concept) et à l'Affect (on parle alors de Beauté ...).
Les mathématiques, chantre de l'objectivité, semble également agir puissamment sur l'âme humaine...

[Médiat]

Bonjour,

On est au coeur du problème : l'utilisation de la 'force brute' pour tester des hypothèses est destinée à ne pas attendre une confirmation d'une hypothèse pour entreprendre la simulation. La théorie viendrait se construire à partir de résultats obtenus par simulations numériques

Quelque chose m'échappe, si vous n'avez pas de théorie (quelque soit la façon de l'exprimer) comment programmez-vous une simulation ?

Si les seules valeurs utilisées sont celles issues d'expériences, vous êtes en train de ré-inventer les statistiques (utilisées depuis longtemps).

[Deedee81]

Pour effectuer une simulation d'un simple atome d'hydrogène il a fallu déployer les gros moyens. Je sais bien qu'il faut une puissance de calcul phénoménale pour pouvoir faire de la prospection par simulation. Malgré cela la voie me parait prometteuse à long terme.

Avec les réserves données plus haut, il y a près de cinquante ans qu'on l'a bien compris

Curioss, serais-tu né trop tard ?

P.S. rien compris non plus à la dernière phrase. La continuité n'est qu'une difficulté (avec la discrétisation numérique) que pour les convergences des algorithmes. J'en sais quelque chose. Non seulement j'ai eut des cours là dessus mais en plus j'y ait été confrontés lors de simulations de systèmes en rétroaction pour mon travail de fin d'étude (j'avais une divergence bizarre avant de voir que cela venait d'une précision insuffisante de mes calculs).

[JPL]

- Absolument rien ne dit que le modèle utilisé soit une bonne image de ce qui se passe physiquement, surtout qu'on veille à mettre beaucoup de paramètres libres afin de bien ajuster aux résultats réels.
- Les équations qu'on pourrait tirer du modèle seraient probablement de nature phénoménologique plus qu'autre chose (ça en fait un super méga puissant programme d'analyse statistique des données). Ca ne peut être qu'un point de départ pour la théorie. Pas une finalité. On peut écrire un programme calculant les éphémérides sans que les équations de Newton soient codées dans le programme ! Juste avec des tas de chiffres et des formules ad hoc.

Pour faire plus imagé, il est tout-à-fait possible de décrire de façon mathématiquement exacte les mouvements dans le système solaire en supposant que la terre, et non le soleil, est au centre. C'est simplement beaucoup plus compliqué et on ne peut en déduire le rôle universel de la gravité. Donc on n'aurait ni Newton ni Einstein. Je parie également qu'on aurait du mal à expliquer les particularités de l'orbite de Mercure.

[curiosss]

Bonjour,

Quelque chose m'échappe, si vous n'avez pas de théorie (quelque soit la façon de l'exprimer) comment programmez-vous une simulation ?

Si les seules valeurs utilisées sont celles issues d'expériences, vous êtes en train de ré-inventer les statistiques (utilisées depuis longtemps).

Il faut bien sûr avoir une idée de ce qu'on cherche, un début de théorie. Mais on n'a pas besoin d'une théorie complète et admise pour se lancer. Et puis ça peut très vite montrer que justement le début de théorie en question était faux.
Je ne dis pas que cette méthode est une panacée, elle a certainement les inconvénients de ses avantages. Mais quand les voies traditionnelles s'épuisent faut bien chercher d'autres voies d'accès.

Comme je l'ai dit plus haut les théories actuelles modélisent ce qu'on a pu mesurer. Mais ce qu'on mesure est peut-être trop grossier (d'où l'usage intensif des statistiques dans les théories), et en plus probablement une ombre de la réalité (imaginez-vous en train d'essayer de comprendre la structure d'un château de sable en lançant dessus des boules de bowling pour voir ce que ça fait...).

Lancer des hypothèses sur cette réalité puis en modélisant pour voir ce que ça donne permettrait peut-être de comprendre l'essence de la réalité.
Et pour tout dire ça obligerait les physiciens à se creuser un peu plus la tête au lieu de se cantonner confortablement dans la position "nous on mesure, aux philosophes de nous dire ce que c'est la réalité". Trop fort !
Vouloir laisser aux philosophes le soin d'expliquer aux physiciens ce qu'est une force, l'énergie, une masse, je crois rêver !!

Bien sûr que s'il se contentent de construire des modèles à partir des mesures, ils peuvent se contenter de cette position en arrière-garde. Mais rien ne les y oblige. Ils peuvent parfaitement imaginer des réalités puis essayer à partir d'elles de retrouver numériquement ce qui a été observé (on ne peut pas demander aux philosophes de faire ça !).
Des exemples ? Ben expliquer la valeur de la constante de structure fine par exemple, ou le ratio de masses entre neutron et électron ? Ou expliquer la phase inflationnaire de l'espace après le big bang ? Ou donner un sens (géométrie ?) à toutes ces particules qu'ils ont inventé pour satisfaire à leurs modèles, etc... etc... Vous voyez, le travail ne manque pas...

[Médiat]

Mais alors, qu'apportez-vous de nouveau ; de plus j'ai l'impression que vous mélangez des choses très différentes, comme physique et métaphysique.

[curiosss]

Mais alors, qu'apportez-vous de nouveau ; de plus j'ai l'impression que vous mélangez des choses très différentes, comme physique et métaphysique.

Et voilà : on se désengage courageusement des questions difficiles en disant que ce n'est plus de la physique mais de la métaphysique. Aux philosophes de chercher et nous donner les réponses. C'est risible, et c'est ce qui fleurit partout sur internet, des 'philosophes' donnant leurs 'réponses'.
Voilà ce qui arrive quand la classe scientifique se désengage.

[Amanuensis]

Il faut bien sûr avoir une idée de ce qu'on cherche, un début de théorie. Mais on n'a pas besoin d'une théorie complète et admise pour se lancer.

De même qu'on n'a pas besoin de parachute ou d'aile delta pour se lancer du haut d'une falaise. Mais à choisir sans discernement le lieu ou la hauteur du tremplin, on risque fort de se casser la gueule. OK, cela donne une chance de gagner le prix Darwin...

[curiosss]

De même qu'on n'a pas besoin de parachute ou d'aile delta pour se lancer du haut d'une falaise. Mais à choisir sans discernement le lieu ou la hauteur du tremplin, on risque fort de se casser la gueule. OK, cela donne une chance de gagner le prix Darwin...

Ceux qui n'ont jamais rien tenté ne se sont jamais trompés.
Et peuvent ricaner...

[JPL]

Modèles et accumulation des mesures ne sont pas incompatibles. Tout d'abord en science les modèles sont partout et sont à l'origine des théories les plus fécondes. L'héliocentrisme est d'abord un modèle introduit (ou réintroduit ?) par Copernic et perfectionné sur le plan formel (donc mathématique) par Kepler lorsqu'il a réalisé qu'une ellipse (généralisation du cercle) expliquait le comportement de Mars.

Et c'est là que les choses sont intéressantes : Tycho Brahe avait accumulé une quantité incroyable de mesures très précises (pour l'époque) mais il avait malheureusement imaginé un mauvais modèle, donc cette accumulation ne débouchait sur rien. En utilisant les mêmes mesures Kepler, qui avait imaginé un meilleur modèle, a pu leur donner un sens.

La gravitation est un modèle (où la légende veut que la pomme ait joué un rôle) avant d'être un énoncé mathématique. Je pense aussi qu'on peut dire que la RG fut un modèle conceptuel avant de devenir un modèle mathématique (de mémoire Einstein aurait dû se faire aider par son épouse pour établir le formalisme mathématique)

[karlp]

Et voilà : on se désengage courageusement des questions difficiles en disant que ce n'est plus de la physique mais de la métaphysique. Aux philosophes de chercher et nous donner les réponses. C'est risible, et c'est ce qui fleurit partout sur internet, des 'philosophes' donnant leurs 'réponses'.
Voilà ce qui arrive quand la classe scientifique se désengage.

La question de ce qu'est la "réalité"* n'est pas seulement une question difficile: c'est une question dont on sait qu'elle ne peut recevoir de réponse dont on puisse garantir la "vérité". Libre à chacun de vouloir tenter l'impossible, mais il serait plus honnête de reconnaître que le scientifique fait preuve de "réalisme" et de modestie.
On peut déplorer le "fleurissement" de ces "philosophes", mais je ne crois pas qu'on aille vers un mieux en demandant aux scientifiques de leur emboiter le pas.

[Très cher Médiat, cela fait quelques temps que je cherche, suite à plusieurs discussions sur FS, une définition du concept de réalité qui satisfasse aux exigences de K- Dick comme à celles de Lacan et j'ai fini par rencontrer cette proposition " le réel c'est ce qui, dans ce dont je peux parler, ne se réduit pas à ce que je peux en dire" ]

[curiosss]

La question de ce qu'est la "réalité"* n'est pas seulement une question difficile: c'est une question dont on sait qu'elle ne peut recevoir de réponse dont on puisse garantir la "vérité". Libre à chacun de vouloir tenter l'impossible, mais il serait plus honnête de reconnaître que le scientifique fait preuve de "réalisme" et de modestie.
On peut déplorer le "fleurissement" de ces "philosophes", mais je ne crois pas qu'on aille vers un mieux en demandant aux scientifiques de leur emboiter le pas.

Si un jour quelqu'un trouve quelques règles qui peuvent numériquement permettre de remonter jusqu'à la constante de structure fine, et quelques autres constantes de la physique, expliquer le mode d'action d'une force, et la structure d'un champ et d'une masse, alors je m'en contenterais et accepterais à bras ouverts cette 'réalité'.
Je ne suis pas difficile !