Questions sur la théorie du chaos

[Deedee81]

A ça c'est sûr, au moins 10 millions d'années pour le système solaire (*) .

Je comprend que c'est un trait d'humour
Mais je précise pour éviter tout malentendu que mon message montrait juste un truc sympa et théorique sur la théorie du chaos Je ne faisais pas référence aux planètes.
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[Sethy]

Salut,
S'il existe dans le système des cycles de trois (donc une évolution discrète, éventuellement en considérant un découpage temporel) A -> B -> C -> A
alors..... le chaos est proche les amis

Trois = chaos.

Je vois plutôt le nombre 3 comme le nombre minimal de composants pour qu'une rétroaction soit possible, ce qui est parfaitement illustré par A -> B - > C -> A.

Dans les réactions chimiques, des phénomènes chaotiques apparaissent justement dès qu'il y a des rétroactions possibles et suffisamment fortes.

https://youtu.be/IBa4kgXI4Cg?t=50s

Voir par exemple : http://www.faidherbe.org/site/cours/dupuis/joupord.htm

[Deedee81]

Attention Sethy, on ne parle pas du tout de la même chose. C'est vrai qu'il faut un minimum de complexité aux équations pour avoir éventuellement du chaos.

Mais là je parle de l'évolution d'un système donné (fut-ce-t-il décrit par mille équations et mille composants) et dont l'évolution peut être cyclique. Dans le cas où on a un cycle d'ordre 3 (après discrétisation d'une manière ou d'une autre, of course), alors le système a forcément une région de l'espace des phases où il a un comportement chaotique. Ce qui n'est pas nécessairement le cas d'un système quelconque même décrit par des tonnes de "composants". C'est passablement étonnant.

[Amanuensis]

Ce serait peut-être utile de bien distinguer quatre catégories (de question/réponse, par exemple):

1) Les cas «purement mathématiques» (les fonctions «usuelles» genre itération de x(1-x), le théorème cité, idéalisation du système à trois corps, etc.)

2) Les cas observés et «typiques», i.e., avec attracteur étrange et exposants de Lyapunov mesurés, au moins le MLE--via une estimation empirique de la période d'instabilité? (la rotation d'Hypérion ?, le Système Solaire? expériences basées sur la chimie? )

3) Les cas observés avec sensibilité aux conditions initiales, mais sans modélisation complète--par exemple parce que le nombre de degrés de liberté impose un traitement statistique (la météo?)

4) Extrapolations, suppositions, spéculations, ...

Le 1), c'est des maths (avec application potentielle à la physique). Le 2), c'est de la physique. Le 3) est douteux (en tant que bon sujet (bonne pédagogie) pour la «théorie du chaos», cela peut être un bon sujet en soi), limite mauvaise vulgarisation (avec confusions sur les notions de cause par exemple («effet papillon»), accent mis sur la non prédictibilité, bref le sensationnel, comme d'hab). Quant au 4), ...

Opinion personnelle: le plus intéressant est le 2), et la discussion devrait se concentrer dessus, puis le 1) car nécessaire pour cerner les concepts, et pour rationaliser le 2) (les cas effectivement observés).

[yvon l]

Je vais prendre un exemple dans un autre domaine, la biologie qui à a mon avis l'intérêt de ne pas être basé sur l'attraction d'une planète par exemple et aussi d'illustrer un espace des phases.

Imaginons deux espèces distante d'une case dans la pyramide alimentaire (une proie et son prédateur).
(...)
-- les deux populations le font de manière périodique comme dans les orbites de Lotke-Voltera : https://fr.wikipedia.org/wiki/Équati...Lotka-Volterra (...)

Les solutions mathématiques du modèle «proie prédateur» telles que données dans ta référence Wiki, pourraient être mieux encadrée et solutionnée en utilisant les techniques de l’ingénieur. Ceux-ci sont confrontés constamment à des problèmes de dynamique non linéaire (chaotique) à asservir (à réguler).
Le modèle prédateur-proie devient alors un système bouclé échangeant des informations (le nombre de proies pour l’un, le nombre de prédateurs pour l’autre). D’autres informations provenant du milieu perturbent également cette boucle. De plus des flux énergie-matières sont contrôlés par le processus. Le comportement chaotique éventuel dépend de ses différents paramètres .
L’ingénieur des processus bouclés est amené à traiter des processus ayant au départ des comportements non linéaires (chaotiques) de façon à leur donner un comportement adéquat (par exemple, linéarisation dans le domaine de fonctionnement à l’aide de boucles de contrôles additionnelles).

[muzoter]

Faut-il aller chercher des systèmes physiques très compliqués pour voir des "attracteurs étranges" se manifester

- le lancer d'une pièce de monnaie est en soi "chaotique", absolument imprévisible, mais sur beaucoup de lancers les calculs mathématiques laissent aparaître des sortes d'"attractivités étranges" genre si après 1000 lancers la pièce n'est jamais encore tombée sur pile alors par une sorte d'attractivité étrange, il est fort probable qu'elle tombe sur face au 1001 ième (lancer).

- idem les naissances des individus dans une population donnée sauf événements extérieurs au système naturel (guerres etc.), les mâles et les femelles s'équilibrent naturellement (pyramides des âges), tranquillement comme si une sorte d'"attracteur étrange" agissait souterrainement

https://fr.wikipedia.org/wiki/Pyramide_des_%C3%A2ges

[pm42]

- le lancer d'une pièce de monnaie est en soi "chaotique", absolument imprévisible, mais sur beaucoup de lancers les calculs mathématiques laissent aparaître des sortes d'"attractivités étranges" genre si après 1000 lancers la pièce n'est jamais encore tombée sur pile alors par une sorte d'attractivité étrange, il est fort probable qu'elle tombe sur face au 1001 ième (lancer).

C'est massivement taux. Au 1001ème lancer, la proba reste de 1/2.
Tu sais ce qu'est un processus de Markov ?

- idem les naissances des individus dans une population donnée sauf événements extérieurs au système naturel (guerres etc.), les mâles et les femelles s'équilibrent naturellement (pyramides des âges), tranquillement comme si une sorte d'"attracteur étrange" agissait souterrainement

La pyramide des ages n'a pas grand chose à voir avec la proportion mâles/femelles. Et celle ci n'est pas forcément équilibrée.

Enfin, ce que tu cites n'a pas grand chose à voir non plus avec les attracteurs étranges.

[muzoter]

Jetez aléatoirement un dé non pipé plusieurs fois pour un numéro possible donné la probabilité de tomber dessus augmente avec le nombre de lancers :

https://www.lacosmo.com/proba/proba.html

[Amanuensis]

C'est massivement taux. Au 1001ème lancer, la proba reste de 1/2.

Oui, c'est massivement faux. Mais avec une prédiction différente: il est quasiment certain qu'au 1001ème lancer le résultat sera pile !!!

[Amanuensis]

Jetez aléatoirement un dé non pipé plusieurs fois pour un numéro possible donné la probabilité de tomber dessus augmente avec le nombre de lancers :

Certes. Et alors? Quel rapport avec l'affirmation (fausse) précédente?

[Deedee81]

Je ne vais pas revenir sur l'erreur évidemment maos :

Faut-il aller chercher des systèmes physiques très compliqués pour voir des "attracteurs étranges" se manifester

Ca c'est vrai.

Ceci dit, j'ai vu un joli résultat (dans PLS ou La Recherche il y a déjà pas mal d'années) montrant que le lancer de pile ou face est loin d'être chaotique.
Ils avaient fabriqué un robot capable de lancer une pièce en reproduisant les mêmes conditions initiales : orientation, vitesse et force du jet.
Et il s'avérait ainsi que le résultat (pile ou face) était hautement prévisible.
Cela montre que ce système est loin de subir l'influence sensitive des conditions initiales (et donc il est non chaotique, au moins dans ce régime).

Cela montre aussi qu'il faut être masochiste pour jouer à pile ou face ou aux dés contre un robot

La pyramide des âges n'est pas non plus un bon exemple : c'est la manifestation de la loi des grands nombre https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_des_grands_nombres
Pas du chaos.

Par contre, oui, il existe des systèmes très simple présentant le chaos.
Mathématiquement, voir le lien que j'ai donné ci-dessus. Le système dont j'ai dit que tout mordu avait simulé ça sur son PC. C'est amha le système le plus simple qu'on puisse imaginer.
Physiquement, il y a le cas des processus de réaction diffusion signalé par Sethy avec trois composants où on voit de jolies fractales.
Et il y a aussi le système très simple de deux pendules couplés, présentant des régimes chaotiques.

Le chaos déterministe a une définition bien précise, faut pas raconter n'importe quoi s'il te plait.

[Amanuensis]

Mais on ne va pas continuer, le message #36 est du pur nawak, on ne va pas (une fois de plus) consacrer du temps et des messages à des incompréhensions présentées comme péremptoirement.

[LeMulet]

il est quasiment certain qu'au 1001ème lancer le résultat sera pile !!!

C'est vrai, et d'ailleurs je confirme qu'il s'agit d'une théorie Shadok bien aboutie.

Les Shadoks étaient venus nombreux assister aux premiers essais de leur fusée.. Les vaillants Shadoknautes avaient revêtu leurs combinaisons spatiales. Mais ces malheureuses bêtes n'avaient pas de connaissances spéciales en astronautique. D'ailleurs, elles n'avaient pas tellement de connaissances du tout.. Et à chaque essai, la fusée retombait et se cassait.. Si bien qu'à la fin, ils essayèrent de la faire partir "à la main". Mais il ne se passa rien non plus.. En fait, leur fusée n'était pas très, très au point, mais ils avaient calculé qu'elle avait quand même une chance sur un million de marcher. Et ils se dépêchaient de rater les 999 999 premiers essais pour être sûrs que le millionième marche.. Les essais de fusée Shadok comportaient plusieurs phases. D'abord, les techniciens Shadoks entonnent le compte à rebours sur un vieil air d'accordéon. Puis les Shadoks les plus doués pour les mathématiques enfourchent leur ordinateur à pédales pour calculer la trajectoire. C'étaient eux qui avaient le plus de mal car les Shadoks avaient entendu dire que plus un ordinateur va vite, plus il donne de bons résultats. Et c'est celui qui avait gagné qui avait trouvé la bonne trajectoire. On procédait alors à la mise à feu. Ça ratait. Et aussitôt après, on recommençait. Car c'était le premier principe de la logique shadok : en essayant continuellement, on finit par réussir.. Donc plus ça rate, plus on a de chance que ça marche...!!

https://www.gabuzo38.fr/shad_logique.html

[Amanuensis]

Par contre, oui, il existe des systèmes très simple présentant le chaos.

Oui et non. Il existe des modèles très simple présentant le chaos. C'est l'aspect mathématique du sujet. Tous les exemples donnés ensuite dans le message sont de nature mathématique.

Pour des systèmes «très simples» réellement observés, faut être plus circonspect.

[Amanuensis]

Oui, c'est massivement faux. Mais avec une prédiction différente: il est quasiment certain qu'au 1001ème lancer le résultat sera pile !!!

Euh... J'ai mal lu le message (faut dire que l'affirmation est bizarre de par son idée d'attractivité, pas du tout celle qu'on lit (trop) couramment, celle de la logique Shadok). [Qui plus est pas très cohérente avec le message suivant du même intervenant ; on peut soupçonner un lapsus clavi.]

La phrase était «si après 1000 lancers la pièce n'est jamais encore tombée sur pile alors par une sorte d'attractivité étrange, il est fort probable qu'elle tombe sur face au 1001 ième (lancer).»

Et elle est correcte (mais cela n'a rien à a voir avec une «attractivité»)! Rephrasée pour éviter les négations, c'est «si après 1000 lancers la pièce est toujours tombée sur face, il est fort probable (quasi certain) qu'elle tombe sur face au 1001 ième (lancer)», affirmation que j'estime correcte.

[ansset]

ben oui, la pièce est très probablement pipée, ou a même deux coté face .

[Juzo]

Dans le cas où on a un cycle d'ordre 3 (après discrétisation d'une manière ou d'une autre, of course), alors le système a forcément une région de l'espace des phases où il a un comportement chaotique.

- Comment le théorème de Charkovsky (qui montre l'existence de points périodiques d'ordre > à 3 dans l'espace des phases) permet-il de conclure qu'il y a une zone de comportement chaotique dans l'espace des phases ? Intuitivement on comprend que ça induit une forte récurrence dans l'évolution du système...

- Peut-on affirmer que si l'espace des phases a un point périodique d'ordre 3 alors le système n'a pas d'attracteur ? En effet quel que soit le point initial de l'espace des phases (correspondant aux conditions initiales), la trajectoire du système rejoint son attracteur, le point initial ne peut donc être un point périodique.

- Ne serait-il pas plus pratique de raisonner sur un champs de vecteurs dans l'espace des phases, chaque vecteur correspondant au déplacement du système d'un point à un autre lors d'une itération ?

(après discrétisation d'une manière ou d'une autre, of course)

Question bête (là j'ai peu de doutes ) : il n'y a pas toujours moyen de discrétiser l'évolution du système de façon à avoir un cycle de période 3, si cette évolution contient un cycle ?

Merci

[Juzo]

C'est justement dans la nature même de la théorie du chaos, et des attracteurs étranges en particulier (cf. l'histoire de Lorenz) que d'échapper à toutes mesures avec une "précision suffisante".

Je parlais d'une précision suffisante pour la mesure de la trajectoire du système, pas des conditions initiales (mais peut-être que ça revient au même ...)

[JPL]

La différence entre un système stable et un système chaotique c’est que dans le premier cas l’attracteur est une courbe fermée (le point correspond à un système immobile, sans intérêt pour la discussion) tandis que dans le deuxième la courbe n’est jamais fermée.

[Deedee81]

- Comment

Questions très pertinentes mais je suis incapable d'y répondre. Je ne maîtrise pas assez. Je l'ai juste donné à titre de curiosité.

Question bête (là j'ai peu de doutes ) : il n'y a pas toujours moyen de discrétiser l'évolution du système de façon à avoir un cycle de période 3, si cette évolution contient un cycle ?

En effet, après l'avoir écrit je me suis posé la même (bête ) question. Ne comprenant pas si j'ai fait une erreur ou si j'ai mal interprété, je n'ai pas osé approfondir. Mais j'aimerais bien savoir où est le problème.

[yvon l]

(...)
L’ingénieur des processus bouclés est amené à traiter des processus ayant au départ des comportements non linéaires (chaotiques) de façon à leur donner un comportement adéquat (par exemple, linéarisation dans le domaine de fonctionnement à l’aide de boucles de contrôles additionnelles).

Je vois que les études des ingénieurs pour solutionner des applications pratiques n’inspirent pas ici. Je vous suggère donc ce lien :https://www.lias-lab.fr/perso/freder...urs_Master.pdf.

[Sethy]

Ici la vidéo d'une expérience assez simple qui montre le comportement chaotique mais aussi l'apparition d'un attracteur étrange si on porte certaines coordonnées du système dans un graphique à 3 dimensions (position x et y du centre de gravité et vitesse angulaire) : https://youtu.be/SlwEt5QhAGY?t=6m26s

[eudea-panjclinne]

Oui, c'est massivement faux. Mais avec une prédiction différente: il est quasiment certain qu'au 1001ème lancer le résultat sera pile !!!

Phraséologies risquées qui peuvent suggérer des idées fausses. Il faut préciser où on est dans le jeu.
Si on considère que les mille lancés n'ont donné que des faces, arrivé avant le 1001ème, il y a une probabilité de 1/2 d'obtenir pile. (probabilité conditionnelle)
Mais avant tout lancé, la probabilité d'obtenir 1000 piles et ensuite 1 face est de 1/2^1001.

si après 1000 lancers la pièce est toujours tombée sur face, il est fort probable (quasi certain) qu'elle tombe sur face au 1001 ième (lancer)», affirmation que j'estime correcte.

Cette phrase fait directement référence à une probabilité conditionnelle. Sachant que la pièce est tombé 1000 fois sur pile quelle est la probabilité qu'elle tombe sur face la 1001ème fois : 1/2

[Amanuensis]

il n'y a pas toujours moyen de discrétiser l'évolution du système de façon à avoir un cycle de période 3, si cette évolution contient un cycle ?

En effet, après l'avoir écrit je me suis posé la même (bête ) question. Ne comprenant pas si j'ai fait une erreur ou si j'ai mal interprété, je n'ai pas osé approfondir. Mais j'aimerais bien savoir où est le problème.

Le théorème part d'une fonction, et ne parle que de cette fonction. Le choix de discrétisation fixe la fonction (celle qui à un état (point de l'espace des phases) associe l'état un cran de discrétisation plus tard), et la longueur des cycles dépendra du point de démarrage.

[Amanuensis]

Cette phrase fait directement référence à une probabilité conditionnelle. Sachant que la pièce est tombé 1000 fois sur pile quelle est la probabilité qu'elle tombe sur face la 1001ème fois : 1/2

C'est faux, mais l'erreur est très commune (1), et ce n'est pas le sujet. Si cela intéresse, trouver les discussions anciennes où c'est discuté.

(1)Et c'est un grand classique portant sur la divergence d'interprétation des probabilités, entre l'approche fréquentiste et l'approche bayesienne. C'est une erreur typique de fréquentiste, et l'approche fréquentiste est celle enseignée.

[Deedee81]

Le théorème part d'une fonction, et ne parle que de cette fonction. Le choix de discrétisation fixe la fonction (celle qui à un état (point de l'espace des phases) associe l'état un cran de discrétisation plus tard), et la longueur des cycles dépendra du point de démarrage.

D'accord. Il ne faut pas confondre le système discrétisé et le système de départ. Ma faute.

[Noress]

Bonjour,

En reprenant la première vidéo d'obi76, qui débute sur le billard avec cinquante boules (https://youtu.be/JNWM8hTXVNM?t=397), et en remplaçant les largeurs de ce même billard par des arcs de cercle (comme des parenthèses), qu'en est-il de la prévision et cela va-t-il amplifier l'effet papillon (si parler d'amplification d'effet papillon est correct)?

Merci.

[yvon l]

Ici la vidéo d'une expérience assez simple qui montre le comportement chaotique mais aussi l'apparition d'un attracteur étrange si on porte certaines coordonnées du système dans un graphique à 3 dimensions (position x et y du centre de gravité et vitesse angulaire) : https://youtu.be/SlwEt5QhAGY?t=6m26s

Voici un contre exemple https://www.youtube.com/watch?v=JpNAhKT7yY4
Stabilisation d'un système chaotique

[invite73192618]

C'est une erreur typique de fréquentiste

Non, c'est une erreur typiquement attribuée aux fréquentistes. En réalité l'approche Baysienne n'est ni plus ni moins sujet au problème de la validité des hypothèses de départ.

Socrate: "Soit H0 l'hypothèse qu'une pièce soit non biaisée, devant l'observation que la pièce est retombée 1000 fois de suite sur Face, est-ce que l'hypothèse nulle doit être rejetée pour alpha=0.05?"

Fréquentiste: "Oeuf corse."

Socrate: "Sachant qu'une pièce est non biaisée, devant l'observation qu'elle retombe sur Face 1000 fois de suite, doit-on conclure que la pièce est biaisée?"

Baysien: "Le plus probable est que je n'ai pas compris ta question."

[Médiat]

Je parlais d'une précision suffisante pour la mesure de la trajectoire du système, pas des conditions initiales (mais peut-être que ça revient au même ...)

Chaque mesure physique contient des approximations par rapport à un modèle mathématiques, toute itération du système à partir de ces mesures approximatives redonne un système avec de nouvelles conditions initiales, qui sont, par nature, mal connues et permet aux systèmes fortement sensibles à ces conditions, de donner des résultats "chaotiques".

La précision suffisante dont vous parlez est illusoire.