Questions sur la théorie du chaos

[Chanur]

Un autre système chaotique simple, c'est le robinet qui goutte.
On suppose que le robinet laisse passer un débit constant.
Il se forme une goutte, suspendue au robinet. La tension superficielle retient la goutte qui grossit progressivement et s'étire jusqu'à se casser en deux : une partie tombe et l'autre reste suspendue au robinet et remonte puis oscille, les oscillation s'amortissant assez rapidement.

Si le débit est très faible, les oscillations ont le temps de s'amortir et le rythme de chute des gouttes est régulier.

A partir d'un certain débit, la goutte tombe avant que les oscillation ne s'amortissent, mais l'instant où la goutte se casse dépend des oscillations, dont le régime dépend de la masse de la goutte suspendue. Et là, ça devient chaotique.
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[ansset]

A partir d'un certain débit, la goutte tombe avant que les oscillation ne s'amortissent, mais l'instant où la goutte se casse dépend des oscillations, dont le régime dépend de la masse de la goutte suspendue. Et là, ça devient chaotique.

et pi ça fini par couter cher !

[Juzo]

La différence entre un système stable et un système chaotique c’est que dans le premier cas l’attracteur est une courbe fermée (le point correspond à un système immobile, sans intérêt pour la discussion) tandis que dans le deuxième la courbe n’est jamais fermée.

Pas d'accord avec cette affirmation, un système peut suivre une courbe fermée, mais être chaotique dans le sens où il est fortement sensible aux conditions initiales (on doit pouvoir parler de système chaotique stabilisé).

[Juzo]

Un résumé des différentes questions :

1) Les cas mathématiques

1a) Comment caractériser mathématiquement un système chaotique ?
- Une forte sensibilité aux conditions initiales
- Une forte récurrence dans le comportement
- ...

1b) La théorie du chaos est-elle une théorie essentiellement mathématique ?

1c) Doit-on considérer le problème à 3 corps, la modélisation du double-pendule, la modélisation de la roue à entonnoirs, le modèle proie-prédateur etc. comme des cas mathématiques ou des cas pratiques ?

1d) Comment le théorème de Charkovski permet-il de conclure à l'existence d'une zone de comportement chotique dans l'espace des phases si celui-ci contient un point périodique d'ordre 3 ?

1e) Quel est le rapport entre la notion de cycle 3=chaos et le noeud observé au coefficient 3 dans le diagramme des points attracteurs de la fonction logistique ?

1f) S'il y a un point périodique d'ordre 3, est-il impossible qu'il y ait un attracteur dans l'espace des phases ?

1g) Existe-t-il des attracteurs non bouclés ?

1e) Peut-on deviner l'allure générale d'un attracteur étrange (de structure fractale) en observant une portion de celui-ci ?
A priori non, il y a une incertitude de la mesure intrinsèque à ce système, qui rend très rapidement impossible toute prédictibilité


2) Les cas pratiques avérés (?)

2a) Existe-t-il des cas pratiques de systèmes chaotiques ? De systèmes chaotiques avec attracteur, avec attracteur étrange ? (cf. question 1b) et 1c))
Système solaire ?, Hypérion ?, goutte à goutte ?, système prédateur-proie ?

2b) Les cas pratiques "avérés" se résumeraient-ils à des systèmes qui ont peu de paramètres ? Ou le système solaire, la météo peuvent-ils y être intégrés ?

2c) Est-il nécessaire qu'il y ait des rétroactions possibles au sein d'un phénomène pour que celui-ci soit chaotique ?
Exemple des réactions chimiques, du système proie-prédateur, du goutte à goutte..

2d) Qu'apportent les techniques de l'ingénierie des processus bouclés pour appréhender les systèmes chaotiques ?

2e) (rajoutée après avoir jeter parcouru rapidement une thèse) Un système physique qui suit un attracteur est-il considéré comme un système à perte de mémoire ? Comment se passe la dissipation de mémoire ?

2f) Un lancer de pièce peut-il être un système chaotique dans certaines conditions ?
A priori non, une faible différence dans les conditions initiales n'influencera pas fortement la prédictibilité du résultat. Mathématiquement, il manque la notion de récurrence dans le comportement de la pièce

A compléter/reformuler...

[JPL]

Pas d'accord avec cette affirmation, un système peut suivre une courbe fermée, mais être chaotique dans le sens où il est fortement sensible aux conditions initiales (on doit pouvoir parler de système chaotique stabilisé).

Tu veux réinventer une théorie du chaos hétérodoxe ? Si la l’attracteur est fermé le système est prévisible puisqu’il repassera toujours par le même point de cette courbe.

[Deedee81]

Salut,

Tu veux réinventer une théorie du chaos hétérodoxe ? Si la l’attracteur est fermé le système est prévisible puisqu’il repassera toujours par le même point de cette courbe.

Attention Juzo, je crois savoir d'où vient le problème : tu confonds trajectoire dans l'espace de configuration et trajectoire dans l'espace des phases.
Si la trajectoire est fermée dans l'espace des phases, le système est hautement prévisible. Si elle est fermée dans l'espace de configuration : il peut... ou non être prévisible.

[Juzo]

À JPL et Deedee81,
Ok désolé je ne connaissais pas cette distinction en effet, je dois regarder de plus près.

Merci

[JPL]

En effet la trajectoire dans l’espace de phase est une abstraction mathématique qui a tout son intérêt pour montrer qu’un comportement est chaotique ou non chaotique.

[Juzo]

C'est peut-être juste une histoire de vocabulaire, mais j'ai besoin d'être éclairé.

Après vérification l'espace de configuration est l'ensemble des positions spatiales possibles du système.
Je crois que je parlais donc bien de l'espace des phases.

Le système de Lorenz, tel que présenté dans la vidéo de mon premier message (voir à 15:00) possède un attracteur bouclé, or c'est un système chaotique.
Il reste en effet très finement sensible aux conditions initiales (cf. l'histoire du papillon).
Il garde les deux critères que j'avais retenu
-forte sensibilité aux conditions initiales
-nombreuses récurrences dans l'évolution

JPL avait écrit :

"La différence entre un système stable et un système chaotique c’est que dans le premier cas l’attracteur est une courbe fermée [...] tandis que dans le deuxième la courbe n’est jamais fermée"

Je pensais donc qu'il parlait peut-être de fonctionnement stable ou chaotique, le système pouvant rester intrinsèquement chaotique, comme le système de Lorentz qui suit son attracteur.

En même temps, je n'ai vraiment pas pris cette théorie par le bon bout, en commençant par la vulgarisation...
Merci

[JPL]

Je n’ai pas regardé la vidéo mais je connais l’attracteur de Lorenz et c’est faux. Regarde par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Attracteur_de_Lorenz.

[Juzo]

Extraits de l'article :

"L’attracteur de Lorenz est une structure fractale correspondant au comportement à long terme de l'oscillateur de Lorenz. L'attracteur montre comment les différentes variables du système dynamique évoluent dans le temps en une trajectoire non périodique."

Et plus loin :

"Pour presque toutes les conditions initiales (différentes de celles des points fixes), l'orbite du système s'approche rapidement de l'attracteur, la trajectoire commençant par s'enrouler sur une aile, puis sautant d'une aile à l'autre pour commencer à s'enrouler sur l'autre aile, et ainsi de suite, de façon apparemment erratique."

Il y aurait donc bien conservation d'un comportement chaotique dans un attracteur bouclé (il s'agit là d'un attracteur étrange) à moins que l'attracteur de Lorenz ne soit pas bouclé comme affirmé dans la vidéo.

[Juzo]

PS : on en revient à ce que disait Mediat en début de discussion

C'est justement dans la nature même de la théorie du chaos, et des attracteurs étranges en particulier (cf. l'histoire de Lorenz) que d'échapper à toutes mesures avec une "précision suffisante".

(sous-entendu, pour prédire l'évolution future du système)

[JPL]

L’attracteur de Lorenz n’est pas bouclé ! Combien de fois faut-il le dire ?

[invite73192618]

à moins que l'attracteur de Lorenz ne soit pas bouclé comme affirmé dans la vidéo.

La confusion vient du terme boucle vs ferme. L'attracteur de Lorentz est effectivement boucle, c'est a dire que tout point de l'attracteur sera visite d'aussi proche qu'on veut une infinite de fois. Cette boucle n'est pas fermee, c'est a dire que chaque point ne sera jamais visite deux fois (sauf limitation numerique).

[Juzo]

La confusion vient du terme bouclé vs fermé.

C'était donc ça, merci Jiav ! Ne sachant pas ce qui était "faux" selon JPL je cherchais à l'aveugle (encore désolé )

La phrase suivante dans la vidéo était légèrement inexacte et trompeuse :

Si [le papillon] n'avait pas battu des ailes la tornade serait quand même arrivée mais à un moment différent

Ce n'est pas exactement la même tornade, ce qui aurait fait penser que chaque point serait visité une infinité de fois...

[invite73192618]

Oui, on pourrait remplacer 'la tornade aura lieu' par 'la dissipation d'énergie associée à cette tornade aura lieu [et probablement sous forme d'une autre tornade] '.

...nonobstant que la météo est un mauvais exemple, (cf un de mes messages plus haut) .

[Noress]

Bonjour,

(...) 1) La pièce est connue sans aucun doute comme bien équilibrée, non truquée, et n'a pas de mémoire on observe 1000 fois face (peut-être a-t-on attendu 1 million de milliards de milliards d'années pour voir ce cas se présenter), la probabilité de tirer pile la fois suivante est de 1/2 (...)

Dans le pure aléatoire, au coups par coups on aura toujours P(f)=P(p)=1/2.
Lorsque la quantité d'expériences tend vers l'infini (soit infini₁) au coups par coups on reste sur P(f)=P(p)=1/2.
Aussi, dans l'infini₁, la quantité de séquences alignant successivement au moins 1000 faces ou 1000 piles tend aussi vers l'infini (infini₂).
Même si infini₂ est "plus petit" que infini₁, au coups par coups on reste toujours sur du P(f)=P(p)=1/2.
Après 1000 ou 10 000....événements identiques on reste sur du P(f)=P(p)=1/2.

[muzoter]

Bonjour,

Perso ça m'a toujours étonné ces infinis plus petits (idem plus grands) que d'autres http://planete.gaia.free.fr/sciences...is.autres.html

- si je lance une infinité de fois un dé à 10 faces numérotées de 0 à 9 (ou une infinité de fois ce dé (idéel) à un instant donné) alors si je concatène les chiffres résultants les uns à la suite des autres alors si je note E1, E2 etc. les événements "1" pour E1, "22" pour E2, "333" pour E3 etc. jusqu'à "999999999" pour E9 alors ai-je infiniE1 < infiniE2 < infiniE3 < ... < infiniE9

Quel sens ça a-t-il d'écrire ça

[muzoter]

ERRATUM :

(ou une infinité de fois ce dé (idéel) à un instant donné)

Rectifier : ou une infinité de ce dé (idéel) à un instant donné, merci

[Deedee81]

Salut,

Perso ça m'a toujours étonné ces infinis plus petits (idem plus grands) que d'autres http://planete.gaia.free.fr/sciences...is.autres.html
- si je lance une infinité de fois un dé à 10 faces numérotées de 0 à 9 (ou une infinité de fois ce dé (idéel) à un instant donné) alors si je concatène les chiffres résultants les uns à la suite des autres alors si je note E1, E2 etc. les événements "1" pour E1, "22" pour E2, "333" pour E3 etc. jusqu'à "999999999" pour E9 alors ai-je infiniE1 < infiniE2 < infiniE3 < ... < infiniE9
Quel sens ça a-t-il d'écrire ça

C'est quoi "infiniE1" ????

Les ensembles infinis de cardinalité différente c'est plutôt : dénombrable < continu < cardinal de l'ensemble des fonctions de R dans R < etc....

[muzoter]

Essai de traduction en d'autres termes et malhabilement c'est probable, de ce qui a été écrit dernièrement :

Dans le pure aléatoire, au coups par coups on aura toujours P(f)=P(p)=1/2.
Lorsque la quantité d'expériences tend vers l'infini (soit infini1) au coups par coups on reste sur P(f)=P(p)=1/2.
Aussi, dans l'infini1, la quantité de séquences alignant successivement au moins 1000 faces ou 1000 piles tend aussi vers l'infini (infini2).
Même si infini2 est "plus petit" que infini1,

si ça a pas été clair désolé

[Médiat]

Bonjour

Les ensembles infinis de cardinalité différente c'est plutôt : dénombrable < continu < cardinal de l'ensemble des fonctions de R dans R < etc....

En fait il y a 2 suites de cardinaux qui sont intéressantes les aleph et les beth (qui sont identiques avec HCG)

[Deedee81]

et les beth (qui sont identiques avec HCG)

A tiens, ça ne me dit rien. Tu as un lien ? (sur Futura, wikipedia ou autre)

Essai de traduction en d'autres termes et malhabilement c'est probable, de ce qui a été écrit dernièrement :

En fait, je ne suis pas d'accord. Si je comprend bien ce qui est écrit, l'infini1 et l'infini2 sont tous les deux l'infini dénombrable. Ils sont identiques.
Par contre (toujours si j'ai bien compris ), tend qu'on ne prend pas la limite, on a un nombre fini d'expériences (notons le fini1) et de cas avec 1000 faces ou piles (notons le fini 2)
et forcément fini2 est constamment inférieur à fini1.
Mais il ne faut pas en postuler que infini1 est plus grand que infini2 !!!! Les raisonnements sur l'infini c'est piégeux et contre-intuitif.
Même si fini2 < fini1, le passage à l'infini donne dans les deux cas des ensembles de même cardinalité (cardinal infini1 = cardinal infini2 = cardinal de N).

Autre exemple, pour x > 1 on a constamment x < x². Mais si je prend la limite à l'infini, elle est identique.

[Médiat]

A tiens, ça ne me dit rien. Tu as un lien ? (sur Futura, wikipedia ou autre)

https://forums.futura-sciences.com/m...tml#post871437

https://forums.futura-sciences.com/m...tml#post870865

Désolé, pas trop de temps pour écrire correctement ...

[Deedee81]

Désolé, pas trop de temps pour écrire correctement ...

Non, pas de soucis, j'ai été voir et j'ai compris (y compris pourquoi tu parlais du HCG). Je ne connaissais pas cette notation avec les beth (j'écrivais juste 2^aleph0 etc...)

Merci,

[Médiat]

Je ne connaissais pas cette notation avec les beth (j'écrivais juste 2^aleph0 etc...)

Pour beth c'est un peu plus long et pour beth, c'est carrément galère

Dommage que le latex de FSG ne connaisse pas \beth

[muzoter]

Les raisonnements sur l'infini c'est piégeux et contre-intuitif.

Surtout instinctivement les gens font intervenir le temps physique (nombre de secondes) dans des "expériences mathématiques" qui ne le requièrent pas du tout

Evidemment disent-ils instinctivement, quand "999999999" (9 concaténé 9 fois) survient, avant des tas de gentils "1", "22", "333", ... etc. sont advenus donc poursuivent-ils dans cette logique infini9 < infini1 ainsi de suite

Or en maths pas d'avant ni d'après car le temps réel, physique (secondes) n'intervient pas : le temps mathématique est un nombre réel et les objets mathématiques (pièce de monnaie, dé etc.) sont des idées, non des objets réels, physiques et concrets

Dans l'idée possible de penser un dé idéel capable de se "biloquer", d'être (par la pensée) sur un instant donné à une infinité d'"endroits" différents (guillemets pour des raisons évidentes).

Ce qu'un dé physique, réel, concret, fait d'atomes et de molécules, ne peut évidemment pas faire

[LordChoco]

Bonjour,

Je vous recommande la lecture de "Nonlinear dynamics and chaos" de steven H. Strogatz, très bon livre, pédagogique et complet.

D'ailleurs il se trouve en pdf directement en ligne : http://detritus.fundacioace.com/pub/...nd%20chaos.pdf
La page 10 est très intéressante !

(Et la résolution graphique d'équations différentielles est juste magique !!!)

[JPL]

Ah merci d’être revenu au chaos parce qu’on était parti bien loin du sujet dans la stratosphère!

[JPL]

Fin des digressions sur le lancer des pièces et les infinis. Intéressant mais hors sujet.