La main humaine et la suite de Fibonacci, ou du nombre d'or

[Deedee81]

Salut,

En tout cas, pour les limites, Archimède connaissait (ceci dit, c'était aussi un occidental )
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[invite51d17075]

Ça serait sympa que vous regardiez un peu avant d'intervenir surtout pour contredire. L'erreur est humaine certes, et j'en sais quelque chose depuis que je viens sur ce forum mais les Egyptiens UTILISAIENT le nombre d'or.
Preuve ? http://secretebase.free.fr/religions/golden/golden.htm
c'est un site un peu ésotérique d'accord mais je suis sûr de l'avoir lu ailleurs ==> Un site plus sérieux qui affirme que les Égyptiens CONNAISSAIENT le nombre d'or
https://www.maths-et-tiques.fr/index...le-nombre-d-or
Ce dernier site est un espace de formation pour professeurs, donc fiable non ?

mais on a le droit de se tromper.
il n'y a pas de nombre d'or dans la civilisation égyptienne pas plus que dans l'homme de Vitruve.
ou bien, dis nous où précisément...

le premier lien est totalement ésotérique, donc très douteux scientifiquement.
quand au second, la présentation du croquis de L De Vinci en intro est une erreur, comme a bien fait de rappeler Dynamix.
d'ailleurs les commentaires de De Vinci sur son œuvre fait bien état de nombreux rapports simples ( fractions ) sans jamais mentionner autre chose.
ce lien ne parle pas non plus des égyptiens.

ps : le nombre d'or est proche de 3/5, il n'est pas impossible ( question que je me pose ) que dans certains cas on retrouve cette fraction jugée "esthétique" sans avoir le moindre rapport avec la spécificité mathématique de celui ci.

[pm42]

ou bien, dis nous où précisément...

Sur les sites ésotériques apparemment

ps : le nombre d'or est proche de 3/5, il n'est pas impossible ( question que je me pose )

8/5 pour être exact.

que dans certains cas on retrouve cette fraction jugée "esthétique" sans avoir le moindre rapport avec la spécificité mathématique de celui ci.

Oui mais surtout, ceux qui la retrouvent partout jouent sur l'imprécision des mesures et c'est un cas classique de "on trouve ce qu'on cherche".

Si tu cherches 1.5, 1.6 ou 1.7 à la place du nombre d'or, tu vas en trouver facilement.
L'image du Parthénon est un exemple typique : il arrête le bas de son rectangle vers une des marches plus haut. Pourquoi pas un cran au dessus ou en dessous ?
Et l'image n'est pas prise centrée de face (voir les alignements de colonnes à gauche et à droite).
Donc toute mesure de proportion est du grand n'importe quoi et si on fait des mesures un peu plus rigoureuses, on tombe facilement sur 1,71 par exemple.

Mais bon, cela plait aux esprits non scientifiques qui sont restée à la pensée magique comme déjà dit plus haut.

[stefjm]

8/5 pour être exact.

Oui, et comme la fraction continue de phi n'est composée que de 1, il y a beaucoup de rapport de petits entiers qui conviennent.
1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, etc...

[invitedd63ac7a]

Il est de fait [1,2] que les mésopotamiens et les égyptiens "résolvaient" les problèmes du second degré, de deux façons : géométriques et arithmétiques
Comme ils avaient admis le théorème de pythagore, et se posaient des problèmes géométriques reliant carrés, rectangles, cercles il est sûr qu'ils ont rencontré le nombre d'or [2]
Mais que la méprise, trop fréquente en ce domaine, sur la science des nombre n'égare aucun lecteur. "Nombre d'or" ou "série de Fibonacci" sont présents certes, mais leur rôle n'est pas ésotérique. [2, Préface]
On pourrait même dire que vu le nombres de problèmes retrouvés dans les traces laissées par ces civilisations, il aurait été étonnant que le nombre d'or ne se retrouve pas comme solution d'un des ces problèmes. En effet, des constructions très simples mêlant rectangles et carré font surgir facilement le nombre d'or, de même que la racine de 2 sort naturellement d'un carré. Mais, il n'y a aujourd'hui aucune preuve montrant que les égyptiens ou les mésopotamiens aient utilisé plus ces constructions dorées dans leurs activités pratiques que d'autres.
Quant aux solutions arithmétiques, elles sont liées à des procédés de calculs empiriques menant à des approximations, parfois étonnantes si on fait référence au calcul précis d'une valeur approximative de racine(2) dans les mathématiques mésopotamiennes (Tablette YBC 7289). Mais ni les anciens mésopotamiens ou grecs n'ont eu conscience que ces approximations avaient pour limite des entités numériques ou nombres au sens moderne du terme, il en est ainsi pour le nombre d'or, mais surtout pour Pi. Ce seront les grecs qui feront ce lien.
Ainsi la notion de limite était inconnue des anciens, certes ils en avaient de vagues idées ou intuitions qui pouvaient d'ailleurs être fausses. Il suffit de penser aux paradoxes de Zénon. Ainsi, il n'imaginaient pas que le rapport du périmètre du cercle à son diamètre fut la même chose que le rapport de l'aire du disque au carré du rayon.
Une notion claire de la limite sous-entend un cadre mathématique rigoureux (elle ne fut introduit qu'au 19e siècle) qui permet d'en donner une définition et d'en déduire des propriétés et à partir duquel on peut dire que la notion de limite est connue.




[1] Otto Neugebauer, les sciences exactes dans l'antiquité, 1990
[2] Sylvia Couchoud, Mathématiques égyptiennes, 1993

[invite51d17075]

Comme ils avaient admis le théorème de pythagore, et se posaient des problèmes géométriques reliant carrés, rectangles, cercles il est sûr qu'ils ont rencontré le nombre d'or [2]

merci pour les infos et ref, mais j'ai quand même un doute sur le dernier point.
n'ayant pas lu ce livre, je ne sais d'où vient cette déduction très affirmative.
d'autant qu'il n'y en a pas de trace réelle de qcq nature que ce soit.
cordialement.

[invitef29758b5]

Il suffit de compter jusqu'à 1 pour "rencontrer" le nombre d' or
1 = Ψ² - Ψ

[invitedd63ac7a]

je ne sais d'où vient cette déduction très affirmative. d'autant qu'il n'y en a pas de trace réelle de qcq nature que ce soit.
cordialement.

C'est Sylvia Couchoud qui est affirmative dans sa préface, cf. mon message précédent. En feuilletant son livre, je n'ai rien trouvé de précis qui pourrait illustrer cette phrase. C'est peut être dans les myriades d'exercices qui nous sont parvenus [1] qu'elle a trouvé un exercice faisant référence au nombre d'or. Il est possible que les anciens égyptiens aient rencontré ce que nous appelons le nombre d'or, par hasard, mais ils n'aurait évidemment pas vu l'aspect prétendu extraordinaire de ce nombre. C'était un exercice comme un autre sur lequel aucun commentaire particulier ne nous est parvenu.

[1] Sylvia Couchoud, Mathématiques Egyptiennes, p.169

[shub22]

Le égyptiens n' utilisaient pas le nombre d' or , il ne le connaissaient probablement pas .
Quand aux autres civilisations , c' est une supposition sans fondement .


La notion de limite est récente .

######### supprimé


######### supprimé
https://www.maths-et-tiques.fr/index...le-nombre-d-or
Extrait

On retrouve des traces du nombre d’or bien avant les grecs. En Egypte par exemple, coïncidence ou volonté d'y parvenir, le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops (mesurée par Thalès de Milet (-624 ; -548)) par sa demi-base est égal au nombre d'or.

######### supprimé

P.S. Il y a effectivement l'homme de Vitruve de Leonard comme dessin d'incipit.
Si vous aviez fait l'effort de lire, la phrase en extrait est au 4ème paragraphe
Le site en question (ref. Ci-dessus) est un espace de formation dédié aux profs, donc sérieux. A moins que vous ne disiez le contraire ce qui serait culotté de votre part car beaucoup de modérateurs ici sont sans doute des professeurs aussi...

[invitef29758b5]

Le site en question (ref. Ci-dessus) est un espace de formation dédié aux profs, donc sérieux

Concernant l' article sur le nombre d' or , ça manque de sérieux .
Monsieur Monka se contente de répéter les âneries qu' il a trouvé sur le net .
La première phrase donne le ton :
"Un nombre étonnant, mystérieux et magique ..."
Pas digne d' un prof .

[invite51d17075]

@shubb!
c'est dit en une phrase dans ce lien, mais c'est faux. (*)
en revanche il a bien comparer la hauteur avec le demi-coté.
mais tout cela était dans le cadre de ses mesures pour son fameux théorème.
tout cela en comparaison de la taille de l'ombre de son baton .....

tu veux plus de détails. ?

(*) d'ailleurs ce n'est cité nul part ailleurs ...

[shub22]

Oui ansset je veux bien plus de détails. Tout m'intéresse: surtout quant c'est à ma portée de compréhension haha
Et ça, ça doit l'être...
Sinon un nombre étonnant mystérieux et magique oui sans doute...
Il se retrouve un peu partout dans la nature comme le dessin des spirales d'une coquille marine. Ou plus étonnant mais pas forcément si on y réfléchit dans le choux romanesco, les pommes de pin etc.
Donc à croire que Platon Galilée et Einstein avaient (partiellement) raison en disant que la Nature est écrite en langage mathématique.
Maintenant dire que tout, absolument tout est écrit en langage mathématique là je m'avancerais pas.

[invite51d17075]

voilà comment il aurait procédé pour valider le théorème qui porte son nom ( c'est plus bas dans la page )
http://histoiredechiffres.free.fr/mathematiciens/thales.htm


même s'il semble qu'il était déjà connu avant lui.
ha ! l'histoire des maths

[invitedd63ac7a]

L'histoire de Thalès et son prétendu théorème a pour origine les deux textes suivants :
Pline
Thalès de Milet a trouvé une méthode pour mesurer la hauteur [des pyramides], en mesurant leur ombre à l'heure où elle est régulièrement égale à son.objet (Histoire naturelle, XXXVI, 82).
Plutarque
Dressant seulement à plomb un bâton au bout de l'ombre de la pyramide, et se faisant deux triangles avec la ligne que fait le rayon du Soleil touchant aux deux extrémités, tu montras qu'il y avait telle proportion de la hauteur de la pyramide à celle du bâton, comme il y a de la longueur de l'ombre de l'un à l'ombre de l'autre. (Le banquet des Sept Sages, 2, p.147 A)

Pline l'Ancien vivait au premier siècle après JC, Plutarque au 4e siècle, ils n'étaient pas mathématiciens sinon d'être gens cultivés dans la plupart des connaissances de l'époque. Thalès vivait au 6e siècle. On est donc en présence de témoignages rapportés au moins 7 siècles après les faits par des gens qui étaient loin d'avoir la rigueur et la précisions des historiens d'aujourd'hui. Autrement dit, on a plus de chance d'être en présence d'un mythe ou d'une belle histoire que du compte rendu d'une expérience scientifique.

Les deux textes sont issus de l'ouvrage de Jean-Paul Dumont, Les écoles présocratiques

[polo974]

La pyramide de Khéops atteignait 146 mètres de hauteur (actuellement 138 mètres) pour une base de 230 mètres

146 / (230/2) = 1.27 environ,

oups, ça fait un demi pouce...

ok, on reprend 1.27, on l'élève au carré, et on y arrive péniblement... again

[pm42]

146 / (230/2) = 1.27 environ,

Excellente illustration du fait que quand on veut croire à quelque chose, on ne s'embête pas avec les chiffres et on ne prend même pas la peine de vérifier.

[invite51d17075]

Le site en question (ref. Ci-dessus) est un espace de formation dédié aux profs, donc sérieux. A moins que vous ne disiez le contraire ce qui serait culotté de votre part car beaucoup de modérateurs ici sont sans doute des professeurs aussi...

c'est bien vite dit.
il s'agit d'un site perso.( en parti probablement financé par Casio )
d'ailleurs certaines vidéos laissent un peu à désirer.
celle ci sont d'ailleurs dédiées à des élèves et non à des profs.

bref, aucun rapport avec l'éducation nationale.

[shub22]

c'est bien vite dit.
il s'agit d'un site perso.( en parti probablement financé par Casio )
d'ailleurs certaines vidéos laissent un peu à désirer.
celle ci sont d'ailleurs dédiées à des élèves et non à des profs.

bref, aucun rapport avec l'éducation nationale.

Dont acte. Si j'ai un peu d'argent de côté je vais financer une expédition à Gizeh pour vérifier ce qu'ils disent est vrai. Ou faux.
Plus facile qu'anticiper puis découvrir le neutrino: donc à ma portée hahah

[invitedd63ac7a]

Le site en question (ref. Ci-dessus) est un espace de formation dédié aux profs, donc sérieux.

Attention, ce n'est pas parce que c'est un site qui concerne l'Education Nationale qu'il sera conforme à la rigueur scientifique que l'on trouve à l'Université. Je m'explique : le but premier de l'Education Nationale en France est d'instruire les élèves jusqu'au bac ou niveau équivalent. La problématique, qui n'est pas simple, est de développer avant tout de la Pédagogie liée à l'enseignement de programmes déterminés et non de faire des recherches sur l'origine, la validité ou le développement de connaissances liées à ces programmes, ces derniers points étant dévolus à l'Université. Bien sûr, les instructions ministériels nous suggèrent de rester dans la rigueur et la précision, mais instruire les jeunes enfants nécessite parfois de faire quelques légères entorses à la rigueur universitaire qui se réduisent la plupart du temps à résumer un peu rapidement des situations complexes et/ou à ne pas citer de multiples références. Je donne un exemple : pour enseigner les complexes en terminale S, on raconte l'histoire, quelque peu amusante et parfois romancée (Il faut bien capter l'attention des élèves) de la résolution de l'équation du 3e degré par Tartaglia et Cardan en Italie. Le but n'étant pas ici d'enseigner l'histoire avec rigueur ce qui ennuierait les élèves et ferait perdre de vue le but qui est de faire comprendre pourquoi on va utiliser Racine(-1).

[invite51d17075]

Il ne concerne même pas l'éducation nationale.
sinon, il y aurait le logo.
et je t'invite à regarder le contenu.
il ne me semble pas du tout destiné au enseignants.

[invitedd63ac7a]

Il s'agissait du site référencé par shub22
https://www.maths-et-tiques.fr/index...le-nombre-d-or
Il s'agit d'un site non officiel comme il y en a plusieurs, créés par des gens de bonne volonté, vraisemblablement des professeurs. Ce site est tout à fait représentatifs de ce que je disais. C'est bien fait et cela permet de raconter de belles histoires aux élèves, mais il ne faut pas si tromper, il ne satisfait pas à la rigueur scientifique, ce qu'il ne prétend pas d'ailleurs. Cela permet aux professeurs de trouver des idées pour leurs cours, mais on peut effectivement discuter de la pertinence de tels sites où des connaissances certaines et d'autres seulement vraisemblables sont mises au même niveau et qui, prises à la lettre par le lecteur, peuvent faire croire que tout ce qui est affirmé est conforme à la vérité scientifique.

[shub22]

Toute cette discussion me renvoie à des cours de D.E.A d'histoire des sciences et épistémologie où ces problèmes étaient évoqués.
Avec des référents paraît-il fameux comme Pasteur, selon un professeur, voulant tellement convaincre son public que l'origine de la vie obéissait à son point de vue (et qui s'est révélé le bon) qu'il a été "prouvé" que lors de récits d'expérience qu'il avait fait en public à la Sorbonne, une avait été manifestement inventée pour servir son but.

Là dans ce cas précis de rapport de hauteur de cette pyramide, à mon avis ça doit être facile à vérifier.

Excellente illustration du fait que quand on veut croire à quelque chose, on ne s'embête pas avec les chiffres et on ne prend même pas la peine de vérifier.

Pour paraphraser, quand on veut prouver quelque chose il arrive qu'on s'embête pas de savoir si ce qu'on relate comme expérience est vraie ou non.
Qu'on l'a effectuée ou pas. D'où peut-être la question du protocole et de la reproductibilité d'une expérience qui s'est mis en place après
Tout dépend de ce qu'on a ou qui on a en face de soi et le contexte du XIXème siècle en Europe est marqué par un affrontement idéologique entre science et religion, beaucoup plus intense que maintenant du fait d'un mouvement vers la sécularisation.
Un débat ou une controverse surdéterminée comme on dit... D'où naitra probablement le concept de "vérité scientifique" mais qui est loin d'être évident pour l'époque
Toutes les époques sont intéressantes % à l'histoire des sciences mais celle du XIXème siècle l'est particulièrement à mon avis.

[invite6486d7bd]

Toute cette discussion me renvoie à des cours de D.E.A d'histoire des sciences et épistémologie où ces problèmes étaient évoqués.
Avec des référents paraît-il fameux comme Pasteur, selon un professeur, voulant tellement convaincre son public que l'origine de la vie obéissait à son point de vue (et qui s'est révélé le bon) qu'il a été "prouvé" que lors de récits d'expérience qu'il avait fait en public à la Sorbonne, une avait été manifestement inventée pour servir son but.

Et ce n'est pas le seul.

« Au commencement était Mendel, ruminant ses pensées solitaires. Puis il dit : « Qu’il y ait des pois » et il y eut des pois, et cela était bon. Puis il mit ces pois dans le jardin et leur dit : « Croissez et multipliez-vous (…)» Ainsi firent-ils et cela était bon. (…) Puis advint que Mendel rassembla ses pois et les sépara en graines rondes et ridées (…) il vit alors qu’il y avait 450 pois ronds et 102 pois ridés. Cela n’était pas bon. Car la loi stipule qu’il doit y avoir 3 ronds pour un ridé. Mendel, pris d’un juste courroux, frappa sur la table et dit : « Eloignez-vous de moi, pois maudits et diaboliques, retournez dans les ténèbres où vous serez dévorés par les rats et les souris ! » et il en fut ainsi ; il ne resta plus que 300 pois ronds et 100 pois ridés, et cela était bon. Excellent, même. Et Mendel le publia. »

http://dessousdescience.blogspot.com...-genie-de.html

[JPL]

Pour Mendel il était évident qu’il avait trouvé les bonnes proportions et une hypothèse est que le moine qui lui servait de jardinier et qui faisait les comptages aurait écarté un certain nombre de petits pois pour que les résultats fassent plus propres. D’ailleurs ce type de pratique a perduré longtemps et dans la première moitié du XXe siècle (et même plus tard) il était courant d’écarter les résultats d’expériences qui semblaient atypiques en considérant que la manip avait foiré ou que le résultat était aberrant. L’utilisation d’outils statistiques rigoureux ne s’est imposé que tardivement. Je parle là de la biologie, pas de la physique.

[invite6486d7bd]

Pour Mendel il était évident qu’il avait trouvé les bonnes proportions et une hypothèse est que le moine qui lui servait de jardinier et qui faisait les comptages aurait écarté un certain nombre de petits pois pour que les résultats fassent plus propres. D’ailleurs ce type de pratique a perduré longtemps et dans la première moitié du XXe siècle (et même plus tard) il était courant d’écarter les résultats d’expériences qui semblaient atypiques en considérant que la manip avait foiré ou que le résultat était aberrant. L’utilisation d’outils statistiques rigoureux ne s’est imposé que tardivement. Je parle là de la biologie, pas de la physique.

C'est exactement ça que l'on fait alors lorsqu'on prétend retrouver le nombre d'or (par exemple dans la spirale d'une inflorescence de tournesol) .
On n'est pas à une petite décimale près.

[JPL]

Je précise également que j’étais entouré de laboratoires qui ne tenaient aucun cahier de manipulation au sens formalisé d’un registre daté faisant référence.

[Cendres]

Pour le tournesol, on a aussi ceci: https://www.pourlascience.fr/sd/biop...uees-11688.php
Un livre aussi est sorti: https://www.editions-ulmer.fr/editio...al--426-cl.htm

[invite14397db8]

Je précise également que j’étais entouré de laboratoires qui ne tenaient aucun cahier de manipulation au sens formalisé d’un registre daté faisant référence.

ça se fait toujours tkt, avec des "chefs" qui ne signent/ relisent jamais rien.

[pm42]

Je viens d’apprendre quelque chose sur le nombre d’or dans le Pour La Science spécial sur les nombres.
C’est pour faire simple l’irrationnel qui s’approche le moins facilement par les rationnels.

Si quelqu’un peut en dire plus, c’est bien. En attendant : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Spectre_de_Lagrange

[stefjm]

On dit aussi couramment que c'est le nombre le plus irrationnel possible.

C'est aussi un nombre de Pisot : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre...Vijayaraghavan
Ses puissances entières s'approchent d'un entier.