Comment peut-on établir une hiérarchie au sujet de l' "irrationnalité" d'un nombre irrationnel ?
Là j'avoue que ça me dépasse
En quoi e serait-il plus ou moins irrationnel que π ??
Est-ce que ça a à voir par hasard avec les théorèmes de Cauchy sur les suites et séries (vieux souvenirs haha) ?
“L'eau ferrugineuse, NON !”
Voir le lien donné par pm42!
ou bien cela : https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Liouville
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Salut,
C'est en rapport avec l'approximation (encadrement) des irrationnels par des rationnels, les fractions continues,....Envoyé par shub22
Voir les liens donnés.
(Je trouve que c'est intéressant mais.... sans plus, je ne connais pas d'application mais je ne suis pas mathématicien).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Toutes ces digressions sur les irrationnels avec pour arrière fond le mythique nombre d'or sont passionnantes.
C'est d'ailleurs une propriété générale de ces nombres. On sait depuis Liouville que les irrationnels se partagent en deux familles : les irrationnels algébriques, chacun racine d'un polynôme de Z[X] irréductible sur Z et les irrationnels transcendants non racine de polynômes à coefficients dans Z. Un théorème de Liouville (1844) montre que les irrationnels algébriques sont "lentement" approchables par des rationnels. La phrase est un peu absconse mais traduit la relation suivante établie par Liouville(*).
x irrationnel algébrique racine d'un polynôme de degré d, à coefficients dans Z et irréductible sur Z; q, p des entiers et C une constante réelle.
Ce qui est intéressant, c'est que Liouville a fabriqué des nombres irrationnels qui ne tombe pas sous cette relation et donc sont transcendants (nombres de Liouville). Ce sont les premiers nombres transcendants qui ont été exhibés, les transcendances de Pi et e furent démontrées plus tard.
Il est assez curieux de remarquer que l'ensemble des nombres de Liouville a la puissance du continu comme IR mais que c'est un "petit ensemble" car peu de réels sont des nombres de Liouville.
(*) Sa démonstration est simple et de niveau L1, c'est une des rares démonstrations simples dans les questions de nombres transcendants.
Dans le même ordre d'idée, voici quelques variations sur la suite de Fibonacci tirées de Michel Waldschmidt, Un demi-siècle de transcendance. Ces résultats montre bien l'aspect fascinant que le nombre d'or et ses mythes exercent, même sur des mathématiciens qui ont du passer un certain temps à étudier les séries suivantes. Il n'est d'ailleurs pas assuré qu'on obtiendrait pas des résultats analogues avec d'autres suites/séries plus communes...
Il reste juste la question de savoir si l'humain est plus ou moins irrationnel que le nombre d'or...
en courant...
Jusqu'ici tout va bien...
Oui, merci pour toutes les infos que tu as données.
On arrive aussi à faire apparaitre le nombre d'or en lien avec l'ensemble triadique de Cantor (un de mes ensembles préférés), ce qui est amusant : https://fr.wikipedia.org/wiki/Dimens...lier_classique
