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Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi



  1. #1
    LuluHaku

    Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi


    ------

    Bonjour à tous,

    Je me pose la question suivante : Existe t'il une méthode de construction géométrique permettant de mettre en relation un segment dont la longueur serait strictement égale à celle d'un cercle appartenant à la même figure. En gros si on prenait ce segment et qu'on le courbait pour l'enrouler on obtiendrait le même cercle et la longueur de ce segment serait égale au périmètre de ce cercle. On pourrait ainsi connaitre le périmètre d'un cercle sans avoir recours à Pi mais simplement par construction. Cette méthode existe-t-elle et si oui quelle est cette figure ?

    Merci d'avance pour vos réponses.

    Luc

    -----

  2. #2
    erik

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Salut,
    Si j ai bien compris ta question, tu voudrais construire, pour un cercle donné, un segment de taille égale au périmètre du cercle. J'imagine que quand tu parles de construction géométrique, tu veux dire à la règle et au compat.
    Dans ce cas ton problème ressemble furieusement au problème de la quadrature du cercle.
    Et alors la réponse est simple, inexorable, définitive : c'est non, une telle construction est impossible.
    Des milliards de personnes disent que j'exagère. Même pas vrai !

  3. #3
    LuluHaku

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Oui c'est ça, à la règle et au compas. C'est bizarre je ne comprends pas pourquoi ça serait impossible, parmi toutes les possibilités existantes il doit bien y avoir une construction complexe ou non qui peut mettre en rapport un ou plusieurs segments avec un ou plusieurs cercles. C'est étrange. Merci pour la réponse.
    Dernière modification par LuluHaku ; 23/11/2022 à 17h04.

  4. #4
    pm42

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Le problème, c'est qu'à la règle et au compas on ne peut pas tout construire et notamment rien qui représente un nombre irrationnel https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_constructible

    Ce que tu cherches à faire ressemble à la quadrature du cercle : https://fr.wikipedia.org/wiki/Quadrature_du_cercle

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Archi3

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Citation Envoyé par pm42 Voir le message
    Le problème, c'est qu'à la règle et au compas on ne peut pas tout construire et notamment rien qui représente un nombre irrationnel https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_constructible
    pas irrationnel mais non algébrique (non solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers) : on peut construire facilement racine(2) par exemple comme dit dans ta référence (en revanche tous les nombres algébriques ne sont pas constructibles)
    Le plus dur n'est pas de piger les raisonnements compliqués, mais d'accepter les simples.

  7. #6
    erik

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Citation Envoyé par pm42 Voir le message
    Le problème, c'est qu'à la règle et au compas on ne peut pas tout construire et notamment rien qui représente un nombre irrationnel
    Tu es trop restrictif pm42, je ne me souviens plus des conditions pour qu un nombre soit constructible, mais certains (au moins) irrationels le sont, racine de 2 par exemple esr très facile à construire.

    EDIT : doublon avec Archi3, qui apporte la précision non algébrique, qui me manquait
    Dernière modification par erik ; 23/11/2022 à 18h07.
    Des milliards de personnes disent que j'exagère. Même pas vrai !

  8. #7
    pm42

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Oui au temps pour moi : erreur de frappe vu que j'avais vérifié les références avant.
    Merci pour la correction.

  9. #8
    MissJenny

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Citation Envoyé par pm42 Voir le message
    Le problème, c'est qu'à la règle et au compas on ne peut pas tout construire et notamment rien qui représente un nombre irrationnel https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_constructible
    bizarrement cette page wiki ne cite pas la théorie de Galois, qui me semble pourtant être la plus à même d'éclairer cette question des nombres constructibles.

  10. #9
    ThM55

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    A la règle et au compas non. Mais il suffit d'enrouler un fil autour du cercle, de le couper à longueur du périmètre et puis de le dérouler. On n'utilise pas pi jusque là.

  11. #10
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Salut,

    On n'est en effet pas obligé de se limiter à la règle et au compas pour construire des figures.

    Concernant la quadrature du cercle, il est à noter que ce n'est pas du tout intuitif. Ce fut très longtemps un problème ouvert.
    Pour ce qui est des nombres constructibles, ce fut constaté assez tôt (je ne sais plus la date (*)).
    Mais démontrer que pi était transcendant et donc non constructible ne fut pas facile : Lindemann 1882
    (*) après recherche, pas si tôt que ça en fait, Wantzel 1837.
    Et on se posait la question depuis l'antiquité !!!!

    Ca fait donc appel à des outils assez costauds.
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  12. #11
    Médiat

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    est constructible si, et seulement si, il existe une suite finie croissante (pour l'inclusion) de sous-corps de , , tel que , et pour tout , .
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  13. #12
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Médiat, donner ça un vendredi, c'est criminel
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  14. #13
    Médiat

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Je vais essayer de sauver ton week-end : cela veut dire que est constructible, mais ne l'est pas.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #14
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je vais essayer de sauver ton week-end : cela veut dire que est constructible, mais ne l'est pas.
    Bizarrement j'ai compris (le message d'avant, grâce à, ça)
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  16. #15
    Daniel1958

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Bonjour


    On peut donner une des méthodes les plus approchantes de la valeur de PI

    Wikipédia Srinivasa Ramanujan https://fr.wikipedia.org/wiki/Sriniv...et%20originale.

    Cordialement

  17. #16
    Deedee81
    Modérateur

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Ah oui, j'ai dû chercher un peu mais il donne en effet une approche géométrique. J'ignorais cela.

    J'avais vu aussi une excellente méthode approchée de la trisection (pas de Ramanujan) mais je ne me souviens plus comment c'était. Mais en tout cas, ce genre de méthode peut être sympa pour un maçon (quoi qu'avec les instruments qu'on a, c'est sans doute se casser la nénette pour rien )
    "Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)

  18. #17
    Médiat

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Pour être vraiment clair :
    Le premier : non
    Le deuxième : oui
    Images attachées Images attachées
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #18
    Médiat

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    En tout état de cause 3.14159265 est constructible, 355/113 aussi et "facile" à construire.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #19
    Daniel1958

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    pas irrationnel mais non algébrique (non solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers) : on peut construire facilement racine(2) par exemple comme dit dans ta référence (en revanche tous les nombres algébriques ne sont pas constructibles)
    Je tente : un triangle rectangle avec deux cotés A et B égaux à un soit C=Racine (12+12) soit Racine de 2


    Cordialement


    ps j'ai peut être dit des bétises

  21. #20
    Ernum

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Salut,

    Citation Envoyé par Daniel1958 Voir le message
    ...

    ps j'ai peut être dit des bétises
    non, non, c'est ça, la diagonale d'un carré de coté 1 quoi.

  22. #21
    Ernum

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    D’ailleurs, je ne sais pas si vous connaissez ce jeu en ligne, le but est de satisfaire différents énoncés géométriques avec le minimum de "tracés". On parle parle ici de règle et de compas uniquement.
    J'en suis à Lambda (niveau11) pour l'instant, fraudait que je m'y remettes.

    https://www.euclidea.xyz/en/
    Dernière modification par Ernum ; 25/11/2022 à 17h50.

  23. #22
    Daniel1958

    Re : Périmètre d'un cercle sans utiliser Pi

    Ben quand je vois la science de Médiat dans sa formulation. Cette définition est tellement complexe pour moi que je marche sur des œufs. J'ose plus quoi dire. C'est un peu ce qui m'a éloigné des maths.


    Cordialement


    Cela dit je vais tester le jeu (s'il n'est pas trop frustrant)

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