mathématiques et réalité

[invite4793db90]

Bonjour,

pour compléter la réponse de Sephi, il y a bel et bien des règles du jeu, donc le côté ludique n'est pas complètement à exclure. On peut d'ailleurs choisir une version ou une autre des règles du jeu (cf. axiome du choix ou analyse non-standard, par exemple).

Cependant, ces règles de base (l'axiomatique) ont été pensées afin que de traduire l'intuition: typiquement, une règle de Peano est que le successeur d'un nombre entier est un nombre. En effet, on ne s'attend pas à ce que 4+1=table.

Enfin, les objets mathématiques semblent avoir une existence propre et se comporte de manière insoupçonnée: c'est ce qui fait la "magie". Imagine Euler lorsqu'il s'est rendu compte que 1+1/4+1/9+1/16+...=pi²/6 !!

Cordialement.
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[invitee65b1c3d]

La contrainte principale des mathématique est la cohérence, après on peut y faire plus ou moins ce que l'on veut. Evidemment, ne sera gardé que ce qui est utile (qui a encore entendu parlé de la théorie des types ?).

La force des mathématiques c'est de tirer des conclusions exactement vraie sur des objets abstraits.
Par modélisation mathématique, on va pouvoir utiliser ces raisonnement dans des cas très concrets (informatique, physique.... ).

Il n'empèche que la plupart des découvertes mathématiques sont conditionnées par les progrès et les besoins techniques de d'autres domaines scientifiques : La théorie du traitement de l'image n'a vue le jour qu'après que les ordinateurs soient capable de traiter des images.... etc.

[invite441ba8b9]

Les mathématiques expriment-elles la réalité ou bien est-ce un jeu d'esprit?

Pour ma part, je répondrais à la question par le principe anthropique dans sa version faible. C'est certes un principe tautologique (de même que le Cogito ergo sum cartésien) mais il a quand même son importance. Il implique que toute théorie émergente de notre réalité, qu'elle soit physique ou mathématiques (car je pense que l'un ne va pas sans l'autre), a pu être élaboré du fait de notre propre existence; on peut ainsi supposer que si notre réalité aurait été différente nous n'existerions certainement pas en tant que tels.

Maintenant pour répondre à la question, je pense que les deux réponses sont valables: les mathématiques expriment la réalité tout en étant un jeu de l'esprit.

Je m'explique: la quantification de notre réalité est nécessaire à notre existence. D'ailleur n'est ce pas pour celà que la mécanique quantique a été créé?... Pour éviter certaines incohérences de calcul limitées aux théories classiques. En effet, nous ne pouvons nous satisfaire des paradoxes de Zenon (l'exemple de la flèche qui n'atteind jamais son but est révélateur). On ne peut donc inclure dans notre réalité l'infiniment petit.

L'infini est une idée tel le néant ou même dieu, on croit pouvoir les cerner mais ce n'est jamais le cas car ils sont tout bonnement impossible à concevoir physiquement et seul le physique nous est accessible par l'expérience notamment.

Mais est-ce également un jeu de l'esprit? Pour cela, j'évoquerais le solipsisme selon lequel la réalité immane du sujet pensant. Toute réalité n'est donc que subjective pour chaque observateur. La théorie des mondes multiples est un très bon exemple pour illustrer cette théorie philosophique (à l'opposé de notre si chère aristotélisme). En effet, d'après cette interprétation de la physique quantique, chaque intéraction physique/chaque instant serait divisible pour un grand nombre d'observateur conservant chacun leur propre réalité. Donc on pourrait définir deux types de réalité: celle subjective et perçu et celle objective qui assurerait notre existence.

Les mathématiques expriment donc bien la réalité dans son sens philosophique: c'est à dire le monde perçu par nos sens. Car sans celles-ci, la réalité n'aurait justement plus de sens. Par conséquent la réalité dont les mathématiques seraient également un jeu de notre esprit. En notre absence, les mathématiques pourraient peut être différentes.

On pourrait encore émettre quelques questions à ce sujet. Par exemple un être pourrait-il percevoir des mathématiques différentes des notres?

Sources:

Wikipedia: http://fr.wikipedia.org/
Thèse de Bruno Marchal sur le Computationalisme: une possible réduction psychologique de la physique: http://iridia.ulb.ac.be/~marchal/

[invite0e4ceef6]

ce qu'il me semble, c'est que les mathématique sont d'abord un language et phonétique de surcroit.. un et deux et trois... je sais qu'il existe des mathex qui servent de visualisation des chiffres pour faire leur calcul. calcul qui dans un cas comme dans l'autre, reste intuititif, le cerveau a d'emblé les fonctions qui permette la comparaison, l'egalité, le denombrement, le reste, addition, multplication division, etant des tables de calculs, des techniques de resolution de problème directement, et devenant par force d'exercice des automatismes... au même titre que tout language.. l'on peu dire que la langue mathmatique est un mode descriptif des relations et système logique basé sur les chiffres et les nombres...

a mon avison ne peux pas dire qu'un language humain soit une réalité parcequ'il est en adéquation avec le réel ou qu'il permet d'en traduire une part de la réalité... les lettre n'existe pas en dehors de leur représentation psychique, ce qui n'est deja pas si mal... les mathématique sont un outils de description de relation logique présent dans le monde... si ce language a un interet pour nous c'est que le monde a d'emblé une causalité qui lui est propres, des liants naturel par lequel les choses evoluent.. nous même avont de nous-même selectioné cette fonction logique, ou plutôt analogique pour une plus grande facilité de vie... maitriser la causalité naturelle du monde c'est avoir un avantage clair... les mathématique se existe de part cette capacité, au même titre que la philosophie se sert du language alphabétique pour le traduire le réel..

ni l'un ni l'autre ne semble avoir de réalité audela de notre cerveau...ormis bien sur tout les artéfacs que ceux-ci nous permette de réaliser... quand les mathématiciens oeuvre, n'est-ce pas plutôt tout le champs de la logique numérale qu'il cartographie, tendis que les physiciens eux, ne se servent que d'une partie de celle-ci pour cartographier le monde... le rendre explicable et concret, utilisable...

[invite4793db90]

Salut,

je ne suis pas vraiment en désaccord avec ce que tu dis, quetzal, mais j'insisterai simplement sur le fait que les mathématiques ne s'occupent guère des nombres, mais beaucoup plus des relations. En fait, toutes les mathématiques se pensent comme associations, comparaisons, applications entre différents objets (étant eux-mêmes fruits d'associations...).
En bref, le concept fondamental en mathématique n'est pas le nombre, mais la correspondance.
Ceci pour relativiser le fait que les mathématiques se résument à un alphabet.

Cordialement.

[invite0e4ceef6]

je te remercie pour la précision, les mathématique n'etant pas trop ma tasse de thé.. mais c'est ce que j'essayais de dire avec difficulté que les maths cartographiais un quelque chose, or ci ce n'est celui des nombres, c'est celui des relations logique via les nombres. est-ce mieux??

[invite06fcc10b]

Je sais que l'on a fait dire beaucoup de choses au théorème d'incomplétude de Gödel, mais il me semble quand même que les mathématique contiennent une limite intrinsèque.
Il existera toujours des propositions mathématiques échappant à la démonstration, et même en intégrant celles-ci dans un système d'axiomes, il y en aura d'autres. Comment dans ce cas les mathématiques pourraient-elles exprimer l'ensemble des réalités possibles ?

Je ne saisis pas votre questionnement.
Les mathématiques contiennent une limite intrinsèque, c'est sûr. Et alors ? Pourquoi quelque chose de limité serait-il inapproprié pour exprimer l'ensemble des possibles ?
Une proposition n'est vraie que si elle est un axiome ou qu'elle est démontrable. Toute autre proposition ne peut être admise pour vraie, puisque justement elle n'a pas été démontrée. En quoi cette limite permet-elle de penser qu'il existerait quelque chose de plus que les mathématiques, puisque cette limite a été mathématiquement démontrée !?

[invite06fcc10b]

L'infini est une idée tel le néant ou même dieu, on croit pouvoir les cerner mais ce n'est jamais le cas car ils sont tout bonnement impossible à concevoir physiquement et seul le physique nous est accessible par l'expérience notamment.

???
1) En physique, on peut tout à fait concevoir des univers infinis. Le fait que ce ne soit pas accessible par l'expérience ne nous empêche pas de penser et de concevoir leurs propriétés de façon théorique.

2) Un certain nombre de résultats scientifiques laissent à penser que l'infini n'est pas de notre univers ! Par exemple, les quarks seraient bien les plus petites particules et l'énergie comme la masse sont des multiples de certains quantas (donc pas de nombres décimaux), ce qui a d'ailleurs donné le nom à la mécanique quantique !

Autre chose, les mathématiques "expriment la réalité" car elle est régie par des lois mathématiques, ou la réalité est un objet mathématique ?

[invite309928d4]

Des questions en vrac, en attendant de mettre en forme des réponses :

Du point du vue du langage et du symbolisme :
Tout ce qui est intelligible est-il mathématisable ?
Peut-on comprendre quelque chose sans pouvoir le symboliser ?
Qu'est-ce que l'intuition ?

Du point de vue d'une logique des relations :
Toute chose est-elle relationnelle ?
Comprendre signifie-t-il mettre en relation ?
L'évidence ne concerne-t-elle que des axiomes ou bien peut-elle s'étendre à tout, annulant toute nécessité de relation, de déduction ?

[Aigoual]

Bonjour à tous,

Si je peux apporter ma petite pierre, je pense que tout ceci peut se résumer à une question de définition du réel.

Qu’est ce que le réel ?
Le réel se contente… d’être !
Il est donc tautologique, indémontrable, impossible et néanmoins incontournable.

Je m’explique :
Tautologique : le réel est l’intégralité de ce qui est, y compris ses propres représentations (en ce sens, les mathématiques font partie du réel, même si elles ne le sont elles-mêmes objet « réel »)
Indémontrable : à la manière d’un postulat, puisque tautologique.
Impossible : Toutes les lois internes à l’univers (telle l’entropie, par exemple) tendent à prouver qu’il ne devrait y avoir rien. Pourquoi y a t’il donc quelque chose ? Pour cela, il nous faut supposer un externe au réel. Mais que peut bien être cet externe ? Comment le penser ?
Incontournable : Ben oui, puisque moi au moins, « je suis » (sans pouvoir le prouver, ni certifier que le reste soit…)

Que sont les mathématiques en regard ?
Un système de représentation du réel, reposant intégralement sur un tout petit nombre de postulats tautologiques et (par définition) indémontrables.
De plus, ce système de représentation exige que le réel possède une cohérence interne unique et continue. Faute de quoi, plus rien ne serait déductible. Or, cette cohérence est également un postulat indémontrable, qui d’ailleurs trouve sa limite précisément dans le fait qu’il y a quelque chose, là où il ne devrait rien y avoir…

En synthèse, on pourrait dire que, quel que soit sa finesse, aucune représentation du réel ne peut prétendre être le réel lui-même. Faute de quoi, ce ne serait plus une représentation (notez que ce serait pratique : il me suffirait d’avoir la photo d’une Ferrari pour avoir la Ferrari…). Les mathématiques n’échappent pas à la règle.

Votre avis ?

Aigoual.

[invite0ad4995a]

Bonjour
1/ Je pense que non dans la mesure ou pour pouvoir conceptualiser mathematiquement quelque chose d'intelligible il-y-a necessite d'utiliser des outils. Or tous les outils des mathematiques ne sont pas (encore) connu rendant ainsi impossible la possibilite de pouvoir mathematiser tout ce qui est intelligible (et peut etre que tous ces outils sont en nombre infini alors...).
2/Je pense que non car pour pouvoir comprendre quelque chose il faut d'abors se representer le cadre dans lequel le concept s'instruit. De ce fait pour pouvoir s'imaginer a l'aide de symbole ce qu'on a compris il faut reelement comprendre le concept. La est je pense la seule necessite (ce qui se concoit bien s'enonce clairement...les symboles pouvant etre des notions/idees.)
3/L'intuition est ce par quoi le cerveau essaye de trouver des reponses sans qu'un savoir theorique ne soit necessaire (raison inconsciente?). Paradoxe, la raison peut etre guide par l'intuition qui elle est l'exercice conscient du cerveau (le Moi dirige)

[invite4793db90]

Salut,

Que sont les mathématiques en regard ?
Un système de représentation du réel [...]

Non, les mathématiques ne sont pas une science du réel: la question de bardamu Tout ce qui est intelligible est-il mathématisable ? rend bien compte de la difficulté à formaliser certains évènements avec ce qui demeure néanmoins l'outil le plus puissant du point de vue scientifique.

Cordialement.

[invite19415392]

Je vais m'essayer aux questions de Bardamu :

Du point du vue du langage et du symbolisme :
Tout ce qui est intelligible est-il mathématisable ?

Ça dépend de ce qu'on entend par intelligible d'un côté, et mathématisable de l'autre

Peut-on comprendre quelque chose sans pouvoir le symboliser ?

Non, je ne pense pas. Au pire, on s'en fera une représentation interne, quitte à ce qu'on ne puisse l'externaliser.

Qu'est-ce que l'intuition ?

Les raisonnements, ou les a priori, menant à une résultat juste mais que dont ne sait pas donner une symbolisation externe.

Du point de vue d'une logique des relations :
Toute chose est-elle relationnelle ?

Par essence, non ; mais si on considère les choses par rapport à nous, observateurs, alors oui.

Comprendre signifie-t-il mettre en relation ?

Par définition, oui, ne serait-ce qu'avec nous.

L'évidence ne concerne-t-elle que des axiomes ou bien peut-elle s'étendre à tout, annulant toute nécessité de relation, de déduction ?

L'évidence n'est pas universelle - en conséquence, elle peut s'étendre à tout, mais est particulière à chaque individu.

[invite19415392]

Ah, et puis à la question générale :
Pour moi, les mathématiques ne sont pas une représentation intrinsèque du réel, de même que le langage ne l'est pas. Par contre, il s'agit de moyens de communication et de raisonnement (maths comme langage), développés par les humains pour s'accorder à leur point de vue.
Et donc, s'émerveiller de ce que les mathématiques décrivent bien le réel de notre point de vue, ça serait un peu comme s'émerveiller de ce que les lunettes permettent de bien voir : c'est pour ça qu'on les a créées, et c'est à travers elles qu'on regarde tout, au point que notre vision s'est adaptée à la chose autant que l'inverse.

[Aigoual]

A Martini_Bird :

Je n’ai pas parlé du « science du réel, » mais bien d’un système, d’un outil permettant d’appréhender le réel, pouvant éventuellement d’ailleurs, utiliser des concepts échappant totalement au réel. Par exemple, la notion d’infini, évoqué un peu plus haut, appartient bien à un périmètre purement déduit qui, peut-être, n’a pas d’équivalence dans le réel.

En ce sens, je suis donc d’accord avec toi (j’ai du mal m’exprimer) les maths ne sont pas une « science du réel »

C’est ce que j’ai voulu dire par « les mathématiques font partie du réel, même si elles ne le sont elles-mêmes objet « réel » »
Mais j’avoue que c’est ambiguë. Je vais essayer de reformuler.

Il me faut trouver quelque chose qui exprime l’idée que, les mathématiques, tout en reposant sur un tout petit nombre de postulat indémontrables (donc quelque part, paradoxalement hors périmètre mathématiques) sont un ensemble de propositions cohérentes (les fameuses relations évoquées plus haut) pouvant former système autonome, échappant à la seule description du réel (on peut très bien en arriver à décrire des objets « irréels, » qui fonctionnent parfaitement)

Ce qui m’a surtout paru important au regard du titre du fil (Mathématiques et réalité), c’est de ne pas oublier de définir son second terme, la notion de réalité.

Quand à la question de Bardamu « Tout ce qui est intelligible est-il mathématisable, » je rejoins Baygon_Jaune : encore faut-il définir la notion « d’intelligible »

En tout cas, ce fil est passionnant.
Je vais essayer de reprendre les autres points évoqués (intuition, et nécessité du symbole, entre autres)

Amitiés,

Aigoual.

[invite4793db90]

Salut,

à vrai dire, je n'ai pas été très clair non plus. Ce sur quoi je voulais insister est le fait que les mathématiques ont une dynamique qui n'est pas nécessairement motivée par une description de la réalité.
Il serait ridicule néanmoins d'affirmer que les maths sont coupées du réel. La subtilité tient au fait que les mathématiques ont une existence propre avant même de servir d'outil à la physique ou à d'autres sciences.

En bref, les mathématiques en elles-mêmes ne constituent pas une voie d'exploration du réel.

Cordialement.

[Aigoual]

Oui, c’est tout à fait ça.
Le point d’ancrage des maths au réel est constitué de ce tout petit nombre de postulats de base, qui lui-même est difficile à appréhender, puisque indémontrables.
C’est ténu…

Je me demande d’ailleurs si, à ce point de la discussion, il ne faudrait pas plutôt l’orienter sur la distinction entre langage naturel et langage formel.

Le langage naturel étant bien en revanche le langage de description du réel sensible, sachant que ce sensible n’en est "à l'évidence" que la partie émergée.

Ce qui nous conduira dans la foulée à tenter de cerner ce qu'est une "évidence."

J’essaie de trouver un peu de temps pour approfondir…

Amitiés,

Aigoual.

[invited494020f]

Bonjour,
J'avoue n'avoir pas suivi la totalité du fil qui a d'ailleurs changé de nom en cours de route.
Je me tiens donc au nom actuel.
Depuis un bon moment je m'interroge sur le rapport entre la réalité, la logique et en quelque sorte leur modélisation: les maths (la modélisation de la logique aboutit à l'algèbre de Boule).
Le motif de cette interrogation est le retour de l'informatique vers les maths les plus simples, celles des nombres entiers, puisque les ordinateurs ne connaissent que ceux-ci et encore exprimés par deux chiffres seuls: 0 et 1. La totalité des nombres autres que rationnels ne peuvent être exprimés par l'informatique qu'approximativement, en rompant avec la continuité impliquée dans la définition de l'ensemble des nombres mathématiques, réels, rationnels, irrationnels, imaginaires et complexes.
Je m'explique:
Le nombre 1/3, même si calculée à "presque" infini décimales, peut toujours être augmentée d'une décimale, ce qui est hors de portée d'un ordinateur. Celui-ci laisse donc un "interstice" entre deux nombres suivants, par sa construction même et ne peut donc que simuler les calculs portant sur des nombres non entiers avec, comme limite de précision, le nombre de bits de son nombre entier maximum.
Cette imprécision est assez facilement acceptée aussi bien par les sciences que par les technologies, mais reste néanmoins un fait.
En allant un peu plus loin, il y a une similitude frappante entre cette discontinuité de nombres propre à l'informatique et les discontinuités constatées en mécanique quantique qui tendraient à accréditer l'idée d'un Univers lui-même discontinu. Cette discontinuité est prouvée au niveau atomique où les orbites des électrons correspondent à des niveaux d'énergie eux-mêmes discontinus et ou leur changement d'orbite détermine une émission d'un niveau d'énergie précis (à la largeur de raie près), ne se confondant pas avec celle d'un atome d'un autre élément. Je mentionne également pour mémoire la constante de Planck.
Il est peut-être imprudent de généraliser cette discontinuité à l'ensemble de l'Univers spatio-temporel, mais cette généralisation faciliterait peut-être l'élaboration d'une théorie unifiée de l'Univers.
Enfin, c'est une idée comme une autre!

[Aigoual]

Salut PaulB,

Quand tu parles de discontinuité, fais-tu allusion à la différence entre analogique (avec sa multitude de variations "en continu") et le binaire (qui ne connaît que 2 états, sans variation intermédiaire) ?
Dans ce cas, il y a bien similitude, mais que peut-on en tirer ?

Il y a peut-être là une intuition de quelque chose, mais (manque d’imagination de ma part) je ne la vois pas clairement.

Sauf, peut-être, à utiliser ces états pour créer une super mémoire.
Mais là, je ne suis pas assez callé…

Amitiés,

Aigoual

[invited494020f]

Bonjour,

Salut PaulB,

Quand tu parles de discontinuité, fais-tu allusion à la différence entre analogique (avec sa multitude de variations "en continu") et le binaire (qui ne connaît que 2 états, sans variation intermédiaire) ?
Amitiés,
Aigoual

C'est un peu ça: Il y a discontinuité quand entre deux valeurs il est impossible d'intercaler une troisième alors qu'il y a une "place".
Si tu tapes plein de "9" sur ta calculette et tu fais +1=, tu obtiens 1.00000000E12 (enfin, sur la mienne j'ai 12 places). Si tu tapes ensuite +1000 tu obtiens toujours 1.00000000E12. Il faudrait taper +4999 pour obtenir 1.00000001E12. Il y a donc une discontinuité de 4999, non? Pour la plupart des calculs cette discontinuité est relativement négligeable, mais pour les calculs concernant des valeurs très grandes ou très petites, ça peut être déterminant.
Dans la réalité il est impossible d'intercaler une orbite intermédiaire entre deux orbites d'électron, il y a donc discontinuité.
La question posée est: existe-t-il deux positions dans l'espace ou deux instants dans le temps entre lesquels il est impossible d'en installer un intermédiaire? Cela paraît peut-être farfelu, mais il y a de nombreux exemples de discontinuité dans la physique quantique qui le suggèrent. Et cette hypothèse faciliterait peut-être sa compréhension.

[invite0ad4995a]

La discontinuite est donc selon toi un lien logique existant entre le fonctionnement d'un ordinateur et le fonctionnement de l'univers?Si tel est le cas il est egalement possible que ce soit un hasard intrinseque a la realite...car definir ce lien est il me semble assz difficile non?

[invite309928d4]

Salut à tous,
je signale une thèse "Calculabilité, physique et cognition" qui considère de nombreuses questions liées à la connaissance scientifique, à la philosophie et au rapport aux mathématiques.

Je l'ai lue en diagonale mais l'auteur semble y soutenir un néo-pythagorisme, c'est-à-dire l'idée que tout peut être ramené à des nombres, traitables par une machine universelle, même si celle-ci est parfois muette, c'est-à-dire qu'elle sait sans exprimer ce qu'elle sait.

Il critique notamment la thèse de Penrose sur l'aspect non-mécaniste du cerveau, évoque les problèmes d'incomplétude et d'inconsistance de Gödel, tout cela relié aux questions de calculabilité par des machines de Turing (à rapprocher du fil "Certitudes, connaissances: y a t'il une limite? " ). Ces points (réalité et inconsistance logique) me semblent particulièrement intéressant et j'essaierais de les développer ultérieurement.

Il fait aussi une analyse des questions de conscience et de relation sujet-objet, notamment dans les interprétations de la quantique et plus particulièrement celle des mondes multiple d'Everett.

Le côté trans-disciplinaire rend la thèse assez spéciale, certains la jugeront sans doute trop "philo" et d'autres trop "science" (à relier au fil "la science pourra-t-elle un jour remplacer la philosophie? "...)

La question générale correspondant à la thèse pourrait être : le monde est-il équivalent à une machine à calculer infinie dont chaque solution constituerait la réalisation d'une probabilité quantique ?

Extrait de la conclusion :

L'attitude proprement scientifique, me semble-t-il devrait plutôt consister, lorsqu'on a le sentiment qu'une science A ne peut pas résoudre un problème, de voir si une autre science B ne peut pas résoudre le problème, quitte à remettre en cause les a priori philosophiques qui faisaient de la science A une science fondamentale.
J'ai démontré ici que c'est exactement ce qui doit se passer si on prend l'hypothèse du computationnalisme au sérieux. Une psychologie générale, reposant exclusivement sur l'informatique théorique et/ou la théorie des nombres, et ça de façon non réductionniste, doit devenir fondamentale.
Le miracle est que la thèse de Church et la non-trivialité de l'autoréférence des machines abstraites rend cette approche, non réductionniste par nécessaire incomplétude, possible. L'autre miracle est la ressemblance entre les phénoménologies du mécanisme et les phénoménologies de la mécanique quantique sans réduction de l'onde (voir annexe C).

[Aigoual]

A PaulB :

Oui, je vois maintenant mieux ce que tu veux dire.
Néanmoins, je ne crois pas qu’il soit nécessaire de descendre jusqu’aux particules élémentaires pour observer cette discontinuité.
Après tout, une simple falaise au bord de la mer suffirait…
Je dis cela, parce que (si je ne me trompe pas) la distance entre le noyau et ses électrons, même les plus proches, est « immense » au regard du monde de l’infiniment petit.
En tout cas, très nettement supérieure à la dimension de l’électron lui-même, qui n’est pas non plus la plus petite des particules (qui saurait préciser un peu mieux ?)

En revanche, ta question concernant l’existence d’une espace minimal insécable reste posée.
Cette espace serait-il physique (quelque chose comme une impossibilité indépassable semblable à celle de la vitesse de la lumière) ou mathématique ?

Dans le premier cas, cela ne changerait pas grand chose à la notion de continuité mathématique de la dimension en question (temps ou espace) Ce serait juste une limite « technique. »

Dans le second cas, j’ai du mal à percevoir ce que cela donnerait. En fait, il me semble qu’une dimension (temps ou espace, peu importe) n’est qu’un objet abstrait, purement théorique, qui n’a pas de « vrai » réalité, pas davantage que l’infini (cf. ce que je suppose un peu plus haut)

Les dimensions, ainsi que l’infini, sont des objets qui appartiennent au langage purement formel, très pratiques, mais dont on ne peut garantir la correspondance en langage naturel.

Je crois bien que nous sommes murs pour nous engager sur cette piste du naturel et du formel.
Faut que je prenne un peu le temps de m’y coller…

Amitiés,

Aigoual.

[Aigoual]

A Bardamu,

Ce qui reviendrait à se poser la question de savoir quoi décrit quoi.

Les mathématiques décrivent-elles (ou plutôt, "déduisent-elles," pour respecter la remarque de Martini_Bird) la réalité ?
Ou bien est-ce à l’inverse, la réalité qui "déduit" les mathématiques ?

Des deux, lequel représente l’autre ?
Est-ce le concept qui engendre le réel, ou bien est-ce à l’inverse le concept qui est fruit du réel ?
On entre ici dans des considérations métaphysiques qui ne sont pas sans rappeler la question de l’œuf et de la poule, ou de l’homme et de son créateur. Qui a créé qui ?

Pour ma part, j’ai tendance à me méfier de ce type de questions sans réponse.
Intuitivement, j’ai le sentiment que cela fonctionne à la manière de ces paradoxes qui veulent absolument que la flèche, parce que le nombre de divisions de l’espace qu’elle doit parcourir est infini, n’atteindra jamais sa cible. Et pourtant « dans la réalité, » la cible sera finalement atteinte…

D’où la grande importance de bien définir les mots que l’on utilise.
Si je défini le réel par l’ensemble de ce qui est, y compris la totalité de ses propres représentations, le paradoxe saute :
Dans ce cas, le réel contient les mathématiques (même si les math sont un système autonome)
En revanche, nous savons que les mathématiques ne peuvent pas contenir l’intégralité du réel (je laisse aux matheux le soin de manipuler Gödel, s’ils pensent que cela s’applique ici)
Je dirai, par définition. Mais je reconnais que, comme c’est moi qui donne les définitions, ça facilite bien les choses…

En fait, il s’agit de pièges sémantiques, directement issus de « l’incomplétude » de nos langages, qui ne parviennent pas à recouvrir l’intégralité du réel (naturel ou formel. Faut vraiment que je m’y colle…)

Amitiés,

Aigoual.

[invited494020f]

Bonjour,

Je crois bien que nous sommes murs pour nous engager sur cette piste du naturel et du formel.
Aigoual.

Eh oui!
Entre le naturel et le formel il y a un passage: notre perception. L'image formel que nous nous construisons à partir de ce que nous percevons par nos cinq sens n'est fatalement pas la copie conforme du naturel (que dans la suite j'appellerai le réel, donc terminologie différente de la tienne).
En fait, le formel n'est qu'une modélisation du réel, donc fatalement réducteur et de ce fait souvent erroné.
Le monde formel de l'homme préhistorique était extraordinairement faux, car construit à partir des perceptions quasi exclusivement utilisées en vue d'assurer sa survie et sa reproduction, comme c'est le cas dans tout le monde animal.
Il a fallu qu'une différenciation sociale et un développement parallèle de l'intelligence permette à certains individus de s'affranchir des contingences et de se consacrer à la modélisation intelligente du réel.
Ce processus se reproduit, en accéléré, pour chaque individu, avec des erreurs d'appréciation énormes au début (petit enfant, je croyais que le vent était le résultat de l'agitation des arbres).
La précision de la modélisation a été améliorée au fil des siècles, d'abord en se basant exclusivement sur les cinq sens et ensuite d'abord avec l'invention d'auxiliaires qui les amplifiaient (lunette d'approche) et finalement de capteurs qui les complétaient ou remplaçaient.
Une autre amélioration était l'expérimentation qui complétait et certifiait l'observation.
En dernier, l'informatique a fourni une amplification des capacités de réflexion, de calcul, de traitement de transmission et de mémorisation des informations.
Quand on retrace, même aussi grossièrement, l'évolution de la précision de la modélisation du réel et sa description formelle, on peut faire deux observations:
- depuis les origines de l'humanité le modèle comportait toujours une partie inexacte;
- la partie inexacte allait constamment en diminuant, sans qu'on puisse, sur le moment, savoir en quoi elle consistait, ni quelle était sa proportion dans l'ensemble.
Les mathématiques font partie de cette modélisation au même titre que la parole, les deux étant une sorte de codage de l'image formelle du réel.
Est-ce que ces observations apportent un début de réponse?

[Aigoual]

Salut PaulB,

Le monde formel de l'homme préhistorique était extraordinairement faux, ...

Heu… sur ce point, j’ai du mal à te suivre.
Moins complexe, probablement.
Mais pourquoi faux ?
Pourquoi davantage que celui que nous percevons aujourd’hui ?

Aigoual.

[invited494020f]

Bonjour,

Salut PaulB,
Heu… sur ce point, j’ai du mal à te suivre.
Moins complexe, probablement.
Mais pourquoi faux ?
Pourquoi davantage que celui que nous percevons aujourd’hui ?
Aigoual.

Nota. Il s'agit de la phrase:"Le monde formel de l'homme préhistorique était extraordinairement faux"
Pourquoi faux? Mais tout simplement parce que le monde formel (si le terme "monde formel" correspond bien à l'image que l'homme se fait du réel) était plus inspiré par l'imagination de l'homme préhistorique que par une investigation rigoureuse.
Davantage faux? Car négligeant de s'interroger sur les rapports de cause à effet, probablement. (Comme moi dans mon enfance). La proportion entre vrai et faux s'est, j'espère quand même, améliorée depuis!
Un bon exemple de la survivance de mondes formels est la multitude de religions qui, chacune (sauf quelques religions œcuméniques), en décrit un, considère comme faux ce que décrivent toutes les autres et dont sa propre description est aussi évidemment fausse si l'on se fie aux connaissances scientifiques acquises.
"Moins complexe" sûrement pas! Il n'y a que lire un bouquin (je n'ai pas de titre sous la main) sur la religion de l'Égypte antique et on est sidéré par sa complexité! (Mais évidemment les égyptiens n'étaient plus des hommes préhistoriques.)
Naturellement, je demande à tous de ne pas embrayer sur les religions, citées uniquement à titre anecdotique.
L'un de vous mentionne le problème de l'antériorité entre la poule et l'œuf. Dans notre cas, à mon sens, le problème ne se pose pas, car le monde est de toute évidence antérieur à toute description humaine. Les mathématiques, la parole, l'écrit et tout autre moyen sont ultérieurs et peu importe si par exemple les maths soient "découvertes" ou "imaginées" par l'homme, ici ce qui nous intéresse est qu'elles sont un moyen de décrire le réel, donc contribuer au formel.
A Aigoual: notre terminologie ne se recouvre probablement pas parfaitement, c'est pour ça que j'essaie de m'exprimer de façon si détaillée.

[Aigoual]

Salut PaulB,

Oui, effectivement, ainsi que tu le dis, « nos terminologies ne se recouvrent probablement pas parfaitement… »

Pour moi :
- langage naturel signifie langage descriptif de la réalité sensible, dont la cohérence repose essentiellement sur un système « d’évidences, » sans exigence démontrable.
- Langage formel signifie en revanche langage déductif, dont la cohérence est interne, autonome et démontrable.

Le point charnière entre les deux étant ce tout petit noyau de postulats sur lequel repose l’intégralité du langage formel, identifié comme « évidences » dans le langage naturel.

Note cependant, qu’il suffit de faire précéder le postulat d’un « si » pour rendre l’évidence acceptable au niveau formel.

Par exemple, « si » la droite est le plus court chemin entre deux points, « alors » ensemble de la géométrie euclidienne (« sinon », géométries non-euclidiennes, dont la cohérence interne, autonome et démontrable est tout aussi valide)

Le but des langages naturels est d’exprimer le sensible et de le restituer.
En voici un très bel exemple, dont l’auteur est Paul Eluard : « La terre est bleue comme une orange »
Cette phrase est totalement incompréhensible d’un point de vue formel.
Cependant, elle atteint son but. Il est probable que c’est à peu près l’émotion qu’a du ressentir le premier homme contemplant notre planète depuis l’espace.
Une petite boule, toute bleue, grosse comme une orange…

Il faut faire attention à cela. Malgré l’absence d’exigence du déductif ou du démontrable, les langages naturels possèdent malgré tout une cohérence valide.
On parlera alors de cohérence associative, par opposition à déductive.

C’est précisément à cet endroit que se trouve la notion d’intuition.
L’intuition procède par associations « libres » (je peux associer tout et n’importe quoi)
Les produits stériles de ces associations sont naturellement très nombreux (cependant moins nombreux que nous le laisseraient croire les seuls calculs statistiques)
Mais il est parfois possible d’y pressentir une « esthétique » qui tient lieu de cohérence et dont on peut vérifier la traduction en langage formel.

Les plus grandes découvertes scientifiques n’ont d’ailleurs pas d’autre origine.
Songe qu’il a fallut être drôlement gonflé, pour imaginer que la terre n’était pas plate, mais ronde, malgré les « évidences » qui voulaient que, dans ce cas, il eut été impossible de ne pas tomber. Sans parler, bien entendu, de ces autres courbures que sont l’espace et le temps…

Sans langage naturel, les langages formels nous auraient été définitivement interdits, exactement de la même manière que l’ordinateur est interdit de créer, ou d’imaginer un univers dépassant les dimensions de sa mémoire, aussi étendue soit-elle…

De toute manière, nous n’avons pas le choix : sans langage naturel, pas de contact avec le réel.
Heureusement que nous n’avons pas été obligé d’attendre Newton pour savoir « d’évidence, » que se jeter du haut d’une falaise était dangereux ! L’humanité n’y aurait probablement pas survécu…

Amitiés,

Aigoual.

[invited494020f]

Bonjour Aigoual!
Merci de tes explications! Si je comprends bien, le langage naturel exprime ce qu'on peut appeler le "sens commun" et le langage formel est celui qu'utilisent les scientifiques, avec, par rapport au naturel, une exigence de rigueur et de cohérence.
Ce que tu dis de l'intuition et de l'association des idées est très intéressant, et représente le lien entre les langages naturel et le formel. Sans langage naturel, ni Archimède dans sa baignoire, ni Newton voyant une pomme tomber, n'auraient pu passer du naturel au formel et exprimer leur idée de façon rigoureuse. Est-ce que je me trompe?
Donc, je reviens à la terminologie. Si je confonds allègrement le langage naturel et formel, surtout dans l'évolution des connaissances humaines et leur description par tous les moyens à sa disposition, c'est que l'on saute sans arrêt de l'un à l'autre. Si Archimède et Newton ont trouvé leur truc, c'est que bien avant de l'exprimer dans le langage formel, ils avaient eu une intuition qui prenait forme, inconsciemment, progressivement et si j'ose dire en langage naturel. Ça leur "trottait dans la tête". L'association d'idées, fulgurante, n'a eu lieu qu'après un long mûrissement. J'ai eu le plaisir d'avoir quelques inventions fructueuses et à chaque fois, rétrospectivement, je me suis aperçu qu'elles ont été précédées par une période presque poétique, d'imagination débridée et d'une sorte de transe m'empêchant de dormir.
Pour en revenir au titre du fil, "mathématiques et réalité", je serais tenté de dire que les mathématiques sont l'un des langages (formels, si tu veux) qui permettent de décrire le monde qui nous entoure.
Sur le sujet: les mathématiques sont-elles "découvertes ou inventées"? j'avoue que je suis partagé. Les nombres premiers sont apparemment "découverts", puisqu'ils correspondent au dénombrement des premières possessions (animaux), ou même des tribus (groupes de taches dans les grottes) de l'homme préhistorique. La géométrie graphique me paraît aussi une découverte, mais je commence à hésiter sur la géométrie analytique et je suis carrément perplexe à partir du calcul infinitésimal et convaincu de "l'invention" de l'algèbre de Boule. De toute façon les maths sont l'une des plus belles conquêtes du génie humain.

[Aigoual]

Salut PaulB,

Oui, c’est quelque chose comme ça.
Ce qui explique pourquoi j’ai réagi à ta proposition concernant les hommes primitifs.
Non qu’elle soit fausse en soi (en fait, si on change de référentiel elle peut être tout à fait juste), mais parce qu’elle s’intégrait mal à la démarche que je suggère ici.

Si je ne me trompe pas, on peut supposer que les structures cognitives de l’être humain sont stables probablement depuis qu’il est sapiens, c’est à dire, pour ne pas prendre de risque, quelques cinquante mille ans (mais très certainement davantage, peut-être 150 ou 200 mille ans)

En clair, si le langage naturel s’est imposé en premier, le formel était certainement potentiellement disponible, bien que peu exploité, dés les origines. Ce qui a probablement ensuite joué, c’est moins l’aspect culturel que l’environnement, l’écosystème dans lequel baignait notre homme.
Ce n’est de ma part qu’une intuition, mais j’ai bien le sentiment qu’il y a eu bascule au moment où l’homme est progressivement devenu sa propre nature, son propre environnement, son propre écosystème, en "abstraction réflexive" du milieu externe dans lequel il vivait jusqu’alors (faudra que je développe plus tard)

Bref, cela pose une sacrée question :
D’un point de vue évolutionniste, à quoi cela pouvait-il bien servir à l’homme primitif de disposer d’un cerveau capable de concevoir les univers quantiques, pour tailler un silex ou chasser l’auroch ? Mystère…

Faute de pouvoir y répondre, si on en accepte l’hypothèse, on peut cependant en déduire deux choses :

1) Les langages formels, issus des langages naturels, ne sont pas nés ex-nihilo. En ce domaine, pas plus qu’en d’autres, je ne crois aux générations spontanées. Il faut qu’il existe une filiation, faisant remonter les abstractions des langages (car le langage naturel n’en est pas moins une abstraction) à une réalité elle-même issue d’un processus d’abstraction du vivant à son milieu. Processus que l’on peut déjà observer chez la bactérie qui, parce qu’elle interagit de manière autonome, peut être considérée comme étant déjà "abstraite" du milieu dans lequel elle vit.

2) Le processus créatif qui a conduit le premier homme à conceptualiser le premier arc et la première flèche, était probablement à l’époque aussi ardu et complexe que celui qui conduit aujourd’hui les chercheurs à résoudre les équations conceptuelles les plus difficiles.
Bien sûr, nous ne nous en rendons plus compte, tellement l’arc et la flèche nous paraissent « évidents » N’empêche que, si tu fais l’effort de te remettre en situation, il n’y a rien d’évident à imaginer qu’un bout de bois gagnera en puissance si tu le tends sur une corde fixée aux deux extrémités d’une branche courbée. Par quel miracle ?...

Pour l’instant, je m’en tiens là afin de ne pas avoir un message trop long et donc rebutant. Mais il me semble qu’il y a matière à développer et je serai heureux de connaître vos réactions.

Amitiés,

Aigoual.