tautologies, axiomes et règles

[invité576543]

Bouveresse nous accuserait d'abuser des facilités offertes par l'analogie

Je parlais de parallèle, pas d'analogie. Il y a au moins une notion commune entre les deux, choisir. Et ce n'est pas la seule.
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[invite6754323456711]

La question reste la même : existe-t-il un cardinal strictement compris entre et ?

Cela signifie t-il que l'interrogation porte sur l'existence ou non d'une nouvelle classe de nombre entre les rationnels et les réels ?

Patrick

[invite6754323456711]

Mais tout dépend de ce que vous mettez derrière "imaginer" et "concevoir"

Oui pour moi imaginer quelque chose c'est pouvoir en définir ces propriétés toute comme l'infini.

Patrick

[mh34]

cette théorie (de logique classique égalitaire du premier ordre) repose sur quelques axiomes et quelques schémas d'axiomes.

Je n'ai strictement aucune idée de ce que peut bien être une logique classique égalitaire du premier ordre.
Est-ce important pour comprendre la suite de votre message ou pas?

Désolée, je n'arrive pas à écrire "aleph".
Mais là : Card(IR) = 2 "aleph"0
et puis ça : "aleph" 1 = 2 "aleph" 0
Pour moi cela signifie que Card (IR) = "aleph"1, donc que l'ensemble en question est IR.
C'est ça le gros mensonge?

[Médiat]

Cela signifie t-il que l'interrogation porte sur l'existence ou non d'une nouvelle classe de nombre entre les rationnels et les réels ?

Il y a des quantités d'ensembles de nombres entre (au sens de l'inclusion) les rationnels et les réels et dans toutes les cardinalités (IR est un ev sur Q de dimension ).
Et sans compter les ensembles exotiques, mais vous devriez préciser le sens de "entre" de votre message précédent.

[Médiat]

Je n'ai strictement aucune idée de ce que peut bien être une logique classique égalitaire du premier ordre.

Logique classique : ce que l'on entend traditionnellement par logique (avec le tiers exclu par exemple), c'est la logique que la majorité des mathématiciens utilisent (parfois à la manière de M. Jourdain).

Egalitaire : veut simplement dire que le langage inclut le symbole d'égalité, avec les axiomes que l'on peut en attendre

Premier ordre : on peut quantifier sur les variables, mais pas sur les ensembles de variables ni sur les formules.

Est-ce important pour comprendre la suite de votre message ou pas?

pas fondamentalement car c'est la logique que l'on utilise spontanément.

Désolée, je n'arrive pas à écrire "aleph".

Il suffit d'écrire \aleph_0, et d'encadrer avec les balises TEX.

Mais là : Card(IR) =
et puis ça :
Pour moi cela signifie que Card (IR) = , donc que l'ensemble en question est IR.
C'est ça le gros mensonge?

Non, c'est plus méchant que cela,et puis votre conclusion est un peu hâtive deux ensembles qui ont le même cardinal ne sont pas forcément identiques.

PS : je suis un peu pressé ce soir, je jetterai un coup d'oeil de temps en temps sur ce fil, mais je ne prendrai le temps de m'étendre sur ce mensonge que demain ...

[invite6754323456711]

vous devriez préciser le sens de "entre" de votre message précédent.

Si on ne prend pas l'hypothèse du continu à quel ensemble de nombre pourrait-on rattacher le cardinal ?

Patrick

[karlp]

Oui pour moi imaginer quelque chose c'est pouvoir en définir ces propriétés toute comme l'infini.

Patrick

J'utilise "imaginer" dans le sens : "produire une image mentale"
et "concevoir" dans le sens "produire un concept"

Avec ces acceptions, ce qui est inimaginable peut très bien être concevable.
Mais rien n'oblige cette utilisation appuyée sur l'étymologie immédiate.

[karlp]

En attendant Bouveresse n'est pas là pour confirmer votre hypothèse.

Non, et d'ailleurs je ne partage pas l'avis de Bouveresse.
Je trouve la comparaison intéressante: pas probante mais fertile.

[Médiat]

Si on ne prend pas l'hypothèse du continu à quel ensemble de nombre pourrait-on rattacher le cardinal ?

Il "suffit" () de choisir une famille indépendante d'éléments transcendants sur Q et de cardinal et de "regarder" le corps engendré, il sera de cardinal .

[karlp]

Je parlais de parallèle, pas d'analogie. Il y a au moins une notion commune entre les deux, choisir. Et ce n'est pas la seule.

Il ne coûte rien de développer, après tout. Bouveresse n'a peut-être pas raison.

[invité576543]

Il ne coûte rien de développer, après tout. Bouveresse n'a peut-être pas raison.

Rapidement alors : comment choisit-on? D'un côté, comment choisit-on de "bien" faire, de l'autre comment choisit-on les "bons" axiomes.

Réponse du moraliste relativiste : la morale est subjective, le choix de bien faire dépend de la personne, de la culture; c'est une construction d'une culture, et n'est contraint que par des buts immanents.

Réponse du formaliste : le choix d'axiomes est subjectif, il dépend de la personne, de son domaine de travail, cela fait partie d'un processus de construction formelle, et n'est contraint que par des buts immanents.

Réponse du moraliste absolu : il y a une morale absolue, transcendante à l'homme, et ne pas la respecter, c'est mal. Une des tâches de l'homme est de découvrir cette morale absolue.

Réponse du platonicien : il y a une vérité absolue, transcendante à l'homme, et s'en écarter, c'est faire joujou avec des symboles, cela n'est pas la vérité. Une des tâches du mathématicien est de découvrir cette vérité.

C'est caricatural, j'en ai conscience, c'est juste pour esquisser le parallèle.

[karlp]

Le parallèle entre le moralisme absolu et le platonisme me semble "tenir la route"; par ailleurs Platon lui même se rangerait dans dans la catégorie des "absolutistes"

L'autre parallèle est plus "discutable" dans la mesure où le relativisme moral est, à l'instar du relativisme épistémique, contradictoire (si j'admet que le bien est ce que chacun estime être tel, alors le bien n'existe pas)
Le formalisme n'est pas contradictoire.

On peut toutefois affiner: entre le moralisme absolutiste et le relativisme, il y a la place pour une troisième voie: le Bien existe; mais nous ne pouvons nous assurer de le connaître. A priori, plusieurs axiomatiques sont susceptibles de prétendre l'incarner. Certains systèmes moraux seront plus proches du bien que d'autres, mais il est aussi possible que certains systèmes soient incommensurables entre eux.
Je crois que cette troisième voie échappe à la contradiction qui affecte le relativisme.

[invite7863222222222]

Pour ma part, en caricaturant légèrement aussi :

- le relativiste : tout choix de règle morale relève d'un choix personnel, dès lors, il n'existe pas de morale commune à tous, la morale c'est chacun pour soi.
- le formaliste : rien ne permet d'accorder plus d'importance à tel ou tel choix, dès lors les choix ne relèvent que de choix personnels, qui n'ont donc aucune légitimité à être discuté.

- le moraliste absolu : la morale effective n'est qu'une partie d'un morale transcendantale que chacun peut sentir
- Le platonicien : il existe un monde transcendantal des idées, et les théories mathématiques ne sont que ce que l'on peut en comprendre.

[invité576543]

L'autre parallèle est plus "discutable" dans la mesure où le relativisme moral est, à l'instar du relativisme épistémique, contradictoire (si j'admets que le bien est ce que chacun estime être tel, alors le bien n'existe pas)

C'est une vision de moraliste absolu, ne serait-ce que par l'usage du mot "bien" dans la dernière expression. Je ne vois rien d'autre que "le relativisme moral" est contradictoire avec le "moralisme absolu".

L'équivalent, dans le parallèle, avec le formalisme est, me semble-t-il :

"le formalisme est contradictoire (si j'admets que la vérité est ce qui est démontrable à partir des axiomes que chacun choisit, alors la vérité n'existe pas)"

[karlp]

Pour ma part, en caricaturant légèrement aussi :

- le relativiste : tout choix de règle morale relève d'un choix personnel, dès lors, il n'existe pas de morale commune à tous, la morale c'est chacun pour soi.
- le formaliste : rien ne permet d'accorder plus d'importance à tel ou tel choix, dès lors les choix ne relèvent que de choix personnels, qui n'ont donc aucune légitimité à être discuté.

- le moraliste absolu : la morale effective n'est qu'une partie d'un morale transcendantale que chacun peut sentir
- Le platonicien : il existe un monde transcendantal des idées, et les théories mathématiques ne sont que ce que l'on peut en comprendre.

Est-ce que la différence profonde entre le relativiste et le formaliste ne réside pas dans le fait que le relativiste en vient à conclure "tout se vaut", ce qui est loin d'être le cas du formaliste.

Le moralisme absolu et le platonisme que vous présentez contiennent une part de prudence, faisant la différence entre la vérité et ce que l'on pense en saisir.
C'est là une position qui, à peu de chose près (mais c'est ce peu qui est interessant) coïncide avec le formalisme tel que je l'entrevois

[invite7863222222222]

ce qui est loin d'être le cas du formaliste.

Pour le formaliste aussi car comme son nom l'indique, le formalisme peut placer envers et contre tout ses préoccupations sur le coté formel, et non ce sur quoi il travaille.

[Médiat]

Bonjour,

Il peut paraître étrange qu'une question qui a l'air aussi précise (pas d'ambiguïté sur la définition de IN et pas plus d'ambiguïté sur l'ensemble de ses parties, c'est à dire IR) soit indécidable c'est à dire ne soit pas conséquence des axiomes de ZFC et son contraire non plus.
En fait, j'ai fait un gros mensonge dans le § précédent !

Ce § affirme qu’une proposition p est indécidable dans une théorie T si ni p, ni non p ne sont conséquence de T : ceci n’est pas un mensonge (définition de indécidable).

Il affirme aussi que HC est indécidable dans ZFC : ce n’est pas un mensonge (démonstration due à Gödel et Cohen).

Il affirme aussi que IN est défini sans ambiguïté ; si l’on prend cette affirmation du point de vue du « sens commun », il me semble qu’elle est correcte, à quelques exceptions non significatives près, tout le monde comprend sans ambiguïté ce que veut dire 2 + 2 = 4, ou que si l’on connaît un nombre entier (par son écriture décimale, ou par son nom en français, par exemple), alors on connaît son successeur. Si l’on prend cette affirmation d’un point de vue formel, elle est correcte aussi ; il faut nous plonger dans la théorie mathématique idoine, ici il s’agit de ZFC, puisque c’est dans cette théorie que la question de HC se pose, or dans cette théorie, non seulement il existe un mode de construction de IN qui permet de construire chaque entier en un nombre fini d'étapes (méthode de Von Neumann), mais, et c’est là le point crucial, l’ensemble ainsi obtenu est un absolu, c'est-à-dire est le même (dans un sens qui est parfaitement formalisé, mais cela nous entrainerait trop loin que de rentrer dans les détails ; pour les curieux : cf. le chapitre 9 des cours de P. Dehornoy) dans tous les modèles. Ce n’est donc pas un mensonge.

Enfin ce § affirme que IR est défini sans ambiguïté, et là, du point de vue du « sens commun », c’est moins clair : on voit régulièrement des discussions initialisés par des gens affirmant 0,999 n’est pas égal à 1 (même si il ne s’agit pas de mathématiciens, mais je parle ici du sens commun), nous ne pouvons définir qu’une très petite partie des réels (il y en a plus que de formules que l’on peut écrire), des nombres comme ne sont connu que par leurs définitions (et il y en plusieurs), mais il est impossible d’écrire toutes les décimales (quelque soit la base de numération), toutes les méthodes qui permettent de le « calculer » font intervenir l’infini, bref il y a des tas de raisons pour ne pas tenir IR comme sans ambiguïté. D’un point de vue mathématiques, c’est encore pire, bien sur IR n’est pas un absolu, mais il existe des modèles dans lesquels IR est « tout petit » (cf. http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2287137). Le mensonge est donc dans cette affirmation que IR est défini sans ambiguïté.

IR est défini comme l’ensemble des parties de IN, et IN est défini sans ambiguïté (dans le sens où c’est un absolu), c’est donc dans l’expression « ensemble des parties » qu’il faut chercher le piège, il suffit de (re)lire la définition de cet ensemble des parties pour comprendre ce piège :


Ce qui peut se lire (à la louche) : il existe un ensemble qui contient tous les ensembles qui sont des sous ensembles de x.

Ce qui ne doit pas se lire : il existe un ensemble qui contient tous les sous ensembles de x.

Autrement dit l’ensemble des parties de IN comprend, forcément, tous les sous ensemble de IN qui sont définissables dans le langage de ZFC (les axiomes l’imposent), mais pas forcément tous les « sous-ensembles » dans le sens où un être humain peut comprendre la phrase « tous les sous-ensembles de IN ». La remarque « pas forcément » signifiant que l’ensemble des parties peut contenir aucun de ces « sous-ensembles » non définissables, peut les contenir tous, ou seulement une partie, on voit donc qu’il y a une immense variabilité dans ce que peut-être IR, qui n’est donc, et de loin, pas si simple que cela.

Attention, je ne dis pas que cette variabilité de la construction de IR en fonction du modèle explique seule que non HC peut être vrai dans un modèle et faux dans d’autres, je dis seulement que cette variabilité crée les conditions d’une complexité dans laquelle on peut trouver des modèles où non HC est vrai et d’autres où HC est vrai.

[Deedee81]

Salut,

il suffit de (re)lire la définition de cet ensemble des parties pour comprendre ce piège :

Wow ! Je n'avais jamais vu une explication aussi claire de ce problème !

Là-dessus, très intrigué, je me suis dit qu'on devait pouvoir trouver une définition claire et non ambigue à travers la notation décimale. Et bien, non, après quelques essais je me suis cassé la figure (informellement : tous les nombres du style 0.xxxxx... où les x peuvent varier de 0 à 9, c'est quand on essaie de formaliser qu'on se rend compte que ce n'est pas si simple et le problème est exactement celui que tu soulignes avec l'ensemble des parties. Et c'est cette différence "informel versus formel" qui explique indubitablement l'aspect très étrange du problème HC).

Merci de ces excellentes explications,

[Deedee81]

Tout aussi ambigu avec Cauchy.

Soit on défini les suites avec des formules en clair... et R est dénombrable

Soit on définit avec des ensembles de rationnels.... et on revient aus ensembles de parties.

soit on ne les définit pas (on les définit seulement par leur propriété de suite de Cauchy) mais l'ensemble des suites EST l'ensemble des réels (à la classe d'équivalence près). Et ça ne résoud rien.

[Médiat]

Tout aussi ambigu avec Cauchy.

Soit on défini les suites avec des formules en clair... et R est dénombrable

Soit on définit avec des ensembles de rationnels.... et on revient aus ensembles de parties.

soit on ne les définit pas (on les définit seulement par leur propriété de suite de Cauchy) mais l'ensemble des suites EST l'ensemble des réels (à la classe d'équivalence près). Et ça ne résoud rien.

D'abord, je suis ravi d'avoir été utile (grace à la question de mh34, merci aussi à elle).

Et vous avez parfaitement raison dans votre explication avec les suites de Cauchy.

[invite6754323456711]

La remarque « pas forcément » signifiant que l’ensemble des parties peut contenir aucun de ces « sous-ensembles » non définissables, peut les contenir tous, ou seulement une partie, on voit donc qu’il y a une immense variabilité dans ce que peut-être IR, qui n’est donc, et de loin, pas si simple que cela.

Si on considère que le présent est une coupure de Dedekind entre le passé et le futur. Il y aurait une immense variabilité de ce qu'est le présent ?

Patrick

[Médiat]

Si on considère que le présent est une coupure de Dedekind entre le passé et le futur.

Pourriez-vous définir ce que vous entendez par passé, présent et futur, dans le langage qui est celui qui nous intéresse ici : celui de ZF, et, en fonction de la réponse précédente, qu'est-ce qui vous permet de faire cette considération ?

[invite6754323456711]

qu'est-ce qui vous permet de faire cette considération ?

Pour l'instant rien ce n'est qu'une intuition basé sur le fait que je pensais que pour construire tous les réels les coupures de Dedekind étaient non ambigu. Si on définit des coupures constituées de nombres réels, on ne crée pas de nouveaux nombres, une telle coupure est toujours associée à un nombre réel.

Est-ce lié au fait que le moyen d'obtenir de tel nombre réel ne peut se faire en un nombre fini d'étapes ?

Patrick

[Médiat]

Pour l'instant rien ce n'est qu'une intuition basé sur le fait que je pensais que pour construire tous les réels les coupures de Dedekind étaient non ambigu.

Et pour définir tous les réels, il faut considérer des sous-ensembles des rationnels, comment faites-vous pour décrire/définir tous ces sous-ensembles

Est-ce lié au fait que le moyen d'obtenir de tel nombre réel ne peut se faire en un nombre fini d'étapes ?

cf. les explications de Deedee81, sur les suites de Cauchy, ou les décimales, c'est la même question.

[invité576543]

Est-ce lié au fait que le moyen d'obtenir de tel nombre réel ne peut se faire en un nombre fini d'étapes ?

Qu'appelles-tu obtenir ?

Le définir par une phrase finie dans un langage d'alphabet dénombrable ?

Vu que le nombre total de telles phrases est dénombrable, aucun risque d'épuiser R ainsi !

Que proposerais-tu comme moyen autre "d'obtenir" un réel particulier ?

[invite6754323456711]

Et pour définir tous les réels, il faut considérer des sous-ensembles des rationnels, comment faites-vous pour décrire/définir tous ces sous-ensembles

Oui il faut partitionner. Mon ressenti est comme si la nature (le temps peut être représenté par une droite qui se construit) arrivait à constuire ce partionnement et donc créer l'ensemble qui contient tous les sous ensembles de x.

Patrick

[invite6754323456711]

Qu'appelles-tu obtenir ?

Construire avec par exemple les coupures de Dedekind.

Patrick

[Médiat]

Oui il faut partitionner.

Comment faites-vous ?

Mon ressenti est comme si la nature (le temps peut être représenté par une droite qui se construit) arrivait à constuire ce partionnement et donc créer l'ensemble qui contient tous les sous ensembles de x.

Je ne savais pas que la nature était un mathématicien constructiviste ...

[invite6754323456711]

Comment faites-vous ?

Les coupures de Dedekind qui partionnent Q

Je ne savais pas que la nature était un mathématicien constructiviste ...

Justement la est ma question/mon interrogation.

J'associe la vision de Dedekind

"les nombres sont de libres créations de l'esprit humain, ils servent comme moyen permettant de saisir avec plus de facilité et de précision la diversité des choses.".

A celle de J.L Krivine.

"monde physique" est gouverné par des lois mathématiques relève d’un anthropocentrisme moyenâgeux. Ces lois existent, bien entendu, mais sont, en réalité, des programmes que l’évolution a implantés dans notre cerveau pour nous adapter au monde où nous vivons

Patrick