tautologies, axiomes et règles

[ilelogique]

Bonjour,
Je cherche à bien saisir la différence conceptuelle, voire "philosophique" entre les tautologies, les axiomes et les règles de déduction.
je prends l'exemple le plus fameux, le modus ponens :
(A et A=>B) => B est une tautologie du caclcul des prédicats.
A, A=>B I- B est un axiome (j'utilise ici le symbole I- pour le signe "thèse", qui a d'habitude la forme d'un T majuscule tourné dans le sens trigonométrique mais que je ne sais pas faire ici)
enfin :
I- A , A I- B
---------------- est la règle de déduction correspondante.
I- B

Je ne sais pas si je me fais bien comprendre, surtout que mes notations ne sont pas terribles...
En espérant que oui,
merci.
-----

[karlp]

Bonjour,
Je cherche à bien saisir la différence conceptuelle, voire "philosophique" entre les tautologies, les axiomes et les règles de déduction.
je prends l'exemple le plus fameux, le modus ponens :
(A et A=>B) => B est une tautologie du caclcul des prédicats.
A, A=>B I- B est un axiome (j'utilise ici le symbole I- pour le signe "thèse", qui a d'habitude la forme d'un T majuscule tourné dans le sens trigonométrique mais que je ne sais pas faire ici)
enfin :
I- A , A I- B
---------------- est la règle de déduction correspondante.
I- B

Je ne sais pas si je me fais bien comprendre, surtout que mes notations ne sont pas terribles...
En espérant que oui,
merci.

(A et A=>B) => B est d'abord une tautologie du calcul des propositions . Elle est soit vérifiée par un calcul sémantique (tables de vérité), soit constitue un axiome dans le cadre de certains langages, soit est un théorème relevant de l'approche syntaxique. Toutefois il me semble qu'on ne parle de tautologie qu'en sémantique.
Notons que le calcul propositionnel est "complet": toute proposition vraie est déductible et inversement.

Le modus ponens (règle de déduction) a le statut d'un axiome au même titre que la règle de détachement. Ce statut est plutôt lié à l'approche syntaxique.

[ilelogique]

Ma question n'est pas là.
Ce que je demande c'est, finalement, la différence entre les axiomes et les règles de déduction (les tautologies étant les conséquences universelles des premiers à l'aides des secondes).
j'ai l'impression que les uns valent les autres.
Merci.

[Médiat]

A titre personnel, je considère le "modus ponens" (quelque soit la façon de le représenter), comme une règle d'inférence, c'est à dire un axiome de la logique utilisée.

J'appelle tautologies les conséquences des axiomes d'une logique donnée (ses axiomes sont donc des tautologies) dans le langage vide (ie celui de la logique exclusivement).

J'appelle théorèmes les conséquences des axiomes d'une théorie dans un langage particulier, conséquences étant pris ici, au sens de la logique utilisée, bien sur.


PS : Je ne connais pas de logique (réellement utilisée pour faire des mathématiques) n'incluant pas le modus ponens (ce qui ne veut pas dire que cela n'existe pas).

PPS :

[A voir en vidéo sur Futura]

[karlp]

Ma question n'est pas là.
Ce que je demande c'est, finalement, la différence entre les axiomes et les règles de déduction (les tautologies étant les conséquences universelles des premiers à l'aides des secondes).
j'ai l'impression que les uns valent les autres.
Merci.

Oui c'est ce que j'ai écrit : le modus ponens est un axiome

[karlp]

A titre personnel, je considère le "modus ponens" (quelque soit la façon de le représenter), comme une règle d'inférence, c'est à dire un axiome de la logique utilisée.

J'appelle tautologies les conséquences des axiomes d'une logique donnée (ses axiomes sont donc des tautologies) dans le langage vide (ie celui de la logique exclusivement).
J'appelle théorèmes les conséquences des axiomes d'une théorie dans un langage particulier, conséquences étant pris ici, au sens de la logique utilisée, bien sur.


PS : Je ne connais pas de logique (réellement utilisée pour faire des mathématiques) n'incluant pas le modus ponens (ce qui ne veut pas dire que cela n'existe pas).

PPS :

Mais je crois que le terme de tautologie renvoie avant tout à la sémantique (ce qui toutefois n'a pas d'incidence, au regard de la complétude du calcul propositionnel)

PS : en effet, on ne voit pas comment se passer du modus ponens

[Médiat]

Notons que le calcul propositionnel est "complet": toute proposition vraie est déductible et inversement.

Que voulez-vous dire exactement ? Je connais parfaitement le théorème de complétude de Gödel concernant la logique du premier ordre, ma question, plus précisément est qu'entendez-vous pas "proposition vraie" (je pose la question parce que ce point est très souvent mal compris) ?

Mais je crois que le terme de tautologie renvoie avant tout à la sémantique (ce qui toutefois n'a pas d'incidence, au regard de la complétude du calcul propositionnel)

Pas que je sache ; est-ce que pour vous, la formule est une tautologie ?

[invité576543]

Le mot tautologie a des acceptions différentes selon les domaines.

Il a une acception précise en mathématiques.

Il a une autre acception en rhétorique par exemple, et dans ce cadre là il s'agit bien de sémantique. Une tautologie est une phrase qui n'amène aucune information, genre "Un quart d'heure avant de mourir, il était encore en vie".

Dans l'exemple ci-dessus (exemple classique de tautologie), il n'y a pas de construction logique visible, juste une redondance entre l'usage de "être en vie" et "mourir", redondance qui rend la phrase vide d'information. Il s'agit bien de sémantique.

Ceci dit, Médiat a raison, simplement parce que le sujet lancé porte clairement sur les mathématiques, et donc le mot tautologie doit être analysé dans ce cadre, et pas un autre.

Cordialement,

[ilelogique]

Comment Médiat faites-vous le signe "thèse" du T renversé svp ?

Je crois que je ne suis pas très fort pour correctement poser ma question, nouvelle tentative :
Quelle est la différence entre une règle de déduction et un axiome ?

Si je prends un autre exemple, le principe d'identité par exemple, en quoi ces énoncés sont-ils différents (pas question de débattre sur leur sens...) :

- A => A est vrai.
- A est conséquence de A.
- De A, je peux déduire A.

Merci.

[Médiat]

Comment Médiat faites-vous le signe "thèse" du T renversé svp ?

Il suffisait de faire "citer" sur mon message, pour voir que c'est \vdash

Quelle est la différence entre une règle de déduction et un axiome ?

J'ai déjà répondu à cette question, une règle d'inférence (ou de déduction) est un axiome de la logique utilisée (hors de tout autre langage et donc de toute théorie).

[karlp]

Que voulez-vous dire exactement ? Je connais parfaitement le théorème de complétude de Gödel concernant la logique du premier ordre, ma question, plus précisément est qu'entendez-vous pas "proposition vraie" (je pose la question parce que ce point est très souvent mal compris) ?

Pas que je sache ; est-ce que pour vous, la formule est une tautologie ?

Par proposition vraie j'entends une formule dont la table de vérité ne comporte que des 1

La restriction de l'usage du terme de "tautologie" au domaine sémantique m'a été enseignée par Daniel Andler . Il faudrait vérifier si son article dans l'encyclopedie Universalis dit la même chose.

Dans le champ de la syntaxe, Andler nous recommandait d'employer l'expression "déductible"(des axiomes; ou de telle ou telle théorie)

[karlp]

Comment Médiat faites-vous le signe "thèse" du T renversé svp ?

Je crois que je ne suis pas très fort pour correctement poser ma question, nouvelle tentative :
Quelle est la différence entre une règle de déduction et un axiome ?

Si je prends un autre exemple, le principe d'identité par exemple, en quoi ces énoncés sont-ils différents (pas question de débattre sur leur sens...) :

1- A => A est vrai.
2- A est conséquence de A.
3- De A, je peux déduire A.

Merci.

1- appartient à la sémantique du calcul propositionnel
2- me paraît ambigue (on peut parler de conséquence tautologique; ou considérer que "A implique A" est un axiome)
3- fait intervenir la règle de détachement et appartient à la syntaxique

[karlp]

Le mot tautologie a des acceptions différentes selon les domaines.

Il a une acception précise en mathématiques.

Il a une autre acception en rhétorique par exemple, et dans ce cadre là il s'agit bien de sémantique. Une tautologie est une phrase qui n'amène aucune information, genre "Un quart d'heure avant de mourir, il était encore en vie".

Dans l'exemple ci-dessus (exemple classique de tautologie), il n'y a pas de construction logique visible, juste une redondance entre l'usage de "être en vie" et "mourir", redondance qui rend la phrase vide d'information. Il s'agit bien de sémantique.

Ceci dit, Médiat a raison, simplement parce que le sujet lancé porte clairement sur les mathématiques, et donc le mot tautologie doit être analysé dans ce cadre, et pas un autre.

Cordialement,

On distingue, dans le calcul propositionnel la sémantique et la syntaxique . le théorème de complétude de Gödel montre qu'à ce niveau tout énoncé sémantiquement vrai est syntaxiquement déductible des axiomes.

Le terme sémantique ne renvoie pas forcément à la rhétorique ou à la philosophie

[Médiat]

Par proposition vraie j'entends une formule dont la table de vérité ne comporte que des 1

Comment établissez-vous la table de vérité de la proposition (dans le langage de l'arithmétique) :
et pourtant cette proposition est "vraie" (C'est Wiles qui le dit ).

Par contre cela marche très bien pour une tautologie, avec la définition que j'en ai donné, puisqu'il n'y a que du calcul propositionnel.

La restriction de l'usage du terme de "tautologie" au domaine sémantique m'a été enseignée par Daniel Andler. Il faudrait vérifier si son article dans l'encyclopedie Universalis dit la même chose.

Daniel Andler était assistant, voire maître-assistant quand j'étais en L3 (nomenclature actuelle), nous avions sympathisé, car lui-aussi avait fui la filière Maths-Spé à cause du même professeur (ça créé des liens de détester la même personne ).

Je viens de relire partiellement l'article Logique de l'Encyclopedie Universalis, il y a une définition d'une tautologie pour le calcul propositionnel, dans la partie "sémantique" et non dans la partie "syntaxique".

Mais pour reprendre mon exemple, j'aurais du mal à prétendre que n'est pas une tautologie sous le seul prétexte que je n'ai pas établi de table de vérité.

En fait j'aime bien les définitions que j'ai donné, car elles restent valable pour le calcul des prédicats du premier ordre.

[karlp]

1)Comment établissez-vous la table de vérité de la proposition (dans le langage de l'arithmétique) :
et pourtant cette proposition est "vraie" (C'est Wiles qui le dit ).

2)Par contre cela marche très bien pour une tautologie, avec la définition que j'en ai donné, puisqu'il n'y a que du calcul propositionnel.

3)Daniel Andler était assistant, voire maître-assistant quand j'étais en L3 (nomenclature actuelle), nous avions sympathisé, car lui-aussi avait fui la filière Maths-Spé à cause du même professeur (ça créé des liens de détester la même personne ).

4Je viens de relire partiellement l'article Logique de l'Encyclopedie Universalis, il y a une définition d'une tautologie pour le calcul propositionnel, dans la partie "sémantique" et non dans la partie "syntaxique".

5Mais pour reprendre mon exemple, j'aurais du mal à prétendre que n'est pas une tautologie sous le seul prétexte que je n'ai pas établi de table de vérité.

6En fait j'aime bien les définitions que j'ai donné, car elles restent valable pour le calcul des prédicats du premier ordre.

1J'y ai passé un petit moment et je vous avoue être incapable de produire cette démonstration: mais je suis tout prêt à me laisser instruire si vous le voulez bien.
Toutefois notons que la vérité en logique propositionnelle est à un étage inférieur. Pour l'étage de l'arithmétique je me réfèrerais à la définition de Tarski; qu'en dîtes vous ?

2 En effet si vous établissez que cette formule est une conséquence des axiomes, elle peut être dite vraie: mais n'est ce pas en raison de l'hypothèse de la cohérence ?

3 J'ai fait une partie de mon master 2 (DEA) d'epistémologie avec D. Andler. Mais il a dû quitter la fac où j'étais et j'ai poursuivi un autre travail avec quelqu'un d'autre. je l'ai eu comme prof de logique, philosophie analytique et sciences cognitives.

4 ce qui corrobore ce que j'avançais plus haut ?

5 Dans l'absolu, je n'ai pas non plus besoin d'établir la table de vérité... elle est triviale ici.
Mais SI la notion de tautologie est réservée à la sémantique, alors je dois au moins admettre la possibilité d'une démonstration sémantique; le problème est qu'il n'y a pas consensus chez les logiciens. Certes, tous sont d'accord pour y ranger le calcul par les tables de vérité. Mais où range t'on, par exemple, la méthode des arbres ou la méthode par les FNC ou les FND ?

[Médiat]

1J'y ai passé un petit moment et je vous avoue être incapable de produire cette démonstration: mais je suis tout prêt à me laisser instruire si vous le voulez bien.
Toutefois notons que la vérité en logique propositionnelle est à un étage inférieur. Pour l'étage de l'arithmétique je me réfèrerais à la définition de Tarski; qu'en dîtes vous ?

Ne cherchez pas, la table de vérité ne fonctionne pas ici (calcul propositionnel vs calcul des prédicats). Tarski a beaucoup, beaucoup parlé de vérité et de sémantique (il se trouve que ma spécialité est la théorie des modèles), donc je ne sais pas exactement à quelle définition vous faites allusion ; personnellement, et bien que je trouve que le mot « vrai » est toujours porteur de connotations trompeuses, je l’emploie de deux façons différentes (toutes deux sémantiques) :
a) Telle proposition est vraie dans tel modèle (mais l’omission de la fin de la phrase est une erreur gravissime à mes yeux).
b) Telle proposition est vraie (sous-entendu, elle est vraie dans tous les modèles).
Avec la définition précédente de « vraie » (b), le théorème de complétude de Gödel de la logique (des prédicats) du premier ordre s’exprime : une proposition est vraie si et seulement si elle est démontrable.
Pour illustrer l’erreur gravissime dont je parlais ci-dessus, il m’est arrivé de lire le théorème d’incomplétude de Gödel sous la forme « Il existe des propositions vraies qui ne sont pas démontrables », le « vraies » ici voulant clairement (mais pas pour tout le monde) dire « vraies dans le modèle standard de l’arithmétique ».

2 En effet si vous établissez que cette formule est une conséquence des axiomes, elle peut être dite vraie: mais n'est ce pas en raison de l'hypothèse de la cohérence ?

Pour moi, cela c’est la définition de démontrable (mais avec le théorème de complétude, c’est finalement pareil)

4 ce qui corrobore ce que j'avançais plus haut ?

Certes, c'est clairement la position de D. Andler, mais personnellement je vois plus l’intérêt d’une distinction entre calcul des propositions et calcul des prédicats, on parle d'une proposition, cela m'ennuie de considérer que cette proposition est une tautologie ou non en fonction du regard que je porte dessus (vision syntaxique ou sémantique).

5 Dans l'absolu, je n'ai pas non plus besoin d'établir la table de vérité... elle est triviale ici.
Mais SI la notion de tautologie est réservée à la sémantique, alors je dois au moins admettre la possibilité d'une démonstration sémantique; le problème est qu'il n'y a pas consensus chez les logiciens. Certes, tous sont d'accord pour y ranger le calcul par les tables de vérité. Mais où range t'on, par exemple, la méthode des arbres ou la méthode par les FNC ou les FND ?

D’où ma remarque précédente.

[karlp]

1Ne cherchez pas, la table de vérité ne fonctionne pas ici (calcul propositionnel vs calcul des prédicats). Tarski a beaucoup, beaucoup parlé de vérité et de sémantique (il se trouve que ma spécialité est la théorie des modèles), donc je ne sais pas exactement à quelle définition vous faites allusion ; personnellement, et bien que je trouve que le mot « vrai » est toujours porteur de connotations trompeuses, je l’emploie de deux façons différentes (toutes deux sémantiques) :
a) Telle proposition est vraie dans tel modèle (mais l’omission de la fin de la phrase est une erreur gravissime à mes yeux).
b) Telle proposition est vraie (sous-entendu, elle est vraie dans tous les modèles).
Avec la définition précédente de « vraie » (b), le théorème de complétude de Gödel de la logique (des prédicats) du premier ordre s’exprime : une proposition est vraie si et seulement si elle est démontrable.
2Pour illustrer l’erreur gravissime dont je parlais ci-dessus, il m’est arrivé de lire le théorème d’incomplétude de Gödel sous la forme « Il existe des propositions vraies qui ne sont pas démontrables », le « vraies » ici voulant clairement (mais pas pour tout le monde) dire « vraies dans le modèle standard de l’arithmétique ».


3Pour moi, cela c’est la définition de démontrable (mais avec le théorème de complétude, c’est finalement pareil)



4Certes, c'est clairement la position de D. Andler, mais personnellement je vois plus l’intérêt d’une distinction entre calcul des propositions et calcul des prédicats, on parle d'une proposition, cela m'ennuie de considérer que cette proposition est une tautologie ou non en fonction du regard que je porte dessus (vision syntaxique ou sémantique).



5D’où ma remarque précédente.

1 Je ne cherchais pas une démonstration par les tables de vérité , étant conscient de la différence entre le calcul propositionnel et la logique des prédicats. J'ai essayé de trouver une démonstration formelle, mais n'y suis pas parvenu: existe t'elle ?

2 Effectivement l'ambiguité qui découle de l'absence de référence au cadre de l'arithmétique peut autoriser n'importe quel "glissement".
J'ai l'habitude de présenter le 1er théorème d'incomplétude comme ceci: "dans tout système formel au moins aussi puissant que l'arithmétique de Peano, il existe au moins une proposition vraie mais non démontrable dans le système considéré"
Je suis ouvert à vos corrections.

3 Absolument ! c'est ce que je disais plus haut. Je ne faisais pas appel au théorème de complétude mais juste à l'hypothèse de la cohérence (une formule démontrable à partir des axiomes est vraie)

4 La distinction sémantique/syntaxe n'est pas nécessaire à cet étage (ni Pierre Roubinet ni M.Vienne que j'ai également eu comme profs de logiques n'y faisaient référence).
Mais elle est néanmoins très utile pour "comprendre" la portée du théorème d'incomplétude.

Cordialement

[Médiat]

1 Je ne cherchais pas une démonstration par les tables de vérité , étant conscient de la différence entre le calcul propositionnel et la logique des prédicats. J'ai essayé de trouver une démonstration formelle, mais n'y suis pas parvenu: existe t'elle ?

C'est le grand théorème de Fermat, démontré par A. Wiles, il y a quelques années.

2 Effectivement l'ambiguité qui découle de l'absence de référence au cadre de l'arithmétique peut autoriser n'importe quel "glissement".
J'ai l'habitude de présenter le 1er théorème d'incomplétude comme ceci: "dans tout système formel au moins aussi puissant que l'arithmétique de Peano, il existe au moins une proposition vraie mais non démontrable dans le système considéré"
Je suis ouvert à vos corrections.

"dans tout système formel en logique classique du premier ordre, récursivement axiomatisée, au moins aussi puissant que l'arithmétique de Peano, il existe au moins une proposition non réfutable mais non démontrable dans le système considéré"
Justement : surtout pas vraie !

Quand je veux vulgariser, j'écris : Toute théorie du premier ordre suffisamment compliquée (pour formaliser l'arithmétique) et suffisamment simple (récursivement axiomatisable) est incomplète.

3 Absolument ! c'est ce que je disais plus haut. Je ne faisais pas appel au théorème de complétude mais juste à l'hypothèse de la cohérence (une formule démontrable à partir des axiomes est vraie)

Je préfère garder le mot "vrai" (que déjà je n'aime pas trop) pour l'aspect sémantique, et avec la définition que j'en ai donné.

4 La distinction sémantique/syntaxe n'est pas nécessaire à cet étage (ni Pierre Roubinet ni M.Vienne que j'ai également eu comme profs de logiques n'y faisaient référence).
Mais elle est néanmoins très utile pour "comprendre" la portée du théorème d'incomplétude.

Pas seulement utile, mais absolument essentielle dans le calcul des prédicats, entre autres à cause du théorème d'incomplétude. C'est pour le calcul propositionnel que j'ai des doutes sur cette distinction.

Cordialement

[karlp]

"dans tout système formel en logique classique du premier ordre, récursivement axiomatisée, au moins aussi puissant que l'arithmétique de Peano, il existe au moins une proposition non réfutable mais non démontrable dans le système considéré"
Justement : surtout pas vraie !

Je vais avoir besoin de vos lumières.
Peut être ai-je confondu avec l'interprétation du deuxième théorème d'incomplétude. ?.. ou avec l'interprétation donnée par Stephen Hawking (dans un article intitulé "Goedel and the end of physics")?

Il résume ainsi:

"Gödel s’est donné beaucoup de mal pour éviter de tels paradoxes, notamment en distinguant rigoureusement les formules mathématiques, comme « 2 + 2 = 4 », et les formules métamathématiques, c’est à dire les jugements sur les mathématiques, comme « c’est chouette les mathématiques » ou encore « les mathématiques sont consistantes ». C’est pourquoi son texte est si difficile à lire. Mais l’idée est relativement simple. Gödel a d’abord montré qu’on peut associer à chaque formule mathématique, comme « 2 + 2 = 4 », un nombre unique appelé son nombre de Gödel. Le nombre de Gödel de « 2 + 2 = 4 » est * .Deuxièmement, le jugement métamathématique « la suite de formule A est une preuve de la formule B » peut être exprimé par une relation arithmétique entre les nombres de Gödel de A et de B. Ainsi la métamathématique peut elle être exprimée en langage arithmétique, quoique je ne sois pas sûr de la façon dont on traduirait ainsi le jugement « c’est chouette les maths ». Troisièmement et pour finir, considérons la formule auto référentielle de Gödel, G. G exprime l’idée que la formule G ne peut pas être démontrée à partir des axiomes mathématiques. Supposons que l’on puisse démontrer G. Dans ce cas, les axiomes doivent être inconsistants puisqu’on peut dans le même temps démontrer G et montrer par là même qu’on ne peut la démontrer. D’un autre côté, si G ne peut être démontrée alors elle est vraie. Par le biais de la gödélisation, on peut montrer que cela correspond à une relation numérique vraie, mais qui ne peut être déduite des axiomes."

(Je suis responsable de la traduction, mais je peux vous donner le texte original .)


Qu'en dîtes vous ?

[karlp]

Je viens de jeter un oeil rapide sur le bouquin de Nagel et Newman

Page 88 de l'édition "points sciences":"il s'ensuit que la formule G, qui correspond à une assertion métamathématique vraie, doit être vraie"

Help

[karlp]

Egalement dans un article de "Pour la science" Janvier 2009 signé par Jean Paul Delahaye: "il existe une infinité de propositions mathématiques vraies mais non démontrables".

Est-ce que ma formulation n'est inexacte que pour le premier théorème de Gödel ?

[Médiat]

(Je suis responsable de la traduction, mais je peux vous donner le texte original .)
Qu'en dîtes vous ?

Pas de problème j'ai l'original.

Page 88 de l'édition "points sciences":"il s'ensuit que la formule G, qui correspond à une assertion métamathématique vraie, doit être vraie"

Encore une illustration du mauvais usage du mot "vrai".

"il existe une infinité de propositions mathématiques vraies mais non démontrables".

Horreur ! (JY Girard utilise le même vocabulaire, mais de toute façon, je ne l'aime pas )



Je reprécise ma position :

1) "Proposition Vraie" n'a de sens que sémantique (sinon on dit un théorème, ou une proposition démontrable)
2) "La proposition p est vraie dans le modèle M de la théorie T" est une phrase non ambigüe, et parfaitement licite.
3) "La proposition p est vraie dans la théorie T" ne devrait être utilisée que pour dire que cette proposition est vraie dans tous les modèles de T
4) Les platoniciens utilisent souvent la forme "La proposition p est vraie" pour signifier que p est vraie dans le modèle standard de la théorie T.
5) Je trouve inconsistante l'utilisation précédente du mot vrai, surtout que cela ne coute rien de préciser "La proposition p est vraie dans le modèle standard"
6) Je peux comprendre que pour un platonicien, seul le modèle standard soit intéressant.
7) Je n'arrive pas à comprendre comment on peut affirmer que le modèle standard existe et pas les modèles non-standard.
8) Est-ce que vous diriez que la commutativité est vraie dans la théorie des groupes sous le seul prétexte que votre groupe préféré est commutatif ?
9) Quelle est la définition de "modèle standard" ? (En tant que formaliste, j'en ai une assez bonne idée, mais là c'est aux platoniciens de se manifester)
10) Que se passe-t-il pour les théories n'ayant pas de modèle standard ?
11) Comment peut-t-on dire (j'économise les pré-requis de chaque théorème) "une proposition est vraie si et seulement si elle est démontrable" (théorème de complétude) et "dans les théories telles que [...] il existe des propositions vraies mais non démontrables" (théorème d'incomplétude), sans avoir le fort sentiment d'avoir exprimé une contradiction flagrante ?

Cordialement

[invité576543]

Horreur !

Pourquoi horreur ?

S'il existe au moins une théorie non complète, la phrase est correcte non ?

Si on comprend "mathématiques" comme couvrant les théories usuelles dont l'arithmétique, ça marche, non?

[Médiat]

S'il existe au moins une théorie non complète, la phrase est correcte non ?

C'est le mot "vrai" que je conteste, que veut-il dire dans la phrase de Delahaye ? Il n'y ait même pas question d'une théorie particulière, donc comment savoir ce que veut dire ce mot ici (toutes les théories n'ont pas de "modèle standard", cette acception serait en tout état de cause un abus de langage, cf. les 11 points que j'ai listé) ?

[karlp]

Pas de problème j'ai l'original.

Encore une illustration du mauvais usage du mot "vrai".

Horreur ! (JY Girard utilise le même vocabulaire, mais de toute façon, je ne l'aime pas )



Je reprécise ma position :

1) "Proposition Vraie" n'a de sens que sémantique (sinon on dit un théorème, ou une proposition démontrable)
2) "La proposition p est vraie dans le modèle M de la théorie T" est une phrase non ambigüe, et parfaitement licite.
3) "La proposition p est vraie dans la théorie T" ne devrait être utilisée que pour dire que cette proposition est vraie dans tous les modèles de T
4) Les platoniciens utilisent souvent la forme "La proposition p est vraie" pour signifier que p est vraie dans le modèle standard de la théorie T.
5) Je trouve inconsistante l'utilisation précédente du mot vrai, surtout que cela ne coute rien de préciser "La proposition p est vraie dans le modèle standard"
6) Je peux comprendre que pour un platonicien, seul le modèle standard soit intéressant.
7) Je n'arrive pas à comprendre comment on peut affirmer que le modèle standard existe et pas les modèles non-standard.
8) Est-ce que vous diriez que la commutativité est vraie dans la théorie des groupes sous le seul prétexte que votre groupe préféré est commutatif ?
9) Quelle est la définition de "modèle standard" ? (En tant que formaliste, j'en ai une assez bonne idée, mais là c'est aux platoniciens de se manifester)
10) Que se passe-t-il pour les théories n'ayant pas de modèle standard ?
11) Comment peut-t-on dire (j'économise les pré-requis de chaque théorème) "une proposition est vraie si et seulement si elle est démontrable" (théorème de complétude) et "dans les théories telles que [...] il existe des propositions vraies mais non démontrables" (théorème d'incomplétude), sans avoir le fort sentiment d'avoir exprimé une contradiction flagrante ?

Cordialement

D'abord merci de prendre le temps de m'aider à corriger mes erreurs .

1) ok, pas de problème.
2) Je n'ai plus que de vagues souvenirs en logique des prédicats: une théorie est-elle un ensemble de proposition ?. Un modèle est-il un univers muni de certaines fonctions, ainsi que d'une interprétation des symboles ?
Si je ne fais pas fausse route...: est-ce qu'on peut dire qu'une formule du type "pour tout x phi de x" ssi tous les éléments de l'univers considéré satisfont la fonction phi ?

(Je reviendrai après vous embêter avec le reste quand j'aurai remis un peu d'ordre)

[Médiat]

D'abord merci de prendre le temps de m'aider

Pas de problème, c'est aussi mon plaisir.

2) Je n'ai plus que de vagues souvenirs en logique des prédicats: une théorie est-elle un ensemble de proposition ?.

Oui, et pour la plupart des auteurs (et je le comprends ainsi aussi), un ensemble clos par les règles d'inférence.

Un modèle est-il un univers muni de certaines fonctions, ainsi que d'une interprétation des symboles ?

Un univers, et une fonction d'interprétation des éléments du langage (constantes, fonctions, relations)

Si je ne fais pas fausse route...: est-ce qu'on peut dire qu'une formule du type "pour tout x phi de x" ssi tous les éléments de l'univers considéré satisfont la fonction phi ?

C'est correct.

[invite6754323456711]

Qu'en dîtes vous ?

Qu'une théorie ne peut se démontrer elle même. Pourtant (axiome ==> axiome)

Patrick

[Médiat]

Qu'une théorie ne peut se démontrer elle même.

Que voulez-vous dire ?

[invite6754323456711]

Que voulez-vous dire ?

C'est l'interprétation que je fais de "G exprime l’idée que la formule G ne peut pas être démontrée à partir des axiomes mathématiques"

Patrick

[invite7863222222222]

Et les théories complètes ?