L'explication http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/atelierD17.pdf me convenais pour avoir une idée permettant de distinguer ce qui à trait à la théorie de la démonstration de ce qui a trait à la théorie des modèles. Il propose une axiomatique en langage du premier ordre (usage de schéma d'axiome pour le principe de recurrence).Envoyé par Médiat
Patrick
Une collection de "choses" pour lesquels chaque formule atomique sans variable (mais uniquement des "choses") est soit vraie, soit fausse.
Oui, et cette notion est clairement définie, pour les formules atomiques, c'est "simple", et pour les autres formules, une récurrence sur la complexité de la formule permet de conclure (attention, je ne dis pas que ce processus est opérationnel ; par analogie, l'axiome du choix dit qu'il existe une fonction de choix, mais ne permet pas de la construire (si on savait on n'aurait pas besoin de cet axiome)).Vu comme cela, il serait bien une exigence pour "être un modèle" qu'une notion de "formule vraie" "existe", et que le tiers exclus s'applique. (Les mots "notion" et "existe" sont flous, dans cette esquisse. Sans oublier "collection" et "choses")
Oui aux 3 questions.
Oui : on peut travailler avec des collections que l'on suppose être des modèles (par exemple on suppose que l'on dispose d'un modèle de ZF, et à partir de celui-ci on fabrique (on indique comment "on pourrait" fabriquer) un nouveau modèle de ZF qui soit en plus modèle de ZF + AC et un autre qui soit modèle de ZF + Non AC
Oui : on ne sait pas construire de modèle de ZF, et on ne sait pas si ZF est consistante (mais on sait que si ZF est consistante alors ZFC et ZF non AC le sont aussi).
Oui : c'est cohérent avec une compréhension
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
(Au passage, un peu hors-sujet, je réagis plutôt en "physicien". Pour moi, la partie des maths pertinente pour la physique n'est que formelle. La notion de "modèle" qui me semble intéressante est celle de modèle physique, pour lequel la notion de "vrai" est en relation avec la notion d'observation, de "fait". La relation entre la notion de modèle dans la théorie des modèles et la notion de "modèle physique" ne semble pas vide, mais je peine à la cerner.
Peut-être lancer une discussion là-dessus pourrait intéresser ?)
Oui, mais avec un schéma d'axiomes du premier ordre, on ne peut plus démontrer l'unicité, à ma connaissance, je serais curieux de voir la démonstration.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Salut,
Si, je suis tout à fait d'accord. Je ne pensais pas au calcul numérique en fait, mais ça ne change pas vraiment ma remarque. Machine ou pas, se passer de l'analyse, intégrales, équations différentielles et autres, serait absurde.
P.S. : Merci à tous pour cette discussion sur les théories et les modèles. Vraiment intéressant. J'ai pris beaucoup de plaisir à lire les messages ce matin
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Sans quantificateur, alors ?
"autres formules" ? Toujours sans variable et donc sans quantificateur?Oui, et cette notion est clairement définie, pour les formules atomiques, c'est "simple", et pour les autres formules,
Oui
Non, la récurrence sur la complexité permet d'introduire variables et quantificateurs (par exemple pour "savoir" si il existe R(x, x), il suffit de "savoir" si la diagonale est vide ou non).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'est vrai y compris pour les mathématiques qu'on fait au lycée?lorsque l'on fait des mathématiques c'est au sein d'un modèle et non de tous,
Cela signifie-t-il que les résultats qu'on obtient seraient différents dans un autre modèle?
"mal nommer un objet, c'est ajouter au malheur de ce monde". Albert Camus
Je ne suis pas bien sûr de comprendre "absurde".
Oui, ce serait "absurde" parce tout décrire en discret est très lourd (pas efficace, et peut-être aussi (je ne sais pas) parce que le pouvoir déductif (démonstrations formelles) serait trop inférieur pour répondre aux besoins de la physique (je l'exprime comme cela, car si des cas d'insuffisance sont exhibés en maths, je n'en connais pas en physique).
Non, ce n'est pas absurde, parce qu'in fine tout ce qui est "fait", "mesure", "observation" en physique peut s'exprimer "en dénombrable" (dans ma manière de voir, sans l'axiome de l'infini, donc sans R et sans analyse).
Donc "opérationnellement" absurde (perte inutile d'efficacité), mais "théoriquement" non absurde.
Je sais pas si on continue d'étudier les groupes au lycée, mais dans ce cas, on peut étudier beaucoup de groupes qui vérifient tous les propositions démontrables dans la théorie des groupes, mais qui peuvent être différents sur chacune des propositions indécidables (commutativité par exemple)
Donc oui, démontrer dans la théorie est valide pour tous les modèles, démontrer dans un modèle particulier ne permet de conclure que pour ce modèle (légère caricature, mais c'est bien l'idée de fond).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
OK, c'est là qu'il faut que j'améliore ma compréhension, alors...
Oui, oui, c'est exactement dans ce sens là que je l'entendais. Ni plus ni moins.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Si vous le permettez, je reformule ce que je comprends, histoire de ne pas m'engager dans une fausse voie:Non pas du tout (je suis allé trop vite pour écrire cette remarque perfide), ce n'est pas parce qu'il peut en contenir trop, mais parce qu'il peut ne pas les contenir "tous" (au sens où un être humain peut comprendre "tous" dans la phrase précédente) ; qu'il puisse en contenir trop est juste un petit détail facile à surpasser ...
On touche à une subtilité : le cardinal de IR est toujours, mais comme IR n'est pas toujours "le même", cela veut dire que
Y ne contiendrait pas "tous" (au sens courant) les ensembles qui sont sous ensemble de X ?
Est-ce à dire qu'il ne contient que les ensembles définissables dans le modèle considéré et pas les ensemble que vous avez appelé plus haut "exotiques" ?
Que 2 puissance aleph zero ne soit pas toujours le même (selon le modèle considéré ?) est, énoncé tel quel, proprement stupéfiant
Est-ce que la négation de l'hypothèse du continu (je m'aperçois à quel point les auteurs que j'ai lu en donnaient de HC des versions des plus ambigües) signifie que aleph 1 est strictement plus petit que 2 puissance aleph zero ?
Est-ce en raison de la définition même de modèle ?
Exact, à la précision près : Y ne contiendrait pas forcément "tous" ...
Il contient forcément, les ensembles définissables, pour les autres, cela dépend du modèle.
Oui
Absolument.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Oui, cf. les réponses que j'ai faites à Michel (mmy).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Vous me mettez l'eau à la bouche et piquez ma curiosité.Code:Oui ; cette stupéfaction se retrouve dans le "paradoxe de Skolem", à savoir que si ZFC est consistante, elle a un modèle dénombrable, dans lequel il y a des ensembles de cardinal non dénombrable (au sens du modèle).
Je vais jeter un eoil sur ce paradoxe.
Par ailleurs:
Vous pouvez regarder là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2287137 et la discussion qui suit.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Le niveau de cette discussion est encore trop ardu pour moi.
Je reviens donc d'abord sur les articles de wikipedia (n'y en a t'il pas un de vous ? j'ai cru reconnaître certaines de vos formulations)
Une question ne trouve pas de réponse : qu'est-ce qu'un modèle infini ? est-ce un modèle dans lequel il existe une infinité de variables? ou de constantes d'individus ?
Posez des questions, vous verrez, ce n'est pas si compliqué
Non je n'ai rien écrit, mais si vous pouviez citer quelques articles je pourrais jeter un oeil et vérifier s'il s'agit de choses tellement usuelles qu'il est normal que tout le monde en parle de la même façon, ou s'il s'agit de rédacteur qui parcourent FSG
Il n'y a pas de variables dans un modèle, mais des individus qui sont des constantes (les symboles de constante sont dans la partie syntaxe, les constantes dans les modèles).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
C'est tout simplement l'article consacré au paradoxe de SkolemNon je n'ai rien écrit, mais si vous pouviez citer quelques articles je pourrais jeter un oeil et vérifier s'il s'agit de choses tellement usuelles qu'il est normal que tout le monde en parle de la même façon, ou s'il s'agit de rédacteur qui parcourent FSG
J'avais gardé en mémoire la différence entre "symbole de constante" propre à la syntaxe et "constante" qu'on appealit aussi "intéprétation du symbole de constante dans tel modèle"Il n'y a pas de variables dans un modèle, mais des individus qui sont des constantes (les symboles de constante sont dans la partie syntaxe, les constantes dans les modèles).
Que deviennent les symboles de variables ? sont-ils interprétés comme des constantes ? (je ne retrouve plus les polys de Andler, c'est dommage)
Donc, je repose ma question, rectifiée par vos soins: un modèle infini est-il un modèle comportant une infinité de constantes (ou une infinité de formules ) ?
Merci
je vais aller voir.
La notion de variable est purement syntaxique, par exemple si vous avez une formule à une variable libre p(x) au niveau du modèle, je ne peux (à peu près) rien dire, par contre, pour chaque élement c du modèle je peux me demander si p(c) est vraie ou non (et éventuellement me demander si "pour tout x p(x)", ou si "il existe x p(x)"), c'est à dire les formules closes.
Le cardinal d'un modèle est le cardinal de son univers (ses constantes, si vous préférez), un modèle ne contient pas de formule.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je viens de vérifier, les bouts de phrases communs sont tellement usuels qu'il est naturel que tout le monde en parle de la même façon.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
1) Vous venez de résoudre une difficulté que je n'avais jamais surmontée...il y a quinze ans
2) Les formules appartiennent à la théorie et se situent donc au niveau syntaxique ?
Absolument, une formule est une chaîne de caractères formée de façon parfaitement codifiée par le choix de la logique et du langage, un modèle, peut être un ensemble de nombre par exemple.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci pour votre aide. Je vais reprendre l'étude de ce paradoxe avant la lecture de la discussion que vous m'avez indiquée.
Prenons un exemple. La théorie des groupes en notation additive, et la formule
Si on prend comme modèle un groupe fini, par exemple le groupe {0, 1}. La formule est vraie par "et" sur un nombre fini de formules atomiques.
Si on prend comme modèle Z, on peut procéder par récurrence, avec à chaque étape une écriture en formules atomiques.
Mais si on prend comme modèle les translations de R? En quoi consiste la récurrence sur la complexité sur un tel modèle?
J'ai vraiment le plus grand mal.
Je connais l'argument diagonal de Cantor qui permet de montrer que le cardinal de IR est strictement plus grand que le cardinal de l'infini dénombrable, c'est à dire IN.
J'ai pu lire qu'il existe un modèle de ZFC dans lequel on pouvait établir une bijection* entre IN et IR (ais-je bien compris ?)
Mais je ne vois pas où est le paradoxe puisque j'imagine que l'argument diagonal est extérieur à ce modèle spécifique ?
J'aimerai bien jeter un oeil sur la démonstration de cette bijection*
Je crois que vous êtes en train de confondre la démonstration et le fait du modèle (la réalité dirait un platonicien ; c'est de ma faute, à cause du "on sait"), pour votre question précise, l'addition sur un ensemble M est un sous-ensemble de M3, soit ce sous ensemble a une certaine propriété (si (x, y, z) est dedans, (y, x, z) aussi) soit il ne l'a pas, dans cette formulation, il n'y a plus d'opération, ni même de définition de M, juste une propriété d'un certain ensemble : ce n'est en aucun cas une méthode de démonstration, donc en aucun cas opérationnel, mais soit cet ensemble a la propriété en question soit il ne l'a pas (tiers exclu), donc la formule n'est pas indécidable, même si je n'ai pas fait pas pour la démonstration pour savoir si elle est vraie ou si elle est fausse.Prenons un exemple. La théorie des groupes en notation additive, et la formule
Si on prend comme modèle un groupe fini, par exemple le groupe {0, 1}. La formule est vraie par "et" sur un nombre fini de formules atomiques.
Si on prend comme modèle Z, on peut procéder par récurrence, avec à chaque étape une écriture en formules atomiques.
Mais si on prend comme modèle les translations de R? En quoi consiste la récurrence sur la complexité sur un tel modèle?
Ce sujet doit apparaître systématiquement dans les documents sur la théorie des modèles (en particulier dans l'article "Théorie des modèles" de wiki, paragraphe "La définition de la vérité des formules complexes").
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Cet argument permet de montrer qu'il n'existe pas de bijection dans le modèle.
Dans ce cas cette bijection ne peut pas appartenir au modèle
L'argument diagonal est un raisonnement à l'intérieur d'un modèle, et il montre que la bijection n'existe pas dans le modèle.
Jetter un coup d'oeil sur la démonstration du théorème de Cantor dans le pur cadre de ZF, en ayant en tête qu'à chaque fois que l'on parle d'un ensemble ou d'une fonction, il s'agit d'ensembles ou de fonction du modèle.
Pour l'existence d'une bijection qui, forcément, n'est pas dans le modèle de ZF considéré, il "suffit" d'un argument de cardinalité : si le modèle est dénombrable (vu de l'extérieur), toute partie de ce modèle est finie ou dénombrable (vue de l'extérieur), y compris IR (qui est donc dénombrable, vu de l'extérieur).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
