tautologies, axiomes et règles

[invité576543]

Je crois que vous êtes en train de confondre la démonstration et le fait du modèle (la réalité dirait un platonicien ; c'est de ma faute, à cause du "on sait")

C'est plutôt à cause du mot "récurrence", c'est maintenant celui-là que je cherche à cerner.

, pour votre question précise, l'addition sur un ensemble M est un sous-ensemble de M³, soit ce sous ensemble a une certaine propriété (si (x, y, z) est dedans, (y, x, z) aussi) soit il ne l'a pas, dans cette formulation, il n'y a plus d'opération, ni même de définition de M, juste une propriété d'un certain ensemble : ce n'est en aucun cas une méthode de démonstration

Cela ne me posait pas de problème, je ne voyais pas ce que j'ai écrit comme démonstration, mais comme signification. Et plus précisément du mot "récurrence de complexité".

mais soit cet ensemble a la propriété en question soit il ne l'a pas (tiers exclu), donc la formule n'est pas indécidable, même si je n'ai pas fait pas pour la démonstration pour savoir si elle est vraie ou si elle est fausse.

Et là on en revient à "on sait". Ma question de fond (ici et dans plusieurs autre échanges dans le passé) est de cerner l'affirmation "ceci est un modèle".

Ce sujet doit apparaître systématiquement dans les documents sur la théorie des modèles (en particulier dans l'article "Théorie des modèles" de wiki, paragraphe "La définition de la vérité des formules complexes").

J'ai lu diverses tentatives de vulgarisation, dont celle citée, et j'ai toujours échoué à comprendre ce qui fait que quelque chose est un modèle et quelque chose d'autre n'est pas un modèle.
-----

[Médiat]

Et là on en revient à "on sait". Ma question de fond (ici et dans plusieurs autre échanges dans le passé) est de cerner l'affirmation "ceci est un modèle".

J'ai lu diverses tentatives de vulgarisation, dont celle citée, et j'ai toujours échoué à comprendre ce qui fait que quelque chose est un modèle et quelque chose d'autre n'est pas un modèle.

Dans ce que j'ai écrit ici, je n'ai pas abordé ce sujet, ou alors je ne comprends votre question.

Un modèle est avant tout une L-structure (L étant le langage), il n'est, à ce niveau, pas question de théorie, et donc pas de modèle, si en plus, la notion de "vérité dans le modèle" telle qu'elle est décrite dans wiki, permet de dire que cette L-structure vérifie les axiome d'une certaine théorie, alors on peut dire qu'elle est un modèle de cette théorie.

Mais ce "permet de dire" nécessite une démonstration qui n'est pas toujours simple (imaginons que dans l'arithmétique de Peano j'ajoute la conjecture de Goldbach, démontrer que IN est un modèle de cette théorie rapporterais un million de dollars, je crois).

Donc pour revenir sur le même clou, mais je ne sais pas si c'est là votre question, je ne dis pas qu'il y a une méthode pour vérifier si telle structure est un modèle de telle théorie, je dis que si on a un modèle, alors toute formule close est soit vraie, soit fausse, même si je ne sais pas forcément, si telle formule est vraie ou fausse (cf. Goldbach).

[invité576543]

Je butte depuis plusieurs années sur le même point.

Vous dites une "L-structure". OK. Je prends (au hasard dans ma collection de liens sur le sujet) ce document (sans jugement de valeur) :

http://www.lsv.ens-cachan.fr/~carre/...re_modeles.pdf

"L-structure" renvoie à "Réalisation de L", et là je lis "une L-structure ... est composée de ... d'un ensemble M ..."

Comment alors parler d'un modèle de la théorie des ensembles

Une L-structure doit être donc autre chose, plus général, mais quoi?

Soyons clair, je ne pense pas avoir de difficulté à comprendre ce qu'est un modèle de la théorie des groupes à partir d'une L-structure comme définie dans le document : les exemples peuvent être pris parmi des ensembles au sens de la théorie des ensembles, et c'est ce qui est toujours fait.

C'est la définition plus large de la notion de modèle qui m'échappe.

[karlp]

Cet argument permet de montrer qu'il n'existe pas de bijection dans le modèle.

Dans ce cas cette bijection ne peut pas appartenir au modèle

L'argument diagonal est un raisonnement à l'intérieur d'un modèle, et il montre que la bijection n'existe pas dans le modèle.

Jetter un coup d'oeil sur la démonstration du théorème de Cantor dans le pur cadre de ZF, en ayant en tête qu'à chaque fois que l'on parle d'un ensemble ou d'une fonction, il s'agit d'ensembles ou de fonction du modèle.

Pour l'existence d'une bijection qui, forcément, n'est pas dans le modèle de ZF considéré, il "suffit" d'un argument de cardinalité : si le modèle est dénombrable (vu de l'extérieur), toute partie de ce modèle est finie ou dénombrable (vue de l'extérieur), y compris IR (qui est donc dénombrable, vu de l'extérieur).

Je crois bien comprendre ce que vous dîtes et la nécessité de toujours rappeler que telle ou telle propriété est démontrable dans le cadre d'un [B]modèle[B] spécifique.

Je saisis bien que si un modèle est dénombrable alors toute partie de celui ci l'est aussi.

Pour l'instant mon questionnement me conduit vers la démonstration du caractère dénombrable de IR dans un modèle spécifique.
Je vais essayer de trouver ça

[invité576543]

Ceci dit, c'est un point différent de ce qui précédait.

Dans le "dictionnaire" cité, si je cherche dans la définition de "L-structure" ou de "modèle" quelque chose que je puis raccrocher à l'idée que toute formule close est soit vraie soit fausse, je ne vois guère que la notion de "satisfaire toutes les formules de la théorie". (Ce qui a un sens si on cherche pas à comprendre le mot "modèle" (la problématique de mon précédent message), mais seulement "modèle d'une théorie".

[Médiat]

Comment alors parler d'un modèle de la théorie des ensembles

Je comprends mieux vos questions.

Et malheureusement je n'ai pas de réponse absolument satisfaisante, et je crois qu'il n'y a pas de réponse absolument satisfaisante, j'ai eu l'occasion (il y a un an environ, donc c’est assez frais) de discuter ce point avec plusieurs spécialistes de la théorie des ensembles dont un chercheur en exercice, et je n’ai pas été totalement apaisé (et donc je suis resté insatisfait), la discussion s’est terminée par « personne ne parvient à voir ce qu’est un modèle de ZF ».

Je suis arrivé à retrouver le sommeil après m’être dit qu’il s’agissait d’un problème de moteur immobile, ou plus précisément de l’impossibilité d’écrire un dictionnaire dont chaque mot ne serait défini qu’à l’aide de mots préalablement définis.

Maintenant, d’un point de vue pratique, on peut toujours voir l’ensemble qui sert de base à une structure, comme une simple collection (il est très rare que l’on ait besoin de plus que des éléments de cet ensemble, à la rigueur, l’ensemble des parties), car dans la très grosse majorité des cas, on a vraiment besoin que de cela (le mathématicien, non logicien, fait exactement cela), mais le logicien, en plaçant ses modèles dans la théorie des ensembles, peut bénéficier d’un arsenal qui peut lui être utile ; le problème ne se posant que dans le cas de la théorie des ensembles, on peut toujours penser qu’un modèle de ZF est tout bêtement un ensemble d’un modèle plus gros, mais on retombe sur le problème du dictionnaire.

La meilleure solution, pour moi, est de penser un modèle de ZF comme une collection.

[Médiat]

Pour l'instant mon questionnement me conduit vers la démonstration du caractère dénombrable de IR dans un modèle spécifique.

Attention : le IR d'un modèle n'est jamais dénombrable du point de vue de ce modèle.

[Médiat]

Dans le "dictionnaire" cité, si je cherche dans la définition de "L-structure" ou de "modèle" quelque chose que je puis raccrocher à l'idée que toute formule close est soit vraie soit fausse, je ne vois guère que la notion de "satisfaire toutes les formules de la théorie". (Ce qui a un sens si on cherche pas à comprendre le mot "modèle" (la problématique de mon précédent message), mais seulement "modèle d'une théorie".

A nouveau je ne comprends pas ce que vous cherchez, un modèle est une L-structure "avec des propriétés liées à une théorie", un "objet" ne peut pas être un modèle sans être un modèle d'une théorie particulière.

[karlp]

Attention : le IR d'un modèle n'est jamais dénombrable du point de vue de ce modèle.

Je ne comprends plus rien: voulez vous dire que dans aucun modèle on ne peut démontrer que IR est dénombrable ?
Ou bien entendez vous autre chose par "le IR d'un modèle" ?

[Médiat]

Je ne comprends plus rien: voulez vous dire que dans aucun modèle on ne peut démontrer que IR est dénombrable ?
Ou bien entendez vous autre chose par "le IR d'un modèle" ?

Désolé de n'avoir pas été clair :
Il y a deux façons de se poser la question :
1) on se place dans un modèle de ZFC, on considère IN et IR dans ce modèle, on peut démontrer, dans ce modèle qu'il n'existe pas de bijection, qui soit une élément de ce même modèle, entre ces deux ensembles, donc IN et IR ne sont pas de même cardinal, IR n'est pas dénombrable (du point de vue du modèle).

2) on se place en dehors d'un modèle et on le regarde en tant que mathématicien, ce modèle a un certain cardinal (pour un platonicien, le cardinal de IN et celui de IR ne porte pas à débat), si il se trouve que je suis en train de regarder un modèle dénombrable (dont l'existence est assurée par le théorème de Löwenheim-Skolem si ZFC est consistante), alors toutes les parties de cette collection sur laquelle le modèle est construit sont finies ou dénombrables ; en particulier la partie qui est, dans ce modèle, l'ensemble des parties du IN de ce modèle (mais pour IN pas de problème, c'est le même dans tous les modèles) et que j'appelle le IR de ce modèle est dénombrable (du point de vue extérieure, masi pas question d'expliciter une bijection).

[invite6754323456711]

La meilleure solution, pour moi, est de penser un modèle de ZF comme une collection.

Il y a aussi d'autres points de vue http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post2770396

Patrick

[karlp]

Désolé de n'avoir pas été clair :
Il y a deux façons de se poser la question :
1) on se place dans un modèle de ZFC, on considère IN et IR dans ce modèle, on peut démontrer, dans ce modèle qu'il n'existe pas de bijection, qui soit une élément de ce même modèle, entre ces deux ensembles, donc IN et IR ne sont pas de même cardinal, IR n'est pas dénombrable (du point de vue du modèle).

2) on se place en dehors d'un modèle et on le regarde en tant que mathématicien, ce modèle a un certain cardinal (pour un platonicien, le cardinal de IN et celui de IR ne porte pas à débat), si il se trouve que je suis en train de regarder un modèle dénombrable (dont l'existence est assurée par le théorème de Löwenheim-Skolem si ZFC est consistante), alors toutes les parties de cette collection sur laquelle le modèle est construit sont finies ou dénombrables ; en particulier la partie qui est, dans ce modèle, l'ensemble des parties du IN de ce modèle (mais pour IN pas de problème, c'est le même dans tous les modèles) et que j'appelle le IR de ce modèle est dénombrable (du point de vue extérieure, masi pas question d'expliciter une bijection).

Merci pour ces précisions.
Le 1) est OK
Je prends le temps de la réflexion pour le 2) (je crois avoir compris, mais je me méfie de moi même: je vais revoir le théorème de Lowenheim-Skolem)

[Médiat]

Il y a aussi d'autres points de vue http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post2770396

J'avoue que je ne vois pas bien le rapport ; S. Poirier veut écrire une théorie des ensembles (entre autres) qui n'est pas ZF, donc je ne vois pas en quoi sa vision peut éclairer la notion de modèle de ZF ...

[karlp]

Si on applique le théorème à la théorie des ensembles ZFC, ou à une autre théorie axiomatique destinée à fonder les théorèmes de Cantor, on obtient un univers dénombrable de tous les ensembles définis dans ZFC. Mais on peut prouver dans ZFC qu'il existe des ensembles indénombrables. Autrement dit ZFC affirme qu'il existe plus d'ensembles qu'elle n'en peut définir : c'est le paradoxe de Skolem.

J'ai l'impression que le "paradoxe" ne découle que d'un jeu de mots ?
Puis-je résumer très informellement ce "paradoxe" en disant que dans divers modèles de ZFC il existe une quantité dénombrable d'ensembles dont certains ne sont pas dénombrables (j'imagine l'horreur qu'une telle formulation peut inspirer à un formaliste rigoureux) oui bien suis-je complètement à côté de la plaque ?

[Médiat]

J'ai l'impression que le "paradoxe" ne découle que d'un jeu de mots ?

On peut le considérer ainsi puisque il est basé sur le fait que dénombrable est pris une fois au sens du modèle, et une fois en un sens extérieur au modèle.

Puis-je résumer très informellement ce "paradoxe" en disant que dans divers modèles de ZFC il existe une quantité dénombrable d'ensembles dont certains ne sont pas dénombrables (j'imagine l'horreur qu'une telle formulation peut inspirer à un formaliste rigoureux) oui bien suis-je complètement à côté de la plaque ?

Euh ... j'ai pas compris

[invite6754323456711]

J'avoue que je ne vois pas bien le rapport ;

J'ai l'impression que la ou vous parlez de collection il parle de Meta-objets

Mon idée pour ce premier texte serait plutôt de concurrencer les cours de mathématiques de base de première année en ne dépendant d'absolument aucun prérequis (tandis que les cours usuels de théorie des modèles dépendent d'un prérequis de notions ensemblistes),


Bien des doctorants de maths ne voient pas non plus ce qu'est un modèle faute de s'être spécialisés en logique.

Je compte approcher la théorie des modèles à partir du texte 4 (dont on peut déjà voir l'ébauche) mais il reste beaucoup de travail pour mettre tout ça au point.

Patrick

[Médiat]

Je compte approcher la théorie des modèles à partir du texte 4 (dont on peut déjà voir l'ébauche) mais il reste beaucoup de travail pour mettre tout ça au point.

Je vais attendre qu'il ait fini la mise au point, parce que les quelques pages que j'ai lues de son document, ne me donne pas confiance ...

[karlp]

On peut le considérer ainsi puisque il est basé sur le fait que dénombrable est pris une fois au sens du modèle, et une fois en un sens extérieur au modèle.
Euh ... j'ai pas compris

Donc c'est moi qui n'ai pas compris: je me remets au travail

[karlp]

Médiat , pouvez vous me dire si il est établit qu'un modèle qui possède une sous structure dénombrable et qui satisfait les mêmes énoncés est lui même, et par là même ?, également dénombrable ? merci.

[Médiat]

Médiat , pouvez vous me dire si il est établit qu'un modèle qui possède une sous structure dénombrable et qui satisfait les mêmes énoncés est lui même, et par là même ?, également dénombrable ? merci.

Non, il suffit de considérer les rationnels et les réels pour la relation d'ordre naturelle.

[karlp]

Je commence à penser que mon cerveau souffre de certaines déficiences.

Dans Wikipedia je lis ceci

Dans le modèle dénombrable de ZFC obtenu par Löwenheim-Skolem, il existe bien une collection (un ensemble de l'univers de la formalisation) de couples qui établit une bijection entre les ensembles N et R du modèle, mais comme R, l'ensemble des réels, n'est pas dénombrable, cette collection n'est pas représentée par un ensemble de ce modèle. Ce n'est même pas une classe. Il n'y a aucun moyen d'en parler dans ce modèle. L'ensemble R est bien non dénombrable au sens du modèle.

Je comprends très bien le paragraphe ci dessus (enfin, je crois!).
Mon problème vient du fait qu'il me semblait que vous aviez répondu par la négative à la question de savoir si le caractère dénombrable de IR dans le modèle découlait de la possibilité de démontrer une bijection entre IR et IN (j'ai peut-être mal compris ce que vous me disiez ?)

[Médiat]

Dans le modèle dénombrable de ZFC obtenu par Löwenheim-Skolem, il existe bien une collection (un ensemble de l'univers de la formalisation) de couples qui établit une bijection entre les ensembles N et R du modèle, mais comme R, l'ensemble des réels, n'est pas dénombrable, cette collection n'est pas représentée par un ensemble de ce modèle. Ce n'est même pas une classe. Il n'y a aucun moyen d'en parler dans ce modèle. L'ensemble R est bien non dénombrable au sens du modèle.

Je comprends très bien le paragraphe ci dessus (enfin, je crois!).

Et bien moi, je ne le comprends pas du tout .
Ce § dit qu'il existe dans le modèle dénombrable une collection avec telle ou telle propriété, qui n'est ni un ensemble, ni une classe, du coup j'ai du mal à savoir ce que c'est, puisque les seuls objets qui existe dans un modèle de ZFC sont les ensembles et les classes (et pour ces dernières, dont l'existence n'est d'ailleurs pas une propriété du modèle, (ce le serait dans la théorie NBG)).

Que les couples existent dans le modèle, c'est sur, puisque tous les couples existent, c'est un axiome, mais de là à dire que cette collection existe dans le modèle, je m'y refuse absolument ...

Personnellement, je préfère conserver le vocabulaire "x existe dans tel modèle" aux objets de ce modèle, c'est à dire aux ensembles de ce modèle ; ce vocabulaire à l'immense mérite de ne créer aucune confusion

[karlp]

Et bien moi, je ne le comprends pas du tout .
Ce § dit qu'il existe dans le modèle dénombrable une collection avec telle ou telle propriété, qui n'est ni un ensemble, ni une classe, du coup j'ai du mal à savoir ce que c'est, puisque les seuls objets qui existe dans un modèle de ZFC sont les ensembles et les classes (et pour ces dernières, dont l'existence n'est d'ailleurs pas une propriété du modèle, (ce le serait dans la théorie NBG)).

Que les couples existent dans le modèle, c'est sur, puisque tous les couples existent, c'est un axiome, mais de là à dire que cette collection existe dans le modèle, je m'y refuse absolument ...

Personnellement, je préfère conserver le vocabulaire "x existe dans tel modèle" aux objets de ce modèle, c'est à dire aux ensembles de ce modèle ; ce vocabulaire à l'immense mérite de ne créer aucune confusion

Vous savez que j'ai pour vos compétences la plus grande confiance.
Je n'ai toutefois pas les moyens d'évaluer par moi même ce que vous dîtes: pourriez vous me "piloter" vers une source fiable (impossible de retrouver les polys de Andler) qui m'offrirait le moyen de comprendre ce terrible paradoxe de Skolem?

[Médiat]

Je n'ai toutefois pas les moyens d'évaluer par moi même ce que vous dîtes: pourriez vous me "piloter" vers une source fiable (impossible de retrouver les polys de Andler) qui m'offrirait le moyen de comprendre ce terrible paradoxe de Skolem?

Je ne connais aucun document (ce qui ne veut pas dire qu'il n'en existe pas) consacré au paradoxe de Skolem, car à part son côté "paradoxal", c'est à dire marketing, c'est un tout petit résultat sans aucune conséquence qui se démontre en deux lignes : Théorème de Cantor + Théorème de Löwenheim-Skolem.

Au cas ou je n'aurais pas été clair sur un point particulier, je vous rappelle que si vous avez deux ensembles dans un modèle, on peut fabriquer des couples avec les éléments de l'un associés aux éléments de l'autre, ici, "fabriquer des couples" veut dire que ces couples sont des éléments du modèles, c'est à dire des ensembles, on peut aussi envisager l'existence de certaines sous-collections de cette collection de couples (chacun existe, mais je n'ai pas démontré que leur collection est un ensemble (existe en tant qu'élément dans le modèle)), certaines de ces sous-collections sont des ensembles (existent en tant qu'éléments dans le modèle), d'ailleurs certaines sont constructibles à l'aide des axiomes, donc existent forcément, certaines de ces sous-collections sont des fonctions, et certaines sont peut-être des bijections (je me répète, cela veut dire qu'il existe des éléments dans ce modèle qui sont des bijections (dont les éléments ont certaines propriétés (dont vous savez écrire la définition je suppose) qui en font des bijections) entre les deux ensembles du début de cette longue phrase).

Donc quand je dis qu'il n'existe pas de bijection entre x et y dans le modèle cela ne veut rien dire d'autre que : il n'existe pas d'élément dans le modèle (donc il n'existe pas d'ensemble dasn ce modèle) qui soit une bijection entre x et y. Cantor a démontré que c'est toujours le cas qu'il n'existe pas de bijection entre un ensemble et l'ensemble de ses parties, or, Löwenheim-Skolem démontre qu'ils peuvent tous les deux être dénombrables (mais pas au sens de l'intérieur du modèle que j'ai rappelé dans le § précédent) dans certains modèles particuliers : les modèles dénombrables.

[Médiat]

Pour illustrer le post précédent de façon caricaturale : si je suppose une théorie des ensembles dans laquelle il manquerait quelques axiomes (euphémisme ), telle que je puisse fabriquer un modèle de la façon suivante :

L'univers de ce modèle est constitué de 3 éléments, disons , et les seuls relations dans ce modéle (interprétation de ) sont .

Intellectuellement, ou naïvement, je peux avoir envie de parler de l'ensemble , ne serait-ce que pour "réunir" les ensembles non vides de ce modèle, mais il n'existe pas (au moins en tant qu'objet du modèle) !

[karlp]

Merci infiniment Médiat
Je pense pouvoir m'en sortir grace à vos éclaircissements