conséquences de la complétude et de l'incomplétude

[nay.e]

Bonjour à tous,

j'aurais besoin de votre aide car la toile n'est pas très riche en ce qui concerne les conséquences du théorème de Godel (complétude et incomplétude j'entends)

Les conséquences directes sur l'arrêt de la formalisation des mathématiques (cf Hilbert), OK,
les conséquences en philosophie (vérité différent de démonstrabilité), ok,

mais n'y a t'il pas d'autres conséquences? on m'avais décrit ce théorème comme celui du siècle qui avait boulleversé la science... J'aurais je pense besoin de votre aide pour m'éclairer...

Nay
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[karlp]

On a fait dire beaucoup de choses à aux théorèmes d'incomplétude. Pour la critique des abus en la matière je vous conseille le texte de Bouveresse "vertiges et prodiges de l'analogie", ainsi que les remarques de Médiat, que je salue, dans son texte consacré à l'arithmétique (voir le forum "mathématiques du supérieur", sur le fil "arithmétique").
Par ailleurs je sais que ce théorème a permis à Lacan de préciser une distinction essentielle en psychanalyse: la différence entre "impuissance " et "impossible". Cela ne signifie pas que les théorèmes d'incomplétude s'appliquent en psychanalyse, mais qu'ils ont permis, par analogie, d'éclairer une confusion mortifère possible. C'est également en référence à ces théorèmes que Lacan à définit le "réel" par opposition à la "réalité" (dans ces deux cas, la mention des théorèmes n'a qu'une visée pédagogique et non démonstrative).
Vous pouvez également trouver sur le net un texte de Stephen Hawking sur les théorèmes d'incomplétude et la physique "Goedel and the end of physics". Je vous invite toutefois à rester prudent vis à vis des affirmations de ce texte.
Vous pouvez également vous référer au texte de Roland Omnès "le mystère X", consigné dans le livre de Penrose "les deux infinis et l'esprit humain" , dont les conclusions m'inspirent aussi quelques réserves.

[Médiat]

Comme j'ai déjà dit quelques mots sur le texte de Hawking, voici les raisons de la prudence suggérée à juste titre par karlp : http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post3115078

[nay.e]

merci beaucoup pour cet aide

(Médiat, comment peut on être prévenu par e-mail des réponses ?)

bonne fin de journée et bon week end,

Nay

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Quand vous êtes sur une discussion vous avez un menu "Outil de la discussion" avec un sous-menu "s'abonner", il ne vous reste qu'à choisir la notification pae email.

[nay.e]

merci bien

[invite8613985e]

Je ne suis pas d'accord avec une vision stricte du théorème de Gödel. Pour certains le théorème de l'incomplétude a été une grande surprise. Pas pour Gödel qui n'a pas du tout fait cette découverte par hasard. Pour un leibnizien comme Gödel, les tentatives d'axiomatisation des mathématiques comme celle de Hilbert sont une aberation qui ne peuvaient être vouées qu'à l'échec. Gödel a donc entrepris de le démontrer sur un plan purement formel, même si pour lui c'était déjà une évidence grâce à sa connaissance de l'épistémologie aussi bien platonicienne que leibnizienne. En effet pour Gödel épistémologiquement aucun formalisme mathématique ne pourra jamais rendre compte de la totalité de la réalité physique car il existe une différence de nature entre les deux. Le théorème de Gödel découle de cette idée.

[Médiat]

Pour un leibnizien comme Gödel, les tentatives d'axiomatisation des mathématiques comme celle de Hilbert sont une aberation qui ne peuvaient être vouées qu'à l'échec.

Vous avez des références des textes où Gödel s'exprime ainsi ?

même si pour lui c'était déjà une évidence

Vous avez des références des textes où Gödel s'exprime ainsi ?

En effet pour Gödel épistémologiquement aucun formalisme mathématique ne pourra jamais rendre compte de la totalité de la réalité physique car il existe une différence de nature entre les deux.

Quel est le rapport entre la formalisation mathématique et plus particulièrement le théorème d'incomplétude de Gödel, et "la totalité de la réalité physique", si jamais cette dernière expression à le moindre sens ?

Le théorème de Gödel découle de cette idée.

Que voulez-vous dire par "découle" ?

[Matmat]

En tout cas pour un seul de ces quatres les nombres entiers sont la totalité de la réalité : Phytagore,Platon,Leibniz,Gödel

[invite6754323456711]

En tout cas pour un seul de ces quatres les nombres entiers sont la totalité de la réalité : Phytagore,Platon,Leibniz,Gödel

C'est à Platon que vous pensez pour qui le nombre entier est l’Archétype du monde. A partir du nombre entier, on peut constituer les polyèdres uniformes de Platon et pour Platon, ces polyèdres correspondent aux éléments premiers du monde matériel : Le Feu, la terre, l’air, l’éther, et l’eau. L’idée était qu’il serait possible de connaître les propriétés de la matière à partir des propriétés des nombres entiers.

Si je lance un cailloux dans l'eau peut on dire que l'on "voit" PI comme une propriété intrinsèque de la nature ?

Patrick

[Matmat]

C'est à Platon que vous pensez pour qui le nombre entier est l’Archétype du monde

En fait c'est à Pythagore que je pensais , car pour Platon le nombre est à l'idée ce que l'ombre est à l'etre ... Je me dis que Platon place le nombre sur un plan différent des pythagoriciens pour qui les nombres sont la réalité et non pas seulement une projection.

Pour un leibnizien comme Gödel, les tentatives d'axiomatisation des mathématiques comme celle de Hilbert sont une aberation qui ne peuvaient être vouées qu'à l'échec.

Pas vraiment, car si Godel est "Leibnizien" c'est plutot justement pour ses idées qui ont encouragées plutot que découragées le programmes de Hilbert.

Que pensez vous de ce texte écrit par J. Bouveresse:

http://agone.revues.org/index216.html

[invite7863222222222]

C'est à Platon que vous pensez pour qui le nombre entier est l’Archétype du monde.

Vous avez une référence sur des études historiques ou des textes de Platon où il exposerait une telle vision ?

[Zozo_MP]

Bonjour jreeman

Vous pouvez regarder dans le livre VII de La république mais aussi dans les dialogues de Platon et notamment le Théétète et dans un moindre mesure dans le Ménon avec l’esclave qui n’utilise que des nombres entiers.

Il existe des articles un peu synthètiques sur ce sujet sur le net ce qui après un discernement de rigueur évite de relire l'entière oeuvre de platon pour en sortir quelques pures joyaux sur le sujet.
On peut lire ce qu'en dit Kantor et ses réfutations.

Cordialement

PS : si Karlp passe par là gageons qu'il vous donnera d'autres informations très pertinentes et précises sur ce sujet.

.

[invite7863222222222]

Bonjour jreeman

Vous pouvez regarder dans le livre VII de La république

Merci, à noter qu'il est en ligne ici, mais je n'ai encore rien trouvé en relation avec les entiers.

Par contre : ici, il est notamment expliqué que les mathématiques de Platon était pythagoriciennes.

On peut lire ce qu'en dit Kantor et ses réfutations.

Et on peut aussi mentionner celles de Kronecker contemporain et opposant à Cantor de son vivant (avec son « Dieu créa les nombres entiers, le reste est l'œuvre de l'homme »).

[pelkin]

Veuillez m'excuser, mais j'ai un gros problème de référence là, on parle de KANTOR ou de CANTOR, les deux étant cités et les deux étant mathématiciens.

Alors, Georg Cantor ou Jean-Michel Kantor ?

[invite8613985e]

Bonjour Médiat,

Désolé pour cette réponse un peu tardive. Vous trouverez je pense des pistes à vos questions dans l'article suivant. Il contient entre autres certaines citations de Gödel que je trouve très éclairantes.

Gödel-Cantor-Leibniz : Mathématique et méthode du paradoxe positif
http://ddata.over-blog.com/xxxyyy/0/...n-68/F68.3.pdf

J'en profite pour vous souhaiter à tous une très bonne année 2011 !

[Médiat]

Je ne pense pas trouver grand chose dans cet article (surtout après y avoir lu une ré-écriture du théorème de Gödel totalement inadéquate) :

Mon apport crucial (...) est ma définition de cette série [la suite des alephs en fait] comme une séquence d'augmentations successives dans le potentiel de densité démographique. Cet apport conduit à une solution aux problèmes perplexes posés jusqu'à nos jours par la définition du terme leibnizien de technologie en économie physique. Cette solution, à son tour, définit une qualité de processus qui donne aux alephs de Cantor une signification physique unique.

Au moins, j'ai bien ri

A propos du fondateur de la revue FUSION et de son fondateur :
je vous conseille l'article de wikipedia oùil est question de :

Fraude fiscale,
Complotisme,
Dérive sectaire,
Mythomanie,
Homophobie.

[shokin]

Fraude fiscale,
Complotisme,
Dérive sectaire,
Mythomanie,
Homophobie.

Attention ! voilà des mots qui n'ont pas leur place sur ce terrain.



Et où y a-t-il, sur le web, une écriture correcte des théorèmes de Gödel (et de leurs démonstrations respectives) ?



Shokin

[Médiat]

Bonjour,


Sur FSG : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1980944

Et là une formulation non formelle, vulgarisée, mais correcte : http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2215475

Sinon la formulation des théorèmes sur wikipedia est tout à fait correcte :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._de_G%C3%B6del

[invite8613985e]

Médiat, voici 2 citations de Gödel qui vous donnerons peut-être matière à réflexion :

La véritable raison de l'incomplétude inhérente à tous les systèmes formels des mathématiques consiste (...) en ce que la formation de types toujours plus élevés peut-être poursuivie dans le transfini, alors que dans un système formel quelconque, au plus une quantité dénombrable de types existe.

A propos du transfini, Gödel écrit par ailleurs :

L'aveuglement (ou le préjugé) de la part des logiciens (...) tient à une absence presque totale de bases épistémologiques nécessaires aussi bien dans les méta-mathématiques que dans la pensée du non-fini [le transfini de Cantor] (...). [A]dmettre des éléments transfini 'sans signification' dans les méta-mathématiques [semblait] inconsistant avec l'idée même de la science prévalant à l'époque (...) [qui n'attribuait de signification] qu'aux propositions qui parlaient d'objets finis et concrets (...). J'ajouterai, en particulier, que ma conception du raisonement transfini a été également fondamentale pour mes autres travaux dans le domaine de la logique. En fait, il faut noter que le principe heuristique de ma construction sur l'indécidabilité (...) dans les systèmes formels des mathématiques, est le concept transfini de 'vérité mathématique objective' par opposition à celui de 'démonstrabilité'. (...) je le répète, l'utilisation de ce concept transfini peut conduire à des résultats finis prouvables (...) à des théorèmes généraux d'existence (...) dans des systèmes formels consistants.

Ce "principe heuristique" dont parle Gödel est une explication plus précise du concept auquel je pensais dans mon post initial, dans lequel je ne parlais que d'épistémologie leibnizienne. (le concept de transfini étant bien leibnizien).

[Médiat]

La première citation développe l'idée qu'avec un langage infinitaire non dénombrable on peut en dire plus qu'avec les langages dénombrables, peut-être Gödel fait-il aussi allusion à l'arthmétique du second ordre avec lauqelle on peut dire plus de choses qu'avec le premier ordre, je suis évidemment d'accord, mais je ne vois pas le rapport avec vos propos initiaux.

Dans la deuxième citation ils parlent de logiciens qui n'imaginaient pas de pouvoir raisonner sur l'infini (j'aimerais bien savoir de qui il parlait, Brouwer et Heyting peut-être), et finalement de la différence entre syntaxique et sémantique l'accès à cette dernière ne pouvant se faire qu'au travers de l'infini, je ne vois toujours pas le rapport avec vos propos initiaux : je ne pense pas que pour le platonicien Gödel on puisse confondre 'vérité mathématique objective' et 'totalité de la réalité physique'.

Pouvez-vous préciser d'où viennent ces citations et leur date ?

[invite8613985e]

La première citation développe l'idée qu'avec un langage infinitaire non dénombrable on peut en dire plus qu'avec les langages dénombrables, peut-être Gödel fait-il aussi allusion à l'arthmétique du second ordre avec lauqelle on peut dire plus de choses qu'avec le premier ordre, je suis évidemment d'accord, mais je ne vois pas le rapport avec vos propos initiaux.

Non, ce n'est pas ce que Gödel écrit, il n'est pas du tout question de "langage infinitaire". Lorsqu'il parle de poursuivre dans le transfini, cela fait référence à la créativité de la pensée humaine qui permet de résoudre des paradoxes apparents (i.e. les problèmes indécidables) en créant un nouveau système au sein duquel il est possible d'engendrer ces "types toujours plus élevés". En fait il faut voir là une idée de transcendance, les types d'un niveau supérieur transcendent, dépassent, engendrent des types de niveau relativement inférieur.

Dans la deuxième citation ils parlent de logiciens qui n'imaginaient pas de pouvoir raisonner sur l'infini (j'aimerais bien savoir de qui il parlait, Brouwer et Heyting peut-être), et finalement de la différence entre syntaxique et sémantique l'accès à cette dernière ne pouvant se faire qu'au travers de l'infini, je ne vois toujours pas le rapport avec vos propos initiaux : je ne pense pas que pour le platonicien Gödel on puisse confondre 'vérité mathématique objective' et 'totalité de la réalité physique'.

Pouvez-vous préciser d'où viennent ces citations et leur date ?

Gödel parle sûrement des positivistes qui comme Russell ne pouvaient pas admettre l'idée de créativité humaine. Ils ne s'accomodaient de l'infini que dans la mesure où ça ne remettait pas en cause le dogme positiviste que la créativité n'est pas un attribut de la pensée humaine et qu'il suffit d'un système mécanique et de choisir le bon jeu de règles pour déduire l'ensemble des théorèmes connaissables. L'argument des positivistes étant que la déduction ne requiert pas de créativité (ce qui est vrai), tout en occultant cependant comment on peut choisir le bon jeu de règles.
Gödel oppose aussi ici explicitement 'vérité mathématique objective' et 'démonstrabilité', c'est à dire la notion de vérité de la notion de démonstrabilité de cette vérité à l'intérieur d'un système formel quel qu'il soit. Pour Gödel les mathématiques ne sont donc pas un simple "jeu", mais doivent correspondre à une réalité objective, une réalité dont les lois sont découvertes par des actes créateurs et non pas simplement déduites comme voudraient nous le faire croire les positivistes :

Le processus d'extension peut-être répété jusque dans le transfini. Il ne peut donc exister aucun formalisme qui comprendrai toutes ces étapes (...)

Ces citations sont présentes dans l'article que je vous ai fourni, et les références sont les suivantes :
Werke 1, p181, note 48a
Werke 2, p151-152

[Médiat]

il n'est pas du tout question de "langage infinitaire"

Il est juste question de processus impossible avec la logique du premier ordre mais possible avec un langage infinitaire non dénombrable, ou la logique du 2nd ordre, mes deux hypothèses.

Gödel parle sûrement des positivistes

Si vous le dîtes.

Que Gödel fut platonicien, tout le monde est au courant, de là à le faire parler de formalisation de "la totalité de la réalité physique", il y a un gouffre.

Ces citations sont présentes dans l'article que je vous ai fourni, et les références sont les suivantes :
Werke 1, p181, note 48a
Werke 2, p151-152

Article auquel je n'accorde aucune crédibilité (cf. l'extrait que j'ai posté plus haut) !

[invite8613985e]

Il est juste question de processus impossible avec la logique du premier ordre mais possible avec un langage infinitaire non dénombrable, ou la logique du 2nd ordre, mes deux hypothèses.

Puisque vous insistez, je veux bien que vous m'expliquiez à quoi ressemble un langage infinitaire.

Si vous le dîtes.

Que Gödel fut platonicien, tout le monde est au courant, de là à le faire parler de formalisation de "la totalité de la réalité physique", il y a un gouffre.

Vous utilisez mon expression dans le sens contraire où je l'ai utilisée :
"En effet pour Gödel, épistémologiquement aucun formalisme mathématique ne pourra jamais rendre compte de la totalité de la réalité physique car il existe une différence de nature entre les deux."
Et cette phrase exprime bien une idée platonicienne.
Quant à l'expression elle-même ("totalité de la réalité physique"), je faisais référence à la lubie positiviste de la "théorie du tout".

Article auquel je n'accorde aucune crédibilité (cf. l'extrait que j'ai posté plus haut) !

Dommage, c'était l'occasion de lire une interprétation non positiviste des travaux de Gödel, cohérente avec les idées philosophiques de Gödel.

[myoper]

Juste en passant ...

Article auquel je n'accorde aucune crédibilité (cf. l'extrait que j'ai posté plus haut) !

Dommage, c'était l'occasion de lire une interprétation non positiviste des travaux de Gödel, cohérente avec les idées philosophiques de Gödel.

Mais il l'a bien lue et c'est justement la raison pour laquelle il écrit cet avis.

[invite6754323456711]

Mais il l'a bien lue et c'est justement la raison pour laquelle il écrit cet avis.

J'ai parcouru le document il y a tout de même pas mal de verbiage. Ce qui m'interpelle est le couple sur indécidabilité.

Le fait que F et non F sont des propositions contradictoires, l'une d'entre elles doit exprimer la vérité.

En travaillant dans le cadre de la logique formelle Gödel a pu prouver que tout langage formel [...] c'est à dire consistant conduit fatalement à un point de contradiction - à un paradoxe

Ma compréhension sur l'incomplétude est que les énoncés qui sont dits indécidables dans une théorie sont également indépendants de la théorie. Ce qui n'est pas la même chose que contradictoire puisque justement ni F, ni non F ne peut être démontrer dans la théorie.

Patrick

[Médiat]

Mais il l'a bien lue et c'est justement la raison pour laquelle il écrit cet avis.

Merci de m'accorder ce crédit, refusé par d'autre, que je ne donne mon avis que sur des article que j'ai effectivement lu .

[Médiat]

Puisque vous insistez, je veux bien que vous m'expliquiez à quoi ressemble un langage infinitaire.

Etrange de la part de quelqu'un qui se permet des avis sur l'un des plus grands logiciens du XX^ième siècle de ne pas connaître ce B-A-BA de la logique ; je vous conseille l'étude, en particulier, des textes de Barwise et de Keisler.

Vous utilisez mon expression dans le sens contraire où je l'ai utilisée

Exactement dans le sens où vous l'avez utilisée, vous la mettez dans la bouche de Gödel :

"En effet pour Gödel, épistémologiquement aucun formalisme mathématique ne pourra jamais rendre compte de la totalité de la réalité physique

la lubie positiviste de la "théorie du tout".

Je suppose que vous avez toutes les compétences en physique pour vous permettre d'accuser des milliers de physiciens (depuis A. Einstein) d'avoir "Des idées extravagantes, déraisonnables ou capricieuses, généralement soudaines et passagères", ce qui est méprisant, voire insultant. Et encore suis-je bien généreux avec vous, car le simple fait de penser que "Théorie du tout" puisse se paraphraser par "la totalité de la réalité physique", montre que vous ne savez pas ce que serait une "théorie du tout".

Dommage, c'était l'occasion de lire une interprétation non positiviste des travaux de Gödel, cohérente avec les idées philosophiques de Gödel.

Comment pouvez-vous imaginer que je puisse donner un avis sur un article que je n'aurais pas lu ? C'est méprisant, voire insultant.

Pour moi cette discussion est close !

[Médiat]

J'ai parcouru le document il y a tout de même pas mal de verbiage.

Vous êtes bien généreux .

Ce qui m'interpelle est le couple sur indécidabilité.

Cela fait plus que m'interpeller :

Le fait que F et non F sont des propositions contradictoires, l'une d'entre elles doit exprimer la vérité

Tout le monde sait bien que la commutativité est indécidable dans la théorie des groupes, et donc que, soit la commutativité, soit la non commutativité doit exprimer la vérité. C'est à hurler de rire.

En travaillant dans le cadre de la logique formelle Gödel a pu prouver que tout langage formel [...] c'est à dire consistant conduit fatalement à un point de contradiction - à un paradoxe

Surtout que personne ne pense que Gödel a démontré cela (c'est complètement faux) ; je pense de plus en plus qu'il faudrait un permis de Gödel avant d'avoir le droit de parler de ses travaux

[invite8613985e]

Je suppose que vous avez toutes les compétences en physique pour vous permettre d'accuser des milliers de physiciens (depuis A. Einstein) d'avoir "Des idées extravagantes, déraisonnables ou capricieuses, généralement soudaines et passagères", ce qui est méprisant, voire insultant. Et encore suis-je bien généreux avec vous, car le simple fait de penser que "Théorie du tout" puisse se paraphraser par "la totalité de la réalité physique", montre que vous ne savez pas ce que serait une "théorie du tout".

Vous disjonctez mon pauvre. C'est moi qui devrai me sentir insulté par cette comédie.

Comment pouvez-vous imaginer que je puisse donner un avis sur un article que je n'aurais pas lu ? C'est méprisant, voire insultant.

Vous devriez vraiment vous relire avant de poster ce genre de phrase. Personne ne vous a demandé de donner votre avis sur cet article, mais seulement suggéré d'y jeter un oeil.

Surtout que personne ne pense que Gödel a démontré cela (c'est complètement faux) ; je pense de plus en plus qu'il faudrait un permis de Gödel avant d'avoir le droit de parler de ses travaux

Ca pourrai effectivement être tentant
Je doute cependant qu'il aurai trouvé cela une bonne idée. Je pense que vous devriez vous inspirer de l'humilité dont ont fait preuve certains grand savants malgré leurs contributions parfois très importantes. Je pense en particulier à Cantor qui admettait que les domaines dans lesquels il avait travaillé étaient difficiles et étaient le sujet d'interprétation diverses, et qu'il ne prétendais aucunement, par ses contributions ou ses points de vues, clore définitivement le sujet.

Cela dit je ne rajouterai rien sur le fond puisque ça froisse votre susceptibilité. Je suis donc d'accord avec vous pour que nous nous en tenions là.