Quelques réflexions sur le concept de nombre naturel

[Médiat]

C'est parce que vous voulez vous représenter 14521548712 objets, et non concevoir 14521548712, qui est juste un petit peu plus compliqué que 1 (l'histoire des idées le montre très bien).

Ooops je viens de voir une faute de frappe, je voulais écrire :

concevoir 14521548712, qui est juste un petit peu moins compliqué que 1 (l'histoire des idées le montre très bien)

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[invite82078308]

Redescendons sur Terre et pétrissons la glaise !
Je viens d'arriver sur ce fil et ne prétends pas avoir lu en détail tous les messages précédent, mais il me semble que le point de vue que je vais prendre n'a pas vraiment été abordé ici.
Il n'est pas il me semble indispensable de prendre des nombres compliqués ou de théories compliquées pour dire quelque chose sur les nombres entiers.
Ce qui va suivre peut être à mon avis utilisé en grande partie dès le niveau même de l'école primaire.

Je commencerais par un tour de magie mathématique:
Je prends une soucoupe, je mets quatre morceaux de sucres dedans, vérifions qu'il il en a quatre:
Je compte " zéro, un, deux, trois ", il y a trois morceaux de sucre ! que s'est-il passé ?
Bien sur, tout le monde vous le dira, quand on compte les morceaux de sucre, il faut commencer à 1 !

Maintenant, je prends une soucoupe vide et vous demande combien il y a de morceaux de sucre dedans, vous me répondrez zéro , bien sur ! Les anciens auraient été bien en mal de répondre ...

Récapitulons :
Les nombres {1,2,3 ...} servent à compter les objets .
Les nombres {0,1,2,3 ...} servent à dire combien il y a d'objets.
L'utilisation du zéro pour ce dernier usage est maintenant bien assimilée par le grand public.
J'avais lu sur un autre sujet qu'une langue avait tendance à disparaître quand elle n'était plus utile; force est de constater que la plupart des langues intègrent une notion de nombres entiers assez efficace (n'insistons pas trop sur des cas somme toute assez rares).
Le zéro, qui n'existait pas à l'origine, s'est diffusé du fait de son utilité.

Faut-il commencer à zéro ou à un, c'est une question de bon sens !

Toutefois, les ordinateurs n'ont pas de bon sens, pour programmer une boucle, par exemple, il faut leur dire explicitement si ils doivent commencer à 0 ou à 1, et si on n'y prend gade, ce peut être une source de bugs.
Les indices des cases d'un tableau informatique indexé par des entiers doivent-ils commencer à 0 ou à 1 ...

Ce qui conduit à un autre usage des nombres entiers: numéroter des objets.
Dans le cas des dossard de coureurs, la numérotation est arbitraire, par contre:
Considérons les niveaux d'un immeuble: rez de chaussée, premier étage, deuxième étage, troisième étage et numérotons les.
Évidemment, nous attribuerons les numéros 0 au rez de chaussée, 1 au 1^er etc .
Toute fois, aux USA, le rez de chaussée s'appelle ground floor, le premier étage second floor , le deuxième étage third floor etc, ce qui conduit à une numérotation commençant à 1 .

Considérons un ascenseur qui descend aussi au sous sol; en France le premier sous-sol sera numéroté -1, le second sous-sol -2 etc, ce qui conduit à une numérotation plus cohérente qu'aux USA .

On est donc amené aux entiers relatifs, qui servent à repérer les objets (ici les niveaux) les uns par rapport aux autres (ici par rapport au rez de chaussée).

Le caractère relatif est clair dans ce cas: dans le cas d'un immeuble bâti sur un terrain en pente (il y en a près de chez moi), il arrive que le rez de chaussée du coté de l'entrée ne correspond pas au rez de chaussée de l'autre côté de l'immeuble. Il faut donc choisir arbitrairement une convention.

On pourrait aussi parler des calendriers : l'expression souvent entendu "l'an zéro" ne veut rien dire.
La première année de l’ère chrétienne est l'an 1, ce qui explique pourquoi le XXI^e aurait du rigoureusement commencé en 2001, et à été précédé de l'an 1 avant JC (1 BC). L'utilité du 0 n'était pas bien comprise quand le calendrier historique a été conçu .

Pour faciliter leurs calculs, les astronomes utilisent un an 0 correspondant a 1 BC, un an -1 correspondant à 2 BC etc.

En conclusion les hommes furent amenés à inventer des nombre ou des ensembles de nombres pour divers usages.
Je me suis limité aux nombres entiers, d'autres ensembles de nombres ont été inventés pour d'autres usages, pratiques ou théoriques.

[stefjm]

Faut-il commencer à zéro ou à un, c'est une question de bon sens !

En mathématique?

Le bon sens, une notion utilisée dans d'autres sujet variés de polémiques, et qui sert à disqualifier le contradicteur supposé ne pas en avoir.
Il est clair que cette notion n'a pas sa place en mathématiques ou en sciences dont les multiples paradoxes ne font que confirmer son inadéquation.

[invite82078308]

Je vous remercie de la fidélité avec laquelle vous lisez mes messages !
Et repérez en conséquence mes petites auto-allusions.

ceci était bien sur un peu ironique, mais je suis rarement absolument sérieux, et plaisante rarement absolument.
Si vous demandez aux "gens" pourquoi il faut commencer à un pour compter les objets, il diront que c'est une question de bon sens ou quelque chose d'équivalent. Je souligne d'ailleurs immédiatement une limite du concept, puisqu'il ne faut pas compter sur le "bon sens " des ordinateurs.

[stefjm]

On peut même aller plus loin et dire qu'on peut initialiser le comptage à ce qu'on veut et incrémenter également comme on veut.
Au final, ce qui compte est la différence entre le point de départ et le point d'arrivée, divisé par l'incrément.

La façon la plus générale de compter serait un truc du genre :

for (float f=f0; f<fmax; f+=finc)

[invite75a796c1]

Bonjour,

Le concept du « tas de 0 pommes » est d’une complexité d’un autre ordre de magnitude, puisque s’il n’est pas possible de confondre un « tas de 1 pomme » avec un « tas de 1 caillou », il n’y a littéralement aucune différence entre un « tas de 0 pomme » et un « tas de 0 caillou ». D’ailleurs le mot « tas », qui répugne à qualifier 1 objet, est franchement réticent à décrire … rien.

un tas peut avoir une capacité structurante, un panier invisible dont on examine le contenu. Si la quantité associée peut évoluer, on peut continuer à tenir un panier vide pour un panier à garnir ultérieurement.

Plus péremptoirement : si zéro et un sont des concepts explorés récemment par des penseurs, ils étaient dans la pratique humaine dès l'invention du mot "premier" qui suppose au moins 3 quantités : 0 , 1 et 2 ou plus. Ce zéro est sélectif , là 0 caillou ne vaut pas 0 pomme.

[Juzo]

Les nombres {1,2,3 ...} servent à compter les objets .
Les nombres {0,1,2,3 ...} servent à dire combien il y a d'objets.

vous me répondrez zéro , bien sur ! Les anciens auraient été bien en mal de répondre ...

Bonjour à tous, je voulais apporter quelques réflexions personnelles sur notre représentation des nombres, plus que sur le concept de nombre naturel. J'espère ne pas être trop hors sujet.

je vous propose cette situation : un marchand remplit des caisses de pommes, puis compte combien il y a de pommes pourries dans chaque caisse. Il inscrit le nombre de pommes pourries sur chaque caisse, disons en faisant des encoches. Il y a donc sur la caisse un représentation "graphique" qui traduit le nombre de pommes dans la caisse. Une encoche pour une pomme pourrie, jusqu'à le niveau d'abstraction est limité. Cet exemple me paraît plutôt adapté, puisque la première utilité des nombres (il y a environ 10000 ans) aurait pu être pour les marchands d'inventorier leurs stocks.

Notre marchand peut décider ensuite par économie, d'attribuer un symbole et un nom à chaque situation différente (pour chaque nombre d'encoches). Ainsi en voyant le symbole il saura à quelle situation cela correspond.

Le concept de nombre qui se forme dans la tête du marchand en voyant son symbole est tiré d'une situation réelle (abstraction). Néanmoins cette abstraction ne permet pas de passer directement du sensible à l'abstrait, il faut une continuité, une représentation sensible qui dans la tête du marchand permet de se représenter le nombre. On peut supposer que celui-ci, quand il voit le symbole du nombre, imagine les encoches dessinées sur le bois, puis peut en conclure le nombre de pommes pourries dans la caisse.
C'est comme cela que ça fonctionne pour moi en tout cas

Or, pour cette image mentale du nombre d'encoches, le zéro et le un ne sont pas différents des autres nombres entiers. Le zéro ne pose aucun problème pour se faire une image mentale immédiate, ainsi que le un, le deux et le trois, c'est après que ça se gâte... Je peux me représenter des nombres supérieurs d'encoches bien sûr, mais cette image n'est pas "immédiate" et "groupée". (Je ne livre là que des impressions personnelles...) Par exemple pour le six, je vois deux paquets de 3 encoches, mais j'ai du mal à en voir 6 groupées. Docdocte disait qu'il voyait la face six du dé, mais cette représentation est biaisée à mon sens car elle utilise des symétries, et simplifie donc la complexité graphique de cette représentation.

Revenons-en au marchand : quand il compte zéro pommes pourries dans sa caisse, on peut supposer qu'il mette un symbole sur la caisse, par exemple une croix. S'il n'inscrit rien sur la caisse, il pourrait penser plus tard qu'il a oublié de compter. C'est pourquoi je ne comprends pas pourquoi l'utilisation du zéro serait nécessairement apparue si tard, selon vous...

Une dernière chose sur nos représentations : pourquoi le choix de l'encoche, c'est-à-dire un trait droit, qui semble partagé dans plusieurs cultures ? Le 1 ressemble à une encoche, et j'ai vérifié sur plusieurs langages, le 1 est souvent représenté par un trait droit (en chinois, grec ancien, écriture romaine, chiffes arabes ... ?) En "chinois" on utilise des traits horizontaux, je vous laisse vérifier. 1 : un trait, 2 : deux traits, , 3 trois traits... et 4 : un nouveau symbole. Idem pour les chiffres romains : I, II, III... et IV. Le IIII était utilisé sur des calendriers solaire, peut-être pour l'aspect esthétique, mais c'était rare. Pourquoi ne pas continuer avec des traits au-delà de 3 ? Parce que ça nécessiterait au lecteur de compter le nombre de traits, et c'est contre-productif.
Enfin, et là j'extrapole beaucoup, le trait droit de l'encoche pourrait peut-être rappeler nos doigts, ou des silhouettes, c'est-à-dire des individus.

J'ai trouvé de nos représenations dans le livre "Alex au pays des chiffres" dont j'ai lu des extraits sur internet (lien ci-dessous).

- L'homme et plusieurs animaux possèderait une capacité innée à se représenter les chiffres jusqu'à 3, et pour le 4 les chercheurs ne sont pas sûrs qu'on en est capables. Au-delà de 4 nous faisons des approximations.
- Un singe a été dressé à compter le nombre de points dans un carré, de 1 jusqu'à 10. Il a aussi appris à ranger ces quantités dans l'ordre croissant. Quand on lui a proposé ensuite des carrés avec aucun point dedans, il n'a eu aucun problème à utiliser le zéro pour ces carré. Par contre, quand on lui a demander de ranger le zéro avec les autres nombres, il l'a d'abord mis entre le 6 et le 7, puis il l'a descendu progressivement jusqu'à 1... Mais il n'a pas réussi à placer le 0 en-dessous de 1.
On touche là au problème dont parlait Médiat, c'est-à-dire que le zéro pose problème pour qualifier une quantité. Ça peut toucher au problème d'ensemble (ou tas) : "que veut dire un ensemble de 0 élément ?"... Mais peut-être aussi que dans notre représentation des quantités il faut toujours qu'il y ait un nombre avant et après ?

Je n'ai pas beaucoup de temps pour finir et relire mon message, je suis très intéressé si vous avez des confusions à pointer et à démêler.

L'idée de tas me paraît très bien choisie en tout cas, et pour rebondir sur ce que disait quelqu'un dans cette discussion, j'ai entendu parler d'une tribu qui pour compter montraient avec la main la hauteur d'un tas imaginaire de noix de cocos. La hauteur du tas imaginaire donnait donc une représentation de la quantité d'objets.

Pour le 1er exemple que j'ai donné, il est clair qu'on est dans le "combien il y en a" dont parlait Schrodies-cat. Néanmoins je n'ai pas l'impression que l'idée de quantité soit nécessairement associée au nombre. Le nombre agit plus comme la "mémoire" d'une configuration. Faut-il alors parler de nombre cardinal ?

https://store.kobobooks.com/fr-fr/eb...s-des-chiffres

Désolé si je suis HS, je voulais creuser un peu plus profond dans nos représentations

[Médiat]

Bonjour,

C'est pourquoi je ne comprends pas pourquoi l'utilisation du zéro serait nécessairement apparue si tard, selon vous...

Ce n'est pas "selon moi", c'est un fait historique !

[Juzo]

Ce n'est pas "selon moi", c'est un fait historique !

Je disais "vous" au sens large. Je sais d'où vous tirez ces informations, c'était simplement une formulation un peu provocatrice a laquelle je n'ai pu résister

L'usage du zéro ne posant pas de problème à un singe (cf. livre dont j'ai mis le lien) pour compter "combien il y a d'objets" que le 1, le 2, etc., je suis simplement surpris qu'il ait pu arriver aussi tard. Je suppose (et ce n'est que supposition) qu'il a pu être utilisé de manière informelle bien avant l'Inde du Vème siècle, dans des situations similaires à l'exemple du marchand de pommes que j'ai proposé.

PS : dans l'Inde ancienne aussi on utilisait un trait pour 1, deux traits pour 2, trois traits 3, puis un autre symbole pour le chiffre 4. Ce qui donne un nouvel exemple du basculement de représentation pour le 4 dont je parlais au message précédent. Bref ça n'intéresse peut-être que moi

[stefjm]

L'écriture à l'aide de traits est le système unaire :
1, 11, 111, 1111, 11111, etc...
https://fr.wikipedia.org/wiki/Système_unaire

On comprend assez bien pourquoi les bases de comptages ont été inventées.

[invite82078308]

La dénomination "système unaire" est discutable. Cette convention n'entre pas dans celle utilisée pour les systèmes n-aires.
En système n-aire zéro est particulier puisque il est le seul nombre entier dont l'écriture (unique) commence par 0 . pour être cohérent, il faudrait le représenter par le mot vide (une suite de zéro chiffres ), ce qui conduirait à des confusions avec les conventions habituelles.

[stefjm]

Encore une particularité de 0 par rapport aux autres nombres.
Je n'ai pas employé le mot base pour les raisons que tu donnes.
Les puissances de 1, c'est pas folichon, comme celles de 0 d'ailleurs.

[invite82078308]

Polysémie:
En fait zéro désigne à la fois le chiffre 0, utilisé pour écrire des nombres en base 10 ou autre, et le nombre zéro, qui est semble-t-il un concept plus tardif.

[invite82078308]

Encore une particularité de 0 par rapport aux autres nombres.
Je n'ai pas employé le mot base pour les raisons que tu donnes.
Les puissances de 1, c'est pas folichon, comme celles de 0 d'ailleurs.

Et donc une particularité de 1 !

[Médiat]

Bonjour,

En parcourant ce fil, je tombe sur

Je prends une soucoupe, je mets quatre morceaux de sucres dedans, vérifions qu'il il en a quatre:
Je compte " zéro, un, deux, trois ", il y a trois morceaux de sucre ! que s'est-il passé ?
Bien sur, tout le monde vous le dira, quand on compte les morceaux de sucre, il faut commencer à 1 !

Mais non, au contraire, il faut bien commencer à 0, puisque, justement, {0, 1, 2, 3} = 4

Maintenant, je prends une soucoupe vide et vous demande combien il y a de morceaux de sucre dedans, vous me répondrez zéro , bien sur ! Les anciens auraient été bien en mal de répondre ...

Récapitulons : [...]

Et du coup ce problème disparait, puisqu'il n'y a rien à compter et que, justement {} = 0 (Et vive ZFC )

[invite82078308]

Effectivement, en numérotant mes morceaux de sucre de 0 à 3, j'ai construit une bijection entre l'ensemble de mes morceaux de sucre et {0,1,2,3}, c'est à dire 4, ce qui prouve que 4 est le cardinal de l'ensemble de mes morceaux de sucre.
Il n'y a plus qu'à expliquer cela aux bambins quand ils apprennent à compter.

[stefjm]

J'aime bien le billet de David Madore sur le sujet :
http://www.madore.org/~david/weblog/...2-22.2096.html

En huit pour 7, en quinze pour quatorze, etc...