Égalité, signe égal, théorie égalitaire en mathématiques.

[invite82078308]

Bonjour à toutes, à tous, et aux autres !
Je n'ai pas trouvé de sujet spécifique sur ce thème, et donc j'ai intitulé le mien de sorte qu'il soit facile de le retrouver.
Je vais donc vous présenter mon point de vue sur cette question:

Le signe = est l'un des plus utilisés en mathématiques, mais que signifie-t-il vraiment, ou plutôt peut-être, quel usage pertinent peut-on en faire ?
En logique mathématique, on utilise la notion de théorie égalitaire, où la signe égal satisfait les propriétés suivantes:
= satisfait les axiomes des relations d'équivalence.
Et le schéma d'axiome de substitution : Pour toute propriété p, si j'ai a=b et p(a), je peux en déduire p(b).
Cela peut suffire à l'usage courant.
On notera que dans une théorie égalitaire, on a en général en plus d'autres axiomes portant sur l'égalité: axiomes algébriques su 0,s,+, . en arithmétique; schéma d'axiome de compréhension en théorie des ensembles etc.

Il faut ici préciser les choses: considérons la "démonstration" suivante :


(A): 2² * 3 = 12, donc 2³*3 est la décomposition en facteurs premiers de 12 (en effet, 2 et 3 sont premiers).
(B) D'autre part 5+7=12, donc par application du schéma d'axiome de substitution (deux fois !) 5+7 est la décomposition en facteurs premiers de 12 !

Où est l'erreur ?

En fait, dans une théorie égalitaire, le schéma de substitution s'applique strictement aux énoncés formels de la théorie.
(A) n'est pas un énoncé formel de l'arithmétique, ou de la théorie des ensembles ...
On ne peut pas toujours ne dire que des énoncés formels d'une théorie, mais il faut qu'ils soient formalisables.
Par exemple, en théorie des ensembles, on pourrait dire que {(2,2),(3,1)} est la décomposition en facteurs premiers de 12 ...

Mais que "signifie" a=b ?
Pour le jeune mathématicien, cela signifie que a et b sont la même chose, mais en est-on bien sur ?

Abordons la sémantique du point de vue de la théorie des modèles:

Si je prends une théorie égalitaire T du premier ordre non contradictoire, je peux en faire:
(C)Un modèle où je fait correspondre à l'égalité dans ma théorie l'égalité entre ensemble; ou
(D)Un modèle je fait correspondre à l'égalité une relation d'équivalence, ≈ , compatible avec les relations et foncions qui interviennent dans le modèle( par exemple si f es une fonction du modèle, et si x≈y , on aura f(x)≈f(y) etc.) .

Le passage de (C) à (D) est évident; le passage de (D) à (C) se fait en utilisant la notion d'ensemble quotient.

Dans le premier cas, si x=y dans T cela "signifie" dans le modèle que x et y sont la même chose; dans le deuxième cas, cela signifie juste qu'on eut dire les mêmes choses de x et y dans le langage de la théorie T.

Que pensez vous de ma façon de voir l'égalité ?
Comment voyez vous l'égalité ?
-----

[Médiat]

Bonjour,

Je n'ai pas compris ce que vous vouliez dire par " par application du schéma d'axiome de substitution (deux fois !) 5+7 est la décomposition en facteurs premiers de 12 !"

Sinon, vous décrivez la théorie usuelle de l'égalité en logique, y compris en théorie des modèles, et même le théorème de base : à partir de n'importe quel modèle on peut construire un modèle normal (c'est à dire un modèle où l'égalité est l'identité)

[invite82078308]

On put faire plus simple: 2²*3 = 12, et 2²*3 est la décomposition en facteurs premiers de 12, donc 12 est la décomposition en facteurs premiers de 12 !
Bien entendu, ce raisonnement est défectueux, mais il convient de préciser pourquoi.

[Médiat]

Vous ne pouvez pas appliquer des règles formelles (axiome de substitution) à du langage courant, j'avais donné un exemple sur ce thème : http://forums.futura-sciences.com/sc...hematique.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52eae448]

il me semble que sur ce point, les laguages informatiques ont du trancher la question que les mathématiciens n'osait aborder de front...

le signe = a pris le sens de l'instanciation (python, javascript, php et autres) au même titre que "::" en C++

ensuite l'on trouve le double égal "==" pour toute opérande de calcul et de comparaison logique simple
et triple "===" pour les égalité stricte tant en typage qu'en contenu... ceci permet d'invalider les cas de comparaison entre "float(2.00) et int(2) et str(2)

l'informatique "par" une stricte nécéssité (anti-alisaing") adu faire le tri entre les différente forme "implicite" du verbe "être"

car plus que l'égalité, le signe "=" code l'être, et ceci, ce A "est" un 3 ou vaux trois, ou 'est' egal trois, ou s'écrit "3"

sinon ça plante, ou l'on risque des erreurs tant la machine est bête qu'il faut être en tout intelligent pour elle, et ne lui laisser aucune chance d'interpretter de travers un type ou quelqu'autre signe.

les maths sont plus souples, car de toujours n'ont jamais eu que des humains comme correcteur, donc absolument apte a l'implicite, comme une seconde nature.... le normal... et surtout apte a comprendre le sens implicite de l'égalité A=B et de 2=2 comme non problématique typologiquement parlant... ;o)

[Médiat]

la question que les mathématiciens n'osait aborder de front...

Quelle connaissance avez-vous du sujet en mathématiques ?

[invite52eae448]

celle que la question semble toujours se poser en mathématique et plus en informatique...

[pm42]

le signe = a pris le sens de l'instanciation (python, javascript, php et autres) au même titre que "::" en C++

C'est en fait faux. On a plutôt essayé d'éviter cela à cause de la confusion que cela créé. C''est revenu notamment à cause du succès du C et dans ce langage, le choix avait été fait pour limiter le nombre de caractères à taper.
La concision avait été considérée comme importante par les concepteurs qui travaillaient sur une "petite machine" avec peu de mémoire et de disque même pour l'époque.

ensuite l'on trouve le double égal "==" pour toute opérande de calcul et de comparaison logique simple
et triple "===" pour les égalité stricte tant en typage qu'en contenu... ceci permet d'invalider les cas de comparaison entre "float(2.00) et int(2) et str(2)

Là aussi, cela dépend des langages et n'est pas une généralité.

l'informatique "par" une stricte nécéssité (anti-alisaing") adu faire le tri entre les différente forme "implicite" du verbe "être"
car plus que l'égalité, le signe "=" code l'être, et ceci, ce A "est" un 3 ou vaux trois, ou 'est' egal trois, ou s'écrit "3"
sinon ça plante, ou l'on risque des erreurs tant la machine est bête qu'il faut être en tout intelligent pour elle, et ne lui laisser aucune chance d'interpretter de travers un type ou quelqu'autre signe.

Gros fumage de moquette, la moitié est au moins incompréhensible.
Quand à la machine "bête", c'est d'autant plus ridicule à lire aujourd'hui avec ce qu'on sait faire en reconnaissance, etc.
Mais même sans cela, cela fait longtemps qu'on sait définir des parsers qui tolèrent une grande variété et donc des langages qui sauraient interpréter justement, et sans se tromper. Pour prendre un exemple simple, il suffit de voir ce qu'on fait en inférence de type.
Ce n'est pas spécialement pour cette raison qu'on évite mais au contraire pour les humains. L'importance de la lecture du code, sa prédominance sur l'écriture si justement mise en avant dans les rapports du DOD font qu'il est intéressant de limiter les variations : cela facilite le travail des programmeurs qui font la maintenance.

les maths sont plus souples, car de toujours n'ont jamais eu que des humains comme correcteur, donc absolument apte a l'implicite, comme une seconde nature.... le normal... et surtout apte a comprendre le sens implicite de l'égalité A=B et de 2=2 comme non problématique typologiquement parlant... ;o)

Je pense qu'il n'y a plus de moquette et que là, on est en train de fumer la poussière en dessous.

[Médiat]

celle que la question semble toujours se poser en mathématique et plus en informatique...

Autrement dit, aucune connaissance, on s'en doutait !

[invite52eae448]

pas exactement mediat, car si vous ne montriez pas l'état de chose de votre science a ce sujet, l'on en déduirait pas de telle conclusion... conclusion qui semble vous déplaire .... je me trompe. ??? non il me semble.... je sens votre agacement à ce sujet...

pourtant les mathématique sont comme la philosophie mère de nombreuses autres sciences, pourquoi vous plaindre que l'informatique ait trouver pour l'ensemble des sciences, un moyen manifestement très pratique d'expliciter des formes que l'usage commun, universitaire, avait tendance a prendre pour évidente, là ou "en pratique" ces formalismes doivent-être repensés et réécrit simplement pour éviter l'aliasing... ou une confusion symbolique que les machines, dans leur grande rigueur, sont incapable de gerer sans qu'on explicite clairement les prolegomènes de nos volontées

et ce n'est pas la première fois que les maths sont prisent en défaut... reprenez Gödell par exemple... n'a-t-il pas fait bien pire contre sa discipline, et sans lui donner de moyen pour éclaircir son propos...

toutefois, puisqu'effectivement j'ai tendance à vous croire quant vous parler de mathématique, je serais fort heureux de votre démonstration inverse quant à l'état de chose à propos du signe égal... et de ses corrolaires.

[Deedee81]

Salut,

je sens votre agacement à ce sujet...

Ca t'étonne ? Il pose une question précise..... et tu réponds à côté de la plaque. Ca énerverait n'importe qui.

pourtant les mathématique sont comme la philosophie mère de nombreuses autres sciences, pourquoi vous plaindre que l'informatique ait trouver pour l'ensemble des sciences, un moyen manifestement très pratique d'expliciter des formes que l'usage commun, universitaire, avait tendance a prendre pour évidente, là ou "en pratique" ces formalismes doivent-être repensés et réécrit simplement pour éviter l'aliasing... ou une confusion symbolique que les machines, dans leur grande rigueur, sont incapable de gerer sans qu'on explicite clairement les prolegomènes de nos volontées

Tu peux reformuler en français ?

et ce n'est pas la première fois que les maths sont prisent en défaut... reprenez Gödell par exemple... n'a-t-il pas fait bien pire contre sa discipline, et sans lui donner de moyen pour éclaircir son propos...

N'importe nawak. Cette absurdité, là, je te garantit que ça risque d'énerver Médiat dont la logique formelle est justement une de ses spécialités.

toutefois, puisqu'effectivement j'ai tendance à vous croire quant vous parler de mathématique, je serais fort heureux de votre démonstration inverse quant à l'état de chose à propos du signe égal... et de ses corrolaires.

Désolé, mais en science on n'invoque pas le renversement de preuve. Dans le message 5 (et les suivants) tu as affirmés pleins de choses (tu sais, toutes les phrases sans point d'interrogation). Et c'est à toi de prouver tes dire s'il y a opposition. Soit avec une démonstration rigoureuse (après tout on parle de math) soit avec des références validées. Si tu ne sais pas le faire, c'est que tu as raconté tout et n'importe comment, violant ainsi la charte, et volontairement en plus, ce qui est un manque de respect des participants de Futura.

Désolé, mais là aussi je manifeste un certain agacement face à ton attitude.

[Médiat]

reprenez Gödell par exemple... n'a-t-il pas fait bien pire contre sa discipline, et sans lui donner de moyen pour éclaircir son propos...

Evitez de parler de Gödel, dont vous ne connaissez même pas l'orthographe, cela vous évitera de nouvelles erreurs.

l'état de chose à propos du signe égal... et de ses corrolaires.

Faites un peu de mathématiques, cela se trouve dans tous les bons manuels de logique

Deedee : et

[invite52eae448]

C'est en fait faux. On a plutôt essayé d'éviter cela à cause de la confusion que cela créé. C''est revenu notamment à cause du succès du C et dans ce langage, le choix avait été fait pour limiter le nombre de caractères à taper.
La concision avait été considérée comme importante par les concepteurs qui travaillaient sur une "petite machine" avec peu de mémoire et de disque même pour l'époque.


Là aussi, cela dépend des langages et n'est pas une généralité.


Gros fumage de moquette, la moitié est au moins incompréhensible.
Quand à la machine "bête", c'est d'autant plus ridicule à lire aujourd'hui avec ce qu'on sait faire en reconnaissance, etc.
Mais même sans cela, cela fait longtemps qu'on sait définir des parsers qui tolèrent une grande variété et donc des langages qui sauraient interpréter justement, et sans se tromper. Pour prendre un exemple simple, il suffit de voir ce qu'on fait en inférence de type.
Ce n'est pas spécialement pour cette raison qu'on évite mais au contraire pour les humains. L'importance de la lecture du code, sa prédominance sur l'écriture si justement mise en avant dans les rapports du DOD font qu'il est intéressant de limiter les variations : cela facilite le travail des programmeurs qui font la maintenance.


Je pense qu'il n'y a plus de moquette et que là, on est en train de fumer la poussière en dessous.

manifestement, il n'y a pas que les machine qui ont besoin d'un codage explicite pour qu'elle ne nous renvoie pas un "syntax error"

donc faire simple: le post que vous commentez avait surtout pour intérêt de montrer que l'informatique avait depuis longtemps fait le tri et explicité l'implicite du signe égal... car "en pratique" il n'est pas possible ou difficile d'avoir un symbole identique pour deux opérandes vraiment différencié...l'instanciation et les différente profondeur d'égalité...(typage, contenu catégories, etc...)

pour les logique sur l'être et le principe d'égalité, je vous renvois a Aristote, qui est à la source du développement formel (si je ne m'abuse)

[pm42]

manifestement, il n'y a pas que les machine qui ont besoin d'un codage explicite pour qu'elle ne nous renvoie pas un "syntax error"

Lamentable.

donc faire simple: le post que vous commentez avait surtout pour intérêt de montrer que l'informatique avait depuis longtemps fait le tri et explicité l'implicite du signe égal...

Je vais faire comme Mediat et te dire que quand tu pourras nous montrer que tu connais plus en infos que du délire, on reparlera.
Parce que comme dis plus haut, ce que tu racontes en info est tout aussi ridicule que ce que tu racontes en maths...

car "en pratique" il n'est pas possible ou difficile d'avoir un symbole identique pour deux opérandes vraiment différencié...l'instanciation et les différente profondeur d'égalité...(typage, contenu catégories, etc...)

Totalement faux encore une fois. C'est notamment le cas en Basic et en Shell ou l'affectation et la comparaison utilisent =.
Dans d'autres langages qui supportent la définition ou la redéfinition des opérateurs comme C++ ou Scala, on peut également donner des sens très différents au même symbole.

[Deedee81]

Totalement faux encore une fois. C'est notamment le cas en Basic et en Shell ou l'affectation et la comparaison utilisent =.
Dans d'autres langages qui supportent la définition ou la redéfinition des opérateurs comme C++ ou Scala, on peut également donner des sens très différents au même symbole.

Certains langages acceptent même que des mots clefs soient des noms de variable. J'avais vu un exemple mais je ne sais plus dans quel langage (c'est dans la bible des compilateurs avec le dragon vert sur la couverture ).

Bon, je sens qu'il va falloir une intervention modo parce que ça devient n'importe quoi ce fil. Mais je ne met pas (tout de suite) de signalement et comme un gros lâche, je vous laisse
Bon week end.

[Médiat]

Bonjour pm42

l'affectation et la comparaison utilisent =.

Sans compter qu'aucun langage informatique n'est capable d'implémenter un algorithme capable de décider de l'égalité entre réels

[pm42]

Bonjour pm42Sans compter qu'aucun langage informatique n'est capable d'implémenter un algorithme capable de décider de l'égalité entre réels

Oui mais là aussi, il y a un base solide sur le sujet, notamment du coté de la théorie des types : https://en.wikipedia.org/wiki/Type_theory
C'est un des cas où des maths théoriques formalisent avec bonheur quelque chose qui s'était au départ construit un peu parallèlement en informatique.

Mais on n'a pas besoin d'invoquer des choses de ce niveau. Tout ce qui a été écrit plus haut traduit juste une connaissance très limitée et lointaine de l'informatique.

[Médiat]

Tout ce qui a été écrit plus haut traduit juste une connaissance très limitée et lointaine de l'informatique.

C'était juste mon clou dans le cercueil

[invite6bfdf32a]

Est-ce qu'on peut définir une égalité entre deux objets sans définir leur appartenance à un ensemble?

Ca me parait assez dur.

a=pomme

Si a appartient à l'ensemble des fruits ça marche, si a appartient à l'ensemble des mots du dictionnaire alors a="pomme" ne pose pas de problème.

a=2, si a appartient à N ou R, ou C et 2 représente bien le chiffre 2, pris dans un des ensembles cités.

Mais voyons ce que dit wikipedia sur le sujet.

[Médiat]

Est-ce qu'on peut définir une égalité entre deux objets sans définir leur appartenance à un ensemble?

Bonjour,

C'est une question mathématique, ou concernant le langage courant ?

[Médiat]

Si on parle syntaxique la question ne se pose pas puisqu'il n'y a pas d'ensemble auxquels les objet pourraient appartenir.


Si on parle de la théorie des ensembles, là aussi la réponse est claire : un objet mathématique est un ensemble qui est caractérisé par les ensembles qui lui appartiennent et non ceux auxquels il appartient.

Si on parle de sémantique, on peut se demander si le 1 de deux modèles différents (isomorphes ou non) de AP sont "égaux", ce n'est plus une question mathématiques, puisque l'égalité n'est pas définie entre plusieurs modèles (au mieux on a un isomorphisme).


Puis vient la question de savoir (par exemple) si le 1 des entiers naturels est le même que le 1 des entiers relatifs (suivant la construction usuelle), mais on peut se ramener au point précédent.

Voir, par exemple (pour montrer que votre exemple de la pomme, qui est le même que "Ceci n'est pas une pipe", n'est pas mathématiquement recevable) : http://forums.futura-sciences.com/sc...ml#post1124477



Voir aussi, sur la notion d'isomorphisme : http://forums.futura-sciences.com/ep...morphisme.html

[invite6bfdf32a]

Bonjour,

C'est une question mathématique, ou concernant le langage courant ?

Elle est mathématique.

Concernant le langage courant, il faudrait fixer un cadre pour pouvoir définir des objets de la vie courante. Par exemple en informatique si on consifère d'un coté une chaine de caractères "pomme" et une de l'autre coté variable $p, on aurait le droit de dire $p="pomme". Etant entendu que la notion d'égalité se traduit par: le pointeur associé à la variable p pointe sur la chaine de caractères "pomme". On peut alors utiliser des prédicats comme des conditionnelles: si($p="pomme") alors fonction_manger($p) finsi;

En physique, un objet o qui serait égal à une pomme, serait l'exacte réplique de la pomme considérée, à l'atome près, au spin près, à l'état quantique près, ce qui nous fais tomber dans le cauchemar de la définition de la réalité.

Car d'après ce que j'ai compris (et je m'avance prudemment pour ne pas subir les foudres des puristes), la notion d'égalité mathématique ne peut exister sans sans la mesure des objets auxquels elle se rapporte: a=b n'a de sens que si a et b appartiennent à des ensembles comparables, et mesurables. Enfin je ne sais pas si on doit parler de mesure ou plutôt de quantifiable pour un tel ensemble. Existe-t'il des ensembles mathématiques sur lesquels on ne peut effectuer l'opération d'égalité? Et qu'est-ce qui les caractérise?

[Médiat]

Elle est mathématique.

Alors il me semble avoir répondu.

[invite2309a58e]

Bonjour,

A-t-on : et , selon comment on interpréte ce que représente , une chaîne de caractère ou une somme ?

Si non, pourquoi ?

Si oui, la valeur de vérité de est impossible à connaître sans savoir quels types j'associe à (chaîne de caractère ou autre), et alors ce n'est plus des maths, non ?

Bonne journée.

[mh34]

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