Platonicisme = analogie ?

[Merlin95]

Personnellement j'oublie souvent ce qu'est un modèle IN est un modèle permet de comprendre ce que c'est, mais jai du mal à.le.definir autrement jai envie de dire que c'est une réalité mathématique au sein de laquelle les règles de logique sont respectées, cependant ce point est postulé je pense et non démontré. La notion de modèle dépend elle donc de la logique modèle pour la logique du premier ordre pour la logique du second ordre ou plutôt le modèle transcende même la logique utilisée ? Vous avez parlé du tiers exclus mais par exemple si on se place dans la logique intuitioniste où cette règle n'existe pas, ça veut dire qu'on ne plus dire (dans les modèles correspondant si la.notion de modèle dépend de la logique utilisée) qu'une proposition n'est jamais indécidable ?
Cette notion de modèle réalité mathématique ma toujours dérangé intérieurement, jai du mal à m'approprier l'idée que cette chose semble exister de manière autonome. Désolé si j'emploie un vocabulaire platonicien j'exprime juste mon ressenti "mathématique".
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[Médiat]

La logique utilisée définit l'aspect syntaxique et donc les preuves possibles, c'est donc décorrélé de la notion de modèle qui est liée à l'interprétation des éléments du langage (et des axiomes).

Par exemple {0, 1} muni de la fonction f définit par f(0, 0) = f(1, 1) = 0, f(0, 1) = f(1, 0) = 1 est ce qu'il quelle que soit la logique dans laquelle j'ai envie d'écrire la théorie des groupes

[shub22]

Si vous voulez gagner de l'argent facilement ou non (là je n'ai pas d'avis haha), un petit renvoi à une page Wiki sur la conjecture P=NP en espérant ne pas être (trop) HS en mentionnant ce concours comme participant -indirectement certes mais y participant quand même je trouve- au débat

L'Institut de mathématiques Clay a inclus ce problème dans sa liste des sept problèmes du prix du millénaire, et offre à ce titre un million de dollars à quiconque sera en mesure de démontrer P = NP ou P ≠ NP ou de démontrer que ce n'est pas démontrable. Ce problème est également le troisième problème de Smale.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_P_%3D_NP

[Merlin95]

Par exemple {0, 1} muni de la fonction f définit par f(0, 0) = f(1, 1) = 0, f(0, 1) = f(1, 0) = 1 est ce qu'il quelle que soit la logique dans laquelle j'ai envie d'écrire la théorie des groupes

Pourriez vous préciser jai l'impression qu'il manque un mot dans la phrase. Le modèle ici est l'ensemble {0,1} muni de la fonction f ?

[Médiat]

Oui, c'est bien cela, un modèle.

En fait, avant de parler de modèle il faudrait parler de L-structure (où L est un langage), c'est à dire un ensemble + une interprétation des éléments de L sur cet ensemble. Un modèle de la théorie T dans le langage L est une L-structure qui vérifie les axiomes de T pour la fonction d'interprétation.

[karlp]

Merci pour vos éclaircissements très cher Médiat. Avec le temps de la réflexion, je parviens à suivre (de loin ).

Malheureusement on ne sait pas[/COLOR][/LEFT]


On sait même combien il y en a (de dénombrables)

Sans rentrer dans les détails techniques :
récursif = manipulable par un humain
non standard = dans le cas de AP, tous les modèles différents de IN

(Pardonnez ma lourdeur : ) Est-ce que nous pouvons dire qu'il est possible qu'il existe un modèle qui vérifie la conjecture de Goldbach, ou bien que nous savons qu'il en existe un, mais que nous ne pouvons définir ?

(Je vous pose cette question précisément, parce que j'ai lu, de la plume d'un épistémologue qui n'est pas platonicien -et qui connaît parfaitement le théorème de complétude-, que nous ne parvenions pas à démontrer cette conjecture, mais qu'elle était "vraie". Je me demande s'il indique là une simple "opinion" qu'il ne partage pas forcément, ou s'il prend un raccourci en raison du public qu'il vise, ou s'il y a une autre explication possible. Je lui poserai la question quand je le rencontrerai.)

Mille mercis !

[Médiat]

Très cher karlp

Est-ce que nous pouvons dire qu'il est possible qu'il existe un modèle qui vérifie la conjecture de Goldbach, ou bien que nous savons qu'il en existe un, mais que nous ne pouvons définir ?

Aujourd'hui (à ma connaiissance) on ne sait rien de la conjecture de Goldbach (sous la forme : il existe un entier pair qui n'est pas somme de 2 premiers), elle peut soit

1) Etre démontrable donc vraie dans tous les modèles de AP(il "suffit" de trouver un tel entier dans IN pour faire cette démonstration)
2) Etre réfutable, donc fausse dans tous les modèles de AP
3) Etre indécidable, donc fausse dans certains modèles de AP (dont IN) et vraie dans d"autres

(Je vous pose cette question précisément, parce que j'ai lu, de la plume d'un épistémologue qui n'est pas platonicien -et qui connaît parfaitement le théorème de complétude-, que nous ne parvenions pas à démontrer cette conjecture, mais qu'elle était "vraie". Je me demande s'il indique là une simple "opinion" qu'il ne partage pas forcément, ou s'il prend un raccourci en raison du public qu'il vise, ou s'il y a une autre explication possible. Je lui poserai la question quand je le rencontrerai.)

Voilà pour moi, un parfait exemple de "n'importe quoi" (j'ai eu du mal à ne pas être plus virulent), on ne pourrait pas démontrer les formules vraies ?

Si ce qu'il veut dire c'est que la démontrer si elle est démontrable serait plus facile que le contraire (il a pris comme conjecture la négation de celle que j'ai choisie (c'est usuel)) à cause de ma remarque dans le 1) ci-dessus, c'est moins débile, mais je ne suis pas persuadé que ce soit valide pour autant.

J'ai l'impression que cela revient à dire qu'il est plus facile de démontrer des formules existentielles que des formules universelles (il "suffit" de trouver un exemple), je ne suis pas persuadé que l'on puisse en faire une règle ...

[karlp]

Voilà pour moi, un parfait exemple de "n'importe quoi" (j'ai eu du mal à ne pas être plus virulent), on ne pourrait pas démontrer les formules vraies ?

..

Bonjour très cher Médiat

Vous pensez bien qu'ayant été un peu à votre "école" cette affirmation (sur la vérité de la conjecture) m'a fait bondir.
Mais comme l'épistémologue en question est quelqu'un que je sais être très compétent (M. Bouveresse l'avait qualifié d"esprit "positif" "- en référence au positivisme et non au sens commun du terme) et n'être pas platonicien, j'ai été on ne peut plus étonné par cette formulation qui, de surcroît me paraît être en contradiction avec ce qu'il dit par ailleurs.
Je devrais pouvoir lui poser directement la question ce soir: je vous informerai de sa réponse

[Deedee81]

Salut,

S'il n'est pas platonicien il faudrait sans doute remplacer "vrai" par démontrable. Il y a des choses (probablement) démontrable mais qu'on n'arrive pas à démontrer (au moins pour le moment).

Mais on verra ce qu'il en dira.

Si, si, je continue à suivre. C'est intéressant

[karlp]

Salut,

S'il n'est pas platonicien il faudrait sans doute remplacer "vrai" par démontrable. Il y a des choses (probablement) démontrable mais qu'on n'arrive pas à démontrer (au moins pour le moment).

Mais on verra ce qu'il en dira.

Si, si, je continue à suivre. C'est intéressant

Il écrit simplement que l'on ne parvient pas à démontrer cette conjecture. Il ne dit toutefois pas qu'elle est indécidable et il connaît parfaitement bien le théorème de complétude, c'est pourquoi son propos me semble inconsistant ici (et ce n'est pas du tout son habitude).
Je penche pour un "raccourci" (son lectorat est encore plus inculte que moi en logique), mais cela ne me satisfait pas.

[Deedee81]

Je penche pour un "raccourci" (son lectorat est encore plus inculte que moi en logique), mais cela ne me satisfait pas.

Ou une erreur de langage, ça arrive.

[Matmat]

Il écrit simplement que l'on ne parvient pas à démontrer cette conjecture. Il ne dit toutefois pas qu'elle est indécidable et il connaît parfaitement bien le théorème de complétude, c'est pourquoi son propos me semble inconsistant ici (et ce n'est pas du tout son habitude).
Je penche pour un "raccourci" (son lectorat est encore plus inculte que moi en logique), mais cela ne me satisfait pas.

N'est ce pas simplement son intuition ? Beaucoup de mathématicien ont des intuitions sur les conjectures , a mon avis il exprime simplement que d’après lui elle sera démontré un jour, et peut être tente t'il de la démontrer (?) d'ailleurs , comme d'autres tentent de démontrer l’indécidabilité parce qu'il ont l'intuition qu'elle est indécidable .

[Médiat]

Dans ce cas le minimum serait de dire "je pense que ..." et non "elle est vraie", et mieux encore expliquer pourquoi on fait ce choix !

[shub22]

Lichnerowicz disant "Je ne comprends pas ce que veut dire une proposition vraie mais non démontrable. Comment peut-on la dire vraie si elle n’est pas démontrable ? "

Moi j'ai franchement du mal à comprendre comment on peut -comme le mathématicien américain Paul Cohen l'a fait en 63- démontrer que l'hypothèse du continu (ou tout autre hypothèse du même type) était indécidable.
simplement, il faut un sacré niveau en logique mathématique et ensembliste pour le faire et je crois d'ailleurs que les démonstrations des théorèmes de Gödel ne sont pas à la portée d'un profane ou du premier venu.

Dans un contexte non mathématique , la phrase "J’existe" induit sa propre vérité mais elle n'est pour autant pas démontrable, est-ce un bon exemple ?

On quitte provisoirement le terrain de la pure et "vraie & authentique & certifiée" logique mathématique: il y a aussi une logique philosophique très différente de celle des maths et cet énoncé s'y apparente on dirait, il flirte avec...
C'est un énoncé performatif que de dire "j'existe" pour une personne: un acte de langage. Là où Austin et Searles ont beaucoup travaillé pour dire que comme le titre de son célèbre ouvrage "Quand dire c'est faire"
Dire "j'existe" c'est affirmer une évidence, une vérité en soi mais surtout accomplir un acte qui est relié à la logique par son contraire, et/ou qui trouve ou peut trouver son sens dans et par la proposition contraposée: dire le contraire soit "je n'existe pas" supposerait une intention bien voire très précise dans la communication -avec quelqu'un ou avec son Moi intérieur-, énonciation qui jaugerait et évaluerait l'acte ou le fait d'exister pour le locuteur. La célèbre bulle de Kant... Dire "j'existe" à quelqu'un d'autre ou à son Moi intérieur est une question en fait

Nous ne parlons jamais de façon purement mathématique ou (mathématiquement) logique dans la vie réelle, ou alors dans le cas de réelles exceptions très rares.
Très communément nous sommes métaphoriques dans nos expressions -ou façon de parler- avec nos interlocuteurs et le langage est utilisé principalement comme cela.
Mais aussi de façon purement informationnelle aussi avec la seule intention de communiquer des informations, de pures informations ("ça y est j'ai posé la poutrelle") et rien d'autre

[invite84127968]

Moi j'ai franchement du mal à comprendre comment on peut -comme le mathématicien américain Paul Cohen l'a fait en 63- démontrer que l'hypothèse du continu (ou tout autre hypothèse du même type) était indécidable.
simplement, il faut un sacré niveau en logique mathématique et ensembliste pour le faire et je crois d'ailleurs que les démonstrations des théorèmes de Gödel ne sont pas à la portée d'un profane ou du premier venu.


On quitte provisoirement le terrain de la pure et "vraie & authentique & certifiée" logique mathématique: il y a aussi une logique philosophique très différente de celle des maths et cet énoncé s'y apparente on dirait, il flirte avec...
C'est un énoncé performatif que de dire "j'existe" pour une personne: un acte de langage. Là où Austin et Searles ont beaucoup travaillé pour dire que comme le titre de son célèbre ouvrage "Quand dire c'est faire"
Dire "j'existe" c'est affirmer une évidence, une vérité en soi mais surtout accomplir un acte qui est relié à la logique par son contraire, et/ou qui trouve ou peut trouver son sens dans et par la proposition contraposée: dire le contraire soit "je n'existe pas" supposerait une intention bien voire très précise dans la communication -avec quelqu'un ou avec son Moi intérieur-, énonciation qui jaugerait et évaluerait l'acte ou le fait d'exister pour le locuteur. La célèbre bulle de Kant... Dire "j'existe" à quelqu'un d'autre ou à son Moi intérieur est une question en fait

Nous ne parlons jamais de façon purement mathématique ou (mathématiquement) logique dans la vie réelle, ou alors dans le cas de réelles exceptions très rares.
Très communément nous sommes métaphoriques dans nos expressions -ou façon de parler- avec nos interlocuteurs et le langage est utilisé principalement comme cela.
Mais aussi de façon purement informationnelle aussi avec la seule intention de communiquer des informations, de pures informations ("ça y est j'ai posé la poutrelle") et rien d'autre

Je pense ne pas être encore suffisamment en compétence avec le langage mathématique pour expliciter mon propre langage que je considère comme fortement insuffisamment cadré (modélisé?). Dans une démarche sérieuse (vide de tout égotisme: la vie permet parfois d'atteindre ce stade) je reste dans l'écoute et demande "clémence" souvent dans mes assertions, je reste cependant stupéfié face à l'adéquation du langage mathématique (re-cadré par Mediat avec sagesse bien souvent (y compris par GG0 parfois plus brutalement pour pousser plus pertinemment la réflexion)) avec mes réflexions non formalisées : je ne possède pas le langage mathématique, le calcul est une étape superflue à mon esprit (bien que je soit loin d'être fainéant). Je suis arrivé au stade d'une complexité de choix dans ma démarche intellectuelle: l'esprit humain possèderait ce potentiel qu'à condition d'échanges: étrangeté et cohérence mêlée: univers psycho-philosophique... écouter le structuralisme mathématique est une continuité pour moi à ce qu'il m'a été enseigné ici jusqu'à présent..

[karlp]

Bonjour très cher Médiat, bonjour à tous

Dans ce cas le minimum serait de dire "je pense que ..." et non "elle est vraie", et mieux encore expliquer pourquoi on fait ce choix !

J'ai obtenu une "réponse", mais qui serait hors charte ici (le terme "vérité" a été employé dans un des sens que Lacan a pu donner, et qui est très loin du sens mathématique ou encore du sens médiéval. Je ne développe pas pour ne pas que le fil soit fermé)

[Médiat]

Très cher karlp,

vous aiguisez ma curiosité ... vous connaissez ma messagerie

En tout état de cause je condamne l'usage de termes mathématiques pour faire croire que l'on en fait si ce n'est pas le cas.

[invite84127968]

En tout état de cause je condamne l'usage de termes mathématiques pour faire croire que l'on en fait si ce n'est pas le cas.

Ce qui est tout à fait légitime, respectable et ne pas le respecter est une vraie forme d'impolitesse (c'est déjà bien de l'avoir compris pour moi).
Avant de faire des mathématiques, on apprends le langage verbale: il faudrait en quelque sorte s'en défaire (d'une certaine manière, du point de vue du signifiant) pour posséder des définitions absolument propres aux mathématiques? On peut alors entrer dans un système clos de langage, le caractère clos étant lié par exemple à l'axiomatique et la logique?
Je suis un peu resté sur ma faim en tout état de cause: le platonicisme du mathématicien n'est compréhensible que par le mathématicien ?

[Médiat]

On peut alors entrer dans un système clos de langage, le caractère clos étant lié par exemple à l'axiomatique et la logique?

Le bon ordre est :
Choisir une logique (et le langage qui va avec (connecteurs, quantificateurs)
Choisir un langage non logique (constantes, relations, fonctions) compatible avec la logique choisie
Choisir des axiomes dans ce langage

Je suis un peu resté sur ma faim en tout état de cause: le platonicisme du mathématicien n'est compréhensible que par le mathématicien ?

Je ne sais pas, mais je ne vois aucune raison

[PhiPhilo]

Bonjour.

En tout état de cause je condamne l'usage de termes mathématiques pour faire croire que l'on en fait si ce n'est pas le cas.

L'usage des termes mathématiques n'a pas nécessairement pour motivation de "faire croire que l'on fait des mathématiques". Il se trouve que, premièrement, tous les termes utilisés par nos langages dits "naturels" (par opposition aux langages "formels" qui sont créés de toute pièce comme l'esperanto ou la Begriffschrift de Frege) sont polysémiques, de sorte qu'ils ont, outre leur acception mathématique, une ou plusieurs acception(s) non-mathématique (pensez à des termes comme "égalité", "existence", "et", etc.), deuxièmement, tout langage "naturel" est structuré de manière plus ou moins rigoureuse par des règles qui, si elles n'ont pas la rigidité intangible des règles logiques ou mathématiques, s'en inspirent néanmoins (pensez aux règles morales, juridiques, voire esthétiques : dans le cas contraire, toute discussion sur les "raisons" de dire ou de faire ceci ou cela serait inconcevable).

[Médiat]

Bonjour,

L'usage des termes mathématiques n'a pas nécessairement pour motivation de "faire croire que l'on fait des mathématiques".

Bien sûr, d'où ma précision dans l'énoncé de ma condamnation, que je réitère.
Parler de "triangle amoureux" et situer son centre de gravité ne me choque pas, mais je ne vois pas ce que signifie "la conjecture de Goldbach est vraie" en dehors du cadre mathématiques !

[Matmat]

... outre leur acception mathématique, une ou plusieurs acception(s) non-mathématique

Concernant les termes ayant plusieurs acceptions , la phrase globale permet de déduire quelle acception choisir pour les termes en ayant plusieurs possibles.

Quand on se demande si une conjecture mathématique est vraie ou pas, on parle sans aucune ambiguïté possible d'un truc mathématique ,donc seule une acception mathématique peut donner une signification à la phrase ...
ça n'a jamais de sens de qualifier un objet mathématiques par des qualificatifs qui ne le sont pas .
Si les mathématiciens faisait l'erreur analogue dans l'autre sens ,tout le monde riraient d'eux tellement ce serait ridicule, imaginez vous un mathématicien montrer qu'une porte est ouverte en essayant de prouver qu'elle ne contient aucun point de sa frontière.

[karlp]

Bonjour très cher Médiat

Bonjour,
Bien sûr, d'où ma précision dans l'énoncé de ma condamnation, que je réitère.
Parler de "triangle amoureux" et situer son centre de gravité ne me choque pas, mais je ne vois pas ce que signifie "la conjecture de Goldbach est vraie" en dehors du cadre mathématiques !

Je dois vous avouer qu'en dépit de l'interprétation que je vous ai envoyée en MP (pour que tous puissent suivre, elle revient à peu près à ceci : "ON désire la tenir pour vraie" - "on" désignant "quelques uns mais pas tous") je reste très insatisfait et je me garderai moi même de le dire (fusse à destination d'un public censé connaître cette interprétation).
Je vais donc revenir à la charge et lui reposer la question en privé.

[Médiat]

Très cher karlp,

Merci de vos explications (par MP), je suis toujours en phase de "digestion", mais je peux dire qu'il est vrai que je les ai comprises ()

[Médiat]

Très cher karlp,

Je sollicite votre aide : En affirmant

je peux dire qu'il est vrai que je les ai comprises

au sens que vous avez exposé (à savoir que je souhaite les avoir comprises) est-ce que cela ne montre pas que je les ai comprises (au sens plus usuel) ou juste que je suis désespérément optimiste ?

Amicalement

[karlp]

Très cher Médiat

Très cher karlp,

Je sollicite votre aide : En affirmant

au sens que vous avez exposé (à savoir que je souhaite les avoir comprises) est-ce que cela ne montre pas que je les ai comprises (au sens plus usuel) ou juste que je suis désespérément optimiste ?

Amicalement

Cette affirmation (dans l'interprétation suggérée) impliquerait que vous admettiez qu'il existe un Autre susceptible de valider cette compréhension (ce qu'un analyste peut se refuser à faire dans certains cas lorsqu'il est placé dans la position de quelqu'un supposé "savoir", pour des raisons "éthiques")

[Médiat]

il existe un Autre susceptible de valider cette compréhension

Je comptais sur vous

[invite84127968]

Bonjour très cher Médiat



Je dois vous avouer qu'en dépit de l'interprétation que je vous ai envoyée en MP (pour que tous puissent suivre, elle revient à peu près à ceci : "ON désire la tenir pour vraie" - "on" désignant "quelques uns mais pas tous") je reste très insatisfait et je me garderai moi même de le dire (fusse à destination d'un public censé connaître cette interprétation).
Je vais donc revenir à la charge et lui reposer la question en privé.

Réflexion rapide intuitive et intrusive dans vos échanges avec MEDIAT :
Un système pourrait porter en lui même sa propre justification y compris ceux qui sont paradoxaux pour exister.

Cette idée est-elle en lien avec ces échanges?

[PhiPhilo]

Quand on se demande si une conjecture mathématique est vraie ou pas, on parle sans aucune ambiguïté possible d'un truc mathématique ,donc seule une acception mathématique peut donner une signification à la phrase

Oui s'il n'existe bien qu'une seule acception possible à la notion de "vérité mathématique" (ce qui, entre nous soit dit, ne semble pas faire consensus : cf. définition du vrai en math).

Parler de "triangle amoureux" et situer son centre de gravité ne me choque pas, mais je ne vois pas ce que signifie "la conjecture de Goldbach est vraie" en dehors du cadre mathématiques !

Alors il faudrait dire plutôt : "je ne vois pas ce que signifie "la conjecture de Goldbach est mathématiquement vraie" en dehors du cadre mathématiques ", ce qui est, soit tautologique si "vérité mathématique" n'a qu'un seul sens possible, soit toujours aussi ambigu dans le cas contraire.

Par ailleurs la notion de conjecture est aux mathématiques et à la logique ce que celle d'hypothèse est aux sciences empiriques et celle de présomption au langage du droit. C'est-à-dire qu'il ne s'agit pas là d'une proposition pour la valeur de laquelle le "vrai" et le "faux" seraient équiprobables. La conjecture de Goldbach (tout comme celle de Riemann -bizarrement nommée "hypothèse", d'ailleurs-, ou celle des nombres premiers jumeaux) est une conjecture en ce qu'elle bénéficie d'une très forte probabilité de vérité (pour des raisons tout à la fois statistiques et heuristiques). Certes, une probabilité de vérité, fût-elle très proche de 1, n'équivaut jamais à la démonstration d'un théorème. Toujours est-il que la plupart des mathématiciens tiennent, de facto, cette conjecture pour vraie.

Si les mathématiciens faisait l'erreur analogue dans l'autre sens ,tout le monde riraient d'eux tellement ce serait ridicule, imaginez vous un mathématicien montrer qu'une porte est ouverte en essayant de prouver qu'elle ne contient aucun point de sa frontière.

Pourquoi pas ? Zénon a bien démontré (en déclenchant manifestement plus d'embarras que d'hilarité) qu'Achille ne rattraperait pas la tortue !

[Deedee81]

Salut,

Excusez-moi de revenir sur un point après cinq jours mais j'étais en congé.

je crois d'ailleurs que les démonstrations des théorèmes de Gödel ne sont pas à la portée d'un profane ou du premier venu.

En fait, si. Parmi les GRANDS (parler fort ) théorèmes, certains ont des démonstrations tout à fait abordable, d'autres sont extrêmement difficiles car faisant appel à des domaines pointus des maths (c'est le cas de la démonstration de Wiles, j'ai lu cette démonstration dans les grandes lignes, il y a des sites internet qui expliquent ça très bien, mais dans le détail.... arg.... c'est non seulement volumineux mais aussi très compliqué. Totalement hors de ma portée sans un effort colossal).

Par contre les démonstrations de Gödel sont un peu à part : longues et extrêmement techniques.... mais tout à fait abordable avec des connaissances minimales en mathématiques. Je le sais pour les avoir lu en détail. De fait, ces démonstrations ne nécessitent qu'un peu d'effort pour les comprendre (faut tout lire et, le plus dur, essayer d'avoir ensuite une vue synthétique de l'ensemble).
Mais elles restent fort technique et les comprendre est une chose, les trouver est autre chose. Je serais totalement incapable de trouver par moi-même de telles démonstrations. C'est là qu'on voit la marque du génie.

Et un brin d'humour pour terminer :

Pourquoi pas ? Zénon a bien démontré (en déclenchant manifestement plus d'embarras que d'hilarité) qu'Achille ne rattraperait pas la tortue !

Oui, mais, hé ho, c'était la tortue qui a battu le lièvre, quand même. Le paradoxe a donc été résolu par Esope