Hilbert Hotel

[bluemark]

Bonjour ,


Je me demande toujours si on peut être sûr de quoi que ce soit en ce qui concerne l'infini en math .

Surtout concernant le rapport entre l'infini en math et l'infini dans la réalité .

Excusez-moi si c'est un peu trop philo ici...


Si on considére avec sérieux l'hotel de Hilbert

https://fr.wikipedia.org/wiki/H%C3%B4tel_de_Hilbert



on se dit que dans la réalité ce ne serait pas un hotel mais la réalité infinie elle-même (si elle l'est) c'est à dire pas un "objet" devant soi .

Je veux dire que si c'est un objet (même dans le sens le plus abstrait mathématique) alors ça devient une pure fiction et c'est le sens commun qui l'emporte sur le contre intuitif dont il est question .

Que veut dire dans la réalité un infini complet ?

C'est devant moi et infini et c'est complet ?

Autrement dit : je ne peux pas y entrer . C'est infini devant moi et j'en suis exclu (ou une infinité d'autres en sont exclus) ?

C'est complet à l'infini et des êtres n'y sont pas ?

Voilà la fiction !

Il n'y a rien d'étonnant à ce qu'on dise qu'une infinité d'occupants peuvent changer de chambre et laisser place libre à une infinité d'autres : ces autres y sont déja et ce n'est qu'un déplacement infini qui se joue au sein de la "complétude" infinie de cet "hotel".

Le paradoxe selon moi vient donc seulement du fait qu'on objective (comme si on l'avait devant nous comme un objet , à distance de nous) ; d'un côté l'hotel complet infini et de l'autre un infinité de nouveaux clients .
On pense à tort qu'on a deux infinis alors qu'il n'y en a qu'un (une infinité de fois plus grand qu'on le croyait) .

Peut-être que j'aurai dû poster ça sur un forum philo , je ne sais pas .
-----

[Médiat]

Bonjour,

Je me demande toujours si on peut être sûr de quoi que ce soit en ce qui concerne l'infini en math .

Oui on peut être sûr des théorèmes qui sont démontrés.

Surtout concernant le rapport entre l'infini en math et l'infini dans la réalité .

Les mathématiques ne se préoccupent pas de la "réalité" (ce qui évite d'avoir à la définir). On pourrait se poser la même question pour tous les concepts mathématiques, même les plus "simples", et obtenir la même réponse.



Dans la situation de l'hôtel de Hilbert il n'y a qu'un seul infini en cause :

Vous pouvez regarder là :http://forums.futura-sciences.com/ma...-vacances.html, un petit jeu avec l'infini, mais purement formel, pour éviter les digressions "philosophiques'

[pm42]

Je veux dire que si c'est un objet (même dans le sens le plus abstrait mathématique) alors ça devient une pure fiction et c'est le sens commun qui l'emporte sur le contre intuitif dont il est question .

Le "sens commun" l'emporte quand en sciences ? Par ex, la Terre est plate et le Soleil tourne autour, c'est du sens commun, tout le monde peut le constater visuellement tous les jours. Les microbes, c'est un concept abstrait aussi, on ne les voit pas...

Que veut dire dans la réalité un infini complet ?

Comme l'a fait remarqué Mediat, c'est quoi la réalité et depuis quand on s'en préoccupe en maths ?
Dans la réalité, c'est quoi un point, une droite ?

Peut-être que j'aurai dû poster ça sur un forum philo , je ne sais pas .

Peut-être parce que raisonner sur les maths (ou les sciences en général) avec des phrases sans comprendre les concepts sous-jacent et en voulant se ramener à son expérience quotidienne rassurante est voué à l'échec.

[bluemark]

Bonjour ,

Je réponds en gros à ce qui a été dit .

Si on transpose les problèmes de math sur la réalité (un hotel est sensé être réel) c'est qu'on suppose qu'il y a un rapport entre les maths et le réel .

Cantor l'a bien vu et a même considéré cela comme d'emblée métaphysique .

Idem pour Alain Badiou aujourd'hui .

Je ne suis pas un matheux , je ne comprends rien aux équations donc au lien que vous avez mis.

Je suis ici dans la partie épistémologie du forum pas dans les maths .

Mon idée était de dire qu'on ne parle que d'un ensemble infini et que le paradoxe provient du fait qu'on pose qu'il y en a deux , c'est tout.

Mais de toute façon c'est en gros ce qui est supposé ici :

http://forums.futura-sciences.com/sc...hilbert-2.html


dans cette dernière réponse d' Amanuensis : il s'agit d'un simple glissement dans un infini complet , rien d'extérieur à lui ne vient s'y loger .

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonsoir,

Si on transpose les problèmes de math sur la réalité (un hotel est sensé être réel) c'est qu'on suppose qu'il y a un rapport entre les maths et le réel .

L'hotel de Hilbert n'a pas de lien avec la réalité, c'était juste une illustration utilisée par David Hilbert lors de ces conférences pour expliquer (certainement à un large public) de manière imagée et sans aucun formalisme, le concept d'ensemble dénombrable. C'est tout. Et cela ne parle pas d'autre chose. Dit autrement cela reste des maths (dans la réalité tu as déjà vu un hotel avec une infinité de chambres ? )

Cordialement

[Médiat]

Bonjour,

Si on transpose les problèmes de math sur la réalité (un hotel est sensé être réel) c'est qu'on suppose qu'il y a un rapport entre les maths et le réel .

Non, ce n'est qu'une analogie, c'est à dire une béquille.

Idem pour Alain Badiou aujourd'hui .

A quoi pensez-vous en particulier ? Il me semble qu'au contraire, la pensée de Badiou sur les mathématiques ignore complètement le "réel" au profit de la pensée pure.

rien d'extérieur à lui ne vient s'y loger

Je n'ai rien lu de tel dans le message en référence

[Médiat]

Mon idée était de dire qu'on ne parle que d'un ensemble infini et que le paradoxe provient du fait qu'on pose qu'il y en a deux , c'est tout.

Je n'avais pas fait attention à cela :
1) Il y a bien 2 ensembles et même 3 : les chambres, les clients avant, les clients après (par contre ils sont de même cardinal).
2) Il n'y a aucun paradoxe, pouvant poser un problème, seulement un paradoxe dans le sens où cela choque votre sens commun (j'insiste sur "votre" dans la mesure où cela ne choque pas le sens commun des mathématiciens ou logiciens ayant travaillé dans ce domaine (de la même façon que le paradoxe des jumeaux de Langevin n'est pas un paradoxe pour les physiciens connaissant suffisamment la relativité))

[bluemark]

[

Les nouveaux clients sont ils extérieurs à \aleph_{0} ?

S'ils ne le sont pas , il suffit juste de remplacer ensemble par classe dans ce que j'ai dit .

La contradiction vient du fait qu'on utilise les termes complet/incomplet pour une chose (l'hôtel) dont ça n'a pas de sens de les utiliser puisque il est aussi complet qu'incomplet c'est à dire qu'il comporte déjà ce qui lui est pensé comme extérieur .
Le mouvement de décalage des clients est pensé comme créant de l'espace vide mais les clients étant aussi existants que ces chambres vides , on pourrait appeler cet hôtel "classe des existants" ou "classe de tous les clients pouvant y loger" donc comportant tous les clients qu'on veut y mettre .
Peut-être que l'idée "complet" est prise comme croyant qu'elle signifie "fermé" chez les gens qui ne sont pas dans les maths . Il n'en est rien pour moi .
Ce mouvement de glissement est dû précisément à la fois au caractère complet et ouvert de cet hôtel .

Pour ce qui est de Badiou , vu qu'il considère que l'ontologie = les mathématiques et que chez lui cette ontologie ne se limite pas à la pensée pure il y a plus que rapport entre réel et math .
Tout dépend du sens qu'on donne au mot réel .
L'idée de multiplicité est une réalité chez lui , pour lui un humain (vous , moi) est une multiplicité .
Je viens de taper ça sur Google et je vois une conférence de lui que je ne connaissait pas donc au moins mon post aura servi à ça en plus : me faire connaitre cette vidéo (je pensais en avoir fait le tour) .

https://www.youtube.com/watch?v=7xu5xNRa5F4

mais je ne pense pas qu'il y parle de math .

[PlaneteF]

Bonsoir,

Les nouveaux clients sont ils extérieurs à \aleph_{0} ?

Ta question est mal formulée et elle ne veut pas dire grand chose. Ce que l'on peut dire en essayant de donner un sens à ta question c'est que le cardinal de l'ensemble des nouveaux clients est égal à .

Cdt

[PlaneteF]

--> Je précise, pour les "nouveaux clients" je me réfère au 2e cas décrit dans le lien Wikipédia donné dans le premier message.

Cdt

[Médiat]

Bonjour,

Les nouveaux clients sont ils extérieurs à \aleph_{0} ?

S'ils ne le sont pas , il suffit juste de remplacer ensemble par classe dans ce que j'ai dit .

Je confirme ce que vous disiez plus haut :

Je ne suis pas un matheux , je ne comprends rien aux équations donc au lien que vous avez mis.

La contradiction vient du fait qu'on utilise les termes complet/incomplet pour une chose (l'hôtel) dont ça n'a pas de sens de les utiliser puisque il est aussi complet qu'incomplet c'est à dire qu'il comporte déjà ce qui lui est pensé comme extérieur .

Il n'y a aucune contradiction !

Pour ce qui est de Badiou , vu qu'il considère que l'ontologie = les mathématiques et que chez lui cette ontologie ne se limite pas à la pensée pure il y a plus que rapport entre réel et math .

Je ne vais pas regarder une vidéo de 2 h qui selon vous n'a pas de rapport avec la question, mais penser que la thèse de Badiou (dans EE par exemple) inclut le "réel" est à mon avis un contre-sens, dans la mesure où Badiou, lui-même écrit que sa "thèse n'est pas une thèse sur le monde, mais une thèse sur le discours".

[Médiat]

Bonjour,

Ta question est mal formulée et elle ne veut pas dire grand chose. Ce que l'on peut dire en essayant de donner un sens à ta question c'est que le cardinal de l'ensemble des nouveaux clients est égal à .

On peut même préciser les choses (les ensembles ci-dessous sont les types d'ordre "naturels" sur les ensembles sous-jacents) :
L'hôtel est plein
On ajoute un client :
On ajoute clients :
dans les trois cas on peut exhiber une bijection.

[karlp]

Bonjour très cher Médiat

Bonjour,


On peut même préciser les choses (les ensembles ci-dessous sont les types d'ordre "naturels" sur les ensembles sous-jacents) :
L'hôtel est plein
On ajoute un client :
On ajoute clients :
dans les trois cas on peut exhiber une bijection.

Excellente chose : j'ai dû rouvrir mes vieux cours sur les ordinaux transfinis.

J'y lis ceci :

1+ omega = omega

En revanche , dans ce cours, l'enseignant nous dit que "oméga+1" est le premier ordinal qui succède à "oméga" (lequel est le premier ordinal transfini): les deux ensembles ont le même cardinal, mais il ne s'agit pas du même ordinal ("oméga +1" possède un prédecesseur immédiat tandis que "oméga" n'en a pas)

Peut-être ai-je commis des erreurs en prenant mes notes ou bien peut-être que je commets une erreur dans l'interprétation des symboles (est-ce que je confonds l'écriture de l'addition de 1 à oméga avec le "nom" du successeur de oméga, ou bien est-ce le fait que vous décriviez une application de l'ensemble des clients dans celui des chambres de l'hôtel, alors qu'il n'y a rien de tel qui intervienne dans la présentation des ordinaux qui succèdent à oméga?) ?
En bref, je compte encore une fois sur vous pour m'éclairer*

(*et pour me pardonner si je fais preuve de bétise )

[Médiat]

Très cher karlp (je vous souhaite une excellente année)

1+ omega = omega

Parfaitement correct

En revanche , dans ce cours, l'enseignant nous dit que "oméga+1" est le premier ordinal qui succède à "oméga" (lequel est le premier ordinal transfini): les deux ensembles ont le même cardinal, mais il ne s'agit pas du même ordinal

Toujours correct

("oméga +1" possède un prédecesseur immédiat tandis que "oméga" n'en a pas)

Ceci est aussi exact, mais l'idée, ici, me semble plus de dire que ne possède pas de "plus grand élément", alors que en possède un (), car c'est la structure de ces ensembles (intrinsèquement) qui est en cause et non leurs liens.

(est-ce que je confonds l'écriture de l'addition de 1 à oméga avec le "nom" du successeur de oméga, ou bien est-ce le fait que vous décriviez une application de l'ensemble des clients dans celui des chambres de l'hôtel, alors qu'il n'y a rien de tel qui intervienne dans la présentation des ordinaux qui succèdent à oméga?) ?

est bien, à la fois, l'écriture de l'addition de 1 à et le nom du successeur (au sens ordinal) de (on pourrait écrire :

[ansset]

@bluemark:
si tu penses voir une contradiction sur ces bijections, saches qu'il en existe une aussi entre l'ensemble des entiers et celui des nb rationnels : même cardinal.

[karlp]

Très cher karlp (je vous souhaite une excellente année)
Parfaitement correct

Toujours correct

Ceci est aussi exact, mais l'idée, ici, me semble plus de dire que ne possède pas de "plus grand élément", alors que en possède un (), car c'est la structure de ces ensembles (intrinsèquement) qui est en cause et non leurs liens.



est bien, à la fois, l'écriture de l'addition de 1 à et le nom du successeur (au sens ordinal) de (on pourrait écrire :

Merci infiniment !!! (et très bonne année 2016 également !!! Ces derniers temps étaient si chargés que la terre a continué à tourner sans m'en avertir)

[bluemark]

Tout ceci ne fait pas avancer d'un pas dans le fait que cette analogie entre classe , ensemble et hotel ne tient pas .

C'est tout l'écart qu'il peut y avoir entre les maths et la philo , les problèmes et les notions ne sont pas les mêmes.

D'ailleurs nulle part on parle "d'extérieur à l'hotel" , ce qui est pourtant bien le cas et le coeur du problème .

Je ne sais pas s'il y a d'autres exemples en math où il est question de façon aussi évidente qu'il y a la notion de temps et de mouvement là dedans .

En fait c'est bien plus profondément encore qu'il fait chercher ce qui ne convient pas dans cette analogie : c'est qu'on pose du fixe (hotel , ensemble ou classe) et même une sorte de fixe éternel qu'on fait pourtant bouger donc on y suppose le mouvement et le temps :des clients entrent donc il y a du délais là dedans . On dit : c'est fixe et ça bouge .
Si on ne considère aucun délais et que c'est au même instant où les chambres se libèrent que les nouveaux clients y sont , on voit ou on sent que ces nouveaux clients étaient ailleurs dans cet hotel , que cet hotel est ouvert sur lui-même en quelque sorte . Etre complet est un acte en cours et non du fixe .

Pour Badiou (dont je n'adhére qu'en partie à son ontologie) , il fait contamment des analogies entre maths et réel . Par exemple il peut dire :
une vie est à la fois bornée et infinie comme un segment qui contient une infinité de points (je ne le cite pas mot pour mot ici ).
On peut considérer que cette phrase est de la pensée pure - et pourtant quoi de plus réel que la vie ?

[ansset]

tu raisonnes avec des perceptions intuitives sur ce qui n'est qu'un exercice de pensée sur un truc imaginaire au départ :
un hotel avec une infinité de chambres : ça n'existe pas.

[bluemark]

Réponse à Ansset :

Oui , dés le départ je ne fais que dire que l'exemple n'est pas bon . C'est donc un faux problème et il serait tout aussi faux sans hôtel mais avec simplement l'idée d'espace ou même d'écart abstrait se créant entre les éléments .

J'ai fait une faute à délai = il ne faut pas de s .

Quand je poste sur un forum , j'essaye d'être le plus rigoureux possible parce que je suppose toujours que ces messages resteront longtemps , que des gens de tous horizons peuvent les lire , y compris des enfants et donc j'espère avoir été utile à certains qui peuvent être "perturbés" par ce problème ou simplement pour leur éviter d'avoir à longuement réfléchir pour arriver là .

[Médiat]

Quand je poste sur un forum , j'essaye d'être le plus rigoureux possible parce que je suppose toujours que ces messages resteront longtemps , que des gens de tous horizons peuvent les lire , y compris des enfants et donc j'espère avoir été utile à certains qui peuvent être "perturbés" par ce problème ou simplement pour leur éviter d'avoir à longuement réfléchir pour arriver là .

Alors vous avez raté votre but en laissant croire qu'il y a un problème là où il n'y en a pas

[bluemark]

Cet exemple , cette analogie pris par Hilbert est justement ce qui fait surgir un problème là où il n'y en a pas .
Je pense qu'il a voulu rendre cela plus parlant , dans une conférence , à des gens qui ne sont pas dans les maths .

Simplement le problème peut-être résolu de manière non mathématique mais philosophique et épistémologique de cette manière là .
Mais il peut y avoir beaucoup d'autres manières de le faire et qui pourrait l'être par d'autres ou qui l'ont été par d'autres .
Au lieu du mot "problème" on peut donc justement dire "faux problème" ou paradoxe ou autres choses équivalentes .

Ce sujet posté est donc plus pour des gens qui ne sont pas dans les maths .

Ca me permet de terminer par une phrase que j'aurai pu dire aussi et qui est équivalente par rapport à cet "hôtel" (ou ce qu'on veut : ensemble , classe , etc ...) : s'il n'y a pas de délai entre ceux qui rentrent et ceux qui se décalent , c'est à dire s'il n'y a aucun instant où il y a des chambres vides alors les nouveaux clients sont d'emblée dans l'ensemble , dans l'hotel - dés le départ de l'exemple , de l'analogie .
Il n'y a rien de nouveau qui rentre dans aleph 0 ou autres ... à moins d'y faire entrer un nouvel instant donc du temps .

[karlp]

Bluemark

Je crois, ainsi que d'autres vous l'ont fait remarqué auparavant, que vous vous méprenez en raisonnant sur l'"image" (analogique) comme si elle était l'expression même du problème traité en mathématique.
Pour user d'une image à mon tour: c'est comme si vous disiez que l'allégorie de la caverne de Platon montrait les défauts de la théorie des formes sous prétexte qu'il est impossible que des hommes aient grandi dans une telle caverne, enchaînés, parce qu'ils seraient morts faute d'avoir pu sortir se procurer de la nourriture.

L'image peut être un support pour l'intuition mais peut aussi égarer cette dernière. C'est ce que vos remarques illustrent. Voilà pourquoi Platon et quelques intervenants ici vous suggèrent de pratiquer d'abord les mathématiques avant de spéculer.

[Matmat]

Simplement le problème peut-être résolu de manière non mathématique mais philosophique et épistémologique de cette manière là .

Les problèmes mathématiques ( par exemple : Quelles sont les conditions d'un raisonnement valides , quels sont les raisonnement qui marchent appliqués à un ensemble fini qui ne marchent plus appliqués aux ensembles infinis) ne peuvent pas être résolu de manière non mathématique.

Ca me permet de terminer par une phrase que j'aurai pu dire aussi et qui est équivalente par rapport à cet "hôtel" (ou ce qu'on veut : ensemble , classe , etc ...) : s'il n'y a pas de délai entre ceux qui rentrent et ceux qui se décalent , c'est à dire s'il n'y a aucun instant où il y a des chambres vides alors les nouveaux clients sont d'emblée dans l'ensemble , dans l'hotel - dés le départ de l'exemple , de l'analogie .
Il n'y a rien de nouveau qui rentre dans aleph 0 ou autres ... à moins d'y faire entrer un nouvel instant donc du temps .

Le temps , c'est hors sujet .

[ansset]

Simplement le problème peut-être résolu de manière non mathématique mais philosophique et épistémologique de cette manière là .
.

non,
de surcroit ( mais je répète un peu les propos de Matmat ) l'introduction du temps pour soi disant "lever" la contradiction est inutile et rajoute un paramètre HS et de la confusion dans les propos.
comment ferais tu pour montrer "philosophiquement" qu'il y a aussi une bijection entre N et Q ( les entiers et les rationnels ) ?
cordialement.

[PlaneteF]

Bonjour,

Il n'y a pas que le temps qui est hors sujet mais aussi toutes ces histoires d'hôtel "ouvert", "fermé", d' "extérieur à l'hôtel", de "mouvement de glissement", d ' "espace", ... etc ...

En fait on pourrait tout aussi bien formuler cette illustration de la manière suivante :

Soient une infinité d'individus situés on se moque complètement où (dans un hôtel, un pré, ... ou bien dans toute la galaxie) avec sur le pif un post-it numéroté pour chacun d'entre eux 1, 2, 3, 4, ... (avec les entiers naturels). Question : Est-ce qu'un individu sans post-it peut se coller sur la tronche un post-it différent des autres individus sachant qu'ils gardent leur post-it. Ben la réponse est oui, chaque individu avec post-it efface le nombre écrit et inscrit le même nombre +1. Du coup un individu sans post-it peut s'en coller un sur le nez et marquer dessus "1".

Voilà, yapa d'histoire avec tous les HS répertoriés plus haut. Peu importe l'illustration qui est choisie, ce que l'on veut c'est avoir au départ un ensemble dénombrable d'individus, c'est tout.

Cordialement

[minushabens]

On est bien d'accord: il n'y a pas de difficulté du point de vue mathématique. D'ailleurs pour moi cet hôtel de Hilbert relève de la plaisanterie mathématique.

Maintenant, si on essaie d'imaginer une façon pratique de procéder: il faut donc relocaliser chaque client dans la chambre adjacente, sans qu'à aucun moment il n'y ait deux clients dans la même chambre. Mais on commence par qui?

[Médiat]

D'ailleurs pour moi cet hôtel de Hilbert relève de la plaisanterie mathématique.

C'est beaucoup plus qu'une plaisanterie, c'est l'explicitation d'une bijection entre et 1 + qui lui-même est isomorphe à .

[minushabens]

mais on n'a pas besoin d'invoquer un hôtel pour ça. Je ne sais pas si Hilbert était facétieux, mais j'imagine volontiers un enseignant poser cette question aux étudiants: "j'ai un hôtel qui affiche complet, et un voyageur se présente à la réception, comment est-ce que je peux le loger?" et comme personne ne répond, il pourrait ajouter "j'ai oublié de vous dire que cet hôtel possède une infinité de chambres..."

[Médiat]

mais on n'a pas besoin d'invoquer un hôtel pour ça.

Ai-je dit que c'était obligatoire ?

D'ailleurs on peut prolonger le jeu (c'en est un) : comment faire pour loger un nouveau client au-delà des clients déjà en place ?

[minushabens]

J'en ai une autre: les chambres de l'hôtel sont maintenant indexées par les réels (sont en bijection avec R): un client arrive: comment le loger en changeant de chambre tous les autres clients? (et laissant une chambre vide et une seule)