[Maths] [Licence] Arithmétique, équation

[invite3bc71fae]

Un petit exercice qui sort de ma petite cervelle.

On suppose que: où p est un nombre premier.

Que peut-on dire des entiers naturels a,b et n ?
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[invite97a92052]

Bon, mes souvenirs d'arithmétique sont assez lointains, mais on va essayer... je ne sais pas trop quel type de résultat je dois avoir, donc je vais juste divaguer un peu

Déjà, on voit directement que a-b divise p
Donc a-b = 1 ou a-b = p
Ainsi, si on note d = pgcd(a, b), alors d divise 1 ou d divise p... donc on a d = 1 ou d = p

Si d = p :
On écrit a = pa' et b = pb', et on obtient : pⁿ*(a'ⁿ - b'ⁿ) = p
Examinons les cas selon n :
n=0 : impossible car p différent de 0
n=1 équivaut à a-b = p, c'est pas très intéressant à priori.
n > 1 impossible


On supposera donc d = 1, et donc a = b+1

L'équation s'écrit donc :


Et là, je vois pas trop dans quoi me lancer... une piste peut-être ?

[invite97a92052]

En fait, j'ai écrit des bêtises, on peut très bien avoir a-b = p... j'ai juste montré que a et b étaient premiers entre eux dans le cas "non trivial"

[invite3bc71fae]

En fait, j'ai écrit des bêtises, on peut très bien avoir a-b = p... j'ai juste montré que a et b étaient premiers entre eux dans le cas "non trivial"

C'est déjà bien, tu as montré que si avec n>=2, les entiers a et b sont nécessairement consécutifs.

Maintenant regarde ce qui se passe si tu considères que n n'est pas un nombre premier.

[A voir en vidéo sur Futura]