[Physique] [TS>supérieur] Coordonnées cylindriques généralités et exercice meca

[invite2c6a0bae]

Bonjour,

Voici un petit pdf suite à une demande de kidnapped.

Bon courage.
François
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[invite7ec123bc]

Bonjour,

En plein dans mes revisions de vacances,j'ai commence ces exercices.Le deuxieme me pose quelques problemes...
Pour le premier,voilà ce que j'ai fait.

 Cliquez pour afficher

1)Un systeme de coordonnees cylindriques est utilise dans des situations de symetrie cylindrique,i.e des cas d'invariance par rotation autour d'un axe de reference.

2)Lorsqu'on utlise les coordonnees cylindriques,on ajoute un troisieme parametre qui mesure la hauteur d'un point materiel par rapport au plan.

3)Au niveau du plan,on passe des coordonnees polaires aux coordonnees cartesiennes ainsi:


Avec les coordonnes cylindriques on ajoute la hauteur du point que l'on appelle z donc:


4)On fixe et on fait varier et alors, un raisonnement geometrique permet de constater une variation de surface : (c'est l'aire d'un rectangle).
Le resultat est le meme avec un parametre fixe different.

5)Cette fois-ci on fait varier les 3 parametres (r
et on obtient par raisonnement geometrique une variation de volume ce qui donne le volume d'un parallelipede rectangle.

Pour le deuxieme exercice,je bloque des le debut. Voila ce que j'ai commence a faire:
A
Lorsque
On a par hypothese de la conservation de l'energie mecanique :

Je n'arrive pas a aboutir a une expression de z en fonction de t.J'ai aussi essaye d'exprimer la vitesse en coordonnees cylindriques,mais je n'arrive pas a exploiter cette expression.
Serait-il possible d'avoir une indication?

Bonne journee.

[invite2c6a0bae]

Salut !

1 2 & 3 je suis d'accord. 4 & 5 non.

Deja ce que tu me donnes n'est pas homogène car un angle n'a pas de dim.

Deplus, dans les deux questions tu dois trouver la surface etle volume d'un cylindre. Réfléchi la dessus pour faire varier les bons paramètres. Il faut faire un bon dessin pour ca. Ce n'est pas hyper facile.

Donne moi ton expression de v en coord cyl. Pour cela, je te conseille d'écrire le vecteur position et de le dériver. On verra si tu as deja la bonne expression pour ca


François.

[invite7ec123bc]

Bonjour,

Merci de m'avoir corrige.

Voila ce que j'ai refait pour le 5.Suis-je sur la bonne piste.

 Cliquez pour afficher

Le volume d'un cylindre est donne par la relation V=aire de la base x hauteur.
La base d'un cylindre est un cercle,et l'utilisation d'une integrale permet de trouver l'aire de la base.
Un deplacement elementaire en coordonnees spheriques est en appelant M la position de l'objet,r le rayon polaire et l'angle polaire:

On en deduit la variation de volume correspondante engendre par un deplacement:

Pour l'aire de la base, je fais varier (aire d'un cercle dans le plan xOy) donc pas de variation de la hauteur.

J'integre de 0 a et de 0 a R
ce qui donne comme aire du cercle
Ensuite pour avoir la hauteur je fait varier de 0 a h
et j'obtiens

En multipliant (1) par (2),j'ai l'expression du volume d'un cylindre


Pour la 4) Mon idee est de partir comme la 5 du fait que la surface d'un cylindre est donnee par:
A=aire des deux disques + Aire rectangle
avec Aire rectangle = aire perimetre cercle x hauteur
et avec les coordonnees cylindriques et les intgrales pour calculer les aires,retrouver l'aire du cylindre.

Pour l'exercice 2,j'ai trouve l'expression de la vitesse dans des cours sur le net mais je n'arrive pas a en comprendre la demonstration ...
L'expression de la vitesse trouvee est :

Pour la suite de l'exercice,je n'arrive aussi pas à exploiter les deux relations (energie mecanique et vitesse en coordonnees cylindriques pour la suite de l'exo.

Voila le debut de demonstration pour la vitesse en coordonnees cylindriques.

 Cliquez pour afficher

On a en coordonnees cylindriques pour un point materiel M la position suivante :

En derivant par rapport au temps avec r et z variant on trouve
Et apres je ne sais pas quoi faire du

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Pour le volume du cylindre, tu pouvais directement calculer :

, ça aurait sans doute plus été dans l'esprit de ce qu'on fait en physique.

C'est à dire, prendre un petit élément de volume infinitésimal, et le déplacer sur tout le volume du cylindre, en sommant au fur et à mesure les volumes.

[invitec317278e]

Pour la vitesse en cylindrique.

on a que
Or, ici, contrairement aux coordonnées cartésiennes, le vecteur n'est pas constant. Il dépend de l'endroit où l'on est.
Ainsi, quand on dérive par rapport au temps, il faut traiter ça comme la dérivée d'un produit de fonctions.
Et il faut aussi considérer que : .
On arrive finalement à :


(ce qui n'est pas l'expression que tu as trouvé sur le net, c'est bizarre)

http://coursdephysique.decout.org/co...celeration.pdf
Peut être ceci pourra t'aider.


Thorin.

[invitec317278e]

Petite explication pour la dérivée de : il faut bien voir que


Ainsi, en dérivant l'un, on tombe presque sur l'autre. Sans oublier que est bel est bien une fonction de t...donc si on dérive par rapport à t, il faut traiter le tout comme dérivée de composée.

[invite2c6a0bae]

Alors pour le volume, je suis ok.
ca correspond a ce dessin : http://www.cyber.uhp-nancy.fr/demos/...s/image003.gif
on fait une variation de dr selon er, puis une variation de dtheta selon etheta, enfin une variation selon ez.

le volume elementaire est dr x (r dtheta) x dz.
celui du milieu vient du fait qu'un arc de cercle d'angle theta à une longueur r x theta.
En géométrie différentielle, on fait comme si c'etait un pavé droit, parce que tout bon physicien te dira, la courbure est négligeable


Pour le dS, je pensai surtout la surface su papier de la boite de conserve ^^. Si tu prends ton dS sur la surface (tu te rajoutes un exo ) du couvercle, tu va redémontrer l'aire d'un disque. Note que la surface de l'etiquette est calculable en decoupant l'etiquette dans le sens de la hauteur, oui, c'est un rectangle


Pour les dérivées, je vais te faire un truc sur papier que je vais mettre ne piece jointe, car j'ai la flemme de tout mettre en latex... Donc ca arrive. j'ai deux démo, la belle et... la moins belle.

Fr.

[invite2c6a0bae]

voila mon brouillon qui devrait etre suffisamment ordonné pour être lisible.

[invite7ec123bc]

Merci Thorin et .:Spip:.


@Thorin l'expression que j'avais trouve sur le net etait bien :

Une erreur de recopie de ma part...
Je n'avais pas pense au fait que s'obtenait par rotation d'angle et est en fait la derivee de

Pour la 4) j'ai essaye de le faire en utilsant les variations de surface.

 Cliquez pour afficher

En laissant z fixe,on a une variation de surface de (1)
En laissant r fixe et en faisant varier et ,on a:
(2)
On integre et on trouve:
(3)(aire d'un disque)
et
(4)
(aire du rectangle)

En utilisant la formule qui donne la surface du cylindre on trouve

Je vais essayer de continuer de chercher l'exo 2 si je n'ai pas fait d'erreurs sur l'exo 1.

@.:Spip:. Merci pour le pdf que je vais regarder tout de suite.

[invite2c6a0bae]

Merci Thorin et .:Spip:.


@Thorin l'expression que j'avais trouve sur le net etait bien :

Une erreur de recopie de ma part...
Je n'avais pas pense au fait que s'obtenait par rotation d'angle et est en fait la derivee de

Pour la 4) j'ai essaye de le faire en utilsant les variations de surface.

 Cliquez pour afficher

En laissant z fixe,on a une variation de surface de (1)
En laissant r fixe et en faisant varier et ,on a:
(2)
On integre et on trouve:
(3)(aire d'un disque)
et
(4)
(aire du rectangle)

En utilisant la formule qui donne la surface du cylindre on trouve

Je vais essayer de continuer de chercher l'exo 2 si je n'ai pas fait d'erreurs sur l'exo 1.

@.:Spip:. Merci pour le pdf que je vais regarder tout de suite.

je suis ok avec ca.

Fr.

[invite7ec123bc]

Bonjour,

Je viens de reprendre l'exercice 2,et je bloque toujours.Voila ce que j'avais fait au debut:

Pour le deuxieme exercice,je bloque des le debut. Voila ce que j'ai commence a faire au debut en ecrivant la conservation de l'energie mecanique:
A
Lorsque
On a par hypothese de la conservation de l'energie mecanique (pas de frottements) :

J'ai pense a ecrire la position de l'objet en coordonnees cylindriques.

Je suppose sauf erreur de ma part que si l'helice est fixe,et ne tourne donc pas alors la vitesse devient:

car
Mon idee serait de calculer ensuite la norme de ,mais je n'arrive pas a trouver quelle serait la derivee de r par rapport au temps ou la derivee de z par rapport au temps.

Serait-il possible d'avoir un indice?

Bonne journee.

[invite2c6a0bae]

. c'est v² dont tu as besoin pour le mettre dans ton equation de conservation de l'énergie. Que vaut z ?? par def dans l'enoncé ? pour r, que dis l'enoncé ???


je te conseille de noter tes dérivées avec un point ou deux points au dessus pour derivée première ou seconde (indice caché, si je te parle de dérivée seconde, c'est qu'il faudra y penser )

[invite7ec123bc]

Bonjour,

J'ai developpe en partant de

(car d'apres ce que j'ai compris de l'enonce donc en derivant par rapport a
et r=a je suppose que r est fixe alors .)

et j'ai trouve
car
et
En substituant dans l'energie cinetique J'aboutis a une relation que je ne peux pas exploiter :
d'ou une erreur de ma part ...

Cordialement.

PS:J'ai note les derivees avec un point en exposant exemple derivee de x

[invite7ec123bc]

Peut etre une idee apres y avoir reflechi.La bille chute,et en l'absence de frottements elle n'est soumise qu'a son poids avec la deuxieme loi de Newton,on a ce qui donne
et donc car est dans le sens vertical,ce qui me permettrait de remplacer dans l'expression de l'energie g par et d'obtenir la relation suivante:

et en integrant 2 fois et en remplacant par sa valeur trouver une expression de z en fonction de t.
Est-ce une bonne piste?

Bonne journee.

[invite2c6a0bae]

Bonjour,

J'ai developpe en partant de

(car d'apres ce que j'ai compris de l'enonce donc en derivant par rapport a
et r=a je suppose que r est fixe alors .)

et j'ai trouve
car
et
En substituant dans l'energie cinetique J'aboutis a une relation que je ne peux pas exploiter :
d'ou une erreur de ma part ...

Cordialement.

PS:J'ai note les derivees avec un point en exposant exemple derivee de x

Je n'ai eu la notification de reponse que ce matin :/

Pourquoi derives tu par rapport à theta ? pour passer de la position à la vitesse, ce n'est pas le temps qui joue ?

tu as juste : z(t)=h theta(t) à dériver et à mettre dans ton expression de la vitesse.

Sinon, la suite de ton message est bonne à cette erreur près Tu verra que tu ne te retrouve qu'avec des dérivées de theta. et là n'oublie pas mon indice :P


Je ne comprend pas ce que tu veux faire dans ton autre message. le relation énergétique est

pour t=0.


Bon courage.

François

[invite7ec123bc]

Merci encore .:Spip:. pour ton aide.

Si j'ai bien compris on peut donc obtenir l'expression de a partir de celle de .
En derivant ,j'obtiens
et donc l'expression de l'energie suivante:

Et
A t=0
donc en primitivant

ce qui permettrait de donner
(en remplacant par sa valeur.

Je ne suis pas du tout sur de ce resultat,et j'ai l'impression de m'emmeler les pinceaux.Je vais continuer de reflechir a cet exercice.

[invite2c6a0bae]

Merci encore .:Spip:. pour ton aide.

Si j'ai bien compris on peut donc obtenir l'expression de a partir de celle de .
En derivant ,j'obtiens
et donc l'expression de l'energie suivante:

.

humm, tu n'oublirai pas mgz en route ??



non ? agauche c'est à uen date t qcq, pas en bas de l'hélice...

ps
pour mettre un point, c'est le commande \dot genre \dot{x}
deux points : \ddot


edit : dans ton resultat precedent la bille monte ... bof bof
edit 2 c'est pas facile,car c'est un exo de sup en fait, les coord cyl en TS c'est pas trop ca. mais en aidant, ca passe :P

[invite7ec123bc]

humm, tu n'oublirai pas mgz en route ??



non ? agauche c'est à uen date t qcq, pas en bas de l'hélice...

Oui effectivement,j'avais fait cette erreur.
Le but est-il bien de trouver avec l'expression de l'energie une expression de en fonction de t pour la mettre dans et ainsi trouver une expression de z en fonction de t?
Pour trouver cette expression l'ajout de m'a l'air de legerement compliquer la tache.

Peut-on essayer de resoudre l'equation differentielle :



avec comme fonction inconnue pour trouver l'expression de ?

Par ailleurs ,je n'arrive pas a trouver de derivee seconde de dans l'expression de l'energie ...

edit 2 c'est pas facile,car c'est un exo de sup en fait, les coord cyl en TS c'est pas trop ca. mais en aidant, ca passe :P

Au moins,ca me permet de m'entrainer pour l'annee prochaine(meme si je rentre en L1 et pas en sup)et de reutiliser des notions vues cette annee ,c'est jamais perdu le temps passe a secher soi-meme sur un exercice

[invite2c6a0bae]

Oui effectivement,j'avais fait cette erreur.
Le but est-il bien de trouver avec l'expression de l'energie une expression de en fonction de t pour la mettre dans et ainsi trouver une expression de z en fonction de t?
Pour trouver cette expression l'ajout de m'a l'air de legerement compliquer la tache.

Peut-on essayer de resoudre l'equation differentielle :



avec comme fonction inconnue pour trouver l'expression de ?

Ta stratégie pour trouver z(t) est bonne et ce n'est pas parce qu'un terme complique la résolution que c'est faux

Par ailleurs ,je n'arrive pas a trouver de derivee seconde de dans l'expression de l'energie ...

ca va pas tarder derive moi ca par rapport au temps :

Au moins,ca me permet de m'entrainer pour l'annee prochaine(meme si je rentre en L1 et pas en sup)et de reutiliser des notions vues cette annee ,c'est jamais perdu le temps passe a secher soi-meme sur un exercice

L1 /sup, c'est la meme chose, il ne faut pas croire

[invite7ec123bc]

J'ai essaye de trouver ,apres derivation,en resolvant une equation diferentielle du second ordre sans second membre mais je tombe sur un resultat absurde...Ma methode est surement mauvaise...

 Cliquez pour afficher

En derivant l'expression de l'energie,je trouve:

Je divise par et j'obtiens:
(1)
(1) a la forme d'une equation differentielle du deuxieme ordre sans second membre.Son equation caracteristique est:

qui donne deux solutions

et donc les fonctions solutions sont de la forme

[invite2c6a0bae]

[invite7ec123bc]

J'avais fait une erreur d'inattention sur la derivee de
J'ai trouve une expression de qui par analyse dimensionnelle passe et est negative,mais dont je ne suis pas certain.Voila ce que j'ai fait:

 Cliquez pour afficher

ce qui donne
ce qui donnerait

Et en primitivant deux fois j'obtiens l'expression
car
donc

2)Pour trouver la date t a laquelle z=0 il faut resoudre

Je trouve
ce qui risque de donner une racine negative...

[invite7ec123bc]

Bonjour,

J'ai repris l'exo,et je viens de me rendre compte que j'ai fait une erreur de calcul sur la question 2)


ce qui correspond à une duree si on fait une analyse dimensionnelle...

Pour la 3),j'ai commence a reflechir mais je ne vois pas du tout comment proceder pour determiner la reaction.La reaction pourrait-elle correspondre à l'acceleration à z=0?

[invite2c6a0bae]

Salut !

c'est parfait !

Pour la trois, on te demande une force, oué ? Quel est la seule relation que tu connais qui te donne une force en meca ? La RFD : F=ma oui.

Combien y a t il de forces qui s'exerce sur ma bille ? Ecris moi la relation dans ce cas.
Que connais tu, que cherches tu, que peux tu calculer ?

Voila

Fr.

[invite7ec123bc]

Merci pour ton accompagnement .

Voici ce que j'ai fait pour la question 3.

 Cliquez pour afficher

Deux forces s'exercent sur la bille: (le poids)
et la reaction
D'apres la deuxieme loi de Newton:



En coordonnees cylindriques le poids s'ecrit:

En coordonnees cylindriques et sans variations de rayon,l'acceleration s'ecrit:


En appelant et les composantes de en coordonnees cylindriques.

La deuxieme loi de Newton permet d'ecrire:



Et donc

Pour calculer la reaction,il faut calculer la norme de

[invite2c6a0bae]

sans doute une erreur de recopiage, P= - mg ez, (dirigé vers le bas)

Ton vecteur R est quasi bon. Il ne faut pas donner la norme,mais bien le vecteur. Petite remarque aussi, dans la vraie vie, il faut remplacer les derivées secondes de z et theta par leurs expressions.

En fait, c'est l'accélération a_g que tu me donnes qui n'est pas correcte. Regarde les messages plus haut, lorsque l'on est passé du vecteur position, on le derive, on a la vecteur vitesse, et on le rederive, on a l'accélération. L'accélération a trois compo: er etheta et ez.

Fr.

[invite7ec123bc]

En derivant je trouve
R etant le rayon.

Sans variation de rayon

Je n'ai pas mis dans l'expression , car j'ai assimile l'helice au rayon peut etre une erreur de ma part...et donc la reaction etant perpendiculaire a l'helice,la composante de la reaction de l'helice serait nulle.

En utlisant les expressions trouvees plus haut,j'ai :

[invite2c6a0bae]

Je corrige :



d'où
on remplace par les dérivées de theta.

Fr.

[invite7ec123bc]

Merci pour la correction.

J'essaierai de reprendre cet exo ou des exos du même genre.Je vois qu'il y a pas mal de travail qui m'attend cette année... Je crois qu'il y a un même type d'exo qui a été posé sur un autre fil avec une bille sur une parabole http://forums.futura-sciences.com/thread234121.html . Je vais y réfléchir.