Voici un exercice d'arithmétique abordant la notion de nombres rationnels adjacents et en donnant une interprétation géométrique.
Rationnels adjacents
1) Soientdes entiers relatifs tels que
a) Montrer qu'il existe deux entiers relatifs2) Notonset
tels que:
b) On suppose en plus
,
et
. Montrer que l'inégalité:
implique
le dénominateur du représentant irréductible d'un nombre rationnel
.
Pour tout3) A tout rationnel
On dira que deux élémentset
distincts de
sont adjacents dans
, s'il n'existe aucun élément de
strictement compris entre
et
.
On dira que deux nombres rationnelset
sont adjacents s'il existe
tel que
et
soient adjacents dans
.
a) Ecrire tous les élémnets deappartenant à l'intervalle
pour
.
Quels sont les éléments adjacents àdans
? Dans
?
b) Montrer que deux rationnels de formes irréductibleset
, avec
et
, sont adjacents.
c) Soit un rationnel de forme irréductibleavec
. Montrer qu'il existe deux rationnels de formes irréductibles
et
tels que:
d) En déduire que si deux rationnels de formes irréductibleset
et
et
sont adjacents, alors
.
e) Soientet
deux rationnels adjacents. Montrer qu'il existe un unique rationnel
adjacent à la fois à
et à
et qui soit strictement compris entre les deux.
, on associe les nombres:
Soitle point de coordonnées
dans un repère orthonormé
.
Soitle cercle de centre
et de rayon
.
Montrer qu'à deux nombres rationnelset
distincts correspondent deux cercles
et
extérieurs ou tangents extérieurement.
Etablir que ces cercles sont tangents extérieurement si et seulement siet
sont adjacents.
Faire une figure si possible.
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