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Sens de variation du produit



  1. #1
    caily

    Sens de variation du produit


    ------

    Bonjours à tous !
    Je fais appele a vous pour un petit doute en math...:

    # Soit f et g les fonctions definies sur R pas f(x) = 2x et g(x) = 3x
    Etudier le sens de variation de la fonction h = f * g

    Reponse : (f * g) (x) = 2x * 3x = 6x²
    6x² est une fonction carée, elle est donc décroissante sur [-oo ; 0] et croissante sur [0 ; +oo[



    # soit p et q deux fonctions croissantes sur un intevalle I. La fonction p *q est-elle forcément croissante sur I ? Expliquer

    Reponse : Soit tous les x € p, € I
    x € q, € I
    On a p >(ou égal) 0 car p est croissante
    q >(ou égal) 0 car q est croissante
    Puis p*q >(ou égal) 0
    Donc p*q est croissante sur I.


    On ne peut pas en général prévoir le sens de variation du produit de deux fonctions. CEpendant on va traiter cette question dans un cas particulier.

    #On considère deux fonctions u et v définies et croissantes sur un intervalle I telles que, pour tout x de l'intervalle I, on a u(x) > 0 et v(x) > 0

    Soit a et b deux réels de I.
    Verifier que u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * [ v(a) - v(b)] + v(b) * [ u(a) - u(b)]

    Reponse :
    u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * [ v(a) - v(b)] + v(b) * [ u(a) - u(b)]
    u(a) * v(a) - u(b) * v(b)= u(a) * v(a) - u(a) * v(b) + v(b) * u(a) - v(b) *v(b)
    u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * v(a) - u(b) * v(b)


    En deduire le sens de variation de la fonction u* v sur I.
    u > 0
    v >0
    donc u*v > 0
    Donc u fois v est croissante sur [0 ; +oo [



    Enoncer la règle obtenue. Utiliser cette règle pour retrouver le sens de variation sur [0 ; +oo[ de la fonction h définie à la question 1.

    Par contre là je sèche...

    -----

  2. #2
    Duke Alchemist

    Re : Sens de variation du produit

    Citation Envoyé par caily Voir le message
    ...
    # Soit f et g les fonctions definies sur R pas f(x) = 2x et g(x) = 3x
    Etudier le sens de variation de la fonction h = f * g

    Reponse : (f * g) (x) = 2x * 3x = 6x²
    6x² est une fonction carée, elle est donc décroissante sur [-oo ; 0] et croissante sur [0 ; +oo[
    Jusque là OK.
    # soit p et q deux fonctions croissantes sur un intevalle I. La fonction p *q est-elle forcément croissante sur I ? Expliquer

    Reponse : Soit tous les x € p, € I
    x € q, € I
    On a p >(ou égal) 0 car p est croissante
    q >(ou égal) 0 car q est croissante
    Puis p*q >(ou égal) 0
    Donc p*q est croissante sur I.
    Tu te contredis !!... Le premier # te donne justement un contre-exemple
    Rien ne te dit ici que les fonctions sont positives !
    Et positive ne signifie pas croissante

    Et en plus, après, il est écrit :
    On ne peut pas en général prévoir le sens de variation du produit de deux fonctions. CEpendant on va traiter cette question dans un cas particulier.
    #On considère deux fonctions u et v définies et croissantes sur un intervalle I telles que, pour tout x de l'intervalle I, on a u(x) > 0 et v(x) > 0

    Soit a et b deux réels de I.
    Verifier que u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * [ v(a) - v(b)] + v(b) * [ u(a) - u(b)]

    Reponse :
    u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * [ v(a) - v(b)] + v(b) * [ u(a) - u(b)]
    u(a) * v(a) - u(b) * v(b)= u(a) * v(a) - u(a) * v(b) + v(b) * u(a) - v(b) *v(b)
    u(a) * v(a) - u(b) * v(b) = u(a) * v(a) - u(b) * v(b)
    Je l'aurais écrit dans l'autre sens mais une égalité se montre bien dans les deux sens
    En deduire le sens de variation de la fonction u* v sur I.
    u > 0
    v >0
    donc u*v > 0
    Donc u fois v est croissante sur [0 ; +oo [
    Encore une fois, tu confonds positive et croissante !
    On te demande de déduire le résultat de ce qui précède donc... aide-toi de ce qui précède !

    Modifie déjà le raisonnement pour ces questions et la dernière devrait être alors faisable.

    Duke.

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