Exercice de mathématiques un peu flou:s
Bonjour à tous le forum FS =)
On m'a donné un exo de maths en prévention du bac S de cette année, qui pour beaucoup parait bien simple, mais personnelement je n'y arrive pas du tout, je l'ai retourné dans pas mal de sens et n'y arrive toujours pas.
En voici l'énoncé:
Soit θ un réel tel que 0≤θ≤Π/2.
La suite (Un) est définie par U0=2cosθ et Un+1=√(2+Un) pour tou entier naturel n.
1/ Calculer les trois premiers termes de la suite en fonction de θ (on rapelle que, pout tout réel x, on a cos2x=2cos²x-1).
2/ Montrer, par récurence, que pour tout entier naturel n, on a: Un=2cos(θ/2^n).
3/ Soit (Vn), la suite définie, pour tout entier naturel n, par Vn=θ/2^n .
Déterminer la limite de la suite (Vn).
4/ En déduire que (Un) est convergente? Quelle est sa limite.
Mon problème:
Pour la question 1/ je trouve bien U1, U2 et U3 mais, ils sont vraiment compilqués (du type U3=√(2+U2)<=>√(2+√(2+√(2+2cosθ ))) ) et je n'arrive pas à le simplifier, est-ce normal?
Pour la question 2/ , je vois le principe de récurence mais n'arrive pas à le démontrer
Dans la question 3/ je pensai à:
Vn=θ/2^n , donc lim de Vn=+∞ quand n->+∞ , car 2^+∞=+∞ , θ est positif car 0≤θ≤Π/2 , donc lim de Vn=+∞.
Et pour la question 4/, je pensai à:
lim Un quand n->+∞ =2cos(θ/2^+∞)=2 , car 2^+∞=+∞ , que θ est positif car 0≤θ≤Π/2 alors θ/2^+∞=0, que cos(0)=1, et que 2cos(0)=2, alors la limite de (Un), lorsque n->+∞ est 2, donc la suite (Un) est convergente et sa limite est (2).
Voila j'aimerai des réponses à mes questions si possiblecar je sais que les petis exercice comme celui peuvent etre très importants et permettent de grapiller des points au BAC =)
Sur ce bonne continuation à tous. Moi je vais ==>
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